Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

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1 Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N A, n a n. Folgen mit Werten in A K nennen wir Zahlenfolgen. Definition V.1. (i) Eine Zahlenfolge (a n ) n=1 KN heißt konvergent : a K ε > 0 n 0 N n n 0 : a n a ε. (V.1) In diesem Fall heißt a Grenzwert oder Limes von (a n ) n=1, und wir schreiben statt (V.1) auch abkürzend a n a, n, (V.2) oder lim {a n} = a. (V.3) (ii) Eine Zahlenfolge (a n ) n=1 KN heißt divergent : (a n ) n=1 ist nicht konvergent. (V.4) (iii) Enthält eine Zahlenfolge (a n ) n=1 KN eine konvergente Teilfolge (a nk ) k=1, so heißt deren Grenzwert lim k {a nk } Häufungswert von (a n ) n=1. Bemerkungen und Beispiele. Wir bemerken, dass der Limes einer konvergenten Folge eindeutig ist. Ist nämlich a n a und a n a, n, (V.5) 41

2 V.1. KONVERGENZ VON ZAHLENFOLGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ so gibt es für jedes ε > 0 zwei Indizes n 0,n 0 N, so dass n n 0 : a n a ε, (V.6) n n 0 : a n a ε. (V.7) Für n max{n 0,n 0} ist demnach a a a n a + a n a 2ε. (V.8) Weil ε > 0 beliebig klein gewählt werden kann, folgt daraus a = a. (V.9) Seien K = R und a n := 1/n. Dann konvergiert a n 0, für n. Seien K = R und a n := ( 1) n + 1 n. Dann ist (a n) n=1 divergent und hat die Häufungswerte { 1,1}. Seien K = C und a n := α+ 1 n +iβ i n. Dann konvergiert a n α+iβ, für n. Seien K = C und a n := cos(n)+i sin(n). Dann ist (a n ) n=1 divergent. Jedekonvergente Zahlenfolge(a n ) n=1 in Kistauchbeschränkt. Genauer gesagt,istdann die Menge {a n } n=1 K der Folgeglieder beschränkt, d.h. R < n N : a n R. (V.10) Ist nämlich a := lim a n, so können wir ε := 1 in (V.1) wählen und erhalten ein n 0 N, sodass n n 0 : a n a + a n a a +1. (V.11) Also gilt (V.10) mit R := max { a 1, a 2,..., a n0 1, a +1 } <. (V.12) Die Konvergenz von komplexen Folgen ist gleichbedeutend mit der Konvergenz ihres Realund Imaginärteils, (z n ) n=1 CN ist konvergent (V.13) (Re{z n }) n=1 RN und (Im{z n }) n=1 RN sind beide konvergent. Ist nämlich z n z = Re{z n z} 2 +Im{z n z} 2 ε, so sind auch Re{z n z} ε und Im{z n z} ε. Sind umgekehrt Re{z n z} ε und Im{z n z} ε, so ist z n z 2ε. 42

3 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.1. KONVERGENZ VON ZAHLENFOLGEN Satz V.2. Seien α K und (a n ) n=1,(b n ) n=1 K N zwei konvergente Zahlenfolgen. Dann sind auch (a n ±b n ) n=1, (αa n) n=1 und (a n b n ) n=1 konvergent, und es gelten Dann sind auch (a n +b n ) n=1 und (αa n) n=1 a := lim {a n }, b := lim {b n }. konvergent, und es gelten (V.14) lim {a n ±b n } = lim{a n } ± lim{b n }, lim {αa n} = α lim{a n }, lim {a n b n } = lim{a n } lim{b n }. b n (V.15) (V.16) (V.17) Sind außerdem b n 0, n N und b 0, so ist auch (a n /b n ) n=1 konvergent, und es gilt { } an lim = lim {a n } lim {b n }. (V.18) Beweis. Wir zeigen nur (V.15) für die Summenfolge (a n +b n ) n=1 und (V.16). Wir setzen a := lim {a n } und b := lim {b n }. Sei ε > 0. Dann ist auch ε/(2+ α ) > 0. Weil (a n ) n=1 konvergent ist, gibt es n 0 N, sodass n n 0 : a n a und weil (b n ) n=1 konvergent ist, gibt es n 0 N, sodass Setzen wir nun ε 2+ α, (V.19) n n 0 : b n b ε 2. (V.20) dann gilt für alle n n 0, dass n 0 := max{n 0,n 0 }, (V.21) und (a n +b n ) (a+b) = (a n a)+(b n b) a n a + b n b αa n αa = α a n a α ε 2+ α ε 2+ α + ε 2 ε ε. (V.22) (V.23) Bemerkungen und Beispiele. Mit Hilfe von Satz V.2 können wir viele Folgen sehr effizient auf Konvergenz untersuchen. Setzen wir beispielsweise a n := 3+4n2 2n 4 n 4 +n 43 = 3n 4 +4n n 3, (V.24)

4 V.2. REELLE FOLGEN UND MONOTONIE KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ so erhalten wir lim {a n} = lim {3n 4 +4n 2 2} lim {1+n 3 } = 2 1 = 3 lim {n 4 }+4 lim {n 2 } 2 1+lim {n 3 } = 2. (V.25) V.2 Reelle Folgen und Monotonie Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, dass der Konvergenzbegriff in C auf den in R zurückgeführt werden kann. Aus der Ordnungsstruktur in R erhalten wir allerdings noch weitere Aussagen, die keine Entsprechung in C haben. Definition V.3. Eine reelle Zahlenfolge (a n ) n=1 RN monoton steigend streng monoton steigend heißt monoton fallend streng monoton fallend : n N : a n a n+1, a n < a n+1, a n a n+1, a n > a n+1. (V.26) Satz V.4. Sei (a n ) n=1 eine Folge in R. (i) (ii) Ist (a n ) n=1 nach oben beschränkt und monoton steigend, so ist (a n ) n=1konvergent. Ist (a n ) n=1 nach unten beschränkt und monoton fallend, so ist (a n ) n=1 konvergent. (V.27) (V.28) Beweis. Offensichtlich sind (i) und (ii) äquivalent, wie man aus Ersetzung von a n durch a n ersieht. Wir zeigen nur (i). Die Menge A := {a 1,a 2,a 3,...,} ist nach oben beschränkt, und wir setzen a := supa. (V.29) Sei nun ε > 0. Weil a das Supremum von A ist, gibt es nach Lemma III.9 ein a n0 A, so dass a n0 a a n0 +ε. (V.30) Da (a n ) n N monoton wachsend ist, gilt a n0 a n für n n 0, und daher n n 0 : 0 a a n a a n0 ε. (V.31) Also ist (a n ) n=1 konvergent und lim {a n } = a. Sei (a n ) n=1 [ R,R]N eine nach oben und unten durch ±R, 0 < R < beschränkte Folge. Setzen wir A m := {a m,a m+1,a m+2,...}, (V.32) 44

5 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.2. REELLE FOLGEN UND MONOTONIE so gilt [ R,R] A 1 A 2 A 3... (V.33) Setzen wir weiter, für m N, so gilt b m := infa m und c m := supa m, (V.34) m N : R b m c m R. (V.35) Außerdem impliziert (V.32)-(V.33), dass b m = infa m = min { a m, infa m+1 } infam+1 = b m+1, (V.36) c m = supa m = max { a m, supa m+1 } supam+1 = c m+1. (V.37) Also sind beide Folgen, (b m ) m=1 und (c m) m=1, beschränkt und monoton und daher auch konvergent in R. Definition V.5. Sei (a n ) n=1 eine Folge in R. (i.a) Ist (a n ) n=1 nicht nach oben beschränkt, dann setzen wir lim sup{a n} := lim{a n } :=. (V.38) (Dabei ist nur als Symbol zu verstehen., R.) (i.b) Ist (a n ) n=1 nach oben beschränkt, und ist (c m ) m=1, mit c m := sup{a m,a m+1,...}, nicht nach unten beschränkt, so setzen wir lim sup{a n } :=. (V.39) (i.c) Ist (a n ) n=1 nach oben beschränkt, und ist (c m ) m=1, mit c m := sup{a m,a m+1,...}, nach unten beschränkt, so setzen wir lim sup{a n } := lim {c { m} = lim sup{an n m} }. (V.40) m m (ii) lim inf {a n} := lim {a n } := limsup{ a n }. (V.41) limsup {a n } heißt Limes superior von (a n ) n=1, liminf {a n } heißt Limes inferior von (a n ) n=1. 45

6 V.2. REELLE FOLGEN UND MONOTONIE KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ Bemerkungen und Beispiele. Sei a n := n für n N. Dann ist (a n ) n=1 nicht nach oben beschränkt, und es gilt (i.a), also limsup {a n } =. Sei a n := n für n N. Dann ist (a n ) n=1 nach oben beschränkt. Weiterhin ist c m = sup ( { m, m 1, m 2,...} ) = m, deshalb ist (c m ) n=1 nicht nach unten beschränkt, und es gilt (i.b), also limsup {a n } =. Sei a n := ( 1) n( 1 + n) 1. Wegen 2 an 2 ist dann (a n ) n=1 beschränkt, und es gilt (i.c). Weiterhin ist { ( 2k ) ( 2k +1 ) ( 2k +2 ) ( 2k +3 ) } 2k +1 c 2k 1 = sup, +,, +,... = 2k 1 2k 2k +1 2k +2 2k, (V.42) { 2k +1 c 2k = sup 2k, 2k 2 2k +1, 2k +2 } 2k +1,... also c m 1, für m, und limsup {a n } = 1. = 2k +1 2k, Genauso sieht man, dass liminf {a n } = 1 für a n := ( 1) n( 1+ 1 n). Wir beobachten, dass 1 und 1 Häufungswerte der Folge (a n ) n=1 sind. Sei (a n ) n=1 eine Abzählung von Q (0,1). Dann sind liminf {a n } = 0 und limsup {a n } = 1. Satz V.6. Sei (a n ) n=1 RN eine Folge in R. (i) Folgende Charakterisierungen sind gleichwertig: { } lim sup{a n } =: ā R existiert { ε > 0 n 0 N m n 0 : a m ā+ε und } ε > 0 (n j ) j=1 NN, n j < n j+1 j N : a nj ā ε (V.43) (V.44) { } (a n ) n=1 ist nach oben beschränkt und a ist ihr größter Häufungswert. (V.45) (ii) Folgende Charakterisierungen sind gleichwertig: { } lim inf n} =: a R existiert { ε > 0 n 0 N m n 0 : a m a ε und } ε > 0 (n j ) j=1 N N, n j < n j+1 j N : a nj a+ε (V.46) (V.47) {(a n ) n=1 ist nach unten beschränkt und a ist ihr kleinster Häufungswert }. (V.48) 46

7 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.3. CAUCHY-FOLGEN Korollar V.7. Ist (a n ) n=1 R N eine reelle Zahlenfolge, so gilt ] [ ] [(a n ) n=1 ist konvergent in R lim sup{a n } = liminf {a n} R, (V.49) und in diesem Fall gilt weiterhin lim sup{a n } = liminf {a n} = lim{a n }. (V.50) Beweis. : Ist (a n ) n=1 konvergent mit Limes a := lim {a n }, so ist (a n ) n=1 nach (V.10) auch beschränkt. Außerdem ist auch jede Teilfolge (a nj ) j=1 konvergent, und zwar mit gleichem Grenzwert, lim j {a nj } = a. D.h. jedoch, dass jeder Häufungswert gleich a sein muss und nach (V.45) und (V.48) insbesondere limsup {a n } = a = liminf {a n } gilt. : Sind (a n ) n=1 beschränkt und a := limsup {a n } = liminf {a n } R sowie ε > 0, so gibt es nach (V.44) und (V.47) natürliche Zahlen n 0,n 0 N so, dass n n 0 : a n a+ε, (V.51) n n 0 : a n a ε. (V.52) Für n max{n 0,n 0} ist dann also ε a n a ε, und lim {a n } = a. V.3 Cauchy-Folgen Definition V.8. Eine Zahlenfolge (a n ) n=1 K N heißt Cauchy-Folge : ε > 0 n 0 N m,n n 0 : a m a n ε. (V.53) Cauchy-Folgen spielen in der Analysis eine große Rolle, weil man mit ihrer Hilfe den Konvergenzbegriff einführen kann, ohne expliziten Bezug auf den Grenzwert zu nehmen. Lemma V.9. Ist (a n ) n=1 KN eine konvergente Zahlenfolge, so ist sie auch eine Cauchy- Folge. Beweis. Seien ε > 0 und a := lim {a n }. Dann gibt es ein n 0 N, so dass n n 0 : a n a ε/2. (V.54) Also ist m,n n 0 : a m a n a m a + a n a ε. (V.55) Satz V.10 (Cauchy-Kriterium). Ist (a n ) n=1 RN eine Cauchy-Folge, so ist sie auch konvergent. 47

8 V.3. CAUCHY-FOLGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ Beweis. Sei (a n ) n=1 R N eine reelle Cauchy-Folge. Wählen wir ε := 1, dann gibt es nach (V.53) ein n 0 N, so dass (mit m := n 0 ) Also ist und daher n n 0 : a n a n0 1. n n 0 : a n a n0 + a n a n0 a n0 + 1, n N : a n 1 + max { a 1, a 2,..., a n0 }, d.h. (a n ) n=1 ist nach oben und nach unten beschränkt. Nach Definition V.5 sind deshalb ā := limsup{a n }, a := liminf {a n} R, (V.56) (V.57) (V.58) (V.59) und es genügt zu zeigen, dass ā = a. Sei dazu ε > 0 gewählt. Weil (a n ) n=1 eine Cauchy-Folge ist, gibt es ein n 0 N, so dass was impliziert. Daher gilt auch, n n 0 : a n a n0 ε, n n 0 : a n0 ε a n a n0 +ε a n0 ε inf n n 0 {a n } =: b n0 c n0 := sup n n 0 {a n } a n0 +ε. Aus (V.62) und der Tatsache, dass b m monoton steigt und c m monoton sinkt, erhalten wir und also a n0 ε b n0 lim {b m } = a ā = lim {c m } c n0 a n0 +ε, (V.60) (V.61) (V.62) (V.63) (V.64) 0 ā a ( a n0 +ε ) ( a n0 ε ) = 2ε. (V.65) Da ε > 0 beliebig klein gewählt werden kann, folgt daraus, dass a = ā, was nach Korollar V.7 die Konvergenz von (a n ) n=1 zur Konsequenz hat. (V.66) Ist (z n ) n=1 C N eine komplexe Cauchy-Folge mit Re{z n } =: a n und Im{z n } =: b n, so sind (a n ) n=1,(b n) n=1 RN wegen a m a n z m z n und b m b n z m z n (V.67) zwei reelle Cauchy-Folgen, die nach dem ersten Beweisteil damit auch beide konvergent sind, was nach (V.13) die Konvergenz der komplexen Zahlenfolge (z n ) n=1 nach sich zieht. 48

9 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4. ERGÄNZUNGEN V.4 Ergänzungen V.4.1 Vertauschung von Limiten mit Produkt und Quotient Beweis. (Fortsetzung des Beweises von Satz V.2) Als konvergente Folgen sind (a n ) n=1 und (b n ) n=1 beschränkt. Es gibt also ein R <, so dass max { sup n a n, sup b n, a, b } R. (V.68) n Sei ε > 0. Dann gibt es n 0,n 0 N, so dass n n 0 : a n a ε 2R, n n 0 : b n b ε 2R. (V.69) (V.70) Setzen wir n 0 := max{n 0,n 0 }, dann gilt, für alle n n 0 a n b n ab = a n b n ab n +ab n ab a n a b n + a b n b ε 2R R+R ε 2R = ε. (V.71) Also ist lim {a n b n } = ab. Für den Beweis von (V.18) zeigen wir zunächst, dass die Folge ( 1 b n ) n=1 beschränkt ist. Dazu setzen wir ε := b. Aus der Konvergenz von (b 2 n) n=1 folgt dann die Existenz von ñ 0 N, so dass Damit ist aber Also ist { 1 max b,sup n n ñ 0 : b n b ε = b 2. (V.72) n ñ 0 : b n = b+b n b b b n b b 2. (V.73) 1 } b n R := 2 b { 1 } + max 1 k ñ 0 b k <. (V.74) Für ε > 0 impliziert wiederum die Konvergenz von (b n ) n=1 die Existenz von n 0 N, so dass n n 0 : b b n ε R 2. (V.75) Somit ist dann n n 0 : 1 b 1 b = b b n b b n R 2 ε R 2 = ε. (V.76) Also konvergiert ( 1 b n ) n=1 in K gegen 1. Die Behauptung (V.18) folgt nun aus (V.17). b 49

10 V.4. ERGÄNZUNGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4.2 Limes Superior/Inferior als größter/kleinster Häufungswert Beweis. (Beweis von Satz V.6) Aussagen (i) und (ii) sind offenbar wieder äquivalent, und wir zeigen nur (i). Dazu zeigen wir (V.43) (V.44) (V.45) (V.43). (V.77) (V.43) (V.44): Sei limsup {a n } = ā R, und sei ε > 0. Nehmen wir an, es gäbe unendlich viele a n ā + ε, also eine Teilfolge (a nj ) j=1 mit a nj ā + ε. Wegen n j, für j, gibt es zu jedem m N ein n j m und deshalb ist also m N : sup{a n } a nj ā+ε, (V.78) n m lim sup {a n } ā+ε = limsup{a n }+ε. (V.79) Widerspruch. Daraus folgt die Existenz eines n 0 N, so dass n n 0 : a n ā+ε. (V.80) Gäbe es nur endlich viele n N mit a n ā ε, so müsste es n 0 N geben, so dass n 0 n 0 : a n ā ε. (V.81) Dann wäre aber lim sup {a n } sup{a n } ā ε = limsup{a n } ε. (V.82) n n 0 Widerspruch. Daraus folgt die Existenz einer Teilfolge (a nj ) j=1 mit a nj ā ε, für alle j N. (V.44) (V.45): Seien ε > 0 und n 0 N und (a nj ) j=1 so, dass Dann gilt ( ) ( ) m n 0 : a m ā+ε j N : a nj ā ε. (V.83) j N, n j n 0 : a nj ā ε, (V.84) und ā ist ein Häufungswert von (a n ) n=1. Außerdem ist (a n ) n=1 nach (V.83) offensichtlich nach oben beschränkt. Ist nun b > ā, so wählen wir ε := b ā 3 > 0. Nach (V.44) gibt es ein n 0 N, so dass m n 0 : a m ā+ε = b 2ε. (V.85) Also kann b kein Häufungswert von (a n ) n=1 sein. Somit ist ā der größte Häufungswert von (a n ) n=1. 50

11 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4. ERGÄNZUNGEN (V.45) (V.43): Seien (a n ) n=1 eine nach oben beschränkte Folge und ā ihr größter Häufungswert. Weil (a n ) n=1 nach oben beschränkt ist, ist limsup {a n } <. Ist andererseits ε > 0, so gibt es eine Teilfolge (a nj ) j=1 mit a n j ā ε, für alle j N. Dann ist und mit ε 0 folgt ( lim sup{a n } = lim sup {a m } ) lim m n ( sup j N:n j n {a nj } ) ā ε, (V.86) ā limsup{a n } <. (V.87) Sei nun c n := sup m n {a m }. Dann ist c n monoton fallend und limsup {a n } = lim {c n }. Weiterhin gibt es zu jedem n N einen Index m(n) n, so dass c n 1 n a m(n) c n, (V.88) nach Definition des Supremums. O.B.d.A. können wir m(n) < m(n+1) annehmen und erhalten eine konvergente Teilfolge (a m(n) ) n=1 mit lim {a m(n)} = lim{c n } = limsup{a n }. (V.89) Also ist limsup {a n } ein Häufungswert von (a n ) n=1. Weil ā der größte Häufungswert ist, folgt lim sup{a n } = ā. (V.90) 51

12 V.4. ERGÄNZUNGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4.3 Konstruktion der Reellen Zahlen In diesem Kapitel wollen wir die Konstruktion der reellen Zahlen vorstellen. Dabei kann man verschiedene Wege beschreiten - etwa den über die Dedekindschen Schnitte. Wir wählen jedoch einen andere Weg, der in die Funktionalanalysis weist: Wir führen die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen ein - ganz analog zur Vervollständigung normierter Vektorräume. Äquivalenz Rationaler Cauchy-Folgen Definition V.11. Sei } R := {(a n ) n=1 QN k N n0 N m,n n 0 : a m a n 10 k (V.91) die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen. Wir definieren eine Relation : R R {w,f} durch (a n ) n=1 (b n) n=1 : k N n 0 N m,n n 0 : a m b n 10 k. (V.92) Gilt (V.91), so heißen a := (a n ) n=1 und b := (b n) n=1 äquivalent. Lemma V.12. : R R {w,f} ist eine Äquivalenzrelation. Beweis. Seien a := (a n ) n=1, b := (b n ) n=1, c := (c n ) n=1 R. Reflexivität: a a ist gleichwertig mit a R. Symmetrie: Offensichtlich ist a b gleichwertig mit b a. Transitivität: Sei k N, und gelten a b und b c. Dann gibt es n 0,n 0 N, so dass Mit n 0 := max(n 0,n 0) ist damit m,n n 0 : a m b n 10 k 1, (V.93) n,l n 0 : b n c l 10 k 1. (V.94) m,l n 0 : a m c l a m b m + b m c l 10 k k 1 10 k. (V.95) und daher gilt auch a c. Bemerkungen und Beispiele. Somit zerfällt R in disjunkte Äquivalenzklassen, die wir als reelle Zahlen bezeichnen, R := R/. (V.96) Ist a R, so bezeichnen wir die zugehörige Äquivalenzklasse mit [a]. Die rationalen Zahlen sind in folgender Weise in R eingebettet: Zu q Q betrachten wir die konstante Folge (q,q,q,...) = (q) n=1. Offenbar ist (q) n=1 R, und wir identifizieren q Q mit der Äquivalenzklasse [(q) n=1 ] R. 52

13 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4. ERGÄNZUNGEN Wir schreiben insbesondere [0] := [(0) n=1]. Lemma V.13. Sei a = (a n ) n=1 R und [a] [0]. Dann gilt entweder [a] > [0] : L,n 0 N n n 0 : a n 10 L, oder [a] < [0] : L,n 0 N n n 0 : a n 10 L. Beweis. Da [a] [0], ist (a n ) n=1 (0) n=1, und es gilt L N N 0 N ñ N 0 : añ 0 = añ 10 L+1. Wählen wir nun k := L+1, so ergibt sich aus der Tatsache, dass a R, n 0 N m,n n 0 : a m a n 10 L. Jetzt wählen wir N 0 := n 0 in (V.99) und erhalten ñ n 0 : añ 10 L+1. Wir setzen dann n := ñ in (V.100) und sehen, dass m n 0 : a m añ a m añ 10 L+1 10 L = 9 10 L. Ist a n0 > 0, so ist a n0 = a n0 und nach (V.99) gilt für alle m n 0 : a m = a n0 + a m a n0 = a n0 + a m a n0 = a n0 a m a n L 10 L = 8 10 L 10 L. Ist umgekehrt a n0 < 0, so ist a n0 = a n0, und analog folgt m n 0 : a m 10 L. (V.97) (V.98) (V.99) (V.100) (V.101) (V.102) (V.103) (V.104) Lemma V.14. Seien a := (a n ) n=1, b := (b n) n=1 R. Dann gilt ( ) a b ( a b 0 ), wobei a b := (a n b n ) n=1. Beweis. : Ist a b, so gilt insbesondere also auch k N n 0 N n n 0 : a n b n 10 k, k N n 0 N m,n n 0 : (a n b n ) 0 10 k, (V.105) (V.106) (V.107) wobei 0 das m. Element der Folge 0 ist. Mit anderen Worten: (a b) 0. = : Ist umgekehrt (a b) 0, so gilt (V.106). Weiterhin ist (a n ) n=1 R, und daher gibt es n 0 N, so dass m,n n 0 : a m a n 10 k. (V.108) Für m,n max(n 0,n 0) erhalten wir somit d.h. a b. a m b n a m a n + a n b n 2 10 k, (V.109) 53

14 V.4. ERGÄNZUNGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ Die Grundrechenarten Definition V.15. Seien a = (a n ) n=1, b = (b n) n=1 R. Wir definieren a±b := (a n ±b n ) n=1, a b := (a n b n ) n=1, (V.110) (V.111) und, für b 0, wobei sgn : Q { 1,1}, 1 b := ( 1 b n +sgn(b n ) 10 n ), (V.112) n=1 sgn(q) := { 1, falls q 0, 1, falls q < 0. (V.113) Lemma V.16. Seien a = (a n ) n=1, b = (b n) n=1 b 0 ist auch 1 R. b R. Dann sind a ± b, a b R, und für Beweis. Da a,b R, gibt es zu k N zwei Zahlen n 0,n 0 N, sodass somit gilt für alle m,n max(n 0,n 0): m,n n 0 : a m a n 10 k 1, (V.114) m,n n 0 : b m b n 10 k 1. (V.115) (a m ±b m ) = (a m a n )±(b m b n ) (V.116) also a±b R.. Mit k := 1 folgt aus a,b R, dass a m a n + b m b n 10 k k 1 10 k, n 0 N m,n n 0 : a m a n, b m b n (V.117) Setzen wir m := n 0, so folgt daraus, dass m,n n 0 : a m + b m a n0 + b n a n0 + b n0 +1. (V.118) Mit erhalten wir C := ( n 0 r=1 ) a r + b r +1, (V.119) sup n N a n C, sup b n C. (V.120) n N 54

15 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4. ERGÄNZUNGEN Wir beobachten nun, dass a m b m a n b n = (a m a n )b m + a n (b m b n ) a m a n b m + a n b m b n C ( a m a n + b m b n ). (V.121) Seien nun k N und l N so, dass C 10 l. Dann gibt es n 0,n 0 N, so dass Also ist mit (V.121) d.h. a b R. m,n n 0 : a m a n 10 k l, (V.122) m,n n 0 : b m b n 10 k l. (V.123) m,n max(n 0,n 0) : a m b m a n b n 10 k, (V.124) Ist schließlich b 0, so existieren nach Lemma V.13 zwei Zahlen L,n 0 N, sodass n n 0 : b n 10 L. (V.125) Für k N gibt es n 0 N, so dass m,n n 0 : b m b n 10 k 1 2L, (V.126) und so erhalten wir für alle m,n max(n 0,n 0)+2L+k +1 =: n 0. (bm +sgn(b m ) 10 m ) 1 (b n +sgn(b n ) 10 n ) 1 Also ist 1 b R. ( 1 ) ( 1 ) = b b m +10 m b n +10 n m b n +sgn(b m )10 m sgn(b n )10 n 10 2L (10 k 1 2L +10 k 1 2L +10 k 1 2L) 3 10 k 1 10 k. (V.127) Lemma V.17. Seien a = (a n ) n=1, â = (â n ) n=1, b = (b n ) n=1, ˆb = (ˆb n ) n=1 R mit a â und b ˆb. Dann sind a±b ⱈb a b â ˆb (V.128) (V.129) und, falls b 0, 1 b 1ˆb. (V.130) 55

16 V.4. ERGÄNZUNGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ Beweis. Wie in Lemma V.16 gibt es L N, so dass n N : a n, â n, b n, ˆb n 10 L. Zu k N gibt es dann n 0 N, so dass m,n n 0 : a m â n, b m ˆb n 10 k 1 L. (V.131) (V.132) Also sind für alle m,n n 0 (a m ±b m ) (â n ±ˆb n ) = (a m â n )±(b m ˆb n ) und 2 10 k 1 L 10 k a m b m â n ˆb n = (a m â n )b m +â n (b m ˆb n ) b m a m â n + â n b m ˆb n (V.133) 2 10 L 10 k 1 L 10 k. Dies beweist (V.128) und (V.129). Glg (V.130) ist analog. Korollar V.18. Die Verknüpfungen +,, : R R R, und die Abbildung 1/( ) : R\{[0]} R, [a]±[b] := [a±b], [a] [b] := [a b], 1 [b] := [ ] 1 b sind wohldefiniert, d.h. unabhängig von den gewählten Repräsentanten a, b R. Lemma V.19. R ist bezüglich der in (V.135) (V.136) und durch definerten Verknüpfungen ein Körper. [a] R, [b] R\{[0]} : a b := [ a 1 ] b (V.134) (V.135) (V.136) (V.137) (V.138) Beweis. Nachprüfen der Körperaxiome; dabei sind [0] und [1] = [(1) n=1 ] dieneutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation. Definition V.20. Für je zwei Elemente [a], [b] R mit [a] [b] definieren wir [a] < [b] : [a b] < 0, [a] > [b] : [a b] > 0, wobei die rechten Seiten in Lemma V.13 definiert sind. Lemma V.21. R ist bezüglich < ein geordneter Körper. (V.139) (V.140) Beweis. Nachprüfen der Definitionen III.1 einer totalen Ordnung und III.7 eines geordneter Körpers. 56

17 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4. ERGÄNZUNGEN Das Supremumsaxiom Satz V.22. R erfüllt das Supremumsaxiom. Beweis. Sei A R eine durch [c] R, c = (c n ) n=1 R nach oben beschränkte Teilmenge, wobei wir der Einfachheit halber annehmen, dass A R +. Da c R, ist auch c beschränkt, d.h. es gibt ein N N, sodass [a] A : [a] < [ (10 N ) n=1]. (V.141) Wir setzen nun b 1 := β 1 10 N 1, wobei β 1 {0,1,...,9} so gewählt ist, dass [ ] x 1 A : x 1 (β 1 10 N 1 ) n=1 und (V.142) [ ((β1 x A : x < +1) 10 N 1) ]. (V.143) Anschließend setzen wir b 2 := b 1 +β 2 10 N 2, wobei β 2 {0,1,...,9} so gewählt ist, dass x 2 A : x 2 [ (b 2 ) n=1] und (V.144) [ (b2 x A : x < +10 N 2) ], n=1 (V.145) u.s.w. Für allgemeines k N setzen wir b k := b k 1 + β k 10 N k, wobei β k {0,1,...,9} so gewählt ist, dass x k A : x k [ (b k ) n=1] und (V.146) [ ] x A : x < (b k +10 N k ) n=1. (V.147) n=1 Die so gebildete Folge (b n )+n = 1 =: b ist offenbar eine Cauchy-Folge, denn für m > n n 0 ist m b m b n = β l 10 N l 10 N n 10 N n 0. (V.148) l=n+1 Sei nun d := (d n ) n=1 R mit [d] < [b], d.h. [b d] > [0]. Nach Lemma V.13 gibt es dann m 0,M N, sodass m > n m 0 : d m < b m 10 M b n (10 M 10 N n ), (V.149) wie in (V.148). Für n 0 := m 0 +N +M +1 ergibt dies m > n 0 : d m b n0 10 M 1, (V.150) was [d] [ (bn0 10 M 1) ] n=1 x n0 [ (10 ) ] M 1 n=1 < x n0 A (V.151) 57

18 V.4. ERGÄNZUNGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ impliziert. Also ist [d] keine obere Schranke an A. Sei schließlich x = [a] A, und nehmen wir an, dass [a] > [b], also [a b] > [0]. Dann gibt es m 0,M N, sodass m > k m 0 : a m > b m +10 M b k +10 M 10 N k. (V.152) Für k := M +N +1+m 0 bedeutete dies, dass für alle m > k a m b k +10 M 10 M 1 b k M 1 = b k m 0+N 1 b k +10 N k, (V.153) was x = [a] [ (bk +10 N k) n=1 ] (V.154) impliziert. Gleichung (V.154) steht jedoch in Widerspruch zu (V.147). Also gilt [a] [b]. Zusammenfassend erhalten wir [a] A : [a] [b], (V.155) [d] < [b] [a](= x n0 ) A : [d] < [a]. (V.156) Also ist [b] = supa. 58