9 Metrische und normierte Räume

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1 9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik auf X ist eine Abbildung d : X X R, (x, y) d(x, y). Dabei soll gelten: (M1) Für alle u, v X ist d(u, v) = d(v, u) 0 (symmetrisch und positiv) (M2) Es gilt d(u, v) = 0, wenn u = v (M3) Für u, v, w X gilt d(u, w) d(u, v) + d(v, w) (Dreiecksungleichung) Man nennt (X, d) dann einen metrischen Raum. 9.2 Beispiel a) X = R, d(u, v) = u v. Dann gelten (M1), (M2) und (M3) ist die Dreiecksungleichung der Betragsfunktion 1.8. Also ist R mit d(u, v) = u v ein metrischer Raum. { 1, falls u v b) X eine beliebige Menge. Setzte d(u, v) = 0, falls u = v. (M1) und (M2) gelten. Ist u = w d(u, w) = 0 d(u, v) + d(v, w) ( ). Ist u w d(u, w) = 1. Für alle v X gilt entweder v u oder v w, also folgt d(u, v) + d(v, w) 1 = d(u, w). Folglich gilt (M3) und d ist eine Metrik auf X. Man nennt d die diskrete Metrik auf X. c) X = R 2. Für u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ). Setze d(u, v) = u 1 v 1 + u 2 v 2 l 1 -Metrik auf R 2 oder Manhattan-Taxi-Metrik. 69

2 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME (u 1, u 2 ) (v 1, v 2 ) (M1) und (M2) gelten. (M3) gilt. Also ist d eine Metrik auf R 2. d(u, w) = u 1 w 1 + u 2 w 2 = u 1 v 1 + v 1 w 1 + u 2 v 2 + v 2 w 2 u 1 v 1 + v 1 w 1 + u 2 v 2 + v 2 w 2 = d(u, v) + d(v, w) 9.3 Beobachtung Ist (X, d) ein metrischer Raum und A X, dann ist A mit der Metrik d ebenfalls ein metrischer Raum, ein Unterraum. 9.4 Definition Sei (X, d) ein metrischer Raum, sei r > 0 und x X. Dann heißt B r (x) = {v X d(v, x) < r} der offene r-ball um x. In den drei Beispielen: a) B r (x) = (x r, x + r) offenes Intervall ( x ) X r r b) B r (x) = {x}, falls r 1 B r (x) = X, falls r > 1 70 getext: Julia Wolters

3 Vorlesung WS SS 2010 Analysis 1 und 2 Prof. Dr. Linus Kramer c) B r (x) in der Taximetrik: r x r r r 9.5 Definition Sei J N eine unendliche Indexmenge, sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge in X mit Indexmenge J ist eine Abbildung J X, j x j (Folgenglied). Ist K J eine unendliche Teilmenge, dann heißt (x k ) k K Teilfolge der Folge (x j ) j J. Wir sagen, die Folge (x j ) j J konvergiert gegen x X, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es n N, so dass d(x, x j ) ε j J, j n In Beispiel a X = R, d(u, v) = u v liefert das genau den Konvergenzbegriff aus Analysis I für reelle Folgen. 9.6 Lemma Sei (X, d) metrischer Raum, (x j ) j J eine Folge in X. Die Folge konvergiert gegen x X genau dann, wenn gilt: Für jedes r > 0 gibt es ein n N, so dass x j B r (x) für alle j > n. Ebenfalls äquivalent dazu: Für jedes r > 0 liegen fast alle Folgenglieder x j in B r (x). Beweis: Wenn die Folge gegen x konvergiert, dann gibt es zu jedem r > 0 ein n N, so dass d(x j, x) r 2 = ε für alle j n. Es folgt x j B r (x) für alle j n. Ist das Kriterium aus Lemma 9.6 erfüllt, dann gibt es zu jedem ε > 0 ein n N, so dass x j B ε (x) für alle j n d(x j, x) < ε für alle j n. getext: Julia Wolters 71

4 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME 9.7 Lemma (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Eine Folge (x j ) j J x X. in einem metrischen Raum (X, d) konvergiert höchstens gegen ein Beweis: Angenommen, (x j ) j J konvergiert gegen x und gegen y und x y. Setze r = d(x, y) > 0. Dann gilt B r (x) B r (y) = (denn z B r (x) B r (y) d(x, z) < r und d(y, z) < r d(x, y) < r + r = r ). Dann kann aber nicht für fast alle j J gelten, dass x j B r (x) und x j B r (y). 2 2 Der eindeutige Grenzwert einer konvergenten Folge (x j ) j J wird (wie in Analysis I) geschrieben: lim j J x j = x Beispiel a): X = R, d(u, v) = u v. Das ist genau der Konvergenzbegriff aus Analysis I für reelle Folgen. Beispiel b): X mit diskreter Metrik. Konvergente Folgen sind genau die Folgen in X, die ab einem gewissen Index konstant sind. 9.8 Definition (X, d) metrischer Raum (a i ) i I Folge. Dies heißt Cauchy-Folge, falls ε > 0 N N i, j I mit i Nundj N : d(a i, a j ) ε 9.9 Satz (X, d) metrischer Raum. Dann ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge. Beweis: Sei (a i ) i I konvergent gegen x X. Sei ε > 0. Wichtig, da (a i ) konvergent, gilt ein N N, so dass i I mit i N und j N, so dass i I mit i N gilt: d(a, x) ε. 2 Seien i, j I mit i N und j N d(a i, a j ) d(a i, X) + d(a j, X) ε + ε = ε Definition Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in X konvergiert. 72 getext: Julia Wolters

5 Vorlesung WS SS 2010 Analysis 1 und 2 Prof. Dr. Linus Kramer Beispiel: a) X = R, d(x, y) = x y ist vollständig, vgl. 3.2 a ) X = Q, d(x, y) = x y ist nicht vollständig, denn es gilt Folgen (a i ) rationaler Zahlen die (in R) gegen 2 konvergieren. b) Diskrete Räume sind vollständig. Falls (a i ) Cauchy-Folge in X, gilt für ε > 1 : N N, 2 so dass i, j I mit i N und j N: d(a, a j ) ε d(a 2 i, a j ) = 0, also a i = a j. c) R 2 mit Mannhattan Matrix ist vollständig. Achtung: (X, d) vollständig. Y X Unterraum nicht notwendig vollständig Definition (X, d) metrischer Räume. Eine Teilmenge A X heißt abgeschlossen in X, falls für jede Folge in A, die in X konvergiert, der Grenzwert in A liegt. Beispiel: i), X sind immer abgeschlossen ii) u, v R, u < v, A = [u, v] ist abgeschlossen. Dann (a i ) in A i I gilt u a v. Insbesondere gilt für x := lim a, u x v (vgl. Ana I) x A. iii) A = (0, 1) = {x R 0 < x < 1} nicht abgeschlsosen, dann setzte a i = 1 2, I = N. Dann gilt lim a = 0 / A Satz (X, d) metrischer Raum i) Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. ii) Beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossene. Beweis: getext: Julia Wolters 73

6 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME i) Zunächst: A, B X abgeschlossen. ZZ A B abgeschlossen. Sei (x i ) i I Folge in A B mit Grenzwert x X i. ZZ/, x A B I 1 := {i I x i A} und I 2 := {i I x i B} mit I = I 1 I 2. I unendlich I 1 unendlich oder I 2 unendlich. OE I 1 unendlich. (a i ) i I. Teilfolge liegt in A x = lim a i A. i I1 Allgemein per Induktion: A 1, A 2,..., A n abgeschlossen, A := A 1 A 2... A n. Zeige A abschlossen. Induktion nach n: IA: n = 1 IS: n n + 1: A = A 1 A 2... A }{{ n A } n+1 abgeschlossen (s.o.). abg. nach IV ii) Sei A eine Menge abgeschlossener Teilmengen von X. B = x A A = {x X A A : x A}. ZZB abgeschlossen. Sei (b j ) j J Folge in B mit Grenzwert x X. ZZx B Sei A A beliebig b j A, für alle j J. Da A abgeschlossen x A. Also x A für jedes A A x B. Bemerkung: Satz 9.12 falsch für beliebige Vereinigungen. Beispiel: Für n N sei A n := [ 1, 1 ] 1 n n, n 2. A2 = { } 1 2, A3 = [ 1, 2 3 3],.... A = A n = (0, 1) nicht abgeschlossen. n Satz Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum A X ist abgeschlossen A ist als Teilmenge vollständig. 1 Beweis: Angenommen, A X ist abgeschlossen. Sei (a j ) j J eine Cauchy-Folge in A. Weil X vollständig ist, hat diese Folge einen Grenzwert x = lima j X. Da A abgeschlossen in j J X ist, folgt x A. Sei nun A vollständig als metrischer Raum. Sei (a j ) j J Folge in A mit Grenzwert x X. Da (a j ) j J eine konvergente Folge in X ist, ist sie eine Cauchy-Folge. Da A vollständig ist, hat diese Folge ihren Grenzwert in A, dh. x A. Also ist A abgeschlossen in X. Achtung: Beispiel: X = (0, 1) R, d(u, v) = u v A = ( 0, 2] 1 X. Die Teilmenge A ist abgeschlossen in X (aber nicht in R!). Aber: A ist nicht vollständig. a n = 1, n 1 ist Cauchy-Folge in A, hat aber keinen 2 Grenzwert in A. Das ist KEIN Widerspruch zu Satz 9.13! Denn X ist selber gar nicht vollständig. 1 Umformulierung: Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum. Eine Teilmenge A X ist genau dann vollständig, wenn sie abgeschlossen ist in X. 74 getext: Julia Wolters

7 Vorlesung WS SS 2010 Analysis 1 und 2 Prof. Dr. Linus Kramer Vollständigkeit ist eine innere Eigenschaft von metrischen Räumen. Abgeschlossenheit ist eine Eigenschaft von Teilmengen eines metrischen Raumes, man muss dazu sagen: abgeschlossen in folgenden Raum Definition Sei V ein reeller Vektorraum (beliebiger, evt. unendlicher Dimension). Eine Norm auf V ist eine Abbildung : V R, v v. Dann soll folgendes gelten: (N1) v 0 für alle v V. v = 0 v = 0 (Nullvektor). (N2) Für alle v V, r R gilt v r = v r. Insbesondere gilt v = v. (N3) Für alle u, v V ist u + v u + v (Dreiecksungleichung) Das Paar (V, ) heißt normierter (Vektor)Raum. Beispiele a) V = R n, v = (v 1,..., v n ) R n, v 1 = n v k. Sogenannte l 1 -Norm auf R n. k=1 b) V = R n, v = = max { v 1,..., v n } ebenfalls Norm. Sogenannte l -Norm oder Supremumsnorm Satz Sei (V, ) ein normierter Vektorraum. Setze d(u, v) = u v. Das ist eine Metrik auf V. Beweis: (M1) u v = v u 0, also gilt (M1). (M2) u v = 0 u = v, also gilt (M2). (M3) u w = u v + v w u v + v + w, also gilt (M3). Jeder normierte Vektorraum ist also ein metrischer Raum und wir können nun über Konvergenz, Abgeschlossen, Cauchy-Folgen usw. in normierten Räumen sprechen. getext: Julia Wolters 75

8 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME 9.16 Definition Ein normierter Vektorraum, der vollständig ist, heißt Banachraum 2. Beispiel: R n mit der l 1 -Norm oder l -Norm ist ein Banachraum. Beweis: Sei (v j ) j J eine Folge von Vektoren, die Cauchy-Folge ist. v k = (v 1,j, v 2,j,..., v n,j ). Es gilt (für beide Normen) v k,l v k,m v l v m v l v m 1 Folglich ist die reelle Folge (v k,j ) j J eine Cauchy-Folge in R. Sei u k R ihr Grenzwert, sei u = (u 1,..., u n ). Beh: Die Folge der (v j ) j J konvergiert gegen u. Es sei ε > 0 gegeben. Wähle n 0 N so, dass v k,j u k ε für alle k = 1,..., n und alle n j n 0. Es folgt v j u 1 ε + ε ε = ε für j n n n n 0, v j u v j u 1 ε für j n 0. Damit sind (R n, 1 ) und (R n, ) Banachräume. 3 Beispiele: [a, b] R B([a, b], R) = {f : [a, b] R f beschränkt}. Setze f = sup { f(x) x [a, b]} Supremumsnorm, vlg Analysis I. Das ist eine Norm und (B([a, b], R), ) ist vollständig, vlg. Analysis I. R([a, b], R) = {f : [a, b] R f Regelfunktion}. Nach Satz 5.11 ist (R([a, b], R), ) vollständig. C([a, b], R) = {f : [a, b] R f stetig} ist ebenfalls vollständig, vlg Kapitel 4 Übungsaufgabe Fazit: (B([a, b], R), ), (R([a, b], R), ) und (C([a, b], R), ) sind Banachräume Definition Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung h : V V R, (u, v) h(u, v) heißt bilinear, falls für alle u, v, w V, r R gilt: h(u + v, w) = h(u, w) + h(v, w), h(u, v + w) = h(u, v) + h(u, w) h(u r, v) = h(u, v r) = h(u, v) r 3 Später: R n ist bzgl. jeder Norm vollständig. 76 getext: Julia Wolters

9 Vorlesung WS SS 2010 Analysis 1 und 2 Prof. Dr. Linus Kramer h ist Bilinearform. Falls h(u, v) = h(v, u) für alle u, v, so heißt h symmetrische Bilinearform. Falls weiter gilt: h(u, u) 0 für alle u V und h(u, u) = 0 u = 0, dann heißt h inneres Produkt oder Skalarprodukt. Beispiel: V = R n, A = (a i,j ) n i,j 1, n n-matrix, Bilinearform ist genau dann symmetrisch, wenn die Matrix A symmetrisch ist, a ij = a ji für alle i, j, d.h. wenn A T = A. 1 0 Beispiel: Die Einheitsmatrix =... = A 0 1 n u i a ij v j = n u i v i Standardskalarprodukt auf R n i,j=1 h(u, u) = n u 2 i 0, n u 2 i = 0 genau dann, wenn alle u i = 0. Skalarprodukt Definition und Satz Sei V ein reeller Vektorraum, sei h ein inneres Produkt / Skalarprodukt. Setze u = h(u, u). Behauptung: Das ist eine Norm auf V. Das Paar (V, h) heißt Prä-Hilbert-Raum 4 Warum ist das eine Norm? u 0 und u = 0 genau dann, wenn u = 0. ( ) u r = h(u r, u r) = h(u, u)r 2 = h(u, u) r = u r. ( ) Fehlt noch die Dreieckungleichung. Dazu benötige wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung Satz (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) Sei h ein inneres Produkt auf V. Dann gilt für alle u, v V h(u, v) h(u, u) h(v, v) Beweis, dass u = h(u, u) die Dreiecksungleichung erfüllt u + v 2 = h(u + v, u + v) = u 2 + v 2 + 2h(u, v) Cauchy Schwarz Ungleichung u 2 + v u v = ( u + v ) 2 u + v u + v getext: Julia Wolters 77

10 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME Beispiel R n, h(u, v) = n u i v i (Standard-Skalarprodukt) Die zugehörige Norm ist eine l 2 -Norm, die euklidsche Norm u 2 = n Man nennt (R n, 2 ) einen (den) euklidschen Vektorraum. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für den R n besagt ( n ) 2 ( n u i v i Klassische Formulierung: Es gilt im R n u 2 i u 2 i ) ( n v 2 i ) u 1 u 2 u 1 n u 1 Folgerung: Alle drei Normen liefern den selben Begriff von Konvergenz, Abgeschlossenheit, Cauchy-Folgen, etc. Insbesondere ist der R n bzgl. aller drei Normen vollständig Definition Ein Vektorraum mit innerem Produkt, der vollständig ist in der zugehörigen Norm heißt Hilbert-Raum. Beispiel: R n ist Hilbert-Raum mit dem Standard-Skalarprodukt. Hilbert-Räume sind also spezielle Banach-Räume. Beispiel: (R n, 1 ) Banach-Raum, aber kein Hilbert-Raum (es gibt keine Bilinearform zur 1 -Norm) 9.21 Beispiel (Der Hilbert-Raum l 2 (R)) l 2 (R) ist die Menge aller reellen Folgen (a n ) n N, a n R mit der Eigenschaft n a 2 n < i=0 78 getext: Julia Wolters

11 Vorlesung WS SS 2010 Analysis 1 und 2 Prof. Dr. Linus Kramer Satz: l 2 (R) ist ein Hilbert-Raum mit innerem Produkt h(a, b) = a i b i mit a i = (a i ) i N, b = (b i ) i N. Beispiel: l 2 (R), Folgen (a n ) R, h(a, b) = n=0 a n b n. Wir hatten gezeigt, l 2 (R) ist ein Vektorraum. Bleibt zu zeige l 2 (R) ist vollständig. Angenommen (a j ) j J ist eine Cauchy-Folge in l 2 (R). Jedoch ist eine reelle Folge (a k,j ) k N. Für jedes k N gilt (a k,l a 2 k,m a l a m 2 2) Folglich ist für jedes k N die Folge (a k,j ) j J eine Cauchy-Folge. Sei also b k = lim j J a k,j. Sei ε > 0 geben, sei n 0 N, so dass Grenzumgebung n k=0 a l a n 2 2 ε 2 l, m n 0 a k,l a n,m 2 < ε l, m n 0 n b k a n,m 2 ε l, m n 0 k=0 dabei ist n beliebig. Nun lassen wir n laufen. Es folgt b k a k,m 2 ε m n 0 k=0 Insbesondere ist also b = (b k ) k N l 2 (R) und die Folge (a j ) j J konvergent gegen b Bemerkung Nicht jede Norm kommt von einem inneren Produkt. Das kann man so sehen: u 2 = h(u, u), so folgt: h(u + v, u + v) = h(u, u) + h(v, v) +2h(u, v) }{{}}{{}}{{} u+v 2 u 2 v 2 = h(u, v) = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ) d.h. aus der Norm kann man h gewinnen. Aber wenn man rechts zum Beispiel die l 1 -Norm auf R 2 einsetzt, so ist die linke Seite keine Bilinearform. getext: Julia Wolters 79

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