Übungsblatt 04. PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Hans-Dieter Vollmer,

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1 Übungsblatt 04 PHYS400 Grunkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Hans-Dieter Vollmer, bzw Aufgaben. Der Operator A sei proportional zur Ableitung nach er Ortskoorinate,.h. es sei A : α. x Wie muss ie Konstante α gewählt weren, amit A ein hermitescher Operator ist? 2. Der Kommutator er Operatoren A,B wir efiniert urch [A,B] : AB BA. Zeigen Sie ie folgenen Rechenregeln für Operatoren A,B,...: a) [A,B] [B,A] b) [A,B + C] [A,B] + [A,C] c) [AB,C] A[B,C] + [A,C]B ) [A,BC] [A,B]C + B[A,C] e) Berechnen Sie amit en Ausruck [AB,CD]. f) Berechnen Sie in er Ortsarstellung en Kommutator von Impulsoperator p x un Ortsoperator x: [p i x x,x]. 3. Ausgehen von em Kommutator [x,p] soll gezeigt weren (p ist hier er Impulsoperator er x-komponente): a) Wenn G(x) eine Funktion von x ist, ie in eine Taylorreihe an er Stelle x 0 entwickelbar ist, so gilt: [p,g(x)] G(x). x b) Wenn F (p) eine Funktion es Operators p ist, ie an er Stelle p 0 in eine Taylorreihe entwickelbar ist, ann gilt: [x,f (p)] F (p) p. Übungsblatt vom bzw c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

2 2 PHYS 400 Grunkurs IV SH 2005 Übungsblatt x(t) f ( x,t) xf( x,t) V ist er zeitabhängige Mittelwert es Ortes eines Teilchens, essen Wellenfunktion f( x,t) ie quantenmechanische Bewegung beschreibt. Das Teilchen bewege sich in einem Potential V ( x), so ass er Hamiltonoperator urch H( x) 2 + V ( x) gegeben ist. Berechnen Sie 2m ie Zeitableitung es Mittelwerts f x(t) inem Sie benutzen, ass ie t t zeitabhängige Schröingergleichung erfüllen muss. Leiten Sie so ie folgene Differentialgleichung her: t x m p 5. Berechnen Sie ie Zeitableitung es Impulses in gleicher Weise wie in er vorhergehenen Aufgabe un zeigen Sie amit ie Bewegungsgleichung p grav ( x). t Was ergibt sich urch Elimination es Impulsmittelwerts aus en beien Differentialgleichungen? Interpretieren Sie as Ergebnis. Übungsblatt vom bzw c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

3 Übungsblatt 04 PHYS 400 Grunkurs IV SH Lösungen. Die folgene Umformung eines Matrixelements ( f (x) α ) g(x)x x part. Int. ( α zeigt, ass ie Beingung für Hermitizität lautet: ) x f (x) ( α x f(x) g(x)x ) g(x)x α x! α x α α Re(α)+Im(α) (Re(α) Im(α)) 2Re(α) 0 Der Faktor muss also rein imaginär sein, wie ies beim Impulsoperator auch er Fall ist. 2. a) b) c) ) e) [A,B] AB BA (BA AB) [B,A] [A,B + C] A(B + C) (B + C)A AB + AC BA CA AB BA + AC CA [A,B] + [A,C] [AB,C] ABC CAB ABC CAB + (ACB ACB) }{{} 0 A(BC CB) + (AC CA)B A[B,C] + [A,C]B [A,BC] ABC BCA ABC BCA + (BAC BAC) }{{} 0 (AB BA)C + B(AC CA) [A,B]C + B[A,C] [AB,CD] A[B,CD]+[A,CD]B AC[B,D]+A[B,C]D+C[A,D]B+[A,C]D Übungsblatt vom bzw c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

4 4 PHYS 400 Grunkurs IV SH 2005 Übungsblatt 04 f) [ ] i x, x f(x) Symbolisch also: i [ i ( ) i x x x f(x) ( i x i ( f(x) + x x f(x) x ) x f(x) ] x, x i x xf(x) x i f(x) ) x f(x) 3. a) Taylorreihe er Funktion G(x) an er Stelle x 0: G(x) k G(x) x0 x k k! x k k! G(k) x k Damit folgt: [p, G(x)] k! G(k) [p,x k ] [p,x k ] [p,x]x k + x[p,x]x k x k [p,x] Somit: ( )x k + x( )x k 2... x k ( ) k x k x xk [x, G(x)] x k! G(k) [p,x k ] k! G(k) ( ) x xk k! G(k) x k x G(x) b) Taylorreihe es Operators F (p) an er Stelle p 0: F (p) k F (p) p0 p k k! p k k! F (k) p k Damit folgt: [x, F (p)] k! F (k) [x,p k ] [x,p k ] [x,p]p k + p[x,p]p k p k [x,p] ()p k + p()p k 2... p k () k p k p pk Übungsblatt vom bzw c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

5 Übungsblatt 04 PHYS 400 Grunkurs IV SH Somit: [x, F (p)] p k! F (k) [x,p k ] k! F (k) () p pk k! F (k) p k p F (p) 4. Der Mittelwert x(t) kann aus er Kenntnis er zeitabhängigen Wellenfunktion berechnet weren, ie Lösung er zeitabhängigen Schröingergleichung ist: f( x) Hf( x), f ( x) Hf ( x). Dabei ist er Hamiltonoperator H( x) 2 + V ( x). Er ist nicht von er 2m Zeit abhängig! Damit gilt: t x(t) f ( x,t) xf( x,t) V t ( f ( x,t) xf( x,t) + f ( x,t) x f( x,t) ) V ( Hf (x,t) xf( x,t) + f ( x,t) x ) Hf( x,t) V ( Hf (x,t) xf( x,t) + f ( x,t) xhf( x,t)) V Hermitizität ( f (x,t)h( xf( x,t)) + f ( x,t) xhf( x,t)) V f ( x,t) [ x,h] f( x,t)v t x(t) [ x,h] Diese Gleichung besagt, ass ie Ableitung es Mittelwerts gleich em Mittelwert es Kommutators [ x,h] ist. Wenn man ie obige Rechnung genau betrachtet, stellt man fest, ass ie hier urchgeführten Umformungen nicht von x speziell Gebrauch machen. Die Rechnung lässt sich eshalb z.b. auch für en Impulsoperator so urchführen. Der Kommutator ist: [ ] p 2 [ x,h] x, 2m + V ( x) [ ] x, p 2 2m [ ] x, p 2 [x, x (p2 x + p 2 y + p 2 z)] [x, p 2 x] p x [x,p x ] + [x,p x ]p x 2p Übungsblatt vom bzw c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

6 6 PHYS 400 Grunkurs IV SH 2005 Übungsblatt 04 un amit [ x,h] m p un schließlich 5. Wir leiten wie oben her: [ p,h] t x(t) p m t p(t) [ p,h] [ p, p 2 2m + V ( x) ] [ p, V ( x)] V ( x) [ p,h] x [p x, V ( x)] x [ p,h] grav ( x) p(t) grav ( x) t Dies ist as Newtonsche Grungesetz für ie Mittelwerte. Durch Eliminiation es Impulsmittelwerts ergibt sich t p(t) m t p m m 2 x(t) grav ( x), t2 also schließlich as Newtonsche Grungesetz für ie Mittelwerte mit er äußeren Kraft F grav ( x). Der Mittelwert es Orts bewegt sich nach nach em Newtonschen Grungesetz. Dies ist eine Formulierung es Ehrenfestschen Satzes. Übungsblatt vom bzw c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer