Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 150

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1 Mannheimer Manuskripe zu Risikoheorie, Porfolio Managemen und Versicherungswirschaf Nr. 150 Zum fairen Wer der Akienanlagen eines Lebensversicherungsunernehmens aus ökonomisch-saisischer Perspekive von Peer Albrech Mannheim 09/2003

2 Zum fairen Wer der Akienanlagen eines Lebensversicherungsunernehmens aus ökonomisch-saisischer Perspekive Prof. Dr. Peer Albrech Insiu für Versicherungswissenschaf Universiä Mannheim (Version: )

3 2 Inhalsverzeichnis 1. Einführung und Problemsellung 2. Theoreische Grundlagen zur Ermilung eines fairen Weres 2.1 Anforderungen an einen "fairen" Wer 2.2 Ausgangspunk: Going Concern-Prinzip 2.3 Maringal-Hypohese 2.4 Random Walk-Hypohese 2.5 Mean Reversion-Hypohese 3. Die Enwicklung des DAX-KGV 4. Eine DAX-Projekion 5. Langfrischaraker des Versicherungsgeschäfs und Bewerung 6. Zusammenfassung und Schlussfolgerungen Anhang A: Modellgrundlagen A.1: A.2: A.3: A.4: Anhang B: Bese Prädikion Maringal-Hypohese Random Walk-Hypohese Mean Reversion-Hypohese Saisische Analyse der DAX-KGV-Zeireihe B.1 Weiergehende exploraive Analyse B.2 Spezifikaion und Analyse der Basis-Regressionsgleichung Anhang C: Grundlagen einer DAX-Projekion Lieraurverzeichnis

4 3 1. Einführung und Problemsellung Der in den Jahren eingereene Kursverfall des DAX ha den Wer eines DAX- Porfolios in diesem Zeiraum mehr als halbier 1. Vor diesem Hinergrund sell sich die Frage, welche Werhaligkei dem Akienengagemen eines Lebensversicherungsunernehmens beizumessen und welcher Wermaßsab zur Einschäzung eines "fairen Weres" zu verwenden is. Dieser Fragesellung soll in diesem Beirag in grundsäzlicher Weise nachgegangen werden, d.h. zunächs 2 ohne Bezug auf die konkre güligen Rechnungslegungsvorschrifen. Die geselle Problemaik führ dabei auf eine Reihe von weieren zenralen Problemkreisen. Zunächs is die Frage zu klären, welche Anforderungen an die Spezifikaion eines "fairen Weres" aus modellheoreischer Perspekive zu sellen sind. Dann sell sich die Frage der anzuwendenden Bewerungsperspekive, konkre geh es um die Perspekiven "Unerne h- menszerschlagung" bzw. "dauerhafe Unernehmensforführung" (Going Concern-Hypohese). Des Weieren is dem Problemkreis nachzugehen, welche Modelle aus ökonomischsaisischer Perspekive zur Abbildung der Zufallsdynamik von Akienkursen angemessen sind. Insbesondere führ dies zur Fragesellung, ob eher die Random Walk-Hypohese oder eher die Mean Reversion-Hypohese den Kursverlauf auf Akienmärken angemessen repräsenier. Die Beanworung dieser Frage geschieh dabei uner Rückgriff auf neuere 3 saisische Evidenz hinsichlich des Vorliegens von Mean Reversion-Effeken für die Werenwicklung des Kurs/Gewinn-Verhälnisses des deuschen Akienindex (DAX). Da sich solche Mean Reversion-Effeke nich nowendigerweise über kurze oder auch mielfrisige Zeiräume einsellen müssen, is schließlich der Frage nachzugehen, inwiewei Lebensversicherungsunernehmen auch längere Phasen von Bewerungsunerreibungen durchsehen können, ohne dabei eine vorzeiige Liquidaion des Akienporfolios vornehmen zu müssen. Sämliche vorsehend dargelegen Problemkreise werden im Folgenden eingehend erörer Die realisiere (nich-annualisiere) Gesamrendie des DAX über diese drei Jahre ensprich einem Werverlus von 58%, vgl. im Einzelnen ewa Albrech (2003). Die Folgerungen im Rahmen eines De lege laa-ansazes sollen in einem separaen Beirag gezogen werden. Vgl. Albrech/Kanar (2003).

5 4 2. Theoreische Grundlagen zur Ermilung eines fairen Weres 2.1 Anforderungen an einen "fairen" Wer Der Terminus "fairer" Wer wird in der wissenschaflichen Lieraur höchs unerschiedlich versanden und konkreisier 4. Es is nich das Ziel der vorliegenden Ausarbeiung, hierzu eine kriische Lieraurdiskussion zu führen, die auf eine einheiliche Begriffsbildung abziel. Es genüg, die Anforderungen an einen "fairen Wer" im vorliegenden Konex der Bewerung eines Akienporfolios zu spezifizieren. Zunächs is dies die (A) Anforderung der Modellgesüzhei. Im vorliegenden ökonomischen Konex der Bewerung auf Kapialmärken dienen als relevane Modelle vor allem ökonomische Gleichgewichsmodelle uner Risiko. Als zweie Bedingung sellen wir die (B) Anforderung der saisischen Repräsenanz. Dies beriff sowohl die Frage der saisischen Idenifizierbarkei des ökonomischen Modells als auch die Eigenschaf, dass das Modell die Daen angemessen repräsenier und dami auf der Grundlage des verwendeen Modells auch Aussagen über die Realiä geroffen werden können. Schließlich soll auf im Rahmen eines ökonomisch begründeen und saisisch angemessenen Modells der dem Akienporfolio beizulegende Wer die vorhandenen Informaionen "besmöglich" widerspiegeln. Dami kommen wir zur (C) Anforderung der besmöglichen Wereinschäzung. 4 Um nur einige Beispiele, ohne jeglichen Anspruch auf Vollsändigkei, zu nennen: Im Rechnungswesen exisieren die Konzepionen des "Fair Value Accouning" und des "Fair Value", die noch Gegensand der weieren Ausführungen sein werden. Von "acuarially fair" sprich man bei Anwendung des Äquivalenzprinzips. Von einem "fairen Spiel" ("fair game") sprich man bei Vorliegen der Maringaleigenschaf, vgl. hierzu Anhang A.2. In der ökonomischen Lieraur sprich man von einem fairen Wer, wenn dieser das Ergebnis eines Gleichgewichsmodells is (z.b. des Capial Asse Pricing-Modells oder eines opionspreisheoreischen Modells um nur zwei Beispiele zu nennen).

6 5 Modellheoreisch führ 5 diese Anforderung auf die Theorie der besen Prädikion bzw. des besen Prädikors. Diese is uner der Sandardannahme, dass als (zu minimierendes) Güekrierium der milere quadraische Fehler (Mean Square Error, MSE) verwende wird in Anhang A.1 kurz dargesell. Die im Weieren diskuieren Modelle, nämlich Maringal, Random Walk sowie AR(1)- Prozess, sind die finanzmahemaischen Sandardmodelle, mi denen die Zufallsdynamik der Enwicklung von Akienporfolios, Akienindices sowie Einzelakien beschrieben wird. Alle diese Modelle können sowohl ökonomisch fundier 6 als auch saisisch idenifizier 7 werden. Ebenso sind im Rahmen dieser Modelle jeweils besmögliche Wereinschäzungen im Sinne der besen Prädikion möglich. Alle drei in den folgenden Abschnien eingehender behandelen Modelle sind daher nich nur finanzmahemaische Sandardmodelle, sondern erfüllen auch sämliche der posulieren Anforderungen. Zuvor is aber zunächs einmal die Bewerungsperspekive abzuklären. 2.2 Ausgangspunk: Going Concern-Prinzip Grundsäzlicher Ausgangspunk der im Weieren durchgeführen Analysen zur Ermilung eines fairen Weres des Akienporfolios eines Unernehmens is die Prämisse der Forführung der Unernehmensäigkei (Going Concern-Prinzip). Uner der Alernaivprämisse, der Unernehmensliquidaion (Unernehmenszerschlagung) müssen die Akiva des Unernehmens zum jeweiligen Markwer veräußer werden, insofern is eine Markbewerung uner der Perspekive einer Unernehmenszerschlagung nur konsequen. Die Einnahme einer solchen Perspekive is jedoch primär ein relevaner Gesichspunk im Rahmen einer Liquidiäsanalyse 8. Im Hinblick auf die Ersellung eines Jahresabschlusses is Dabei wird wesenlich von einem prospekiven Versändnis der Informaionsfunkion der Rechnungslegung ausgegangen. Das Maringalmodell wird üblicherweise im Konex der Markeffizienzhese gesehen, vgl. für einen Überblick ewa LeRoy (1989). (Muliplikaiver) Random Walk bzw. AR(1)-Prozess werden in der Kapialmarkheorie zumeis in ihrer zeiseigen Spezifizierung als Geomerische Brownsche Bewegung, vgl. hierzu ewa Albrech/Maurer (2002, S. 148 ff.), bzw. als Ornsein/Uhlenbeck -Prozess, vgl. ebenda, S. 152 f., berache. Im Rahmen der vorliegenden Arbei gehen wir dabei jeweils von der allgemeinen zeidiskreen Variane aus. Für das Maringal vgl. hierzu ewa LeRoy (1989, S ff.). Für Random Walk bzw. AR(1)-Prozess vgl. die Ausführungen im Rahmen der weieren Arbei sowie Albrech/Kanar (2003). Vgl. hierzu ewa Coenenberg (2003, S. 962) oder Küing/Weber (2001, S. 79).

7 6 hingegen der Grundsaz der Forführung der Unernehmensäigkei ein im Handelsgesezbuch 9 10 kodifizierer Grundsaz ordnungsgemäßer Buchführung 11. Nach dem Going Concern-Prinzip is demnach bei der Bewerung der Vermögenswere und Schulden im Jahresabschluss von der Prämisse auszugehen, dass das Unernehmen über den Abschlusssichag hinaus forgeführ wird. Küing/Weber (2003, S. 159) schreiben hierzu: "Die Bewerung in der Handelsbilanz soll sich demnach... an der berieblichen Realiä der Unernehmensforführung orienieren. Solange die Forführung des Unernehmens asächlich beabsichig und rechlich möglich is, sind die Vermögenswere infolgedessen gem. ihrer asächlich beabsichigen Verwendung im normalen Leisungsprozeß des Unernehmens zu beweren Abs. 1 Nr. 2 verbiee dami grundsäzlich die auf Vorsichsüberlegungen basierende oder durch Zweifel "begründee" Unersellung einer Unernehmensze r- schlagung." Da im Zenrum des vorliegenden Beirags jedoch nich die Vornahme einer Liquidiäsanalyse oder die Aufsellung eines Liquidiäsplans seh, sondern die Ermilung eines fairen Weres des Akienporfolios eines Lebensversicherungsunernehmens bei Forführung der normalen Unernehmensäigkei, bilde das Going Concern-Prinzip die Prämisse der weieren Analysen. 2.3 Maringal-Hypohese Genüg die Werenwicklung eines Akienporfolios oder eines Akienindex, wie ewa des DAX, der Maringal-Hypohese 12, so sell der heuige bzw. der zulez beobachee Wer den besmöglichen Prognosewer 13 für den Wer zu einem (beliebigen) künfigen Zeipunk dar. Der heuige Markwer bzw. der Markwer zum Bilanzsichag würde in diesem Falle dem fairen Wer des Akienporfolios auch aus ökonomisch-saisischer Sich ensprechen. Der Markwer würde in diesem Falle auch jenseis seiner Eigenschaf als Zerschlagungswer, d.h. auch uner Anwendung der Going Concern-Hypohese, eine ökonomisch begründbare Konkreisierung der Konzepion eines fairen Weres darsellen Vgl. Par. 252 (1) HGB. Auch im Rahmen der Rechnungslegungsgrundsäze nach IAS zähl das Going Concern-Prinzip zu den Grundannahmen (underlying assumpions), vgl. hierzu Coenenberg (2003, S. 56). Vgl. hierzu ewa Coenenberg (2003, S. 45) oder Küing/Weber (2001, S. 195). Vgl. zu den formalen Aspeken die Ausführungen in Anhang A.2. Vgl. zu den formalen Aspeken die Darsellung in Anhang A.1.

8 7 Die Maringal-Hypohese wird ofmals in engem Zusammenhang mi der Hypohese der Kapialmarkeffizienz 14 gesehen. In einem effizienen Kapialmark reflekieren (grob gesag) die heuigen Preise bereis "alle" 15 den Invesoren am Mark verfügbaren Informaionen (Informaionseffizienz). Empirische Tess der Kapialmarkeffizienz laufen in der Regel 16 auf Tess der Maringal-Hypohese hinaus. Allerdings is dieser Übergang, wie LeRoy (1989) als Résumé 17 seiner Ausarbeiung zieh, mi einer Reihe von Problemen behafe. Für die Zwecke der vo r- liegenden Ausarbeiung sind allerdings die genauen Zusammenhänge zwischen Maringal- Hypohese und Effizienzhese weniger von Belang. Es genüg zu klären, ob die Maringal- Hypohese heoreisch sowie empirisch Besand ha. Aus heoreischer Sich is inzwischen geklär, dass die Maringal-Hypohese nich aufrech erhalen werden kann. Der "Beweis" der Maringaleigenschaf der Preise von Finanzieln durch Samuelson (1965, 1973) beruh esseniell 18 auf der kriischen Annahme der Risikoneuraliä der Invesoren. Läss man diese Annahme fallen, so zeig sich, dass im Rahmen allgemeiner Gleichgewichsmodelle Preise resulieren, die die Maringal-Hypohese verlezen 19. Campbell e al. (1997, S. 31) formulieren hierzu: "Therefore, despie he inuiive appeal ha he fair-game inerpreaion migh have, i has been shown ha he maringale propery is neiher a necessary nor a sufficien condiion for raionally deermined asse prices." Auch aus empirischer Sich 20 is die Maringal-Hypohese nich halbar. Akienkurse weisen ypischerweise eine posiive Drif auf (dies lieg begründe in dem Wachsum der zugrundeliegenden Volkswirschaf), dami is die Maringaleigenschaf bereis verlez 21. Aus empirischer Sich lieg somi ein Submaringal 22 vor, ensprechend wird im Zusammenhang mi der Zur Kapialmarkeffizienz vgl. ewa Campbell e al. (1997, S. 20 ff.), Lo (1996) oder Seiner/Bruns (2002, S. 41 ff.). Zu den verschiedenen Varianen der Effizienzhese in Termen unerschiedlicher Informaionsmengen vgl. ewa Campbell e al. (1997, S. 22). Vgl. zu dieser Aussage LeRoy (1989, S. 1613). Vgl. ebenda. Vgl. ebenda, S Die fundamenalen Beiräge hierzu sind LeRoy (1973) und Lucas (1978), man vgl. auch die Übersich in LeRoy (1989, S ff.). Vgl. hierzu ewa die Übersich in LeRoy (1989, S ff.) sowie die in Abschni 2.4 ziiere Lieraur zu Mean Reversion-Tendenzen auf Akienmärken. Vgl. hierzu die Eigenschafen eines Maringals in Anhang A.2. Vgl. hierzu Anhang A.2.

9 8 Hypohese der Kapialmarkeffizienz auch die Submaringal-Variane ins Spiel gebrach 23. Bei Vorliegen eines Submaringals is der akuelle Wer aber nich mehr der bese Prädikor für die künfige Werenwicklung. Fassen wir zusammen: Bei Güligkei der Maringal- Hypohese für die Enwicklung von Akienkursen wäre der Markwer der bese Prognosewer für den Wer des Akienporfolios zu einem (beliebigen) künfigen Zeipunk. Dami wäre der Markwer im Rahmen eines Going Concern-Ansazes eine ökonomisch begründbare Spezifikaion eines fairen Weres. Wie ausgeführ, is aber die Maringal-Hypohese weder heoreisch noch empirisch halbar. Dami verlier der Markwer aber seine Begründungsbasis im Rahmen von ökonomischen (Gleichgewichs-)Modellen 24. Dies zeig zugleich, dass das Versändnis des Markweres als Fair Value gemäß der naionalen und inernaionalen Rechnungslegungsnormen 25 nich nowendigerweise ein Fair Value im Sinne eines ökonomischen Gleichgewichsansazes is, sondern sich das Aribu fair primär auf die Objekivierbarkei des beizulegenden Weres (Orienierung an Markransakionen und nich an der individuellen Einschäzung) bezieh. Dies is aber ein fundamenaler Unerschied und relaivier dami die Begründungsbasis für die (inernaionale) Vorherrschaf des Fair Value-Paradigmas erheblich. Gerade der dramaische Kur s- verfall der Akienmärke in den Jahren besäig eindrucksvoll, dass die Markwere z.b. des Jahres 1999 keinesfalls faire Widerspiegelungen des wahren Weres der zugrundeliegenden Akien gewesen sind, sondern im Gegeneil eher erhebliche Informaionsverzerrungen beinhale haben. Insofern erschein die z.b. von Coenenberg (2003, S. 107) geroffene Übersezung des Fair Value als "beizulegender Zeiwer" vollsändig angemessen und enmysifizier den Fair Value in begrüßenswerer Weise Vgl. hierzu ursprünglich Fama (1976) sowie ewa Perridon/Seiner (2002, S. 223) oder Seiner/Bruns (2002, S. 43). Zugleich zeig dies, dass die in Coenenberg (2003, S. 107) zu findende Charakerisierung, dass das Ziel einer Fair Value-Bewerung "die Bündelung der am Mark bezüglich des Bewerungsobjeks vorhandenen Informaionen in der Rechnungslegung" sei, sich nur auf die aus diesen Informaionen resulierenden Markpreise bezieh und nich auf eine Bündelung dieser Informaionen im Sinne einer besen Prädikion. Zur Fair Value-Konzepion gemäß HGB, IAS und US-GAAP vgl. eingehend Coenenberg (2003, S. 107 ff.). Uner dem Fair Value eines Vermögensweres oder einer Schuld wird dabei grundsäzlich derjenige Berag versanden, zu dem zwei voneinander unabhängige Pareien mi Sachversand und Abschlusswillen berei wären, das Asse zu auschen bzw. die Liabiliy zu begleichen. Vorausgesez wird dabei, dass die Transakion uner marküblichen Bedingungen (arm's lengh ransacion) und ohne Abschlusszwang erfolg. Sofern die zu bewerenden Posiionen auf Märken gehandel werden, wird dabei häufig der Markwer als Anhalspunk für die Besimmung des Fair Value herangezogen.

10 9 2.4 Random Walk-Hypohese Das wahrscheinlichkeisheoreisch-saisische Basismodell zur Modellierung von Akienkursenwicklungen is der Random Walk 26 (mi Drif 27 ). Die Güligkei der Random Walk- Hypohese ha eine Reihe von zenralen Konsequenzen für die Prognosizierbarkei (Predicabiliy) der künfigen Akienkursenwicklung. Diesen Konsequenzen soll im Folgenden näher nachgegangen werden. Zunächs einmal sind im Falle des Vorliegens eines Random Walk wie beim Maringal die Werveränderungen aufeinanderfolgender Perioden nich korrelier, d.h. es beseh diesbezüglich kein (linearer) saisischer Zusammenhang. Enscheidend und auch im Unerschied zum Maringal für die Prognosizierbarkei is aber eine zweie Eigenschaf 28 des Random Walk, die mögliche Aufschaukelung von Fehlern (Schocks). Dies führ dazu, dass die Abweichungen des Random Walk von seinem Basisrend in sysemaischer Hinsich beliebig groß werden können. Shiller/Perron (1985, S. 381) charakerisieren diese Random Walk- Eigenschaf folgendermaßen: "In he finance conex, he random walk null hypohesis means ha price p can never be described as "oo high (i.e., ha i can be expeced o fall in he fuure) or "oo low (i.e., ha i can be expeced o rise in he fuure)." Insofern is die erwaree Enwicklung keine zuverlässige Prognose für die sich künfig realisierende Enwicklung. Das Random Walk-Modell beinhale daher im Kern eine Nich- Prognosizierbarkei der künfigen Werveränderungen. Dami läss sich zugleich der Ansaz des Markweres zur Bewerung eines Akienporfolios nich auf der Basis der Random Walk-Hypohese begründen. Über die Eigenschaf als fairer im Sinne eines objekivierbaren Weres hinaus beseh hier keine weiergehende Subsaniierung der Vorzugswürdigkei des Markweres auf der Basis einer ökonomischen oder saisischen Modelleigenschaf. Allerdings exisier bei Vorliegen eines Random Walk auch kein anderer Wer, dem die Eigenschaf eines fairen Weres im Sinne einer ökonomischen Modellierung zugeschrieben Grundsäzlich zum Modell des Random Walk vgl. Albrech/Maurer (2002, S. 140 ff.) sowie die Ausführungen in Anhang A.3. Die Exis enz eines Drifs auf Akienmärken implizier zugleich wie bereis ausgeführ die Verlezung der Maringaleigenschaf. Vgl. zu den formalen Aspeken Anhang A.3.

11 10 werden kann. Zumindes aus ökonomisch-saisischer Modellperspekive is somi das Vo r- liegen eines Random Walks ewas misslich. Aus pragmaischen Gründen würde man sich dann doch wieder auf den Markwer zurückziehen müssen, denn dieser erfüll zumindes das Güekrierium der Objekivierbarkei und es exisier kein alernaiver Wer, dem überlegene Güeeigenschafen zugeschrieben werden können. 2.5 Mean Reversion-Hypohese Ein alernaives wahrscheinlichkeisheoreisch-saisisches Modell is der auoregressive Prozess erser Ordnung, kurz AR(1)-Prozess 29, der im Weieren als Basismodell für die Erfassung eines Mean Reversion-Effekes dien. AR(1)-Prozesse weisen ein langfrisiges Miel auf, der Werverlauf des Prozesses wird bei emporären Abweichungen mi einer gewissen Elasiziä auf dieses Langfrismiel hingezogen. Im Unerschied zum Random Walk kann es dami nich in sysemaischer Hinsich zu beliebig großen Abweichungen vom zugrundeliegenden Trend kommen. In Termen der besen Prädikion 30 (im Sinne des mileren quadraischen Fehlers) implizier dies, dass der Einfluss der momenanen Abweichung vom Langfrismiel (mi geomerischer Rae) abnimm und sich der besmögliche Prognosewer mi seigender Länge des Projekionshorizons immer mehr dem Langfrismiel annäher. Die (empirische) Güligkei der Mean Reversion-Hypohese repräsenier durch einen AR(1)-Prozess ha offenbar dramaische Auswirkungen in bezug auf das Paradigma des "Fair Value-Accouning" bzw. auf die im (inernaionalen) Rechnungswesen vorherrschende Markwersich. Bei Validiä der Mean Reversion-Hypohese is nich der Markwer der bese Prädikor für den "fairen Wer", sondern das Langfrismiel des AR(1)-Prozesses. Der Markwer als dominaner Bewerungsmaßsab wäre dami nachhalig erschüer 31. Da wie in Abschni 2.3 ausgeführ die Maringal-Hypohese weder heoreisch noch empirisch halbar is, spiz sich die Frage nach der Spezifikaion eines fairen Weres, zu dem ein Zu den formalen Aspeken eines AR(1)-Prozesses vgl. ewa Hamilon (1994, S. 53 ff.) sowie die Ausführungen in Anhang A.4 Vgl. zu den formalen Aspeken Anhang A.4. So auch McCarhy (2003, S. 93) in seiner Besprechung zu Campbell/Viceira (2002): The evidence of his book seems o suppor he fac ha he equiy markes do have some elemen of mean reversion, posing a challenge for fair-value accouning gurus."

12 11 Akienporfolio bewere werden kann, somi zu auf die Frage "Random Walk oder Mean Reversion?". Im ersen Falle wäre wenn auch mehr aus pragmaischer Sich 32 der Markwer anzusezen, im lezeren Falle wäre das Langfrismiel des AR(1)-Prozesses die ökonomischsaisisch begründee Spezifikaion eines fairen Weres. Zur Frage "Random Walk oder Mean Reversion?" exisieren inzwischen eine Reihe von wissenschaflichen Unersuchungen. Fama/French (1988), Lo/MacKinlay (1988) sowie Poerba/Summers (1988) waren die ersen Beiräge, in denen Hinweise dokumenier wurden, dass zwar über kurze und milere Fris die Random Walk-Hypohese für die Modellierung von Kursenwicklungen auf Akienmärken angemessen is, über lange Zeihorizone jedoch Mean Reversion-Effeke in Akienkurszeireihen exisieren. Die Ergebnisse dieser frühen Arbeien wurden in jüngerer Zei erhäre durch die Beiräge von Balvers/Wu/Gilliland (2000), Campbell/Viceira (1999, 2002) sowie für den deuschen Akienmark akuell von Ebers (2003). Im Unerschied zu den vorsehenden Arbeien, bei der die Analysen auf der reinen Kurs- bzw. Rendieebene durchgeführ wurden, wird in dem Beirag von Albrech/Kanar (2003) eine ensprechende Analyse auf Fundamenalebene in Termen der Enwicklung des Kurs/Gewinn- Verhälnisses (KGV) durchgeführ 33 Eine Analyse auf der KGV-Ebene is aus unserer Sich zu präferieren, denn die Kursbildung auf Akienmärken is nowendigerweise in einem ökonomischen Konex zu sehen. Sie is das Ergebnis einer ökonomischen Bewerung und wird zenral beeinfluss durch die Gewinnenwicklung der jeweils beracheen Unernehmen. Im Weieren folgen wir der Vorgehensweise und der Analyse von Albrech/Kanar (2003) und präsenieren in den Abschnien 3 und 4 sowie in Anhang B einige der elemenaren Ergebnisse dieser Arbei Da wie in Abschni 2.4 ausgeführ im Rahmen eines Random Walk kein ensprechender fairer Prognosewer exisier. Die so gewähle Vorgehensweise knüpf an an die Ergebnisse in Albrech (2001), der auf der Basis einer fundamenalen Analyse für den Deuschen Akienmark zu dem Schluss kam, dass die Random Walk- Hypohese über längere Zeiräume nich aufrecherhalen werden kann. In der Ausarbeiung Albrech/Kanar (2003) seh primär die saisische Analyse der KGV-Enwicklung des DAX im Vordergrund. Insbesondere werden eine Reihe von formalen saisischen Tess zur Überprüfung der Hypohesen "Random Walk versus Mean Reversion" durchgeführ.

13 12 3. Die Enwicklung des DAX-KGV Ausgangspunk der weieren Analyse is die in der (kommerziellen) Daenbank Daasream enhalene Zeireihe der Kurs/Gewinn-Verhälnisse des DAX auf Monasbasis. Um sowohl zu einem akuellen als auch repräsenaiven Sample zu kommen, legen wir den weieren Analysen ausgehend von dem akuells verfügbaren KGV-Wer des Monas 06/2003 eine 30-jährige Hisorie zugrunde, d.h. die analysiere Daenreihe beseh aus den KGV-Weren von 07/ /2003. Dies sind insgesam 360 Were. Sämliche weiere saisische Auswerungen wurden mi dem Ökonomerieprogramm EViews 4.1 durchgeführ. Abbildung 1 zeig zunächs die Enwicklung dieser Zeireihe in einer graphischen Darsellung KGV_M Abb. 1: Enwicklung des DAX-KGV von 07/73 06/03 auf monalicher Basis (Quelle: Daasream) Wie die graphische Darsellung deulich mach, beweg sich das KGV auf Monasbasis wei überwiegend in einer Range von Werden diese Were uner- oder überschrien, wird früher oder späer eine Gegenreakion ausgelös, die die KGV-Were zurück in diese Range reib. Langfrisige Unerschreiungen eines KGV-Weres von 10 können ebenso wie längere Überschreiungen der Marke von 20 als Marküberreibungen gewere werden. Kurzfrisige Unerschreiungen der Marke von 10 sind in den Monaen 10/81, 09/01 und 03/03 zu konsaieren, eine längere Unerschreiungsphase is von 10/79 bis 05/81 zu verzeichnen. Der realisiere Tiefswer is 8.50 (dies geschah in den Monaen 01/81 und 02/81). Eher kurzfrisige

14 13 Überschreiungen der 20er Marke sind zu konsaieren in den Monaen 04/93, 08/93 12/93, 06/ /97, 12/97, 02/98 07/98, 01/99, 06/ /01 sowie 11/ /01. Nur in der lezen Boomphase der Akienmärke is eine länger anhalende Überschreiung der Marke von 20 zu verzeichnen, konkre war dies die Periode 04/99 01/01. Der realisiere Maximalwer war dabei Die nachfolgende Tabelle enhäl noch die Angaben über Mielwer sowie ausgewähle Quanile 35 der DAX-KGV-Reihe. Mielwer Median 99%-Quanil 95%-Quanil 90%-Quanil 10%-Quanil 5%-Quanil 1%-Quanil Tab. 1: Mielwer und Quanile der bereinigen DAX-KGV-Reihe 07/73 06/03 Nimm man das 10%-Quanil 36 bzw. das 90%-Quanil 37 als Maßsab für eine "normale" KGV- Range, so deck sich dies weigehend mi der bereis gegebenen visuellen Einschäzung, dass dies die Zone zwischen 10 und 20 is. Bei Verwendung des 5%- bzw. 95%-Quanils als Maßsab für eine normale KGV-Range wird diese Zone noch ewas ausgedehn. Schon eine erse Inspekion der empirischen Daenlage sprich dami durchaus für die Mean Reversion-These, denn es offenbar sich ein ypisches Rückkehrverhalen in die KGV-Zone Eine beliebige KGV-Seigerung bzw. beliebige KGV-Verminderung, wie sie bei einem Random Walk möglich wäre, is nich zu verzeichnen. Eine weiergehende exploraive Analyse der DAX-KGV-Reihe is in Anhang B.1 zu finden. Eine Analyse auf der Grundlage formaler saisischer Tess (Einheiswurzeless, Saionariäsess) wird in Albrech/Kanar (2003) vorgenommen. Sämliche Ergebnisse sprechen eindeuig und in einheilicher Weise dafür, dass die Hypohese des AR(1)-Prozesses die analysiere Zeireihe besser saisisch repräsenier als der Random Walk Zu den Quanilen einer Vereilung vgl. allgemein ewa Albrech/Maurer (2002, S. 112 ff.). Derjenige KGV-Wer, der nur in 10% der Fälle unerschrien wird. Derjenige KGV-Wer, der nur in 10% der Fälle überschrien wird.

15 14 Dami is nich der akuelle Wer (hier des KGV) der bese Prädikor für den "fairen Wer", sondern das Langfrismiel des AR(1)-Prozesses. Den Konsequenzen hieraus soll im Folgenden nachgegangen werden. 4. Eine DAX-Projekion Ansazpunk für eine DAX-Projekion is zunächs die in Anhang B.2 idenifiziere und verifiziere Regressionsgleichung (B.2) und der dami verbundene langfrisige Gleichgewich s- wer des AR(1)-Prozesses in Höhe eines KGV-Weres von Als weierer Ausgangspunk dienen die empirischen Verhälnisse per Ulimo Zu diesem Zeipunk is ein DAX- Sand von zu verzeichnen, das zugehörige DAX-KGV weis einen Wer von auf. Gemessen am 10%-Quanil in Höhe von 10.8 der KGV-Reihe, vgl. Tabelle 1, war dami der DAX prakisch an der Grenze zu einer sysemaischen Unerbewerung. Gegeben diese Ausgangssiuaion beräg die rechnerische Gewinngröße pro DAX-KGV-Punk Uner Anwendung des langfrisigen Gleichgewichsweres für die DAX-KGV-Reihe in Höhe von m =14. 80, ergib sich daraus ein ensprechender DAX-Sand von Dies beinhale zunächs eine DAX-Prognose bei Anwendung des Gleichgewichs-KGVs und bei unveränderer Gewinnsiuaion. 38 Eine DAX-Projekion uner Berücksichigung des künfigen Gewinnwachsums erhäl man des Weieren auf die in Anhang C formal dargeselle Weise. Der projiziere DAX-Sand häng dabei ab vom KGV-Wachsum, vom Gewinnwachsum und vom angenommenen Sarwer des DAX. Ausgangskurs und Ausgangs-KGV sind bekann. Das KGV-Wachsum ergib sich als das Verhälnis des Gleichgewichs-KGVs in Höhe von zu dem Ausgangs-KGV. Offen is dami nur noch die Subsaniierung der Gewinnwachsumsrae. Diese kann man aus den ensprechenden Weren der Daasream-Daenbank für die Enwicklung des DAX sowie des DAX-KGVs berechnen. Für die Jahre ergib sich dabei ein durchschniliches jährliches Gewinnwachsum von 6.46%. Uner Ansaz dieses mileren Weres sowie der sonsigen bereis spezifizieren Annahmen ergib sich auf der Basis der Beziehung (C.2) des Anhangs C ein prognosizierer DAX-Sand von Diese Vorgehensweise nimm dabei eine einjährige Sichweise ein, d.h. unersell, dass das milere DAX-Wachsum für eine Projekionsperiode von einem Jahr wirksam 38 Eine idenische DAX-Projekion ergib sich bei Unersellung eines Gewinnwachsums von null, vgl. Anhang C.

16 15 is. Ensprechend kann man vorgehen, wenn man einen mehrjährigen Projekionszeiraum ansez und unersell, dass das angenommene milere DAX-Gewinnwachsum in Höhe von 6.46% über den gesamen Projekionszeiraum gülig is. Die Wahl eines mehrperiodigen Projekionszeiraums is auch deswegen plausibler, weil dann das KGV ensprechende Zei bekomm, sich auf sein Langfrismiel hin zu bewegen. Unersell man einen Projekionszeiraum von 3 Jahren, so führ dies zu einem DAX-Sand von , bei einem Projekionszeiraum von 5 Jahren führ dies zu einem Wer von Unersell wird dabei jeweils eine Bewerung der Gewinnsiuaion zum Gleichgewichs-KGV von Die Tabelle 2 fass die vorsehend gewonnenen Ergebnisse zusammen. DAX-Sand bei (a) unveränderer Gewinnsiuaion (bzw. Gewinnwachsum von null) (b) milerem Gewinnwachsum von 6.46% für 1 Jahr 3 Jahre 5 Jahre Tab. 2: Projiziere DAX-Sände bei Annahme eines Gleichgewichs-KGV von Langfrischaraker des Versicherungsgeschäfs und Bewerung Das zenrale Ergebnis des Abschnis 3 beseh darin, dass die Hypohese des AR(1)- Prozesses die analysiere Zeireihe (hier: DAX-KGV) besser saisisch repräsenier als der Random Walk. Dies is eine weiere Besäigung und Ergänzung der in der wissenschaflichen Lieraur 39 zu findenden Evidenz, dass an Akienmärken über längere Zeiräume Mean Reversion-Effeke besehen. Dami is nich mehr der akuelle Akienkurs bzw. der akuelle Wer eines Akienporfolios der bese Prädikor für eine faire Bewerung, sondern das aus der saisischen Repräsenierung der Daen (im Falle des DAX-KGVs: AR(1)-Prozess) resulierende Langfrismiel. Geh man von einem prospekiven Versändnis der Informaionsfunkion der Rechungslegung aus, so ensprich dieses Langfrismiel der besmöglichen Einschäzung des "inneren" Weres des analysieren Akienporfolios. Allerdings is anzumerken, dass die zenrale Mean Reversion-Eigenschaf, dass emporäre Abweichungen vom Langfrismiel früher oder späer korrigier werden, keine kausale Gesezmäßigkei is, sondern eine saisische. Die Dauer der Bereinigung einer solchen emporä- 39 Man vgl. hierzu die in Abschni 2.5 enhalenen Lieraurhinweise.

17 16 ren Abweichung is daher nich exak besimmbar, sondern zufallsabhängig. Ensprechend können Bewerungsüberreibungen oder Bewerungsunerreibungen auf Akienmärken auch längere Zei besehen bleiben. Insofern komm es bei der Verwendung eines solchen Bewerungsmaßsabes enscheidend auf die Fähigkei an, die Akienanlage auch während der Dauer einer solchen Bereinigungsphase von Bewerungsunerreibungen durchzuhalen, d.h. nich vorzeiig zu Markweren liquidieren zu müssen. Gerade bei Lebensversicherungsunerne h- men, allgemeiner bei Unernehmen der Personenversicherung, is diese Fähigkei aufgrund ihrer spezifischen Geschäfsäigkei, insbesondere der spezifischen Langfrisigkei der abgeschlossenen Versicherungsverräge, aber in subsanieller Hinsich gegeben. Auf diesen Gesichspunk soll im Folgenden noch näher eingegangen werden. Dabei is wie bereis in Abschni 2.2 ausgeführ zum Zwecke einer bilanziellen Bewerung 40 grundsäzlich von dem Going Concern-Prinzip auszugehen, d.h. von dem Einsaz der Akiva im normalen Leisungsprozess des Unernehmens. Unersellen wir dabei, dass das Neugeschäf nich dazu herangezogen werden soll, mögliche srukurelle Probleme (auf der Akivseie) des Besandes zu kompensieren, so is zur Abschä - zung der Nowendigkeien einer Auflösung der Akienposiion konsequenerweise hypoheisch von dem Fall eines Lebensversicherers auszugehen, der für einen Neuzugang geschlo s- sen und dessen Besand synchron zu der verragsgemäßen Fälligkei der Versicherungsleisungen "abgewickel" wird. Die dami einhergehende Abwicklung der Akiva wird naurgemäß sehr sark besimm sein von der Besandssrukur, insbesondere der Laufzeiensrukur der besehenden Versicherungsverräge. Gehen wir primär zu Illusraionszwecken aus von einem Besand mi einer (durchaus konservaiv angesezen) mileren Reslaufzei von 15 Jahren und nehmen ferner an, dass die Versicherungsleisungen über diesen Zeiraum in gleichmäßiger Weise fällig werden. Gehen wir des Weieren vereinfachend aus von einem Kapialanlageporfolio, das aus 80% Zinsieln und 20% Akien beseh. Lös man zunächs den Besand an Feszinsieln auf und geh ers danach an die Liquidierung der Akienposii- 40 Aber auch aus Sich einer Liquidiäsplanung können in der Lebensversicherung bzw. allgemeiner der Personenversicherung aufgrund der Sabiliä der biomerischen Rechnungsgrundlagen und der dami einhergehenden guen Prognosizierbarkei der Zeipunke sowie der Höhen der Versicherungsleisungen die in den nächsen Perioden benöigen liquiden Miel sehr sabil ermiel und im Rahmen eines Asse/Liabiliy- Maching durch ensprechende gu liquidierbare Asses bedeck werden. Nimm man noch das Fakum der Vorauszahlung der Prämien hinzu, so erkenn man, dass auch aus Sich der Liquidiäspoliik Nowendigkeien einer kurz- oder mielfrisigen Liquidierung von Akiva nur schwach ausgepräg sind. Hinzu komm, dass selbs dann zunächs die anderen Asseposiionen aufgelös werden können, die vom Umfang her die Akienposiion eines Lebensversicherers ja bei weiem dominieren.

18 17 on, so is eviden, dass rein rechnerisch zwölf Jahre vergehen, bevor die Nowendigkei zur graduellen Liquidierung von Akien beseh. Wenn auch sark vereinfachend und im konkreen Anwendungsfall im Hinblick auf die spezifische Ablauf- und Assesrukur des zu analysierenden Versicherungsunernehmens zu modifizieren, so mach dieses Beispiel doch sehr deulich, dass aufgrund des ausgeprägen Langfrischarakers des Lebens- bzw. allgemeiner des Personenversicherungsgeschäfs 41, eine Nowendigkei einer vor- oder frühzeiigen Auflösung der Akienposiion nich beseh, sondern das Gegeneil der Fall is. Dami läss sich die aus modellheoreischer Sich opimale Vorgehensweise einer bilanziellen Bewerung 42 der Akienposiion zum fairen langfrisigen, ewa wie in Abschni 4 besimmen, Wer geradezu idealypisch im Rahmen des konkreen Anwendungsfalls der Lebensversicherung realisieren und es schließ sich dami der Kreis der Argumene. Abschließend soll noch darauf hingewiesen werden, dass der in der vorliegenden Arbei he r- ausgearbeiee Grundgedanke der Nowendigkei einer längerfrisigen Perspekive für die Bewerung einer Akienanlage im Zusammenhang mi Akiviäen der Lebensversicherung oder allgemeiner der Personenversicherung auch im Rahmen der inernaionalen Rechnungslegung durchaus nich unbekann is. Konkrees Beispiel is das Saemen of Financial Accouning Sandards Nr. 87 hinsichlich des "Employers' Accouning for Pensions", mihin den Rechnungslegungsvorschrifen nach dem Regelwerk des Financial Accouning Sandards Boards (FASB) im Hinblick auf beriebliche Pensionsverpflichungen (die nach inernaionalen Gepflogenheien ypischerweise in beriebliche Pensionsfonds ausgelager sind). In Par. 30 der FAS 87 wird im Hinblick auf die Bewerung der Kapialanlagen des berieblichen Pensionsplans ausgeführ: "The expeced reurn on plan asses shall be deermined based on he expeced long-erm rae of reurn on plan asses and he marke-relaed value of plan asses. The marke-relaed value of plan asses shall be eiher fair value or a calculaed value ha recognizes changes in fair value in a sysemaic and raional manner over no more han five years. Differen ways of calculaing marke-relaed value may be used for differen classes of asses (for example, an employer migh use fair value for bonds and a five-year-moving-average value for equiies), bu he manner of deermining marke-relaed value shall be applied consisenly from year o year for each asse class So enhalen ewa auch die Erwägungsgründe zur EU -Pensionsfonds-Richlinie uner Punk (33) die explizie Fessellung, dass Einrichungen der berieblichen Alersvorsorge sehr langfrisige Invesoren mi geringen Liquidiäsrisiken und daher sogar in der Lage sind, in nich liquide Vermögenswere zu invesieren. Zum genauen Worlau vgl. ewa die Wiedergabe der EU-Pensionsfonds-Richlinie in Beriebliche Alersversorgung 3/2003, S Dies schließ keinesfalls aus, dass auch der Zeiwer der Akienposiion eines Lebensversicherers im Rahmen der Informaions- und Offenlegungspflichen des Jahresabschlusses darzulegen is. Dies würde jedoch im Anhang geschehen.

19 18 Es beseh mihin die Möglichkei des Ansazes eines Marke Relaed-Values, wobei dieser auf den Markweren der jeweils lezen (maximal) 5 Jahre beruh, beispielsweise auf dem ensprechenden gleienden Durchschniswer. Wenn dieser Ansaz auch eher als pragmaisch zu beureilen is und nich auf modellheoreischen Erwägungen beruh, wie der in dieser Arbei favorisiere Ansaz des Langfrismiels des zugrundeliegenden AR(1)-Prozesses, so weis er doch in die richige Richung und anerkenn, dass der Markwer im Zusammenhang mi langfrisigen Akiviäen (hier: Pensionsverpflichungen) nich nowendigerweise der angemessene bilanzielle Wer is. In Par.175 der FAS 87 wird zu dem Aspek der Volailiä ausgeführ: "... in he case of pension liabiliies, volailiy may no be enirely a faihful represenaion of changes in he saus of he obligaion.... I may also reflec an unavoidable inabiliy o predic accuraely he fuure evens ha are anicipaed in making period-o-period measuremens". Das FSAB weis somi explizi auf die Probleme hin, die eine periodische Rechnungslegung im Zusammenha ng mi langfrisigen Akiviäen induzier und negier, dass die hierdurch induziere Volailiä relevane Rechnungslegungsinformaionen beinhale. Die Regelungen der FAS 87 sind umso bemerkenswerer, als dass die zu bilanzierende Langfrisakiviä (Pensionsverpflichungen) hier nich wie im Falle von Lebensversicherungsoder Personenversicherungsunernehmen das Kerngeschäf der bereffenden Unernehmen darsell, sondern nur ein Akiviässegmen. Offenbar is also allein die Langfrisigkei der zu bilanzierenden Akiviä ausschlaggebend für die Verwerfung des Markweres als angemessenem Bilanzwer. 6. Zusammenfassung und Schlussfolgerungen Gegensand der vorliegenden Ausarbeiung is die Frage nach der Besimmung eines angemessenen Wermaßsabes zur Einschäzung des "fairen Weres" des Akienporfolios eines Lebensversicherungsunernehmens aus ökonomischer und saisischer Perspekive. Der zu besimmende "faire Wer" soll dabei besimmen grundlegenden Anforderungen genügen, der Anforderung der Modellgesüzhei, der Anforderung der saisischen Repräsenanz sowie der Anforderung der besmöglichen Wereinschäzung. Ausgangspunk is dabei das Going Concern-Prinzip, d.h. es wird in Einklang mi den Rechnungslegungsgrundsäzen nach HGB und IAS die Prämisse der Forsezung der Unernehmensäigkei gesez und die Er-

20 19 milung eines fairen Weres des Akienporfolios eines Lebensversicherungsunernehmens erfolg im Rahmen der normalen Unernehmensakiviäen. Es wird sodann dargeleg, dass die drei finanzmahemaischen Sandardmodelle Maringal, Random Walk und AR(1)Prozess lezeres als Basismodell für die Erfassung von Mean Reversion-Effeken grundsäzlich alle gesellen Anforderungen erfüllen und der modellgesüze faire Wer jeweils dem besen Prädikor (im Sinne der saisischen Theorie) des künfigen Weres, gegeben die akuell vorhandenen Informaionen, ensprich. Dami is der Wermaßsab (beser Prädikor) zur angesreben Ermilung eines fairen Weres gefunden und es muss zu seiner konkreen Spezifikaion nur noch geklär werden, welches der finanzmahemaischen Alernaivmodelle die Daen am besen repräsenier. Dabei sell sich heraus, dass die Maringal-Hypohese weder aus modellheoreischer noch aus empirischer Sich halbar is. Nur im Rahmen der Maringal-Hypohese erfüll aber der Markwer die Eigenschaf des besen Prädikors, d.h. nur in diesem Falle wäre er auch uner der dargelegen ökonomischen-saisischen Perspekive als fairer Wer anzusehen. Dies zeig zugleich, dass das Versändnis des Markweres als Fair Value gemäß der naionalen und inernaionalen Rechnungslegungsnormen nich nowendigerweise ein Fair Value im Sinne eines ökonomischen Gleichgewichsansazes is, sondern sich das Aribu fair primär auf die Objekivierbarkei des beizulegenden Weres (Orienierung an Markransakionen und nich an der individuellen Einschäzung) bezieh. Dies is aber ein fundamenaler Unerschied und relaivier dami die Begründungsbasis für die (inernaionale) Vorherrschaf des Fair Value- Paradigmas erheblich. Nich zulez der dramaische Kursverfall der Akienmärke in den Jahren besäig eindrucksvoll, dass die Markwere z.b. des Jahres 1999 keinesfalls faire Widerspiegelungen des wahren Weres der zugrundeliegenden Akien gewesen sind, sondern im Gegeneil eher erhebliche Informaionsverzerrungen beinhale haben. Da die Maringal- Hypohese weder heoreisch noch empirisch halbar is, spiz sich die Frage nach der Spezifikaion eines fairen Weres, zu dem ein Akienporfolio bewere werden kann, somi zu auf die Frage "Random Walk oder Mean Reversion?" Zur Klärung dieser Frage exisieren eine Reihe von einschlägigen wissenschaflichen Unersuchungen. Dabei wird im Rahmen der vorliegenden Ausarbeiung der Vorgehensweise von Albrech/Kanar (2003) gefolg, die Analyse nich wie bislang üblich auf der reinen Kurs- bzw. Rendieebene durchzuführen, sondern auf der Fundamenalebene in Termen der Enwicklung des Kurs/Gewinn-Verhälnisses (hier: des DAX). Da die Kursbildung auf Akienmärken nowendigerweise das Ergebnis einer ökonomischen Bewerung is und diese zenral durch die Ge-

21 20 winnenwicklung der jeweils beracheen Unernehmen besimm wird, is dieser Ansazpunk zu präferieren. Sämliche Ergebnisse der ensprechend durchgeführen saisischen Analysen sprechen eindeuig und in einheilicher Weise dafür, dass die Hypohese eines AR(1)-Prozesses die analysiere Zeireihe besser saisisch repräsenier als der Random Walk. Dami is nich der akuelle Wer (hier das KGV) der bese Prädikor für den "fairen" Wer, sondern das Langfris - miel des AR(1)-Prozesses. Dieses wird ermiel und nimm einen Wer in Höhe von 14.8 an. Ausgehend von dem solchermaßen ermielen Gleichgewichs-DAX-KGV können sodann auf der Basis unerschiedlicher Annahmen über das Gewinnwachsum und den Prognosehorizon korrespondierende Projekionen für den künfigen DAX-Sand vorgenommen werden. Diese Projekionen sellen im Rahmen der Zielsezung der Ermilung eines ökonomischsaisisch gesüzen fairen Weres eines Akienporfolios (hier repräsenier durch den DAX) eines Lebensversicherungsunernehmens die angesrebe Subsaniierung eines solchen fairen Weres dar. Abschließend wird begründe, dass die aus modellheoreischer Sich opimale Vorgehensweise einer bilanziellen Bewerung der Akienposiion zum fairen langfrisigen Wer sich geradezu idealypisch im Rahmen des konkreen Anwendungsfalls der Lebensversicherung bzw. allgemeiner der Personenversicherung realisieren läss. Aufgrund des ausgeprägen Langfrischarakers des Lebensversicherungsgeschäfs, begründe durch die spezifische Langfrisigkei der besehenden Versicherungsverhälnisse, besehen keine Nowendigkeien zu einer vor- oder frühzeiigen Auflösung der besehenden Akienposiion. Im Gegeneil, im Rahmen eines normalen Geschäfsberiebs beseh eine nachhalige Fähigkei der Lebensversicherer, auch sehr lange Bereinigungsphasen im Sinne von Bewerungsunerreibungen auf den Akienmärken durchzusehen, ohne dabei das Akienengagemen zu Markweren liquidieren zu müssen. Es wird in diesem Zusammenhang darauf hingewiesen, dass auch im Rahmen inernaionaler Rechnungslegungssandards Beispiele zu finden sind, bei Akiviäen mi yp i- schem Langfrischaraker nich vom Markwer als angemessenem bilanziellen Wer auszugehen. Exemplifizier wird dies am Beispiel der FAS 87, die das Employers' Accouning for Pensions behandel.

22 21 Anhang A: Modellgrundlagen A.1 Bese Prädikion Gehen wir aus von einer (zufallsabhängigen) Werenwicklung V,..., 0, V1 V, die wir bis zum Zeipunk beobache haben. Basisziel einer Prädikion (auch Prognose oder Projekion genann) der Werenwicklung is die Besimmung eines Prognoseweres V + zu einem zukünfigen Zeipunk + s ( s 1) gegeben die Informaion der bisher beobacheen Were, d.h. allgemein * s * V + s = F( V,..., V0 ). (A.1) Es läss sich nun zeigen 43, dass der bedinge Erwarungswer 44 E( V+ s V,..., V0) uner allen Funkionen F (die gewisse Regulariäsanforderungen erfüllen) einen minimalen quadraischen Prognosefehler 45 (Mean Square Error, MSE) aufweis, d.h. E 2 {[ V + s E ( V + s V,..., V0 )] } 2 E [ V F ( V,..., V )] { } für "alle" F. + s 0 (A.2) Uner dem MSE-Krierium is dami * V + s : = E( V + s V,..., V0 ) (A.3) der besmögliche Prognosewer bzw. die bese Prädikion (auch: beser Prädikor) für die Realisaion des künfigen Weres der beracheen Enwicklung, wenn in die Prognose lediglich die Informaion der bereis beobacheen Were V 0, V1,..., V eingehen darf Vgl. im Zeireihenkonex ewa Granger/Newbold (1977, S. 115 ff.), Hamilon (1994, S. 72 f.). Zum bedingen Erwarungswer vgl. ewa Albrech/Maurer (2002, S. 161 f.). Wie Granger (1969) nachweis, bleib diese Eigenschaf des bedingen Erwarungsweres auch bei allgemeineren symmerischen Verlusfunkionen erhalen. Auch für allgemeinere Informaionsmengen exisier ein analoges Resula in Termen des bedingen Erwarungsweres.

23 22 A.2 Maringal-Hypohese Die zufallsabhängige Enwicklung {, V,..., 1 V,...} V der ineressierenden Variablen wird als 0 (zeidiskrees) Maringal 47 bezeichne, wenn gil E( V + 1 V = v, V 1 = v 1,..., V1 = v1, V0 = v0 ) = v (A.4) und dies für 0 is. für alle Verläufe ("Geschichen") {, v 1,..., v,...} v von Enwicklungen gülig 0 Die Maringaleigenschaf besag mihin, dass der erwaree Wer der Variablen am Ende der nächsen Periode, gegeben die Informaion V = v über den "heuigen" Wer sowie über die "vergangene" Werenwicklung V -1 = v -1,..., V 0 = v 0, ses dem akuellen Wer ensprich. Auch für die künfigen Were zu Zeipunken T > +1 änder sich die Siuaion nich, es gil: E T 0 ( V V,..., V ) = V. (A.5) Maringale können als modellheoreische Umsezung der Konzepion eines so genannen fairen Spiels inerpreier werden. Repräsenier V den Vermögenssand (kumuliere Gewinne und Verluse) aus der Teilnahme an einem derarigen Spiel, so is der erwaree Vermögenssand nach der nächsen Spielperiode gerade der heuige Vermögenssand bzw. der erwaree Vermögenszuwachs gleich null. Dies schließ nich aus, dass sich im konkreen Spielverlauf auch erhebliche posiive oder negaive Vermögensänderungen realisieren können. Das Spiel is aber nich als sysemaische "Gewinn- bzw. Verlusmaschine" konzipier. Repräsenier {V } den Verlauf der Kursenwicklung eines Finanziels, so besag die Maringal-Hypohese, dass der erwaree Kurszuwachs gleich null is. Posiive und negaive Kursänderungen halen sich wahrscheinlichkeisgewiche die Waage. Aus einer Prognoseperspekive implizier daher die Maringal-Hypohese, dass der heuige Wer der bese (MSE-)Prädikor 48 für den Wer am Ende der nächsen Periode is. Gil für die Werenwicklung die Eigenschaf E ( V V,..., V ) V, (A.6) Vgl. hierzu allgemein Albrech/Maurer (2002, S. 138 f.). Im Sinne der Ausführungen in Anhang A.1.

24 23 d.h. gil in (A.4) und dann ebenso in (A.5) anselle des Gleichheiszeichens ein Größer- oder Gleich-Zeichen, dann sprich man von einem Submaringal. In diesem Falle is der erwaree künfige Wer somi immer höher als der heuige Wer. A.3 Random Walk-Hypohese Bezeichne wiederum V die (diskree) zeiliche Enwicklung der ineressierenden Variablen, gemessen zu den Zeipunken = 0,1,2,..., so besiz das Grundmodell 49 eines (arihmeischen) Random Walk mi Drif die Charakerisierung ( = 1,2,3,... ) V : = V V = m + Z, (A.7a) 1 wobei weierhin gil: E ( ) = 0, Z 2 Var ( Z ) = σ, ( Z, Z 1 ) = 0 Cov. (A.7b) Die absoluen Werveränderungen 50 (Zuwächse) über eine Periode (Mona, Jahr) lassen sich somi durch eine zeilich konsane Komponene, quanifizier durch den sog. Drifparameer m, beschreiben, die durch einen Zufallsprozess { Z } überlager wird. Die Forderung (A.7b) besag, dass diese zufälligen Überlagerungen einen sog. Whie Noise-Prozess darsellen. Die Zufallsgrößen Z ( 1) sind unkorrelier und idenisch vereil mi einem Erwarungswer von null und einer in der Zei konsanen Varianz. In explizier Form besiz der Random Walk die Darsellung V = v0 + m + Z Z. (A.8) Die zufällige Abweichung von dem Grunde nach linearen Trend enseh somi im Zeiablauf durch eine Akkumulaion der einzelnen Fehler (Schocks). Diese mögliche "Aufschaukelung" der Fehler führ dazu, dass die Abweichungen vom zugrunde liegenden Trend dem Grunde Vgl. hierzu ewa Albrech/Maurer (2002, S. 140 ff.). Bei der Anwendung dieser Modellbildung auf Akienkurse ensprich dabei V sandardmäßig den logarihmieren Akienkursen bzw. V der zeiseigen Periodenrendie. Äquivalen hierzu is das Modell eines muliplikaiven Random Walks, vgl. ewa Albrech/Maurer (2002, S. 141).

25 24 nach "beliebig groß" werden können. 51 Insofern is die erwaree Enwicklung E( V ) v + m keine zuverlässige Prognose für die sich künfig realisierende Enwicklung. = 0 Das Random Walk-Modell beinhale daher im Kern eine Nich-Prognosizierbarkei der künfigen Werveränderungen. In alernaiver Form wird dies ausgedrück 52 durch die Angabe des besen (MSE-)Prädikors 53. Es gil beim Random Walk E( V Z. (A.9) + s V, V 1,..., V0 ) = v0 + m( + s) + Jeder vergangene Schock ha dami Auswirkungen auf alle zukünfigen Were. Aufgrund dieser Eigenschaf der Fehlerakkumulaion bezeichne man den Random Walk auch als inegrieren Prozess. 54 Die Form der zufälligen Überlagerungen der Gesamenwicklung V des Prozesses is beim Random Walk nich saionär, da die Überlagerung Z Z, insaionär (in den Parameern) is. Durch Differenzenbildung, d.h. durch den Übergang zu den Zuwächsen gemäß (A.7a) wird der Random Walk allerdings saionär. Man bezeichne den Random Walk daher auch als differenzensaionären Prozess bzw. als inegrier von der Ordnung 1. i= 1 i A.4 Mean Reversion-Hypohese Das Basismodell zur Modellierung von Mean Reversion-Effeken is der auoregressive Prozess der Ordnung 1, kurz AR(1)-Prozess. Die Werenwicklung eines AR(1)-Prozesses besiz dabei die folgende Charakerisierung 55 ( = 1,2,3,... ; a < 1): V m = a( V 1 m) + Z, (A.10a) wobei der Überlagerungsprozess Z wiederum den Anforderungen gemäß (A.7b) genüg. Uner der Bedingung a < 1 is der AR(1)-Prozess ein saionärer Prozess Und zwar in sysemaischer Hinsich, nich nur im Hinblick auf die Sochasik. Vgl. hierzu Franke e al. (2001, S. 171). Im Sinne der Ausführungen in Anhang A.1. Vgl. ebenda. Vgl. ewa Buscher (2002, S. 204 f.) oder Gujarai (1995, S. 736 f.).