Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe 5 (Übung) Gegeben sei die Differentialgleichung y = y x + yα für α R. a) Lösen Sie für α = die Anfangswertprobleme mit y() = ± b) Lösen Sie für α = die Anfangswertprobleme mit y() = ±. Lösungsvorschlag a) Die Koeffizientenfunktionen sind stetig auf (, ) (wir wählen das Intervall, in dem unser Anfangspunkt liegt). Wir multiplizieren unsere Gleichung mit y und definiere z = y. Somit folgt z = yy = y x + = z x +. Der Anfangswert transformiert sich zu z() = (y()) =. Zur Lösung dieses Anfangswertproblems berechnen wir A(x) = t dt = ln(x) ln() = ln(x ) und Somit ist z gegeben durch Die Rücktransformation liefert t dt = ln(x) ln() = ln(x ). z(x) = x 4 + x ln(x ). x y(x) = ± 4 + x ln(x ). Wenn wir nun den Anfangswert einsetzen, sehen wir, dass für y() = die Lösung y(x) = x 4 + x ln(x ).

2 und für y() = x y(x) = 4 + x ln(x ) lautet für x > e 4, da der Ausdruck in der Wurzel nur dann positiv ist. b) Die Koeffizientenfunktionen sind stetig auf (, ) (wir wählen das Intervall, in dem unser Anfangspunkt liegt). Nun multiplizieren wir mit y und definieren z = y. Es folgt z = y y = y x + = x z + Der Anfangswert wird zu z() = (y()) = ±. Durch die unterschiedlichen Anfangswerte lösen wir die lineare Gleichung für z ohne Anfangswert. Es folgt A(x) = x dx = ln(x) + C = ln(x ) + C und daher z(x) = e A(x) e A(x) dx = x x dx = x (( x ) + C) = Cx x Für y() = z() = folgt die Lösung z(x) = 4x x und somit y(x) = 4x x für alle x > 6 9 (da nur dort der Ausdruck in der Wurzel positiv ist). Für y() = z() = folgt die Lösung und somit z(x) = x x y(x) = x x für alle < x < 9 4 (da nur dort der Ausdruck in der Wurzel positiv ist). Das Vorzeichen resuliert aus dem Anfangswert von y. Aufgabe 6 (Tutorium) Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme bzw. geben Sie bei c) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an: a) y = x(y + y ) mit y() =. b) y x + + xy y = mit y() =. c) y + y y = mit y() =.

3 Lösungsvorschlag a) Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine Bernoullische Differentialgleichung (α = ). Wegen y() =, interessieren wir uns zunächst für Lösungen y >. Für solche darf man die Differentialgleichung durch y (x) dividieren und erhält die äquivalente Gleichung ( ) y (x) y (x) = x y(x) +. Definiere z(x) = y(x). Wegen y > ist z definiert und differenzierbar mit z (x) = y (x). Die obige y (x) Gleichung lautet dann z = x(z + ). Dies ist eine lineare Differentialgleichung für z. Eine partikuläre Lösung z p (x) = ist leicht zu erraten. Die allgemeine Lösung z h der homogenen Gleichung ist durch z h (x) = Ce x mit der freien Konstanten C R gegeben. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet also z(x) = z p (x) + z h (x) = + Ce x. Durch die Anfangsbedingung z() = y() = wird C = festgelegt. Es gilt z(t) > + e x > x > ln() x < ln() := x. Also ist die Lösung y der ursprünglichen Gleichung zumindest auf dem Intervall I = ( x,x ) existent und eindeutig durch y(x) = z(x) = e x für alle x I gegeben. Wegen lim y(x) = lim y(x) = x x + x x ist sie weder nach links noch nach rechts weiter fortsetzbar. b) Wir teilen die Gleichung durch xy(x) und erhalten y (x) = x y(x) + x + x y(x), also eine Bernoullische Differentialgleichung mit α =. Setzen wir z(x) := y(x) α = y(x), so finden wir die lineare Differentialgleichung z (x) = x z(x) + x + x. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist nach Aufgabe 4 d) gegeben durch z(x) = c x + x x arctan(x). Nach Resubstitution erhalten wir ( y(x) = c x + x ) /, x arctan(x) c R.

4 Einsetzen der Anfangsbedingung y() = liefert c = π 4. Damit ist schließlich die Lösung des Anfangswertproblems. ( π y(x) = 4 x + x ) / x arctan(x), für x >, c) Dies ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit α =. Wir setzen daher z(x) := y(x) α = y(x). Dann erhalten wir für z die lineare Differentialgleichung z (x) = z(x). Die allgemeine Lösung der zugehörige homogenen Differentialgleichung z (x) = z(x) ist gegeben durch z(x) = ce x, c R. Durch Variation der Konstanten c lässt sich nun eine spezielle Lösung ermitteln. Wir machen den Ansatz z(x) = c(x)e x und setzen ihn in die inhomogene Differentialgleichung ein. Damit erhalten wir c (x) = e x, also c(x) = e x und somit z p (x) =. Also erhalten wir als allgmeine Lösung z(x) = + ce x bzw. y(x) = ±. + ce x Die Anfangsbedingung y() = impliziert c =. Somit ist y(x) = +e x die gesuchte Lösung. Aufgabe 7 (Übung) Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y = e x y + y e x. Hinweis: Eine erste Lösung ist gegeben durch u(x) = e ax für ein a R. Lösungsvorschlag Zunächst bestimmen wir eine spezielle Lösung der Gleichung mit dem gegebenen Ansatz y (x) = e ax. Einsetzen liefert (a )e ax = e (a )x e x, und für a = gilt Gleichheit. Somit ist y (x) = e x eine Lösung der Gleichung. Die weiteren Lösungen der Riccatischen Differentialgleichung bekommen wir nun mit dem Ansatz u := y y = y e x. Dieser liefert für die Funktion u die Gleichung u (x) = ( + y (x)e x )u(x) + e x u(x) also u (x) = u(x) + e x u(x). Dies ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit α =. Sie hat u als eine Lösung; alle anderen Lösungen erhalten wir, indem wir z(x) := u(x) α = u(x) substituieren. Dies führt auf z (x) = z(x) e x. Die homogene Gleichung z (x) = z(x) hat die allgemeine Lösung z h (x) = ce x, c R, und mittels Variation der Konstanten erhalten wir z p (x) = e x als spezielle Lösung der inhomogen Gleichung. Die allgemeine Lösung der Gleichung für z ist damit z(x) = ce x e x, c R. 4

5 Nun ermitteln wir die Nullstellen von z. Aus z(ξ) = folgt e ξ = c. Für c hat z also keine Nullstelle, für c > ist ξ = ln(c) die einzige Nullstelle von z. Für jedes c R erhalten wir also durch u(x) = z(x) = ce x e x eine Lösung von u = u + e x u, wobei x R falls c und x (, ln(c) ) oder x ( ln(c), ) falls c > gilt. Zusammen mit u sind dies alle Lösungen von u = u + e x u. Für die ursprüngliche Gleichung haben wir also die Lösungen y (x) = e x und y(x) = e x + ce x, c R. e x auf den entsprechenden Intervallen R oder (, ln(c) ) bzw. ( ln(c), ) je nach Wahl von c. Aufgabe 8 (Tutorium) Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) y = y (x + )y + + x + x mit y() =. Hinweis: Benutzen Sie den Ansatz u(x) = ax, um eine Lösung der Differentialgleichung zu erhalten. b) y + ( 4x)y + xy = x mit y() =. Hinweis: Benutzen Sie den Ansatz u(x) = a, um eine Lösung der Differentialgleichung zu erhalten. Lösungsvorschlag a) Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine Riccatische Differentialgleichung. Setzen wir den Ansatz ein, so ergibt sich a = a x (x + )ax + + x + x = ( a) x + ( a)x +, also ist für a = eine spezielle Lösung y p durch y p (x) = x für alle x R gegeben. Setze z = y y p. Dann erfüllt y genau dann die Differentialgleichung, wenn z (x) = y (x) y p(x) = y (x) y p(x) (x + )(y(x) y p (x)) = (y(x) y p (x))(y(x) + y p (x)) (x + )z(x) = z(x)(z(x) + y p (x)) (x + )z(x) = z (x) z(x) erfüllt. Dies ist eine Bernoullische Differentialgleichung. Für den Anfangswert gilt z() = y() y p () = >. 5

6 Deswegen interessieren wir uns zunächst für Lösungen z >. Für solche darf man die Differentialgleichung für z durch z (x) dividieren und erhält die äquivalente Gleichung z (x) z (x) = z(x). Definiere w(x) = z(x). Wegen z > ist w differenzierbar mit w (x) = z (x). Die obige Differentialgleichung lautet dann z (x) w (x) = w(x). Dies ist eine lineare Differentialgleichung für w. Eine partikuläre Lösung w p = ist leicht zu erraten. Die allgemeine Lösung w h der homogenen Gleichung ist durch w h (x) = Ce x mit der freien Konstanten C R gegeben. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet also w(x) = w h (x) + w p (x) = + Ce x. Durch die Anfangsbedingung w() = z() = wird C = festgelegt. Damit ist w(x) > für alle x R und z(x) = w(x) = + e x, bzw. y(x) = y p(x) + z(x) = x + + e x für alle x R. Das obige y ist die eindeutige, nicht weiter fortsetzbare Lösung des ursprünglichen Anfangswertproblems. b) Es handelt sich wieder um eine Riccatische Differentialgleichung. Setzen wir den Ansatz ein, so erhalten wir a a( a)x = + ( 4x)a + xa = x, womit eine erste Lösung durch φ(x) = für alle x R gegeben ist. Setzen wir u = y φ, so erfüllt u die Differentialgleichung u + u + xu = u + (( 4x) + x)u + xu =. Dies ist eine Bernoullische Differentialgleichung (mit α = ). Der Anfangswert ergibt sich zu u() = y() φ() = = >, womit wir uns für positive Lösungen interessieren. Dividieren durch y und die Substitution z = u liefern für z die Differentialgleichung z = z + x. Der Anfangswert ergibt sich hierbei zu z() = (y()) =. Für diese lineare Differentialgleichung erster Ordnung gilt A(x) = a(t) dt = dt = x und e A(t) b(t) dt = e t t dt P.I. = [ te t ] x + e t dt = [(t + )e t ] x = (x + )e x. 6

7 Die Lösung des inhomogenen Problems ist deshalb z(x) = e A(x) + e A(x) e A(t) b(t) dt = e x + e x (x + ) = 4e x (x + )). Resubstitution liefert und schließlich u(x) = y(x) = 4e x (x + ) 4e x (x + ) +. 7

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