Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 6

Transkript

1 Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 6 KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association

2 Klausur Anmeldung und Details: Alle Vorlesungen und Übungen im Netz Zusammenfassung von einer ähnlichen Vorlesung im Netz Skript der vollständigen Mechanikvorlesung von Prof. Th. Mueller im Netz (Schwingungen und Wellen) Frank Hartmann

3 Frank Hartmann

4 sin = 0 U eff = U 0 2 R < P > = U eff I eff U eff = 230V C R Z = ωl Gleichstrom Z = 1 ωc Gleichstrom Betrag L Frank Hartmann Siehe naechste Seite

5 Frank Hartmann

6 Ohm'scher Widerstand: Z =R Kondensator (Kapazität): Z = 1 Spule (Induktivität): Z = ωl ωc Reihe/Serie Parallel Frank Hartmann

7 Kapazität U C = U t = U 0 sin ωt Q t = C U t = C U 0 sin ωt I t = dq(t) dt = d(c U t ) dt = ω C U 0 cos ωt = ω C U 0 sin ωt + π 2 } = I 0 R C = Z = 1 ωc Frank Hartmann

8 Induktivität U L = U t = U 0 sin (ωt) = L di t dt = U 0 L sin ωt di t dt I t = U 0 Lω cos ωt = U 0 Lω sin (ωt π 2 ) } Integriere 8 = I R l = Z = ωl Frank Hartmann

9 Lassen sich dann bei Reihen- oder Serienschaltungen die Impedanzen einfach addieren? Antwort: Nein. Die diversen Ströme (Parallel) bzw. Spannungen (Reihe) müssen Phasenrichtig addiert werden. Wird hier nicht behandelt. Kurz: U und I am Widerstand phasengleich U und I an C und L nicht phasenrichtig, aber C und L genau gegenphasig + π 2 ; π 2 Addition am einfachsten mit komplexen Zahlen Siehe Anhang zu diese Übung Frank Hartmann

10 Beginne mit Teil Frank Hartmann

11 Geladener Kondensator wird ueber Spule entladen Maschenregel: 0 = 1 C Q t di t + L dt = 1 C Q t + L d2 Q t dt 2 DGL 2. Ordnung: Ansatz: Q t = Q 0 sin (ωt) Einsetzen 0 = 1 C Q 0 sin ωt ω 2 L Q 0 sin (ωt) ω = 1 LC Q t = Q 0sin 1 LC t f 0 = 1 2π LC Frank Hartmann

12 Geladener Kondensator wird über Spule entladen DGL aus Energieerhaltung Energieerhaltung: konst = 1 2 CU2 t L I2 differenziere 0 = 1 2 C 2 U t U t L 2 I t I (t) Q t 0 = C C Q t C + L Q t Q (t) Q t 0 = Q t C + L Q (t) Q t 0 = C + L Q (t) DGL 2. Ordnung: Ansatz: Q t Einsetzen 0 = 1 C Q 0 sin ωt ω 2 L Q 0 sin (ωt) ω = 1 LC Q t = Q 0sin = Q 0 sin (ωt) 1 LC t Frank Hartmann

13 Überprüfe Energieerhaltung Q t = Q 0 sin 1 LC t Q 0 = U 0 C U 0 = Q 0 C I L t = d dt Q t dt = Q 0 1 LC cos 1 LC t = I 0 = Q 0 1 LC konst = 1 2 C U2 t + 1 L I2 2 U C t = 1 C Q t = Q 0 C sin 1 LC t konst 2 = Q 0 2 C sin 1 LC t 2 + Q 0 2 L LC cos 1 LC t konst 3 = sin 1 LC t + cos 1 LC t = 1 ω = 1 LC Frank Hartmann

14 Induktivitaet f 0 = L = 2π 1 LC = 5735Hz 1 4π 2 C f 0 2 = 35mH C = 22nF Frank Hartmann

15 E C = W el t = 1 2 C U2 t = 1 2 C U 0 2 sin 2 (ωt) U 0 = Q 0 C = 15V L = W mag t = 1 2 L I2 t = 1 2 L I 0 2 cos 2 (ωt) I 0 = Q 0 1 LC = 11.9mA E L t = 1 2 E C(t) L I 0 2 cos 2 ωt = 1 2 C U 0 2 sin 2 ωt 2 = C C 2 Q 0 2 L 1 2 tan 2 ωt = tan 2 ωt t = LC Q Frank Hartmann arctan 2 ω

16 Frank Hartmann

17 Nein gedaempft Widerstand Nein, abhaengig, Nein, siehe A5.3. Im Schwingfall Im Prinzip leiten wir das in der Aufgabe zu mechanischen Schwingung her Ähnlich aber nicht gleich, DGL anders (Strom statt Spannungsaddition) Frank Hartmann

18 MECHANIK Frank Hartmann

19 Frank Hartmann

20 Frank Hartmann

21 Frank Hartmann Selbe Rechnung wie LC Schwingkreis

22 DGL mit Daempfung Dämpfung d linear mit der Geschwindigkeit v oder hier φ cφ + dφ + θφ = 0 Ansatz: φ t = A e λt cos ωt φ t = λa e λt cos ωt ωa e λt sin (ωt) φ t = +λ 2 A e λt cos ωt + λωa e λt sin ωt +λωa e λt sin ωt ω 2 Ae λt cos ωt Einsetzen: A e λt (c cos ωt dλ cos ωt dω sin ωt +θλ 2 cos ωt + 2θλω sin ωt θλω 2 cos ωt ) = Frank Hartmann Achtung: ich nutze der Einfachheithalber w statt w D

23 Weiter A e λt (c cos ωt dλ cos ωt dω sin ωt +θλ 2 cos ωt + 2θλω sin ωt θω 2 cos ωt ) = 0 A e λt cos ωt c dλ + θλ 2 θω 2 = A e λt sin ωt ( dω 2θλω) Dies gilt fuer alle t; daraus folgt: (...) = 0 (,,,) = 0 Zeitkonstante λ: dω 2θλω = 0 λ = d 2θ ω: c dλ + θλ 2 θω 2 = 0 ω = λ 2 + c θ dλ θ = d2 4θ 2 + c θ d2 2θ 2 = c θ d2 4θ 2 φ t = A e d 2θ cos Frank Hartmann c θ d2 4θ 2 t Kann man auch mit dem LCR Schwingkreis vergleichen

24 Und hier nochmal fuer eine Federschwingung Masse m; Dämpfung b; Federkonstante k: Auslenkung x(t) ansonsten alles gleich kx + bx + mx = 0 Ansatz: x t = A e λt cos ωt x t = λa e λt cos ωt ωa e λt sin (ωt) x t = +λ 2 A e λt cos ωt + λωa e λt sin ωt +λωa e λt sin ωt ω 2 Ae λt cos ωt A e λt (k cos ωt bλ cos ωt bω sin ωt +mλ 2 cos ωt + mλω sin ωt + mλω sin ωt mλω 2 cos ωt ) = 0 Zeitkonstante λ: bω 2mλω = 0 λ = b 2m ω: k bλ + mλ 2 mω 2 = 0 ω = λ 2 + k m bλ m = b2 4m 2 + k m b2 2m 2 = c m b2 4m 2 x t 24 = A e b 2m cos Frank Hartmann k m b2 4m 2 t

25 Wie sieht das Ganze aus? x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 Abklingzeit: Lebensdauer: λ = b 2m ; b = 0: freie Schwingung: ω = k m x t = A cos k m t Frank Hartmann

26 Wie sieht das Ganze aus? x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 Abklingzeit: Lebensdauer: λ = b 2m ; Einhüllende Schwingfall ω 0 2 > δ 2 ω > 0 x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t Frank Hartmann

27 Wie sieht das Ganze aus? x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 Abklingzeit: Lebensdauer: λ = b 2m ; Einhüllende Aperiodischer Grenzfall ω 0 2 = δ 2 ω = 0 cos0 = 1 x t = e b 2m x t = e b 2m Frank Hartmann

28 Wie sieht das Ganze aus? x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 Abklingzeit: Lebensdauer: λ = b 2m ; Einhüllende ω 0 2 < δ 2 ω ist imaginaer Kriechfall: Überdämpfung: Dämpfung ist stärker als Schwingung und die Schwingung schafft keine Periode ; der Cosinusansatz ist ungültig Frank Hartmann

29 Alles A) Schwingfall: ω 2 0 > δ 2 ; ω > 0 B) Aperiodischer Grenzfall ω 2 0 = δ 2 ω = 0 schnellstes Abklingen auf Null C) Kriechfall: ω 2 0 < δ 2 ω ist imaginaer ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ Frank Hartmann LCR Schwingkreis funktioniert genauso

30 Wellenfunktion: y x, t = A sin (kx ωt) beschreibt eine Welle, welche sich in positiver x- Richtung ausbreitet Unsere Welle bewegt sich in negativer x-richtung v = ω k = 314s m 1 = 5 m s Frank Hartmann

31 Wellenlaenge: λ = 2π k = 2π = 10cm 62.8m 1 f = ω 2π = 314s 1 2π = 50s 1 = 50Hz T = 1 f = 0.02s Frank Hartmann

32 v max = Max(y x, t ) y x, t = Aωcos (kx ωt) Kann man jetzt eine Maximalaufgabe draus machen; ableiten und Ableitung gleich null setzen oder man weiß, dass ein Cosinus maximal 1 oder -1 sein kann v max = Max y x, t = Aω = 0.001m 314s 1 = m s Frank Hartmann

33 y 30cm, t = 0,001m sin ( 30cm m 62,8 314s 1 t) y 30cm, t = 0,001m sin (94,2 314s 1 t) Frank Hartmann

34 Welle (n,l): Ausbreitung mit Wellengeschwindigkeit c; unabhängig von der Quelle. Wenn sich nun die Quelle mit der Geschwindigkeit v bewegt wird die nächste Wellenfront an anderer Stelle bezüglich der vorhergehenden Wellenfront ausgesendet Veränderung der realen Wellenlänge l und Frequenz f. Siehe Bild: l < l <l ; kleinere Wellenlänge höhere Frequenz Hier c = Lichtgeschwindigkeit c = λν l l Wegbewegen: λ = λ + Δx = λ + v t = c + v ν ν + Δν = ν = c λ = c c + v ν v = c ν + Δν c V l WIKIPEDIA Frank Hartmann

35 Größere Wellenlänge kleinere Frequenz Δν = 293Hz v = Wegbewegen: λ = λ + Δx = λ + v t = c + v ν ν Δν = ν = c λ = c c + v ν v = c ν Δν c c ν Δν c = m s Hier Weg: Quelle-Empfaenger-Quelle, darum fehlt ein Faktor 2 4.4m/s = 2v v=2.2m/s = 4.4 m s Frank Hartmann

36 1) negativ interferieren können sie schon, sie Können sich nur nicht auslöschen. 2) Ja 3) Nein, sie müssen zusätzlich Gegenphasig (p verschoben) sein 4) Nein, dann verstärken sie sich 5) Ja p { Frank Hartmann

37 a d d a = tan θ sin θ sin (θ ) Wege/Längen L Konstr. Interferenz: L 1 = L 2 ± nλ Auslöschung: L 1 = L 2 ± 2n+1 λ 2 (Verschiebung π; 3π; 5π, etc. ) q b q a Frank Hartmann Δs = b sin θ b d a d Konstr. Interf: Δs = b sin Θ tan θ = d a = nλ sin θ = nλ b d = λ a b

38 tan θ = d a sin θ = nλ b d = λ a b λ = b sin θ n = 1, m 5 sin9.8 = 545nm Frank Hartmann

39 Maximum bei Δs = nλ = λ mit n = 1) θ θ θ Teil 1 sin θ = Δs b = λ b = 600nm 1mm θ = arcsin 600nm 1mm θ = arcsin = 0.6 mrad = nm 0.01mm = 0.06 rad = 3.4

40 von Teil 1: sin θ = Δs b = λ b b θ Teil 2 tan θ = d 2a sin θ = λ b Frank Hartmann b = 2aλ d 1,58m 633nm = = 50μm 20mm

41 BACKUP Frank Hartmann

42 Oder via komplexe Zahlen Frank Hartmann

43 Frank Hartmann