Versuch 2: Winkel- und Positionsregelung eines invertierten Pendels

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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Behrang Monajemi Nejad Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Praktikum Regelungssysteme WS 2014/2015 Praktikum Regelungssysteme Wintersemester 2014/15 Versuchsbeschreibung zum Versuch 2: Winkel- und Positionsregelung eines invertierten Pendels Betreuung: Behrang Monajemi Nejad Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Systembeschreibung Freischneiden Berechnung der Schnittkräfte Bewegungsgleichung des Wagens Bewegungsgleichung des Pendels Gesamtsystem mit Geschwindigkeit als Eingang Versuchsvorbereitung 2a Linearisierung Regler (i) Wurzelortskurve Nyquistkriterium Frequenzkennlinienentwurf Störverhalten Führungsverhalten Regler (ii) Wahl der Gewichtsmatrizen Das verallgemeinerte Streckenmodell Berechnung eines H -Reglers Analyse des Regelkreises Analyse der resutierenden Regelkreise

2 4 Versuchsdurchführung und Auswertung 2a Versuchsdurchführung Auswertung und Diskussion Versuchsvorbereitung 2b Übertragungsverhalten des inneren Kreises Polvorgabe mit und ohne Reglerintegrator Darstellung von Empndlichkeits- und komplementärer Empndlichkeitsfunktion 10 6 Versuchsdurchführung und Auswertung 2b Versuchsdurchführung Auswertung und Diskussion Einführung Dieser Laborversuch beschäftigt sich mit der Regelung eines nichtlinearen Systems, das am Arbeitspunkt eine instabile Ruhelage besitzt. Der Versuch besteht aus zwei Teilen. Im Teil 2a wird der Winkel des invertierten Pendels geregelt. Hierzu werden zwei unterschiedliche Entwurfsmethoden verwendet, die zu zwei verschiedenen Reglern führen. Der Entwurf des Reglers (i) erfolgt anhand des Wurzelortskurven- und Frequenzkennlinienverfahrens. Die Anwendung des letzteren Verfahrens setzt voraus, dass das Nyquistkriterium zur Stabilitätsprüfung bei instabilen Strecken beherrscht wird. Durch Anwendung des Nyquistkriteriums sind für den instabilen oenen Regelkreis Stabilitätsbedingungen im Bodediagramm herzuleiten. Des weiteren wird anhand des Reglers (i) ein NLKF-Entwurf zum Ermitteln eines robustizierten Reglers (ii) durchgeführt. Hierbei betrachtet man das Problem der Stabilisierung des nominellen Regelkreises und der Robustizierung der Eigenschaft Stabilität gegenüber faktorisierten Modellfehlern. Ein Vergleich der beiden Regelkreise hinsichtlich der Robustheit wird analytisch und simulativ durchgeführt. Der Laborversuch 2b beschäftigt sich mit dem algebraischen Reglerentwurf (Polvorgabe) für die Positionsregelung des invertierten Pendels auf dem Wagen. Im Rahmen der Vorbereitung des Versuchs 2a Winkelregelung eines invertierten Pendels wird deutlich, dass es bei dem Versuch, einen von Null verschiedenen Sollwinkel zu realisieren, zu einem anhaltenden Verfahren des Wagens kommt. Diesen Fakt kann man ausnutzen, wenn man zusätzlich zum Winkel auch noch die Wagenposition regeln möchte. 2 Systembeschreibung Das zu regelnde System besteht aus einem Pendelstab (Masse m P, Trägheitsmoment bzgl. Schwerpunkt J S, Länge l, homogene Massenverteilung), der frei drehbar auf einem Wagen (Masse m W ) montiert ist. Der Winkel des Pendels zur Vertikalen sei ϕ. Der Wagen bewegt sich in der Horizontalen, seine Position wird mit z bezeichnet. Mit Hilfe eines Motors kann eine Kraft F auf den Wagen ausgeübt werden. Gemessen werden die Position des Wagens und der Pendelwinkel. Die Geschwindigkeit des Wagens sowie Winkelgeschwindigkeit werden numerisch aus den Positionsmessungen bestimmt und stehen ebenfalls zur Verfügung. Die Regelungsaufgabe besteht darin, den Stab aufrecht stehend mittels des Wagens zu balancieren. Regelgröÿe ist der Winkel ϕ mit der Sollvorgabe von 0 Grad. Für den Wagen existiert 2

3 bereits eine hochdynamische Geschwindigkeitsregelung, so dass als Stellgröÿe u für das Winkelregelungsproblem die Wagengeschwindigkeit ż verwendet werden soll. Nachfolgend wird zunächst das mathematische Modell des Systems hergeleitet. Wagen Inkrementalgeber Transmissionsriemen Synchronmotor M Wagenposition Winkelmessung Wagensollgeschwindigkeit Geschwindigkeitsregelung PC/Regler Abbildung 1: Schema des Versuchsaufbaus m P, J S, l ϕ F m W z Abbildung 2: Skizze Einfachpendel 2.1 Freischneiden Die Teilsysteme Pendel und Wagen werden nun getrennt betrachtet. Es müssen dann Schnittkräfte berücksichtigt werden, die vom Pendel auf den Wagen bzw. umgekehrt wirken. Es ergibt sich jeweils eine Schnittkraft vom Betrag F P Wh und F P Wv in horizontaler bzw. vertikaler Richtung (siehe Abb. 3). Auÿer den Schnittkräften wirkt auf das Pendel die Gewichtskraft m P g im Schwerpunkt und das Reibmoment M R. 3

4 2.2 Berechnung der Schnittkräfte Um die Beträge der Schnittkräfte zu berechnen, wird das Newton'sche Gesetz für den Pendelschwerpunkt in x und y Richtung aufgestellt: m P ẍ S = F P Wh (1) m P ÿ S = F P Wv m P g. (2) Für den Schwerpunkt des Pendels gilt aufgrund der mechanischen Bindung auÿerdem: x S = z a sin ϕ (3) y S = a cos ϕ. (4) Mit a wird dabei der Abstand zwischen Pendelachse und Pendelschwerpunkt bezeichnet. Gl. (3) und (4) werden zweimal abgeleitet: ẍ S = z + a( ϕ 2 sin ϕ ϕ cos ϕ) (5) ÿ S = a( ϕ 2 cos ϕ + ϕ sin ϕ) (6) Setzt man die Gl. (1)-(2) in die Gl. (5)-(6) ein und löst nach den Schnittkräften auf, so erhält man: F P Wh = m P ( z + a( ϕ 2 sin ϕ ϕ cos ϕ)) (7) F P Wv = m P (g a( ϕ 2 cos ϕ + ϕ sin ϕ)) (8) m P, J S, l y (x S, y S ) ϕ y m P g F P Wh F P Wv M R x F m W F P Wh x z Abbildung 3: Freischneiden 2.3 Bewegungsgleichung des Wagens Die Bewegungsgleichung des Wagens in horizontaler Richtung ergibt sich aus dem Newton'schen Gesetz m W z = F F P Wh = F m P ( z + a( ϕ 2 sin ϕ ϕ cos ϕ)), (9) 4

5 bzw. (m W + m P ) z + m P a( ϕ 2 sin ϕ ϕ cos ϕ) = F. (10) 2.4 Bewegungsgleichung des Pendels Die Bewegungsgleichung des Pendels ergibt sich aus dem Drallsatz bzgl. dem Schwerpunkt J S ϕ = af P W h cos ϕ + af P Wv sin ϕ M R. (11) Mit den Schnittkräften aus Gl. (7) und (8) sowie dem durch die Reibung verursachten Drehmoment M R = c ϕ folgt Umgeformt ergibt sich J S ϕ = m P a [ cos ϕ( z + a( ϕ 2 sin ϕ ϕ cos ϕ)) + sin ϕ(g a( ϕ 2 cos ϕ + ϕ sin ϕ)) ] c ϕ. (12) J S ϕ = m P a ( z cos ϕ + a ϕ 2 cos ϕ sin ϕ a ϕ cos 2 ϕ + g sin ϕ a ϕ 2 cos ϕ sin ϕ a ϕ sin 2 ϕ ) c ϕ, (13) nach weiterer Zusammenfassung erhält man ( JS + m P a 2) ϕ = m P a( z cos ϕ + g sin ϕ) c ϕ. (14) 2.5 Gesamtsystem mit Geschwindigkeit als Eingang Nimmt man nun als Stellgröÿe u die geregelte Geschwindigkeit ż an, so ergibt sich folgendes Systemmodell: ż = u (15) z = d ż d t = d u d t (16) ϕ = 1 J S + m P a 2 (m P a ( z cos ϕ + g sin ϕ) c ϕ) (17) Die folgenden Systemparameter sind gegeben: m P 0, 3475 kg Masse des Pendelstabs a 0, 459 m Distanz Drehachse - Pendelschwerpunkt c 0, 007Nms Reibungskoezient J S 3, Nms 2 Trägheitsmoment bezüglich Schwerpunkt Tabelle 1: Parameter Einfachpendel 3 Versuchsvorbereitung 2a Um den Winkel des invertierten Pendels zu regelen, wird ein Standardregelkreis mit einem SISO-Regler benutzt. Die Stellgröÿe des Reglers ist die Geschwindigkeit des Wagens. 5

6 3.1 Linearisierung Linearisieren Sie das nichtlineare Modell um die Ruhelage (z, ϕ) = (0, 0) und berechnen Sie die Transferfunktion von der Stellgröÿe u zum Ausgang ϕ. Skizzieren Sie die Pol-/Nullstellenverteilung des Systems. 3.2 Regler (i) Wurzelortskurve Machen Sie sich mit den Konstruktionsregeln für Wurzelortskurven vertraut! Gegeben sei der folgende Regler G r (s) = k s + α, k, α, β R (18) s + β mit k > 0. Entscheiden Sie anhand des Wurzelortskurvenverfahrens über die notwendige Lage der Reglerpolstelle und -nullstelle, damit das geregelte System für eine genügend groÿe Verstärkung k stabilisiert werden kann. Bestimmen Sie nur, in welcher Hälfte der s-ebene jeweils die Pol- und die Nullstelle liegen muss und nicht die genaue Position Nyquistkriterium Machen Sie sich mit dem allgemeinen Nyquistkriterium vertraut! Skizzieren Sie mit der zuvor bestimmten Pol-/Nullstellenverteilung des Reglers das Nyquistdiagramm des oenen Regelkreises. Gegebenenfalls kann eine konkrete Realisierung des Reglers angenommen werden, um das Nyquistdiagramm zeichnen zu können. Welche Bedingungen werden nach dem Nyquistkriterium an die Ortskurve der oenen Kette hinsichtlich der Stabilität gestellt und wie kann man dieses Bedingungen im Bodediagramm wiedernden? Frequenzkennlinienentwurf Bestimmen Sie die Reglerparameter α, β und K so, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: Stabilität des Regelkreises, Amplitudenreserve von -4 db, d.h., (mindestens) 4 db Abstand zur Stabilitätsgrenze, Phasenresere von mindestens 5, Durchtrittsfrequenz von 5 rad/s ( f > 5 rad/s ist der Amplitudengang des oenen Kreises kleiner 0 db). Die Dämpfung des oenen Kreises soll bei 220 rad/s (35 Hz) mindestens -42 db betragen, um Anregungen der Eigenfrequenz des Pendelstabes zu vermeiden. Hinweis: Führen Sie den Reglerentwurf rechnergestützt in Scilab durch! Achten Sie darauf, dass Bodediagramme mit der Frequenz in [rad/s] darzustellen sind. Mittels der Scilab-Befehle repfreq und phasemag (oder dbphi) können Amplituden- und Phasengang berechnet werden (Siehe die Folien der Scilab-Einführung). Verwenden Sie geeignete Hilfsmittel wie Linien im Bodediagramm zur leichteren Beurteilung des Reglerentwurfs. 6

7 3.2.4 Störverhalten Untersuchen Sie das Verhalten des Regelkreises bei konstanten Ausgangsstörungen (z.b. durch Messfehler oder Wagen auf geneigter Ebene). Wie verhalten sich Wagenposition, Winkel und Wagengeschwindigkeit? Führungsverhalten Untersuchen Sie das Verhalten des Regelkreises gegenüber konstanten Sollvorgaben ungleich Null. Wie verhalten sich Wagenposition, Winkel und Wagengeschwindigkeit? 3.3 Regler (ii) Machen Sie sich mit dem NLKF-Entwurf vertraut! Bei dieser Entwurfsmethode gibt man im wesentlichen einen gewünschten Verlauf für den Amplitudengang des Frequenzgangs des oenen Kreises Q(jω) vor (open loop shaping). Der Algorithmus versucht dann, einen Regler zu nden, der den gewünschten Verlauf mit einer maximalen Robustheit bzgl. faktorisierter Modellfehler in Einklang bringt Wahl der Gewichtsmatrizen Zur Umsetzung der oben genannten open loop shaping gewichtet man das Streckenmodell mit geeigneten Faktoren W a (s) und W e (s), sodass der Amplitudengang von G w (jω) = W a (jω)g(jω)w e (jω) den gewünschten Verlauf Q(jω) aufweist. Wählen Sie geeignete Gewichte W a und W e, sodass der Amplitudengang von G w (jω) dem des oenen Regelkreises G(jω)G r (jω) entspricht, wobei G r (jω) der Frequenzgang des Reglers (i) ist Das verallgemeinerte Streckenmodell Stellen Sie mithilfe von Scilab (macglov) das verallgemeinerte Streckenmodell P des Regelkreises auf Berechnung eines H -Reglers Berechnen Sie mithilfe von Scilab (h_inf) einen H -Regler durch Lösen des H -Standard- Problems Analyse des Regelkreises Überprüfen Sie ob der geschlossene Kreis as. stabil ist. Beurteilen Sie den Erfolg des Reglerentwurfs anhand der maximalen Stabilitätsreserve ρ max. 7

8 3.4 Analyse der resutierenden Regelkreise 1. Vergleichen Sie die Verläufe der Übertragungsfunktion und der Nyquistkurve des oenen Kreises mit den Reglern (i) und (ii). Woran kann man eine Verbesserung bezüglich der Robustheit erkennen? 2. Implementieren Sie das nichtlineare Pendelmodell aus Abschnitt 2.5 in Scicos zusammen mit Ihren Reglern. 3. Simulieren Sie das Systemverhalten für verschiedene Anfangswinkel des Pendelstabes. Starten Sie mit 0. Erhöhen Sie den Anfangswinkel in Schritten von 2,5. Bis zu welchem Anfangswinkel stabilisiert ihr Regler die Ruhelage (Einzugsbereich)? 4. Vergleichen Sie die Wagenbewegungen und Stellgröÿenverläufe aus den Simulationen mit den vorhandenen technischen Beschränkungen am Versuchsstand. 5. Verändern Sie nun die Masse des Stabs und dessen Schwerpunkt (m p = 0, 37kg und a = 0, 045m) im Simulationsmodell und testen Sie die beiden Regler aus. Vergleichen Sie die komplementäre Sensitivitätsfunktionen der beiden Regelkreise. Wie hängen diese und das Verhalten des Winkels bei der Simulation zusammen? 6. Wiederholen Sie den letzten Schritt für m p = 0, 37kg und a = 0, 035m. 4 Versuchsdurchführung und Auswertung 2a 4.1 Versuchsdurchführung 1. Implementieren Sie Ihren Regler (i) am Versuchsstand und testen Sie den Regler. Hinweis: Ein Aufschwingregler bringt den Pendelstab automatisch in den Einzugsbereich Ihres Reglers. 2. Geben Sie mittels eines Potentiometers von Null verschiedene Sollwerte für den Pendelwinkel im Bereich von ±2 vor. 3. Speichern Sie die Daten von einem erfolgreichen Versuchsdurchgang ab und übergeben Sie eine Kopie der Datei dem/r Versuchsbetreur/in. 4. Wiederholen Sie die vorigen Schritte für den veränderten Stab. 4.2 Auswertung und Diskussion 1. Beschreiben und diskutieren Sie das Regelkreisverhalten! 2. Vergleichen Sie die experimentellen Ergebnisse mit denen der Simulation! 3. Erweitern Sie das Scilab-Skript, das Sie für die Simulation geschrieben haben, um eine Routine, die aus den gespeicherten Versuchsdaten aussagekräftige Plots generiert, die Sie in Ihr Protokoll einbinden! 8

9 5 Versuchsvorbereitung 2b Für die Positionsregelung des invertierten Pendels bietet sich die in Abbildung 4 dargestellte kaskadierte Regelschleife an. Die äuÿere Schleife regelt die Wagenposition z bei gegebenem z r. Stellgröÿe des Reglers G rpos ist der Sollwinkel ϕ r für die innere Winkelregelschleife. Der Regler G r der inneren Schleife wurde im ersten Teil des Versuchs (Regler (i)) bereits entworfen und soll hier weiterverwendet werden. Seine Stellgröÿe ist die Sollgeschwindigkeit ż des Wagens, die über einen weiteren, hier nicht dargestellten, Regelkreis realisiert wird. z r ϕ r G r u = ż G rpos Invertiertes Pendel und Wagen z ϕ Abbildung 4: Kaskadenregelung der Wagenposition z des invertierten Pendels 5.1 Übertragungsverhalten des inneren Kreises Bestimmen Sie das linearisierte Übertragungsverhalten des inneren Regelkreises am Arbeitspunkt (ϕ, z) = (0, 0) mit dem Regler G r (s) aus dem Versuch 1a. Gesucht ist die Transferfunktion vom Sollwinkel ϕ r auf die Wagenpositions z. Welche Ordnung hat der geschlossene innere Regelkreis? 5.2 Polvorgabe mit und ohne Reglerintegrator Machen Sie sich mit dem in der Vorlesung behandeltem algebraischen Reglerentwurf zur Polvorgabe mit und ohne Reglerintegrator vertraut. Welche Verfahren existieren zur Lösung diophantischer Gleichungen? Was sind die Voraussetzungen? Entwerfen Sie einen Regler G rpos mittels Polvorgabe für den äuÿeren Regelkreis mit und ohne Reglerintegrator! Führen Sie keine Pol-/Nullstellen-Kürzungen beim Reglerentwurf durch! Schreiben Sie eine Scilab-Routine zur Bestimmung der Reglerpolynome. Verwenden Sie hier für die Sylvestermatrix. Das Führungsverhalten des äuÿeren Regelkreises soll dem eines dominierenden komplexen Polpaars entsprechen mit einer ungefähren Anstiegszeit von 4s und einer Dämpfung von 0,97. Schreiben Sie ein Reglerentwurfsskript, in welchem Anstiegszeit und Dämpfung exibel angepasst werden könnnen. Hinweis: Die Kennkreisfrequenz w 0 des dominierenden komplexen Polpaars erhält man aus der Dämpfung D und der Anstiegszeit t r wie folgt: w 0 = 1 D e 1 D 2 arccos D. (19) t r Wie wirken sich Ausgangsstörungen des inneren Regelkreises auf die stationäre Genauigkeit des äuÿeren Kreises bei den beiden Reglern aus? 9

10 5.3 Darstellung von Empndlichkeits- und komplementärer Empndlichkeitsfunktion Wiederholen Sie die Begrie Empndlichkeits- und komplementäre Empndlichkeitsfunktion. Was sagen diese Übertragungsfunktionen aus? Stellen Sie für die zuvor entworfenden Regler den Amplitudengang von Empndlichkeits- und komplementärer Empndlichkeitsfunktion dar (Betrag der Verstärkung nicht in db, logarithmische Frequenz in rad/s). 6 Versuchsdurchführung und Auswertung 2b 6.1 Versuchsdurchführung Bringen Sie Ihre Reglerentwurfsskripte zur Versuchsdurchführung auf einem USB-Stick mit! Ergänzen Sie am Versuchsstand Ihre Winkelregelung aus dem Versuch 2a um die äuÿere Positionsregelschleife und testen Sie beide Regler experimentell. Begründen Sie Ihre Beobachtungen! Nehmen Sie exemplarisch Verläufe von Winkel, Wagenposition und Wagengeschwindigkeit auf. Variieren Sie die Sollposition des Wagens über das Potentiometer am Versuchsstand. 6.2 Auswertung und Diskussion 1. Beschreiben und diskutieren Sie das Regelkreisverhalten! 2. Vergleichen Sie die experimentellen Ergebnisse mit denen der Simulation! 3. Erweitern Sie das Scilab-Skript, das Sie für die Simulation geschrieben haben, um eine Routine, die aus den gespeicherten Versuchsdaten aussagekräftige Plots generiert, die Sie in Ihr Protokoll einbinden! 10

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