Casio fx-cg20 Binomialverteilung, Intervallwahrscheinlichkeit, Normalverteilung und Grenzen

Transkript

1 R. Brinkmann Seite.0.04 Casio fx-cg0 Binomialverteilung, Intervallwahrscheinlichkeit, Normalverteilung und Grenzen Intervallwahrscheinlichkeit Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p, wird durch eine Binomialverteilung dargestellt. Der Erwartungswert, ist die Anzahl der Erfolge mit der größten Wahrscheinlichkeit. Wird beispielsweise ein Würfel n = 600 mal geworfen, so erwartet man k = 00 mal die Zahl 6. Die Zahl 6 kann bei 600 Versuchen auch k = 0 mal oder k = 600 mal auftreten. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind verschwindend gering. Ein Würfel wird n = 600 mal geworfen, die Zahl 6 zählt als Erfolg mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = /6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen genau k = 00 mal die 6 geworfen wird? P X = 00 { STAT}{ DIST}{ BINOMIAL}{ Bpd} 00, 600, a 6 ) BinomialPD(00,600,/6) Würfen genau 00 mal die Zahl 6 geworfen wird, beträgt etwa 0, Allgemein gilt für [ 0 ====== ][ k ][ ====== n ] : P( X = k) BinomialPD( k,n,p) Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen höchstens k = 00 mal die 6 geworfen wird? P X 00 { STAT}{ DIST}{ BINOMIAL}{ Bcd} 00, 600, a 6 ) BinomialCD(00,600,/6) Würfen höchstens 00 mal die Zahl 6 geworfen wird, beträgt etwa 0,56... Allgemein gilt für [ 0 ====== k ][ ====== n ] : P( X k) BinomialCD( k,n,p) Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt. Hierbei handelt es sich um die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Erstellt von R. Brinkmann fx_cg0_stoch_ :6 Seite: von 7

2 R. Brinkmann Seite.0.04 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen mindestens k = 00 mal die 6 geworfen wird? P X 00 { STAT}{ DIST}{ BINOMIAL} { Bcd} 99, 600, a 6 ) - BinomialCD(99,600,/6) Würfen mindestens 00 mal die Zahl 6 geworfen wird, beträgt etwa 0,56... Allgemein gilt für [ 0 ====== ][ k ====== n ] : P( X k) = P( X k ) BinomialCD( k,n,p) Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen die Anzahl der 6-er zwischen 90 und 0 (einschließlich) liegen? P90 X 0 { STAT}{ DIST}{ BINOMIAL} { } { } Bcd 0, 600, a 6 ) Bcd 89, 600, a 6 ) BinomialCD(0,600,/6) - BinomialCD(89,600,/6) Würfen die Anzahl der 6-er, zwischen 90 und 0 liegen, beträgt etwa 0, Allgemein gilt für [ 0 === ][ k === k ][ === n ] : Pk X k = PX k PX k ( ) ( ) BinomialCD( k,n,p) BinomialCD( k,n,p ) Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt. Intervallgrenzen werden berechnet Statt der Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge eines Bernoulliversuchs in einem bestimmten Intervall, kann man bei Vorgabe einer Intervallwahrscheinlichkeit die Intervallgrenzen k bestimmen. Das wird bei Hypothesentests zur Bestimmung von Annahme- bzw. Ablehnungsbereich benötigt. Erstellt von R. Brinkmann fx_cg0_stoch_ :6 Seite: von 7

3 R. Brinkmann Seite n= 600 Würfen eines Würfels höchstens k Erfolge auftreten soll höchstens 5% betragen. Das bedeutet, für welches k ist die Forderung erfüllt. P X k 0,05 k =? P X k 0, , 600, a 6 ) InvBinomialCD(0.05,600,/6) - 84 P( X 84) 0,05 0, Der linke untere 5%-Bereich gilt für [ 0... k ] oder die Wahrscheinlichkeit dafür, das höchstens k = 84 Erfolge auftreten ist kleiner als 5%. Allgemein gilt: (Linksseitiger Hypothesentest) P X k k = InvBinomialCD,n,p = { + } = { } A k... n A 0... k [ 0 === === k ][ k + === n ] Das Ergebnis kann mit P( X k) BinomialCD( k,n,p) überprüft werden. Diese Rechnung ist für den linksseitigen Hypothesentest nötig. n= 600 Würfen eines Würfels mindestens k Erfolge auftreten soll höchstens 5% betragen. Das bedeutet, für welches k ist die Forderung erfüllt. P( X k) 0,05 k =? Diese Bedingung ermöglicht es die Anzahl der Erfolge zu finden, die sich in dem rechten oberen 5%-Bereich befinden. P X k 0, , 600, a 6 ) + InvBinomialCD(0.95,600,/6) + 6 P( X 6) = P( X 5) 0, < 0,05 Allgemein gilt: (Rechtsseitiger Hypothesentest) Erstellt von R. Brinkmann fx_cg0_stoch_ :6 Seite: 3 von 7

4 R. Brinkmann Seite ( ) k = ( ) P X k InvBinomialCD,n,p + { } {... n} A = 0...k A = k [ 0 === k - ][ k === === n ] Das Ergebnis kann mit P( X k) = P( X k ) BinomialCD( k,n,p) überprüft werden. Diese Rechnung ist für den rechtsseitigen Hypothesentest nötig. Bei n= 600 Würfen eines Würfels soll die Anzahl der Erfolge in einer symmetrischen 95%-Umgebung vom Erwartungswert liegen. Zu bestimmen sind die Intervallgrenzen k und k. Das bedeutet, für welche Werte von k und k ist folgende Forderung erfüllt. Pk X k 0,05 k;k =? { }{ }{ } x% 95% y% mit x% + y% 5% P X k 0, , 600, a 6 ) P X k 0, , 600, a 6 ) + InvBinomialCD(0.05,600,/6) - 8 = k P( X 8) 0, InvBinomialCD(0.975,600,/6) + 9 = k P( X 9) 0, P( X 8) + P( X 9) 0, ,038 = 0,0447 Allgemein gilt: (Beidseitiger Hypothesentest) P( X k) k = InvBinomialCD,n,p P( X k ) k = InvBinomialCD,n,p + { } { } { } A = k +... k A = 0... k k... n [ 0 === / === k ][ k + === k - ][ k === / === n ] Die Ergebnisse können mit Erstellt von R. Brinkmann fx_cg0_stoch_ :6 Seite: 4 von 7

5 R. Brinkmann Seite ( ) P X k BinomialCD k,n,p ( ) = ( ) ( ) P X k P X k BinomialCD k,n,p überprüft werden. Diese Rechnung ist für den beidseitigen Hypothesentest nötig. Zusammenfassung Binomialverteilung P( X = k) BinomialPD( k,n,p) [ 0 ====== ][ k ][ ====== n ] P( X k) BinomialCD( k,n,p) [ 0 ====== k ][ ====== n ] P( X k) = P( X k ) BinomialCD( k,n,p) [ 0 ====== ][ k ====== n ] ( ) = ( ) ( ) BinomialCD( k,n,p) BinomialCD( k,n,p ) Pk X k PX k PX k [ 0 === ][ k === k ][ === n ] Linksseitiger Hypothesentest P X k k = InvBinomialCD,n,p = { + } = { } A k... n A 0... k [ 0 === === k ][ k + === n ] Rechtsseitiger Hypothesentest P X k k = InvBinomialCD,n,p + = { } = {... n} A 0...k A k [ 0 === k - ][ k === === n ] Beidseitiger Hypothesentest) P( X k) k = InvBinomialCD,n,p P( X k ) k = InvBinomialCD,n,p + { } { } { } A = k +... k A = 0... k k... n [ 0 === / === k ][ K + === k - ][ k === / === n ] Erstellt von R. Brinkmann fx_cg0_stoch_ :6 Seite: 5 von 7

6 R. Brinkmann Seite Normalverteilung und Intervalle Um mit der Normalverteilung zu rechnen, geht man ähnlich vor, wie bei der Binomialverteilung. [MENU] [OPTN] {STAT} {DIST} {NORM} {Npd} berechnet einen einzelnen Wert. {NcD} berechnet die kumulative Normalverteilung. {InvN} ermittelt die Umkehrform der kumulativen Normalverteilung. : Erwartungswert der Zufallsvariablen k. σ : Standardabweichung. Falls die Standardabweichung größer 3 ist, kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung hinreichend genau approximiert werden. Bei Intervallberechnungen ist zu berücksichtigen, das die Binomialverteilung für diskrete Werte, die Normalverteilung aber für kontinuierliche Werte bestimmt ist. P( X = k) NormPD( k, σ, ) [ 0 ====== ][ k ][ ====== n ] P( X k) = P X k+ NormCD 0,k +, σ, [ 0 ====== k ][ ====== n ] P( X k) = P X k NormCD 0,k, σ, [ 0 ====== ][ k ====== n ] Pk ( X k) = P X k + P X k NormCD 0,k +, σ, NormCD 0,k, σ, [ 0 === ][ k === k ][ === n ] Linksseitiger Hypothesentest P X k k = InvNormCD, σ, k auf ganze Zahl abrunden { } { k} A = k +... n A = 0... [ 0 === === k ][ k + === n ] Rechtsseitiger Hypothesentest P X k k = InvNormCD (, σ, ) k auf ganze Zahl aufrunden A = 0 {... k } A = { k... n} Erstellt von R. Brinkmann fx_cg0_stoch_ :6 Seite: 6 von 7

7 R. Brinkmann Seite [ 0 === k - ][ k === === n ] Beidseitiger Hypothesentest P( X k) k = InvNormCD,, σ k auf ganze Zahl abrunden P( X k ) k = InvNormCD,, σ k auf ganze Zahl aufrunden { } A { 0... k } { k...n} A = k +...k = [ 0 === / === k ][ k + === === k - ][ k === / === n ] Beim beidseitigem Hypothesentest sollten die Grenzen des Ablehnungsbereichs symmetrisch zum Erwartungswert sein. Erstellt von R. Brinkmann fx_cg0_stoch_ :6 Seite: 7 von 7