Ferienkurs Experimentalphysik 2

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1 Technische Universität München Physik Department Ferienkurs Experimentalphysik 2 Vorlesung 1: Elektrostatik Tutoren: Elena Kaiser Matthias Golibrzuch Nach dem Skript Konzepte der Experimentalphysik 2: Elektromagnetismus von Abel Perera, Andrea Meraner, Gabriele Semino und Adonia Siegmann

2 Inhaltsverzeichnis 1 Elektrostatik Coulomb-Gesetz, elektrisches Feld und Potential Coulomb-Gesetz Elektrisches Feld Elektrischer Fluss und Gauß sches Gesetz Gauß scher Satz Elektrostatisches Potential Poisson-Gleichung Elektrische Spannung Superpositionsprinzip Elektrische Multipole Elektrischer Dipol Multipolentwicklung Kondensatoren und Kapazität Oberflächenladungsdichte Kapazität Plattenkondensator Kugelkondensator Energie geladener Kondensatoren Kondensatorenschaltungen Dielektrika im elektrischen Feld Polarisation Feldgleichungen in Materie Die dielektrische Verschiebung Kapazität eines Kondensators mit Dielektrikum Feldenergie im Dielektrikum Atomare Grundlagen von Ladungen Millikan Versuch

3 1 Elektrostatik 1.1 Coulomb-Gesetz, elektrisches Feld und Potential Coulomb-Gesetz Das Coulomb-Gesetz beschreibt die Kraft, die von einer Punktladung Q auf eine Punktladung q ausgeübt wird ([Q] = 1 C = 1 A s). Befindet sich die Ladung Q im Nullpunkt des Koordinatensystems und die Ladung q im Punkt r des Raums (und im Abstand r = r von der Ladung Q), ergibt sich für die Kraft der folgende Ausdruck wobei ε 0 die Dielektrizitätskonstante ist mit dem Wert F ( r) = 1 4πε 0 q Q r 2 e r (1.1.1) ε 0 = 8, A2 s 4 kg m 3 Die Einheit kann auch folgendermaßen vereinfacht werden: [ε 0 ] = A s V m. Befindet sich im Allgemeinen die Ladung q 1 im Punkt r 1 und die Ladung q 2 im Punkt r 2, ergibt sich für die Kraft auf die Ladung in r 1 Coulomb-Gesetz F ( r 1, r 2 ) = q 1q 2 4πε 0 ( r 1 r 2 ) r 1 r 2 3 (1.1.2) Bemerkung: Folgende Schreibweisen sind äquivalent Elektrisches Feld 1 r 2 e r = 1 r 2 e r = 1 r 2 Für das elektrische Feld gilt folgende Eigenschaft: r r = r r 3 (1.1.3) E( r) = F q = für eine Punktladung Q in r 1 Q ( r r 1 ) (1.1.4) 4πε 0 r r 1 3 [E] = [F/q] = 1 N/C = 1 N/As = 1 V/m Die Richtung des Feldes wird durch die Kraft auf eine positive Probeladung q definiert. Die Feldlinien zeigen von positiven Feldladungen weg und zu negativen hin. 1

4 1.1.3 Elektrischer Fluss und Gauß sches Gesetz Als gesamten elektrischen (Kraft-)Fluss durch die Fläche A definiert man Φ el = E da (1.1.5) mit dem Flächennormalenvektor d A. Für eine geschlossene Fläche A, welche die Ladung Q in einschließt, gilt das sogenannte Gauß sche Gesetz Φ el = E da = Q in (1.1.6) ε 0 A Bei einer ausgedehnten Ladungsdichte ϱ( r) kann die innere Ladung auch wie folgt bestimmt werden: Q in = ϱ( r) dv (1.1.7) V (A) Die allgemeine Formulierung des Gauß schen Gesetzes ist also: Integralform des Gauß sches Gesetz E da = 1 ε 0 A= V V ϱ( r) dv (1.1.8) Bemerkung: Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche hängt somit nur von der gesamten enthaltenen Ladung ab (und nicht von der Form der Oberfläche oder der Ladungsverteilung) Gauß scher Satz Der Fluss eines differenzierbaren Verktorfeldes E durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Volumenintegral über dessen Quelldichte div E. E da = div E dv (1.1.9) V Dies ist ein allgemeiner mathematischer Integralsatz und ist als Gauß scher Satz bekannt. Im Vergleich mit ergibt sich V Differentielle Form des Gauß schen Gesetzes div E = E = ϱ ε 0 (1.1.10) 2

5 1.1.5 Elektrostatisches Potential Da es sich in der Elektrostatik beim elektrischen Feld um ein konservatives Feld handelt, gilt rot E = 0 (1.1.11) Bewegt man eine Ladung q im elektrischen Feld E, verrichtet man i.a. Arbeit. Diese hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bewegung ab. W = q ˆ r2 r 1 E d s (1.1.12) Man definiert somit das elektrostatische Potential im Punkt r durch Elektrostatisches Potential φ( r) = ˆ rref r E d s (1.1.13) Der Referenzpunkt r ref, d.h. der Punkt, an dem das Potential gleich 0 ist, kann beliebig gewählt werden. Meistens wird dieser zweckmäßig bei φ( r ref = ) = 0 gesetzt. Bei besonderen Symmetrien (z.b. bei zylindrischen Ladungsverteilungen) kann es aber günstiger sein, den Referenzpunkt anders zu setzen. Bemerkung: Die Arbeit W = qφ( r) muss somit aufgewendet werden (bzw. wird gewonnen), um die Ladung q vom Punkt r zum Referenzpunkt zu bringen. Aus der Definition des Potentials folgt, dass E = grad φ( r) = φ (1.1.14) Für eine Punktladung Q in r 1 erhält man also für das Potential im Punkt r, φ( r) = 1 Q 4πε 0 r r 1 (1.1.15) wenn man den Referenzpunkt ins Unendliche setzt. Darüber hinaus ist die elektrische potentielle Energie einer Ladung definiert durch Poisson-Gleichung E pot = qφ (1.1.16) Aus den obigen Gleichungen erhalten wir die sog. Poisson-Gleichung. φ = div grad φ = div E = ϱ/ε 0 (1.1.17) 3

6 Im ladungsfreien Raum ϱ = 0 ergibt sich daraus die Laplace-Gleichung. Für den oben benutzen Laplace-Operator gilt Elektrische Spannung (Potentialdifferenz) div grad φ = 0 (1.1.18) = 2 x y z 2 (1.1.19) Die elektrische Spannung gibt an, wie viel Energie nötig ist, um eine Probeladung q von einem Punkt r 1 zu einem Punkt r 2 innerhalb eines elektrischen Potentials zu bewegen. U = φ( r 1 ) φ( r 2 ) = ˆ r2 r 1 E ds (1.1.20) [U] = [E/q] = 1 V = 1 N m A s Analog zu , gilt für eine Ladung q, die eine Potentialdifferenz U durchläuft E pot = W = qu (1.1.21) Superpositionsprinzip (Linearität der Elektrodynamik) Die von einzelnen Punktladungen erzeugten elektrischen Felder können vektoriell addiert werden, um das gesamte elektrische Feld zu erhalten. Das elektrische Feld von N Punktladungen lässt sich darstellen als E( r) = 1 4πε 0 N i=1 Das zugehörige elektrostatische Potential lautet q i ( r r i ) r r i 3 (1.1.22) φ( r) = 1 4πε 0 N i=1 q i r r i (1.1.23) wobei r i jeweils die Lage der verschiedenen Ladungen und r die Stelle ist, von der man das elektrische Feld bzw. Potential bestimmen will. 4

7 1.2 Elektrische Multipole Elektrischer Dipol Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei gleichen, entgegengesetzten Punktladungen Q 1 = Q 2 = Q in einem (kleinen) Abstand d. Abbildung 1.1: Schematische Darstellung eines Dipols (1) Dipolmoment Definiert man den Verbindungsvektor d so, dass er von der negativen zur positiven Ladung ( d = d) zeigt, so ergibt sich für das sogenannte Dipolmoment p = Q d (1.2.1) Elektrisches Potential Setzt man den Koordinatenursprung in die Mitte zwischen die zwei Ladungen (siehe Abbildung 1.1), erhält man für das Potential am Ort r durch Superpositionsprinzip φ( r) = 1 4πε 0 ( Q r d/2 + Q r + d/2 ) (1.2.2) Ist man am Potential an einem Punkt weit weg vom Dipol interessiert (also sei r d), so ergibt sich die folgende Näherung φ( r) Q r d = 1 p r 4πε 0 r 3 4πε 0 r 3 = p cos ϑ 4πε 0 r 2 (1.2.3) mit p r = p r cos ϑ = pr cos ϑ, wobei also ϑ der Winkel zwischen p und r ist. Eine solche Näherung wird wegen der Annahme r d Fernfeldnäherung bezeichnet. Elektrisches Feld In der Fernfeldnäherung ergibt sich für das elektrische Feld E( r) = φ( r) = 1 ( 3 r( p r) p ) 1 = 4πε 0 r 5 r 3 4πε 0 r (3p cos ϑ e 3 r p) (1.2.4) Dipol im homogenen Feld Befindet sich der Dipol in einem homogenen Feld, wirkt auf beide Ladungen die selbe, entgegengesetzte Kraft; somit gibt es keine resultierende Kraft. F ges = +Q E Q E = 0 (1.2.5) 5

8 Die zwei Kräfte bewirken jedoch ein Drehmoment D = p E (1.2.6) Die potentielle Energie des Dipols lautet somit ˆ E pot = D dϑ = p E (1.2.7) Aus den letzten zwei Gleichungen ergibt sich, dass der Dipol sich selbständig dreht, bis p E gilt. In dieser Lage ist die potentielle Energie minimal. Dipol im inhomogenen Feld Für die Kraft auf einen Dipol in einem inhomogenen Feld gilt F = ( p ) E p x x E x + p y y E x + p z z E x = p x x E y + p y y E y + p z z E y (1.2.8) p x x E z + p y y E z + p z z E z Darüber hinaus wirkt wie im Fall eines homogenen Feldes ein Drehmoment auf den Dipol. Anders als im obigen Fall gibt es in einem solchen Feld aber keine stabile Lage, wo sowohl das Drehmoment als auch die Kraft verschwinden. Der Dipol wird im Feld orientiert und dabei entweder angezogen oder abgestoßen Multipolentwicklung Für räumlich ausgedehnte Ladungsverteilungen ist die analytische Bestimmung der Feldeigenschaften oft nicht möglich. Eine Approximierung wird durchgeführt, in dem man z.b. das Potential der Ladungsverteilung in Summanden zerlegt, die mit verschiedenen Potenzen bei wachsender Entfernung vom Ladungsschwerpunkt r abfallen. φ(r) = 1 4πε 0 [ q r }{{} 1 r ] p r } r {{ 3 } 1 r 2 (1.2.9) Der erste Term beschreibt das Potential einer Punktladung, der zweite das eines elektrischen Dipols. Höhere Potenzen werden hier vernachlässigt. 1.3 Kondensatoren und Kapazität Oberflächenladungsdichte Die Oberflächenladungsdichte σ ist definiert als σ = Q A (1.3.1) Bei einem geladenen, leitenden (realen) Körper verteilen sich spontan die Ladungen auf der Körperoberfläche, und im Inneren ist die elektrische Feldstärke gleich Null (Faraday scher Käfig). Außerhalb und in unmittelbarer Nähe des Körpers stehen hingegen die Feldlinien senkrecht zur Oberfläche. Unter Verwendung des Gauß schen Gesetzes erhält man somit das elektrische Feld an der Oberfläche eines leitenden Körpers. E da = E A = Q E = σ (1.3.2) ε 0 ε 0 V 6

9 Bemerkung: Diese Gleichung gilt jedoch nicht für unendlich dünne geladene Flächen. In diesem Fall ergibt sich aus der linken Seite des Gaußschen Gesetzes E 2A (auf beiden Seiten der Oberfläche herrscht nun ein senkrechtes elektrisches Feld) und es gilt E = σ 2ε 0 Abbildung 1.2: Elektrische Felder an Oberflächen (2) Kapazität Zwei entgegengesetzt geladene Leiterflächen bilden einen sogenannten Kondensator. Für die Ladung auf den Platten (+Q auf der positiven Platte, Q auf der negativen) und die Spannung zwischen diesen gilt folgende Beziehung Q = C U (1.3.3) Die Proportionalitätkonstante C wird Kapazität des Kondensators genannt. [C] = 1 C V = 1 F = 1 Farad Plattenkondensator Für die Kapazität eines Plattenkondensators mit Plattenfläche A und Plattenabstand d gilt C = ε 0 A (1.3.4) d Für das (homogene) elektrische Feld zwischen den Platten gilt E = U d (1.3.5) Kugelkondensator Lädt man zwei konzentrische Kugelflächen mit den Radien R 1, R 2 mit den Ladungen +Q bzw. Q, erhält man einen sogenannten Kugelkondensator. Für die Spannung zwischen den Platten gilt U = Q R 2 R 1 (1.3.6) 4πε 0 R 1 R 2 Für die Kapazität gilt somit C = Q U = 4πε R 1 R 2 0 (1.3.7) R 2 R 1 7

10 Lässt man darüber hinaus R 2 gegen unendlich laufen, so erhält man die Kapazität einer geladenenen, leitenden Kugel (mit Radius r und φ( ) = 0) Energie geladener Kondensatoren C = 4πε 0 r (1.3.8) Für die Arbeit (Energie), die nötig ist, um die Ladung eines Kondensators von 0 auf Q zu bringen (bzw. um die Spannung auf einen Wert U aufzuladen), gilt folgende Gleichung W = Q2 2C = CU 2 2 (1.3.9) Im Fall von Plattenkondensatoren ist die Energiedichte, definiert als Energie pro Volumeneinheit w el = ε 0E 2 (1.3.10) Kondensatorenschaltungen Für ein Netz an Kondensatoren kann man eine sog. äquivalente (gesamte) Kapazität ausrechnen. Würde man die gesamte Kondensatorschaltung mit einem einzigen Kondensator ersetzen, und dabei die (von einer Ladungsquelle) aufgenommene Ladung der ersetzten Kapazitäten gleich groß halten, müsste der Ersatzkondensator die Kapazität C ges haben. Parallelschaltung U 1 = U 2 = U 3 = U 0 Q ges = Q 1 + Q 2 + Q 3 (1.3.11) Abbildung 1.3: Schaltbild einer Parallelschaltung von Kondensatoren (1) C ges = Q ges U 0 = i C i (1.3.12) Serienschaltung Q = Q 1 = Q 2 = Q 3 U 0 = U 1 + U 2 + U 3 (1.3.13) Abbildung 1.4: Schaltbild einer Serienschaltung von Kondensatoren (1) 1 C ges = U 0 Q = i 1 C i (1.3.14) 8

11 1.4 Dielektrika im elektrischen Feld Polarisation Wird ein elektrischer Isolator, den man in diesem Fall als Dielektrikum bezeichnet, in ein elektrisches Feld eingeführt, so richten sich die Partialladungen innerhalb der einzelnen Moleküle gemäß des elektrischen Feldes aus. Abbildung 1.5: Ausrichtung der Moleküle (16) Aus diesem Grund verhalten sich die Moleküle wie kleine Dipole, die durch die übliche Formel p = q d beschrieben werden, wobei d der Abstand und q die Stärke der Partialladungen ist. Da eine Betrachtung der einzelnen Dipole für unsere makroskopische Beschreibung nicht nötig ist, mitteln wir die Wirkung der Ladung bzw. der Dipole im Material über das Volumen. Die Summe der Dipole pro Volumen wird als Polarisierung P bezeichnet und ist wie folgt definiert. P = 1 V p i (1.4.1) i Es zeigt sich, dass diese Polarisierung direkt proportional zum elektrischen Feld im Dielektrikum E D ist. P = ε 0 χ E D (1.4.2) wobei χ elektrische Suszeptibilität genannt wird. In den von uns betrachteten Fällen entspricht diese einem Skalar. Es gilt außerdem, mit der relativen (materialabhängigen) Dielektrizitätskonstante: χ = ε r 1 P = ε 0 (ε r 1) E D (1.4.3) Im Fall von inhomogenen Feldern ist dementsprechend auch P ortsabhängig. Genauso wie die freien Ladungen im Vakuum die Ursache und somit die Quelle (Divergenz) des elektrischen Feldes sind, sind die polarisierten Ladungen die Quelle der Polarisierung. Man kann also analog zur differentiellen Form des Gauß schen Gesetzes den Zusammenhang div P = ϱ pol (1.4.4) schreiben. Mit dem Gauß schen Gesetz lässt sich zeigen, dass die auf den Oberflächen des Dielektrikums erzeugte Flächenladungsdichte mit dem Betrag der Polarisierung übereinstimmt. σ pol = P (1.4.5) 9

12 1.4.2 Feldgleichungen in Materie Im Dielektrikum sind die Dipole dem äußeren elektrischen Feld E V, wie in Abbildung 1.5 zu sehen, entgegengerichtet. Demnach baut sich dort ein ebenfalls entgegengerichtetes elektrischen Feld E P auf. Dieses ist proportional zur Polarisierung. E P = P ε 0 E P = σ ε 0 (1.4.6) Für das resultierende Feld innerhalb des Dielektrikums gilt dann: E D = E V + E P = E V P ε 0 (1.4.7) Es folgt mithilfe von Gleichung die Beziehung zwischen elektrischen Feld im Vakuum und im Dielektrikum: E D = χ E V = E V ε r (1.4.8) Da ε r im Allgemeinen größer als 1 ist, ist das elektrischen Feld im Dielektrikum schwächer als im Vakuum. Dies lässt sich leicht mithilfe des oben besprochenen Feldes im Dielektrikum, das durch die Polarisierung aufgebaut wird und dem äußeren Feld entgegenrichtet ist, erklären Die dielektrische Verschiebung Die Hilfsgröße, die zur Beschreibung von elektrischen Feldern in Materie dient, wird dielektrische Verschiebung D genannt und ist wie folgt definiert. D = ε 0 ED + P = ε 0 ED + ε 0 χ E D = ε 0 (1 + χ) E D = ε 0 ε r ED (1.4.9) [D] = [ɛ 0 E] = 1 As m 2 = 1 C m 2 Die zur Grenzfläche des Dielektrikums parallele Komponente der dielektrischen Verschiebung springt um den Faktor ε r an den Grenzflächen. D,V = 1 ε r D,D (1.4.10) Kapazität eines Kondensators mit Dielektrikum Die Kapazität eines mit Dielektrikum gefüllten Kondensators ist um einen Faktor ε r größer als die eines leeren. E D = U d und E D = E V ε r = σ ε 0 ε r = Q/A ε 0 ε r C = Q U = ε 0ε r A d = ε rc V (1.4.11) 10

13 1.4.5 Feldenergie im Dielektrikum Um die gespeicherte Energie in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum zu erhalten, setzen wir die Formel U = Ed sowie C = ε 0 ε r A/d in die Energieformel ein. W el = 1 2 CU 2 = 1 2 ε rε 0 AdE 2 (1.4.12) Der Kondensator hat ein Innenvolumen von V = Ad, also folgt für die Energiedichte: ω el = W el V = 1 2 ε rε 0 E 2 = 1 ED (1.4.13) 2 Dies weist darauf hin, dass nun mehr Energie im Kondensator gespeichert wird, denn nun werden nicht nur die Ladungen auf der Kondensatoroberfläche gehalten, sondern auch die Partialladungen in ihrem verschobenen Zustand. 1.5 Atomare Grundlagen von Ladungen Millikan Versuch: Die Elementarladung Beim Millikan-Versuch wird die Ladung auf sehr kleinen Öltröpfchen gemessen. Bei mehrfacher Messung stellt sich heraus, dass diese Ladung immer ein ganzzahliges Vielfaches eines gewissen Wertes ist. Die kleinstmögliche Ladung ist die sogenannte Elementarladung e, die Ladung eines Elektrons. e = 1, C Demnach ist die Ladung eine quantisierbare Größe. Um den obigen Wert der Elementarladung zu erhalten, wird ein Öltröpfchen in ein einstellbares homogenes elektrisches Feld zerstäubt und die Spannung solange verändert, bis es bewegungslos schwebt. In diesem Zustand herrscht Kräftegleichgewicht zwischen Schwerkraft F G, Auftriebskraft F A und elektrischer Kraft F E. Es gilt somit: F E = F G F A qu d = 4 3 πr3 (ρ O ρ L )g 4 3 q = πr3 gd(ρ O ρ L ) U (1.5.1) Hierbei werden mit ρ O und ρ L die Dichte des Öltröpfchens und die des umgebenden Mediums (z.b. Luft) bezeichnet. Um aus der obigen Gleichung die Ladung berechnen zu können, muss man jedoch noch den Radius des Tröpfchens bestimmen. Dies kann erreicht werden, indem man das elektrische Feld ausschaltet und die Fallbewegung des Tröpfchen beobachtet. Erreicht das Tröpfchen bei der Fallbewegung eine konstante Geschwindigkeit, so herrscht wieder Kräftegleichgewicht zwischen Schwerkraft F G, Auftriebskraft F A und der Stokes schen Reibungskraft F R. F R = F G F A 6πηvr = 4 3 πr3 (ρ O ρ L )g 9vη r = 2g(ρ O ρ L ) (1.5.2) 11

14 Abbildung 1.6: Wirkende Kräfte beim Millikan Versuch 12