Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre"

Transkript

1

2 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS c c r c r c m

3 Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung 38 Das zur ZSF gehörige LGS (und damit nach Satz 34 auch das ursprüngliche LGS) ist genau dann lösbar, wenn gilt c r+1 = c r+2 = = c m = 0

4 Erinnerung: Gaußsche Normalform (GNF) des LGS Durch weitere Zeilenumformungen kann man erreichen, dass oberhalb der Einsen überall Nullen stehen: d d r d r d m

5 Parametrisierung der Lösungsmenge Falls das zur GNF gehörige LGS (und damit auch das ursprüngliche LGS) lösbar ist (also d r+1 = = d m = 0), so lassen sich alle Lösungen des LGS an der GNF ablesen

6 Annahme (zur Vereinfachung): a 1,r+1 a 1,n r d a r,r+1 a r,n r d r

7 Freie Parameter Man wählt t 1,, t n r R als Parameter und setzt x r+1 := t 1, x r+2 := t 2,, x n := t n r Aus der GNF folgt dann für die restlichen r Unbekannten x 1 = d 1 t 1 a 1,r+1 t n r a 1,n r, x r = d r t 1 a r,r+1 t n r a r,n r

8 Gestalt der Lösungen Durchlaufen t 1,, t n r jeweils alle reellen Zahlen, so erhält man alle Lösungen des LGS Speziell erhält man für t 1 = = t n r = 0 die Lösung x = (d 1,, d r, 0,, 0) Folgerung 39 Ein homogenes LGS mit mehr Unbekannten als Gleichungen (n > m) ist immer nichtrivial lösbar (dh hat nicht nur die Null-Lösung)

9 Aussagenlogik Aussagen können wahr oder falsch sein Beispiele für Aussagen Es ist Nacht 3 ist eine natürliche Zahl Logik : gegebene ( elementare ) Aussagen neue ( zusammengesetze ) Aussagen

10 Logische Verknüpfungen Symbol Name Sprechweise Konjunktion und Disjunktion oder Negation nicht Implikation daraus folgt Äquivalenz ist äquivalent zu

11 Beispiel Implikation, Konjunktion N := Es ist Nacht K := Alle Katzen sind grau Eine zusammengesetzte Aussage: Wenn es Nacht ist, dann sind alle Katzen grau Kurzschreibweise: N K Noch eine zusammengesetzte Aussage: Es ist Nacht und alle Katzen sind grau Kurzschreibweise: N K

12 Wahrheitstafeln A B A B w w w w f f f w f f f f A B A B w w w w f w f w w f f f A A w f f w

13 Wahrheitstafeln A B A B w w w w f f f w w f f w A B A B w w w w f f f w f f f w A B A B w w f w f w f w w f f f

14 Beispiele A := 1 ist eine natürliche Zahl (f) A ( 1 ist keine natürliche Zahl) ist wahr B := 3 ist eine natürliche Zahl (w) A B (Wenn 1 eine natürliche Zahl ist, dann ist 3 eine natürliche Zahl) ist wahr A B ( 1 und 3 sind beides natürliche Zahlen) ist falsch A B ist wahr

15 Klammerung ist entscheidend R := Es regnet N := Es ist Nacht K := Alle Katzen sind grau Die zusammengesetzte Aussagen N (R K) und (N R) K sind verschieden: Es ist Nacht und wenn es regnet, sind alle Katzen grau In regnerischen Nächten sind alle Katzen grau

16 Verallgemeinerung: Prädikatenlogik Manchmal sind Aussagen von einer Variablen abhängig; man spricht dann auch von Aussageformen Beispiele A(x) := (3 x) (x 5) ist eine Aussageform für ganze Zahlen A(x) ist nicht allgemeingültig, aber erfüllbar: Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die A(x) wahr ist T (x, y) := x ist ein Teiler von y Paare von natürlichen Zahlen: ist eine Aussageform für T (4, 12) ist eine wahre und T (5, 26) eine falsche Aussage T (1, y) ist eine allgemeingültige Aussageform für natürliche Zahlen y

17 Quantoren Die Variablen in einer Aussageform können quantifiziert werden mit Hilfe des Existenzquantors (gesprochen Es gibt ein ) und des Allquantors (gesprochen Für alle ) Existenz und Eindeutigkeit wird beschrieben durch den Quantor 1 (gesprochen: Es gibt genau ein )

18 Beispiele x Z : A(x) Für alle ganzen Zahlen x gilt: 3 x und x 5 (falsche Aussage) x Z : A(x) Es gibt eine ganze Zahl x, so dass gilt: 3 x und x 5 (wahre Aussage) x N y N : T (x, y) (wahre Aussage) y N x N : T (x, y) (falsche Aussage)

19 Reihenfolge ist wichtig Logik Das letzte Beispiel zeigt: die Reihenfolge der einzelnen Quantifizierungen der Variablen ist entscheidend x N y N : T (x, y) ist eine ganz andere Aussage als y N x N : T (x, y)

20 Was ist eine Menge? Georg Cantor ( ), hatte noch definiert: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen In der modernen Mathematik verzichtet man auf eine Definition des Begriffs Menge und verwendet ihn als Grundbegriff Um Widersprüche zu vermeiden wird speziell gefordert, dass eine Menge sich nicht selbst als Element enthalten darf

21 Elemente einer Menge Logik Ist ein Objekt a in einer Menge M enthalten, schreiben wir a M (gesprochen a Element M ), andernfalls a M (gesprochen a nicht Element M ) andernfalls a M (gesprochen a nicht Element M ) Diejenige Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge und wird bezeichnet mit := {}

22 Wie beschreibt oder definiert man Mengen? durch Auflisten der Elemente: zb M := {2, 3, 5, 7} durch Auswahl bestimmter Elemente aus einer Grundmenge G mit Hilfe einer Aussageform A(x) auf G: zb M := {n N n ist Primzahl und 1 n 10} Allgemeine Schreibweise: M := {x G A(x)}

23 Wichtige Beispiele N = {1, 2, 3, }, die Menge der natürlichen Zahlen Nehmen wir die Null hinzu, so schreiben wir N 0 = N {0} Die ganzen Zahlen Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, } Die rationalen Zahlen Q = { p q p, q Z, q 0} Die reellen Zahlen R, und die komplexen Zahlen C, die in der Vorlesung Analysis detailliert behandelt werden Ist ( ) ein LGS mit vorgegebenen (reellen) Koeffizienten a ij und b i, 1 i m, 1 j n, so lässt sich die Lösungsmenge L schreiben als L = {x R n x ist Lösung des LGS ( )}

24 Teilmenge A und B Mengen A heißt Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B liegt: x A x B Die Menge B heißt dann Obermenge von A Wir schreiben A B oder B A (manchmal auch ) heißt Inklusionszeichen Um zu verdeutlichen, dass A eine echte Teilmenge von B ist (dh A B und x B : x / A) schreiben wir A B

25 Wann sind zwei Mengen gleich? Zwei Mengen M 1 und M 2 sind gleich (M 1 = M 2 ), wenn sie die gleichen Elemente besitzen, dh wenn für jedes x gilt: (x M 1 x M 2 ) (x M 2 x M 1 ) Also: M 1 = M 2 (M 1 M 2 und M 2 M 1 )

26 Mächtigkeit und Potenzmenge Die Anzahl der Elemente einer Menge M nennt man die Mächtigkeit oder auch Kardinalität von M Man schreibt dafür M oder auch #M Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge P(M) := {A A M} Ist M eine endliche Menge mit k Elementen (dh M = k), so ist P(M) eine Menge mit 2 k Elementen (dh P(M) = 2 k )

27 Durchschnitt und Vereinigung Der Durchschnitt der Mengen A, B ist die Menge A B := {x x A x B} Ein Element liegt also genau dann im Durchschnitt von A und B, wenn es sowohl in A als auch in B liegt Ist der Durchschnitt A B leer, so heißen A und B disjunkt Die Vereinigung der Mengen A, B ist die Menge A B := {x x A x B} Ein Element liegt also in der Vereinigungsmenge A B, wenn es in mindestens einer der beiden Mengen liegt

28 Kartesisches Produkt und Tupel Sind A, B Mengen, so ist das (kartesische) Produkt von A und B die Menge A B := {(x, y) x A y B} Dabei ist (x, y) ein geordnetes Paar, und (x, y) = (x, y ) gilt genau dann, wenn x = x und y = y ACHTUNG: A B nicht mit A B verwechseln! Analog definiert man für k N die Menge der k-tupel in A Beispiel: R 3 = R R R A k := {(x 1, x 2,, x k ) i : x i A}

29 Differenz und Komplement Die Differenz der Mengen A, B ist die Menge A\B := {x x A x B} Ist insbesondere A die Grundmenge G, so nennt man B c := G\B das Komplement B c = {x G x B} Es gelten die folgenden Gleichungen: B\B =, B B c =, B B c = G, (B c ) c = B

30 Verallgemeinerung: Mengensysteme Sei M eine Menge von Mengen, zb M P(A) für eine Menge A Der Durchschnitt aller Mengen B des Mengensystems M (M ) ist die Menge B M B := {x B M : x B} Die Vereinigung aller Mengen M M ist die Menge B := {x B M : x B} B M

31 Abbildungen Seien X und Y Mengen Eine Abbildung f von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem Element x von X genau ein Element f (x) aus Y zuordnet Schreibweise: f : X Y, x f (x) X heißt Definitionsmenge oder Definitionsbereich und Y Zielmenge oder Wertebereich von f Die Menge {(x, f (x)) x X } X Y heißt Graph der Abbildung f

32 Bild und Urbild Sei f : X Y eine Abbildung, A X und B Y Dann heißt die Menge f (A) := {f (x) x A} Y Bild von A Die Menge heißt das Urbild von B f 1 (B) := {x X f (x) B} X

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht

Mehr

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016 HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Logische Verknüpfungen............................ 2 1.2 Quantoren.................................... 3 1.3 Mengen und ihre

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011.

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011. Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen 21. März 2011 Tanja Geib Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 1 2 Mengenlehre 3 2.1 Grundlegende Definitionen

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

Analyis I - Grundlagen

Analyis I - Grundlagen Elementare Aussagenlogik October 23, 2008 Elementare Aussagenlogik Definition Eine Aussage im Sinne der Aussagenlogik ist eine sprachliche Aussage, bei der klar entschieden werden kann, ob sie wahr oder

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 1. Grundlagen Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen Peter Buchholz 2016 MafI 2 Grundlagen 7 1.1 Was ist Analysis? Analysis ist

Mehr

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper 0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor

Mehr

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen . Grundlagen Gliederung. Was ist Analysis?.2 Aussagen und Mengen.3 Natürliche Zahlen.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen. Was ist Analysis? Analysis ist neben der linearen Algebra ein Grundpfeiler der Mathematik!

Mehr

Mengenlehre. Mengenlehre. Vorkurs Informatik WS 2013/ September Vorkurs Informatik - WS2013/14

Mengenlehre. Mengenlehre. Vorkurs Informatik WS 2013/ September Vorkurs Informatik - WS2013/14 Mengenlehre Mengenlehre Vorkurs Informatik WS 2013/14 30. September 2013 Mengen Mengen Definition (Menge) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten

Mehr

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein Mengen 1.2 9 1.2 Mengen 7 Der Begriff der Menge wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor wie folgt eingeführt. Definition (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten,

Mehr

Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet Lineare Algebra. 17. Oktober 2008

Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet Lineare Algebra. 17. Oktober 2008 Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 1825 Lineare Algebra 17 Oktober 2008 Prof Enrico Leuzinger Institut für Algebra und Geometrie, Universität Karlsruhe (TH) ii Inhaltsverzeichnis

Mehr

Vorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18

Vorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 Vorkurs Mathematik Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 1 1 Logik 2 1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 1 Kapitel 1: Aussagen, Mengen

Mehr

= { } Absolutes Komplement Universe Relatives Komplement von

= { } Absolutes Komplement Universe Relatives Komplement von Allgemeines ist Teiler von Mengen Mächtigkeit Anzahl Elemente in der Menge Potenzmenge Menge aller Teilmengen von { } { { } { } { }} Beziehungen bzw. ist in enthalten ist Teilmenge von ist Obermenge von

Mehr

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,

Mehr

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

Mehr

Logik, Mengen und Abbildungen

Logik, Mengen und Abbildungen Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Jens Struckmeier Fachbereich Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2010/11 Jens Struckmeier (Mathematik,

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 22.10.2013 Alexander Lytchak 1 / 16 Wiederholung des Beispiels 3x 6 + x 7 = 2 2x 2 + 4x 4 + 6x 5 + 5x 7 = 3 2x 2 + x

Mehr

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007 Vorlesung 2 Universität Münster 6. September 2007 Organisatorisches Meine Koordinaten: Sprechstunden: Di 13:30-14:30 Do 9:00-10:00 tbauer@uni-muenster.de Zimmer 504, Einsteinstr. 62 (Hochhaus) für alle

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1.

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 22 Kapitel 1 Aussagen und Mengen 1.1 Aussagen Wir definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr w) oder falsch f) also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 2 ist eine

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise

Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 15. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet Lineare Algebra. 23. Januar 2009

Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet Lineare Algebra. 23. Januar 2009 Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 1825 Lineare Algebra 23 Januar 2009 Prof Enrico Leuzinger Institut für Algebra und Geometrie, Universität Karlsruhe (TH) ii Inhaltsverzeichnis

Mehr

Prädikate sind Funktionen. Prädikatenlogik. Quantoren. n stellige Prädikate. n stellige Prädikate:

Prädikate sind Funktionen. Prädikatenlogik. Quantoren. n stellige Prädikate. n stellige Prädikate: Aussagenlogik: Aussagen Ausssageformen Prädikatenlogik beschäftigt sich mit Aussagen sind Sätze die entweder wahr oder falsch sind sind Sätze mit Variablen, die beim Ersetzen dieser Variablen durch Elemente

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

Grundlegendes der Mathematik

Grundlegendes der Mathematik Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

2 Mengen, Relationen, Funktionen

2 Mengen, Relationen, Funktionen Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,

Mehr

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik Wolter/Dahn: Analysis Individuell 3 Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik In diesem Abschnitt werden einige Grundbegriffe der Mengenlehre und grundlegende 1/0/0 Prinzipien der mathematischen

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

Grundlagen. Kapitel Mengen

Grundlagen. Kapitel Mengen Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

2 Mengen, Abbildungen und Relationen

2 Mengen, Abbildungen und Relationen Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl

Mehr

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10 Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige

Mehr

B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen

B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen Die Sprache der Mengen und Abbildungen hat sich als Basissprache in der modernen Mathematik durchgesetzt. Da sie sehr praktisch ist, wird sie auch in diesem Buch

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik. Werner Struckmann WS 2014/2015

Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik. Werner Struckmann WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Werner Struckmann WS 2014/2015 Etwas Mathematik: Was machen wir? 1. Aussagen, Logik 2. Mengen, Relationen, Funktionen 3. Zahlenmengen, Rechnen 4. Beweise 5. Dualzahlen:

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung

Mehr

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen.

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Mengenlehre 2 Mengenlehre Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Üblicherweise werden Mengen mit Großbuchstaben

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Sommersemester 2018 Ronja Düffel 14. März 2018 Theoretische Informatik Wieso, weshalb, warum??!? 1 Modellieren und Formalisieren von Problemen und Lösungen 2 Verifikation (Beweis

Mehr

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 1 1.2 Mengenlehre Definition: Menge, Element, Variablenraum Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert

Mehr

Mengenlehre. Aufgaben mit Lösungen

Mengenlehre. Aufgaben mit Lösungen Mengenlehre Aufgaben mit Lösungen Inhaltsverzeichnis 1 Hilfsmittel 1 1. Zahlenmengen........................................ 1 2. Symbole........................................... 1 3. Intervalle: Schreibweise...................................

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre

Mehr

Mengen und Relationen

Mengen und Relationen KAPITEL 1 Mengen und Relationen 1.1. Mengenlehre Georg Cantor (3.3.1845 6.1.1918: Cantor ist der Vater der modernen Mengenlehre, er definierte 1895: DEFINITION 1.1.1. Unter einer Menge verstehen wir jede

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 4. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 1 / 21 Themen

Mehr

2 ZAHLEN UND VARIABLE

2 ZAHLEN UND VARIABLE Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als

Mehr

Lineare Algebra. Jung Kyu Canci. Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle

Lineare Algebra. Jung Kyu Canci. Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle Lineare Algebra Jung Kyu Canci Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle Herbstsemester 2015 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Lineare Algebra 5 1.1 Elementare

Mehr

Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2

Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 Universität Hamburg Department Mathematik Boolesche Algebra Hans Joachim Oberle Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/vorlesungen.html

Mehr

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten:

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten: 35 4 Paarungen 4. Produktmengen Die Mengen {x, y} und {y, x} sind gleich, weil sie die gleichen Elemente enthalten. Manchmal legt man aber zusätzlich Wert auf die Reihenfolge der Elemente. Die Objekte

Mehr

Mengenlehre. Mengenlehre. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12

Mengenlehre. Mengenlehre. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12 Mengenlehre Mengenlehre Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/12 10. Oktober 2011 Mengen Mengen Den Begriff Menge hat Cantor wie folgt beschrieben: Definition (Menge) Unter einer Menge verstehen

Mehr

Lineare Algebra, Teil I

Lineare Algebra, Teil I Lineare Algebra, Teil I (Folien zur Vorlesung) Joachim Stöckler Auszüge aus dem Vorlesungsskript von Prof. Rudolf Scharlau aus dem WS 2009/10 werden auf den Folien verwendet. Für die Bereitstellung dieses

Mehr

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte

Mehr

Thema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht

Thema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht Thema: Logik: 2. Teil Übersicht logische Operationen Name in der Logik Symbol Umgangssprachlicher Name Negation (Verneinung) Nicht Konjunktion ^ Und Disjunktion v Oder Subjunktion (Implikation) Bijunktion

Mehr

1 Mengen. 1.1 Definition

1 Mengen. 1.1 Definition 1 Mengen 1.1 Definition Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine Menge lässt sich durch verschiedene

Mehr

Grundlegendes: Mengen und Aussagen

Grundlegendes: Mengen und Aussagen Kapitel 1 Grundlegendes: Mengen und Aussagen Wie jedes Fachgebiet hat auch die Mathematik eine eigene Fachsprache Ohne ihre Kenntnis wird man ein mathematisches Buch, selbst wenn es für Anwender geschrieben

Mehr

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken

Mehr

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches

Mehr

Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet Lineare Algebra. 22. Juni 2009

Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet Lineare Algebra. 22. Juni 2009 Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 1825 Lineare Algebra 22. Juni 29 Prof. Enrico Leuzinger Institut für Algebra und Geometrie, Universität Karlsruhe (TH) ii Inhaltsverzeichnis iii

Mehr

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge Mengenlehre Grundbegriff ist die Menge Definition (Naive Mengenlehre). Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik

Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden

Mehr

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016 MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung

Mehr

2 Mengenlehre. 2.1 Grundlagen Definition

2 Mengenlehre. 2.1 Grundlagen Definition 2 Mengenlehre 2.1 Grundlagen Einer der wichtigsten Grundbegriffe in der Mathematik ist der Mengenbegriff. Die zugehörige Theorie - die Mengenlehre - bildet die Grundlage für die gesamte Mathematik. Nur

Mehr

1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik

1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik 1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik Übersicht 1.1 Junktoren......................................................... 1 1.2 Quantoren......................................................... 4 1.3

Mehr

4. Mathematische und notationelle Grundlagen. Beispiel Mengen. Bezeichnungen:

4. Mathematische und notationelle Grundlagen. Beispiel Mengen. Bezeichnungen: 4. Mathematische und notationelle Grundlagen 4.1 Mengen Beispiel 3 A 1 = {2, 4, 6, 8}; A 2 = {0, 2, 4, 6,...} = {n N 0 ; n gerade} Bezeichnungen: x A A x x A B A B A { } x Element A x nicht Element A B

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Kapitel 3: Mengen, Alphabete, Abbildungen

Grundbegriffe der Informatik Kapitel 3: Mengen, Alphabete, Abbildungen Grundbegriffe der Informatik Kapitel 3: Mengen, Alphabete, Abbildungen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johann-von-Neumann-Haus Fachschaft Menge aller Studenten eines Institutes

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski

Mehr

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem

Mehr

Mathematik für Techniker

Mathematik für Techniker Siegfried Völkel u.a. Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte uflage 16 1 Rechenoperationen Prinzip der Mengenbildung Wenn eine ussageform für die Objekte eines Grundbereichs vorliegt,

Mehr

VORKURS MATHEMATIK. 0 a + 1 b = ( 4/7)c. und addiere die zweite Gleichung zur Ersten: 1 a + 0 b = (3/7)c

VORKURS MATHEMATIK. 0 a + 1 b = ( 4/7)c. und addiere die zweite Gleichung zur Ersten: 1 a + 0 b = (3/7)c VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Freitag: Lineare Gleichungssysteme, Mengen, Logik, Induktion Nachdem wir gestern eine kurze Einführung in die Vektorgeometrie

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

Logik und Mengen. Jörg Frochte und Markus Lemmen

Logik und Mengen. Jörg Frochte und Markus Lemmen Logik und Mengen Jörg Frochte und Markus Lemmen FB Elektrotechnik und Informatik Hochschule Bochum - University of Applied Sciences - Campus Velbert-Heiligenhaus (CVH) Grundlagen der Mathematik Jörg Frochte

Mehr

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 2.2.. Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x +

Mehr

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten:

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: Aussagen Aussagen Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: verbale Aussage formale Aussage Wahrheitswert 1) 201 ist teilbar durch 3 3 201 wahre Aussage (w.a.) 2)

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017 Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017 Dr. Florian Möller 5. September 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Natürliche und ganze Zahlen.................................

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGEBRA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT 1 Grundbegriffe 1 1.1 Aussagen und Quantoren 1 1.2 Mengen 2 1.3 Gruppen 3 1.4 Körper 4 1.5 Vektorräume 5 1.6 Basis und Dimension 7 Aufgaben

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra 2005-2013 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Algebraische Grundlagen 1

Algebraische Grundlagen 1 Algebraische Grundlagen 1 B.Grabowski 25. Oktober 2011 1 (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 10/2011, Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Inhaltsverzeichnis 1 Algebra-Grundlagen 2 1.1 Zweiwertige

Mehr

Eine Aussage ist ein Satz der Umgangssprache, der wahr oder falsch sein kann. Man geht von dem Folgenden aus:

Eine Aussage ist ein Satz der Umgangssprache, der wahr oder falsch sein kann. Man geht von dem Folgenden aus: Karlhorst Meyer Formallogik Die Umgangssprache ist für mathematische Bedürfnisse nicht exakt genug. Zwei Beispiele: In Folge können u. U. Beweise, die in Umgangssprache geschrieben werden, nicht vollständig,

Mehr

3 Mengen, Logik. 1 Naive Mengenlehre

3 Mengen, Logik. 1 Naive Mengenlehre 3 Mengen, Logik Jörn Loviscach Versionsstand: 21. September 2013, 15:53 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.j3l7h.de/videos.html This work is

Mehr