Versuch 2 Kirchhoff'sche Gesetze (Bilanzgesetze)

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1 1/6 Lernziele Versuch 2 Kirchhoff'sche Gesetze (Bilanzgesetze) Sie kennen die Kirchhoff'schen Gesetze und können den Maschen- sowie den Knotensatz in ihrer Bedeutung als Bilanzgesetze erläutern. Sie können für in Serie und parallelgeschaltete Widerstände rechnerisch Ersatzwiderstandswerte bestimmen. Sie können Spannungen und Sromstärken in Widerstandsnetzwerken mit mehreren Quellen rechnerisch bestimmen. Einleitung Knoten- und Maschensatz Jedem Punkt einer Schaltung kann ein elektrisches Potential ϕ k zugewiesen werden 1. Die elektrische Spannung U ij zwischen zwei beliebigen Punkten, kann so durch die Differenz der Potentiale dieser Punkte ausgedrückt werden: Bsp.: Spannung zwischen den Punkten i und j: U ij = ϕ i ϕ j Aus der Tatsache, dass zu jedem Punkt ein eindeutiges Potential zugeordnet werden kann, ergibt sich der sogenannte Maschensatz: Die Summe der Spannungen entlang eines geschlossenen Pfades (Masche) ergibt Null. Bsp.: U 12 + U 24 + U 41 = ϕ 1 ϕ 2 + ϕ 2 ϕ 4 + ϕ 4 ϕ 1 Bemerkungen Der Pfad kann durch eine eine beliebige Anzahl Punkte abgesteckt bzw. definiert werden. Da die Spannung zwischen zwei Punkten ein Mass für die Energie ist, die durch das Verschieben der Einheitsladung (1 As) zwischen diesen Punkten umgesetzt wird, kann der Maschensatz aus dem Energieerhaltungssatz abgeleitet werden. In den Zweigen einer Schaltung fliessen diverse Stromstärken I k. In den Orten (Knoten), wo Zweige zusammenkommen, kann sich keine Ladung ansammeln (Ladungsstau). Daraus folgt der sogenannte Knotensatz: Die Summe der Stromstärken in einem Knoten ergibt Null. Bsp.: I Bemerkungen Bei der Bildung der Summe müssen die Bezugsrichtungen der Stromstärken berücksichtigt werden: Ströme die in einen Knoten hineinfliessen müssen ein anderes Vorzeichen aufweisen als Ströme die herausfliessen. Kommt es in einem Gebiet (Raum) nicht zu einer Ansammlung von Ladungen, so gilt der Knotensatz für die Stromstärken durch die Grenze dieses Gebiets. Der Maschensatz ist im Grunde genommen eine Konsequenz der Energieerhaltung und der Knotensatz eine der Ladungserhaltung. Da damit über diese physikalische Grössen eine Bilanz gebildet wird, werden diese Gesetze als Bilanzgesetze bezeichnet. 1 Diese Aussage ist analog zur Feststellung, dass in einem hydraulischen System in jedem Punkt ein bestimmter Druck zugeordnet werden kann. 9. Dezember 26, M. Schlup

2 2/6 Anwendung: Zeigen Sie allgemein durch Anwendung dieser Sätze, dass a) zwei hintereinander geschaltete (Serie- oder Reihenschaltung) Widerstände R 1 und R 2 durch einen einzigen Widerstand mit dem Widerstandswert R = R 1 + R 2 ersetzt werden können. b) zwei nebeneinander geschaltete (Parallelschaltung) Widerstände R 1 und R 2 durch einen einzigen Widerstand mit dem Leitwert G = G 1 + G 2 ersetzt werden können, d. h. 1/R = 1/R 1 + 1/ R 2. Aufgabe 1 Überprüfung der Kirchhoff'schen Gesetze Erstellen Sie eine beliebige Schaltung mit Widerständen aus dem Sortiment: R 2 + Netzgerät I I 1 ϕ 2 I 3 R 1 R 3 ϕ ϕ 3 1 R 4 Figur 1.1 ϕ 4 Beispiel einer möglichen Schaltung mit verschiedenen Widerständen Die Knoten sind mit den Potentialen bezeichnet, die Zweige durch die Zweigstromstärken. I 5 R 5 Überprüfung des Maschensatzes Stellen Sie am Netzgerät eine geeignete Spannung ein, so dass die Belastung der Widerstände tolerierbar ist. Dazu müssen die Stromstärken und die Leistungen in den Widerständen im Voraus rechnerisch bestimmt werden! Messen Sie sämtliche Spannungen zwischen den Knotenpunkten (U 12, U 13, U 14, U 23, U 24 und U 34 ). Zeigen Sie, dass entlang eines beliebigen Pfads die Summe der Spannungen Null ergibt 2. Beachten Sie dabei, dass bei einer Vertauschung der Indizes U ij = U ji gilt. Bestimmen Sie die Potentiale der Knoten für zwei verschiedene Festlegungen des Referenzpunktes (Knoten mit Potential Null). Beispiel: U 23 + U 34 + U 42 V, bzw. U 23 + U 34 U 24 V Überprüfung des Knotensatzes Bestimmen Sie die Stromstärken in den Widerständen indirekt aus den Spannungen über den Widerständen, z.b. I 1 = U 12 /R 1. Zeigen Sie, dass die Summe aller Ströme die in einen beliebigen Knoten hineinfliessen der Summe der Stromstärken entspricht die herausfliessen 3. Beispiele: für den Knoten 1: I + I 1 +, bzw. für den Knoten 4: I 5 + I addiert man die beiden Gleichungen ergibt sich: I 1 + I 5 (wie ist das zu verstehen?) Bemerkung: Wird die Bezugsrichtung 4 einer Stromstärke umgedreht, so ändert sich das Vorzeichen der betroffenen Stromstärke. 2 Auf Grund der begrenzten Messgenauigkeit kann anstelle von Null ein kleiner Restbetrag übrigbleiben. 3 Möglicherweise bis zu einem von der Mess- und Rechengenauigkeit abhängigen Restbetrag. 4 Die Strombezugsrichtung ist willkürlich gewählt und wird in einem Schaltschema durch die Pfeilrichtung angegeben. Fliesst ein Strom in Pfeilrichtung, so ist die Stromstärke positiv, fliesst er entgegen der Pfeilrichtung, so ist sie negativ. 9. Dezember 26, M. Schlup

3 3/6 Aufgabe 2 Ersatzwiderstände für die Serie- bzw. Parallelschaltung von Widerständen Überprüfen Sie messtechnisch, ob eine frei gewählte Parallel- und Serieschaltung von Widerständen durch einen entsprechenden Widerstand ersetzt werden kann. Überlegen Sie zuerst wie Sie dies zeigen könnten. Inventar 1 Netzgerät mit einstellbarer Spannung und wählbarer Strombegrenzung (HM 8142) 2 Multimeter (HM 811) 2 Leisten mit Messwiderständen, Genauigkeit 5 %, Belastbarkeit 5 W, verfügbare Werte: 2 1 Ω, 1.5 Ω, 3.3 Ω, 6.8 Ω, 1 Ω, 22 Ω, 1 Ω, 2 1 kω, 2 1 kω, 1 kω, 2 1 Ω, 2 33 Ω, 2 1 kω, kω, 2 1 kω, 2 33 kω, 2 1 kω 9. Dezember 26, M. Schlup

4 4/6 Ergänzung zu Versuch 2 Berechnung von Widerstandsnetzwerken Problemstellung, einführendes Beispiel Gegeben sei folgende Schaltung: ϕ 1 I 1 R 1 ϕ 2 I 3 R 3 ϕ 3 I U 1 U 3 U q U U 2 R 2 U 4 R 4 Figur Einfaches Widerstandsnetzwerk mit Spannungsquelle ϕ 4 Die Struktur der Schaltung kann als Graph dargestellt werden. Ein Graph besteht aus Zweigen und Knoten, wobei jedes Element der Schaltung einem Zweig entspricht. Die Knoten entsprechen den Punkten, wo zwei oder mehr Zweige zusammenkommen. Jeder Knoten besitzt ein bestimmtes elektrisches Potential. Die Schaltung gemäss der Figur 1 besteht also aus z = 5 Zweigen und k = 4 Knoten. Gegeben sind die Widerstandswerte und die Quellengrössen (hier die Quellenspannung U q ). Zu bestimmen sind 2 z = 1 unbekannte Grössen: die Zweigspannungen U j und die dazugehörenden Zweigstromstärken I j der Schaltung (j,1,, 4). Lösungsstrategie Um 2 z unbekannte Grössen bestimmen zu können, müssen ebenso viele Gleichungen aufgestellt werden. Für eine Schaltung können allgemein z k + 1 linear unabhängige 5 Maschengleichungen (MG), sowie k 1 linear unabhängige Knotengleichungen (KG) aufgestellt werden. Die restlichen z Gleichungen sind U-I-Beziehungen die den Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke für die einzelnen Elemente der Schaltung angeben, wie z. B.: U 1 = R 1 I 1 oder U = U q. Für das Beispiel können also 3 linear unabhängige Kotengleichungen aufgestellt werden. Dabei spielt es keine Rolle für welche Knoten die Gleichungen aufgestellt werden. Für die Knoten ϕ 1, ϕ 2 und ϕ 3 ergeben sich mit den willkürlich gewählten Bezugsrichtungen für die Stromstärken (siehe Figur): I I 1 I 1 I 3 I 3 Es können hier 2 linear unabhängige Maschengleichungen aufgestellt werden. Die einfachste Methode (bei planaren Netzwerken 6 ) besteht darin, Gleichungen für die "kleinsten" geschlossenen Pfade innerhalb der Schaltung aufzustellen. Es ergibt sich: U + U 1 + U 2 U 2 + U 3 + U 4 5 Linear unabhängig bedeutet, dass keine der vorhandenen Gleichungen aus den anderen hergeleitet werden kann, d. h. jede der Gleichungen enthält mindestens eine Information die nicht in den anderen enthalten ist. 6 Netzwerke die sich zeichnen lassen, ohne dass sich Verbindungen (Zweige) überkreuzen. 9. Dezember 26, M. Schlup

5 5/6 Die restlichen Gleichungen lauten: U 1 R 1 I 1 U 2 R 2 U 3 R 3 I 3 U 4 R 4 U = U q Bei allen Gleichungen wurden die unbekannten Spannungs- und Stromwerte auf die linke, die gegebenen auf die rechte Seite des Gleichheitszeichen gelegt. Lösungsbestimmung Das Auflösen der 1 Gleichungen nach den 1 unbekannten Grössen erfolgt an einfachsten numerisch mit einem Programm wie z. B. Matlab. Zuerst muss dafür das Gleichungssystem in Matrixform aufgestellt werden. In den ersten 2 Zeilen sind die MG, in den Zeilen 3 bis 5 die KG und in den Zeilen 6 bis 1 die U- I-Beziehungen dargestellt: R 1 1 R 2 1 R 3 1 R 4 1 U U 1 U 2 U 3 U 4 I I 1 I 3 = U q Die Reihenfolge in der die Gleichungen angegeben werden, spielt aber keine Rolle. Das Gleichungssystem kann formal mit A x = b angegeben werden. Dabei ist A die (quadratische 7 ) Systemmatrix, x der Vektor (Spaltenvektor) der unbekannten Grössen und b der Vektor (Spaltenvektor) der sogenannten Störgrössen. Formal lässt sich die Lösung wie folgt bestimmen: x = A 1 b A 1 ist die Inverse der Matrix A. Diese kann aber nur gebildet werden, wenn A nichtsingulär ist. Dies ist dann der Fall, wenn die Gleichungen voneinander linear unabhängig sind. 7 Mit gleichviel Zeilen wie Spalten. 9. Dezember 26, M. Schlup

6 6/6 Lösung mit Matlab % Berechnung eines Widerstandsnetzwerks (Beispiel) % % 3. Nov. 23, M. Schlup clear all, clc, format compact % Gegebene Werte % Schaltungsmerkmale z=5; % Anzahl Zweige (entspricht der Anzahl Widerstaende und Quellen der Schaltung) n=2*z; % Anzahl unbekannte Grössen % Widerstandswerte R1=4; % Ohm R2=2e3; % Ohm R3=1e3; % Ohm R4=5; % Ohm % Quellenspannung Uq=1; % Volt % Gleichungssystem % Systemmatrix % U U1 U2 U3 U4 I I1 I2 I3 I4 A = [ % MG % MG % KG % KG % KG 3 1 -R1 1 -R2 1 -R3 1 -R4 1 ]; % Störmatrix b=[ Uq]'; % Lösung x=a\b; % Zweigspannungen in V Uz=x(1:z) % Zweigstromstaerken in ma Iz=x(z+1:n)*1e3 % Zweigleistungen in mw Pz=Uz.*Iz 9. Dezember 26, M. Schlup