REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE
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- Anneliese Maurer
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1 REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE regulare und semireguläre polytope ANDREAS PAFFENHOLZ FU Berlin Germany
2 Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die
3 Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die Eine Fläche rausnehmen Polytop in der Ebene ausbreiten
4 Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die Eine Fläche rausnehmen Polytop in der Ebene ausbreiten Ecken Flächen: positive Ladung Kanten: negativ
5 Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die Eine Fläche rausnehmen Polytop in der Ebene ausbreiten Ecken Flächen: positive Ladung Kanten: negativ Flächen- und Kantenladung zur am weitesten rechts liegenden Ecke verschieben
6 Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und Flächen gilt die Eine Fläche rausnehmen Polytop in der Ebene ausbreiten Ecken Flächen: positive Ladung Kanten: negativ Flächen- und Kantenladung zur am weitesten rechts liegenden Ecke verschieben Alle Ladungen heben sich auf außer an der äußerst rechten Ecke die der äußeren Fläche
7 Satz von Steinitz Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene Graph Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen Graph ist -zusammenhängend Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens drei disjunkte Wege Graph ist planar kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden
8 Satz von Steinitz Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene Graph Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen Graph ist -zusammenhängend Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens drei disjunkte Wege Graph ist planar kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden Satz von Steinitz Eine Graph planar und ist genau dann Graph eines -Polytops wenn er -zusammenhängend ist
9 Satz von Steinitz Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene Graph Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen Graph ist -zusammenhängend Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens drei disjunkte Wege Graph ist planar kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden Satz von Steinitz Eine Graph planar und ist genau dann Graph eines -Polytops wenn er -zusammenhängend ist Beweis: nur : Durch Schlegeldiagramm: Zentralprojektion auf Fläche mit Zentrum dich hinter der Fläche
10 en Definition Das Tripel heißt des Polytops Theorem Für jedes -Polytop gilt Beweis: An jeder Ecke kommen mindestens zusammen also Kanten Jede Fläche hat mindestens drei Kanten also
11 en Definition Das Tripel heißt des Polytops Theorem Für jedes -Polytop gilt ist durch und festgelegt Zu jedem Paar daß erfüllt gibt es ein -Polytop
12 Dualität Definition Sei ein Polytop mit und Ecken Flächen mit Dann gibt es ein Polytop und Ecken Flächen und Bijektionen } } { { } } { { Ecke ist genau dann wenn Ecke von so daß ist von heißt duales Polytop zu
13 Dualität Definition Sei ein Polytop mit und Ecken Flächen mit Dann gibt es ein Polytop und Ecken Flächen und Bijektionen } } { { } } { { Ecke ist genau dann wenn Ecke von so daß ist von heißt duales Polytop zu
14 Dualität Definition Sei ein Polytop mit und Ecken Flächen mit Dann gibt es ein Polytop und Ecken Flächen und Bijektionen } } { { } } { { Ecke ist genau dann wenn Ecke von so daß ist von heißt duales Polytop zu
15 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
16 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
17 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
18 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
19 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
20 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
21 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
22 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
23 Pflasterungen Definition Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen Eine Pflasterung heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist Sie heißt semiregulär wenn die Symmetriegruppe eckentransitiv ist Es gibt reguläre und semireguläre Pflasterungen
24 Reguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt regulär wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist wenn also alle Seitenflächen identische reguläre Polygone sind und in jeder Ecke die gleiche Anzahl Polygone zusammenkommen Wenn jede Seitenfläche Ecken hat und an jeder Ecke zusammenkommen dann bezeichnen wir mit { } Theorem Für ein reguläres -Polytop gilt Beweis: Ein Winkel von weniger als -gon hat Winkelsumme also in jeder Ecke einen An jeder Polytopecke müssen sich die Winkel zu aufaddieren also Da bleiben nur endlich viele Möglichkeiten: {} { } { } { } { }
25 Tetraeder Typ: {33} Vier Dreiecke selbstdual
26 Tetraeder Typ: {33} Vier Dreiecke selbstdual
27 Oktaeder Typ: {34} Acht Dreiecke dual zu { }
28 Oktaeder Typ: {34} Acht Dreiecke dual zu { }
29 Würfel Typ: {43} Sechs Quadrate dual zum Oktaeder { }
30 Würfel Typ: {43} Sechs Quadrate dual zum Oktaeder { }
31 Ikosaeder Typ: {35} Zwanzig Dreiecke dual zu { }
32 Ikosaeder Typ: {35} Zwanzig Dreiecke dual zu { }
33 Dodekaeder Typ: {53} Zwölf Fünfecke dual zum Ikosaeder { }
34 Dodekaeder Typ: {53} Zwölf Fünfecke dual zum Ikosaeder { }
35 Semireguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt semiregulär wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operiert
36 Semireguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt semiregulär wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operiert Es gibt vier Klassen von semiregulären Polytopen Die fünf Platonischen Körper Prismen Antiprismen Archimedische Körper
37 Semireguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt semiregulär wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operiert Es gibt vier Klassen von semiregulären Polytopen Die fünf Platonischen Körper Prismen Antiprismen Archimedische Körper An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn die gleichen Typen von Polygonen in der gleichen Reihenfolge auf Das Polytop ist dadurch eindeutig festgelegt Die Umkehrung ist nicht richtig Bei gleicher Art und Reihenfolge an einer Ecke muß das Polytop nicht semiregulär sein ( Pseudo- Rhombenkuboktaeder) Alle Flächen sind regelmäßige -Ecke Alle Kanten haben die gleiche Länge An jeder Ecke des Polytops können drei vier oder fünf Polygone zusammenkommen ( Winkelsumme!)
38 Semireguläre Polytope Definition Ein -Polytop heißt semiregulär wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operiert Es gibt vier Klassen von semiregulären Polytopen Die fünf Platonischen Körper Prismen Antiprismen Archimedische Körper An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn die gleichen Typen von Polygonen in der gleichen Reihenfolge auf Das Polytop ist dadurch eindeutig festgelegt Die Umkehrung ist nicht richtig Bei gleicher Art und Reihenfolge an einer Ecke muß das Polytop nicht semiregulär sein ( Pseudo- Rhombenkuboktaeder) Alle Flächen sind regelmäßige -Ecke Müssen also drei Fälle betrachten: Alle Kanten haben die gleiche Länge drei vier oder fünf An jeder Ecke des Polytops können drei Polygone um eine Ecke vier oder fünf Polygone zusammenkommen ( Winkelsumme!)
39 Klassifikation II Erster Fall: Drei Polygone mit Ecken : reguläres Polytop : das Um -Eck kommen abwechselnd : Prisma - und : Abgestumpftes Tetraeder : Abgestumpftes Oktaeder : Abgestumpftes Ikosaeder : Abgestumpftes Hexaeder : Abgestumpftes Dodekaeder -Ecke Daher muß Mit dem gleichen Argument sind Rhombenkuboktaeder Rhombenikosidodekaeder gerade gerade sein : Abgestumpftes Kuboktaeder oder großes : Abgestumpftes Ikosidodekaeder oder großes
40 Prismen Typ: (44n) Flächenfolge: Quadrate und zwei -Ecke
41 Prismen Typ: (44n) Flächenfolge: Quadrate und zwei -Ecke
42 Abgestumpftes Tetraeder Typ: (366) Flächenfolge: Vier Sechsecke und vier Dreiecke
43 Abgestumpftes Tetraeder Typ: (366) Flächenfolge: Vier Sechsecke und vier Dreiecke
44 Abgestumpftes Hexaeder Typ: (388) Flächenfolge: Sechs Achtecke und acht Dreiecke
45 Abgestumpftes Hexaeder Typ: (388) Flächenfolge: Sechs Achtecke und acht Dreiecke
46 Abgestumpftes Oktaeder Typ: (466) Flächenfolge: Acht Sechsecke und sechs Quadrate
47 Abgestumpftes Oktaeder Typ: (466) Flächenfolge: Acht Sechsecke und sechs Quadrate
48 Abgestumpftes Dodekaeder Typ: (31010) Flächenfolge: 20 Dreiecke und zwölf Zehnecke
49 Abgestumpftes Dodekaeder Typ: (31010) Flächenfolge: 20 Dreiecke und zwölf Zehnecke
50 Abgestumpftes Ikosaeder Typ: (566) oder Fußball Flächenfolge: 20 Sechsecke und zwölf Fünfecke
51 Abgestumpftes Ikosaeder Typ: (566) oder Fußball Flächenfolge: 20 Sechsecke und zwölf Fünfecke
52 Großes Rhombenkuboktaeder Typ: (468) Zwölf Quadrate Flächenfolge: acht Sechsecke und sechs Achtecke
53 Großes Rhombenkuboktaeder Typ: (468) Zwölf Quadrate Flächenfolge: acht Sechsecke und sechs Achtecke
54 Gr Rhombenikosidodekaeder Typ: (4610) 30 Quadrate 20 Sechsecke und zwölf Zehnecke Flächenfolge:
55 Gr Rhombenikosidodekaeder Typ: (4610) 30 Quadrate 20 Sechsecke und zwölf Zehnecke Flächenfolge:
56 Klassifikation II Zweiter Fall: Vier Polygone mit Ecken Wenn und das Dreieck dann müs - und -Eck teilen sich eine Kante mit dem sein da sie abwechselnd vorkommen müssen : Oktaeder : Antiprisma : Kuboktaeder : Ikosidodekaeder : Rhombenkuboktaeder : Rhombenikosidodekaeder
57 Antiprismen 3 4 Typ: (333n) 1 Flächenfolge: 5 Dreiecke und zwei -Ecke 2 0
58 Antiprismen 3 4 Typ: (333n) 1 Flächenfolge: 5 Dreiecke und zwei -Ecke 2 0
59 Kuboktaeder Typ: (3434) Flächenfolge: Acht Dreiecke und sechs Quadrate
60 Kuboktaeder Typ: (3434) Flächenfolge: Acht Dreiecke und sechs Quadrate
61 Ikosidodekaeder Typ: (3535) Flächenfolge: Zwanzig Dreiecke und zwölf Fünfecke
62 Ikosidodekaeder Typ: (3535) Flächenfolge: Zwanzig Dreiecke und zwölf Fünfecke
63 Kleines Rhombenkuboktaeder Typ: (3444) Flächenfolge: Acht Dreiecke und 18 Quadrate
64 Kleines Rhombenkuboktaeder Typ: (3444) Flächenfolge: Acht Dreiecke und 18 Quadrate
65 Kleines Rhombenikosidodekaeder Typ: (3454) Flächenfolge: Zwanzig Dreiecke dreißig Quadrate und zwölf Fünfecke
66 Kleines Rhombenikosidodekaeder Typ: (3454) Flächenfolge: Zwanzig Dreiecke dreißig Quadrate und zwölf Fünfecke
67 Klassifikation III Dritter Fall: Fünf Polygone mit und Ecken Wenn und das Dreieck dann müs - und -Eck teilen sich eine Kante mit dem sein da sie abwechselnd vorkommen müssen : Ikosaeder : Abgeschrägtes Hexaeder : Abgeschrägtes Dodekaeder
68 Abgeschrägtes Hexaeder Typ: (33334) Flächenfolge: 32 Dreiecke und sechs Quadrate
69 Abgeschrägtes Hexaeder Typ: (33334) Flächenfolge: 32 Dreiecke und sechs Quadrate
70 Abgeschrägtes Dodekaeder Typ: (33335) Flächenfolge: 80 Dreiecke und zwölf Fünfecke
71 Abgeschrägtes Dodekaeder Typ: (33335) Flächenfolge: 80 Dreiecke und zwölf Fünfecke
72 Penrose Tiling
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