8.6.5 Diffusion von Bromdampf ******

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1 8.6.5 ****** Motivation Die Langamkeit der Diffuion wird mit Hilfe von Bromdampf veranchaulicht. Die quantitative Meung der Diffuion erlaubt die Betimmung der mittleren freien Weglänge und die Meung der Molekülgröe von Br 2. 2 Experiment t = 0 t = 2 h Abbildung : Ein mit Bromdampf gefüllter Glazylinder it durch eine Glacheibe von einem mit Luft gefüllten identichen Glazylinder getrennt (iehe Abb. ). Zur Zeit t = 0 zieht man die Glacheibe vorichtig herau und beobachtet im Folgenden, wie ich der Bromdampf langam durch Diffuion nach oben in die Luft aubreitet. Der Bromdampf benötigt 000 für die erten 00 mm.

2 Phyik II, Prof. W. Fetcher, FS 2008 V D D v v dt 3 Theorie Abbildung 6.: 2: Zur Berechnung der dermittleren freien freien Weglänge. 3. Mittlere freie Weglänge Die mittlere freie Weglänge it diejenige Strecke, die ein Molekül im Ga durchchnittlich zurücklegt, bi e auf ein andere Molekül töt. Für die folgende Rechnung nehmen wir an, da da Ga au nur einer Molekülart beteht; der Durchmeer der Moleküle ei D, die Teilchendichte gleich dn/dv. Ein Sto erfolge tet, wenn ein Nachbarmolekül einen zur Flugbahn de Molekül enkrechten Abtand D unterchreitet (iehe Abb. 2). Die Anzahl dn an Molekülen, mit denen da Molekül der Gechwindigkeit v in der Zeit dt in Berührung kommt, it dann gleich dn = (vdt) (πd 2 ) dn dv () Die Querchnittfläche, auf welcher eine Wechelwirkung tattfinden kann, bezeichnet man al Wirkungquerchnitt σ. In dieem Fall it e einfach der geometriche Querchnitt: Die freie Flugzeit zwichen zwei Stöen beträgt damit σ = πd 2 (2) dt dn = v σ dn/dv (3) In dieer Zeit legt da Molekül die mittlere freie Weglänge λ zurück: λ = v dt dn (4) 2

3 Phyik II, Prof. W. Fetcher, FS 2008 V c i /% ca c B 25 0 x A B j + j x λ x x + λ Abbildung Abbildung 3: Diffuion 6.: Diffuion wird durchwird ein Konzentrationgefälle durch ein Konzentrationgefälle der Moleküleder A bzw. Moleküle B veruracht. A bzw. B veruracht. Damit beträgt die mittlere freie Weglänge für ein ruhende Hinderni: λ = σ dn/dv (5) Für bewegte Hindernie ergibt ich Λ = 2 σ dn/dv (6) 3.2 Diffuion Wir haben im vorherigen Abchnitt die mittlere Reichweite λ der Moleküle eine Gae berechnet. Nun werden wir die Diffuion eine Gae A in einem anderen Ga B unteruchen, bei dem die Konzentrationen vom Ort abhängen, o da die Gae alo nicht volltändig durchmicht ind. Ferner nehmen wir an, da da Konzentrationgefälle nur von x abhängt (iehe Abb. 3). Wir bezeichen die Teilchenzahldichte für eine Molekülart i mit dn i dv (x, y, z) := ρn i (x) (7) 3

4 Wir betrachten nun den geamten Teilchentrom, der durch eine Fläche A fliet, welche am Ort x enkrecht zur x-richtung aufgepannt it. Der vom Ort x augehende Teilchentrom it elbtvertändlich ymmetrich nach link und nach recht. Da aber die Konzentration link und recht von x verchieden gro it, ind die Teilchentröme, welche vom Ort x λ in poitiver Richtung und vom Ort x + λ in negativer Richtung flieen, unterchiedlich gro (iehe Abb. 3). Die Anzahl dn A an Teilchen A, welche in der Zeit dt durch die Fläche A hindurchlaufen, it alo gleich dn A = 6 {ρn A(x λ) v dt A ρ n A(x + λ) v dt} (8) ] [ ]} 6 {[ρ A v dt n A(x) λ dρn A dx (x) ρ n A(x) + λ dρn A dx (x) ] = 6 [ 2λ A v dt dρn A dx (x) = ( 3 vλ) (A d t) dρn A (x) (9) dx Die x-komponente der Teilchentromdichte j A it damit j x dn A A dt = ( 3 vλ) dρn A (x) (0) dx Für beliebige Konzentrationgefälle folgt darau da. Fickche Geetz: j = D grad dn dv () mit der Diffuionkontanten D = vλ (2) 3 Beim Diffuionproze bleibt die Mae erhalten. Die Kontinuitätgleichung beagt, da die Änderung der Teilchenzahl in einem gechloenen Volumen V gleich dem Teilchenflu au dem Volumen herau it: j d A = dn dv (3) Mithilfe de Gaußchen Satze folgt darau: V V div j = dn (4) Nun folgt au Gln. und 4: D div grad dn dv = dn (5) 4

5 Darau folgt für zeitabhängige Dichteverteilungen da 2. Fickche Geetz: dn = D dn dv (6) Augedrückt durch die Konzentration c(r) lauten die beiden Geetze: j = D c. Fickche Geetz (7) und ċ = D c 2. Fickche Geetz (8) bzw., in Komponentenchreibweie: { c 2 } t = D c x c y c z 2 (9) Diee partielle Differentialgleichung, die Diffuiongleichung, ähnelt der Wellengleichung; die Zeitableitung it aber in dieem Fall nur in. Ordnung. 3.3 Diffuiongechwindigkeit Bei der Diffuion erleiden die Moleküle rein zufällig Stöe und werden dabei ebeno zufällig in verchiedene Richtungen getreut. Wir imulieren dieen Vorgang, vereinfachen aber dabei, indem wir nur die Bewegung in x-richtung annehmen. Da Molekül bewege ich zunächt, augehend von x = 0, in poitiver x-richtung. Nachdem e eine mittlere freie Weglänge λ zurückgelegt hat, erleide e mit 50% Wahrcheinlichkeit einen Sto. Bei jedem Sto kehre e eine Richtung um. Stöe ollen nur an den Orten x = νλ (ν ganzzahlig) tattfinden (iehe Abb. 4). Wir wiederholen nun diee Simulation m Mal, jedemal mit n Schritten. Bei jeder dieer Simulationen erhalten wir eine zurückgelegte Strecke i, für die gilt: Der Erwartungwert von it 2 = lim m m nλ i +nλ, i =,..., m (20) = m i 0 (m ), (2) i= wie man au Symmetriegründen ehen kann. Der Erwartungwert von 2 it gleich = lim m m m i i= j= j = lim m m 2 i + i= i j i,j= i j (22) 2 i = {( nλ 2 ) m } = nλ 2, (23) m i= 5

6 Phyik II, Prof. W. Fetcher, FS 2008 V ν n k x/λ Abbildung 4: Irrwege mitabbildung Schrittweite 6.: λ. Irrwege Nach n mit Schritten Schrittweite wird dieλ. Entfernung kλ vom Augangpunkt erreicht. da 2 i = n 2 ν + ν= n ν,µ= ν µ ν µ n 2 ν = nλ 2 (24) Nun it nλ = vt. Damit folgt für den Erwartungwert bzw. die Varianz für die Diffuion: ν= 2 = λ vt (25) Mit dieer Beziehung lät ich die Brownche Bewegung erklären. Albert Eintein hat dafür 905 den Nobelprei erhalten. Mit der richtigen Deutung der Brownchen Bewegung war der letzte fehlende Bewei für die Exitenz von Atomen erbracht! 3.4 Meung: Bei der Meung der ergibt ich eine Diffuiongechwindigkeit 2 / t = 00 mm/000. Die mittlere Gechwindigkeit der Br 2 -Moleküle bei Zimmertemperatur it gleich v = 3kT m = 200 m (26) Darau folgt für die mittlere freie Weglänge: 2 λ = v t = (0, m) 2 (200 m ) 0 3 = 50 nm (27) 6

7 Bei der Brownchen Bewegung werden weentlich gröere Teilchen vermeen, die unter dem Mikrokop noch beobachtbar ind. Wird zum Beipiel eine Gechwindigkeit v = 2 mm gemeen, o kann man damit durch Vergleich mit dem Ergebni der Meung mit Bromdampf die Mae betimmen: m = 0 0 m Br (28) Auch die Molekülgröe lät ich betimmen: λ = 2σ dn/dv = kt pσ 2 (29) σ = kt pλ 2 = (, ) (300) (0 5 ) ( ) 2 m2 0,6 0 8 m 2 (30) σ D = 0,4 nm (3) π Auch der mittlere Abtand zwichen zwei Molekülen lät ich betimmen. Bei (p = 00 kpa, T = 300 K folgt dn dv = p kt m 3 (32) d = = 3,5 nm dn/dv λ 5d (33) 3 Die mittlere freie Weglänge it alo viel gröer al der mittlere Abtand zweier Moleküle! 7