I el U el. P el W V 23+W F23. Musterlösung SS Aufgabe (34 Punkte) a) Energiebilanz für die Kammer A im Zeitintervall t 12 :
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1 Musterlösung SS. Aufgabe Punkte a Energiebilanz für die Kammer A im Zeitintervall t : W A, + W V A U A U A W A, P el t U el I el t W V A 0 U A U A m A c v A A 5 m A A V A R A 6 c v κ R 7 A A A A 8 A B 9 B u Unbekannt: W A,, W V A, U A U A, t, m A, c v, A, A, B Arretierung x u, u A B C A, A, V A B, B, V A c F A u b Gleichgewicht an den Kolben: A B u + F Fx A u + c F x A I el U el bzw. A B B u Potentielle Energie der Feder: du A/d t F F x E ot x x x0 F F x dx c F x P el x du A/d t du B/d t W V +W F P el
2 c Energiebilanz für das System Kammer A+B+Kolben im Zeitintervall t : U el I el t t + W V + W F U A U A + U B U B mit W V W F E ot, c F x U A U A m A c v A A u dv u V V u A x 5 U B U B m B c v B B m B c v B B 6 m B B V B R B Unbekannt: W V, W F, U A U A, U B U B, A, B, m B, x Energiebilanz für das Kammer A im Zeitintervall t : 7 U el I el t t + W V A U A U A 8 WA, V A dv A A b u + c F x A Adx u A x + c F x d Entroiebilanz S S S A, S A + S B, S B ṠQ dt + ṠA,irr + ṠA,irr dt Q u + S irr S A, S A m A c v ln u + R ln V A A V A S B, S B m B c ln u R ln B B B da A > u wird V A V A mit c κ κ R, A m A R u V A, B u + F F A u + c F x A, m B B V B + x A R B Energiebilanz für Q : S Q x Q + W V U A U A + U b U b + E ot mit W V u dv u V B V B, ds A/d t ds B/d t S A,irr S B,irr U A U A m A c v u A, U B U B m B c v u B, E ot c F x
3 . Aufgabe 6 Punkte a Das zur Verfügung stehende Flaschenvolumen V teilt sich auf die kondensierte und gasförmige Phase auf. Dabei sind die sezifischen Volumina bei der emeratur des Gemisches anzusetzen: m V v y V v ϑ u, m V v ϑ u y V v ϑ u Sezifische Volumnia v v ϑ u und v v ϑ u aus abelle für siedende Flüssigkeit. Gesamtmasse des eingefüllten Gases: m m + m y V y V v + ϑ u v ϑ u b Wird die Flasche in eine kühleren Raum gebracht, dann kondensiert ein zusätzlicher eil des Gases, wobei Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Da sich das Volumen der Flasche nicht ändert, erfolgt der Vorgang isochor. Energiebilanz: Q U U m u u m x u ϑ L + x u ϑ L x u ϑ u + x u ϑ u Sezifische innere Energien aus u h ϑ ϑv ϑ und u h ϑ ϑv ϑ aus abelle für siedende Flüssigkeit mit ϑ ϑ L bzw. ϑ u. Die Damfgehalte bei den verschiedenen emeraturen ergeben sich aus x V/m v ϑ u v ϑ u v ϑ u, und analog x V/m v ϑ L v ϑ L v ϑ L c Zunächst verdamft die kondensierte Gasmenge vollständig bei dem Damfdruck s ϑ L Da dieser Damfdruck s ϑ L höher ist als der Umgebungsdruck u kann auch noch ein eil der gasförmigen Füllung entnommen werden. es verbleibt m Rest in der Flasche: d V v ϑ L m m m m Rest m V m v ϑ L + m v ϑ L V v u, ϑ L m + m m m V V m m v ϑ L v ϑ L /v ϑ L Bilanzen am offenen System:, m V v ϑ L, m V V v ϑ L Q de/dt m h S Q ds/dt m s de dt du dt Q ṁ h ϑ L Int. E E m u ϑ L + m u ϑ L Q m h ϑ L aus ab.: h ϑ L, u ϑ L h ϑ L s ϑ L v ϑ L, u ϑ L h ϑ L s ϑ L v ϑ L ds dt ṠQ ṁ s ϑ L + Ṡirr, langsame Entnahme: Ṡ irr 0 Int. S S m s ϑ L + m s ϑ L Q m s ϑ L L aus ab.: m m + m s ϑ L, s ϑ L, L ϑ L + 7, 5 K S irr Q, E E, S S
4 e siehe Diagramm h S N v const S N const ϑ krit const ϑ krit const ϑ u const K ϑ u const v const B K B ϑ u const ϑ u const u ϑ K const ϑ K const u const t ϑ u const x ϑ K const ϑ u const ϑ K const u const t ϑ K const ϑ K const x x 0 x 0 v const v s f Instationärer Vorgang für geschlossenes System Isochore Verdamfung: du dt Q S m du dt Integration: t B ṁ Q S du ṁ Q S u u ṁ h h m v s ϑ s ϑ u Q S Q S mit ϑ ϑ s v V/m und h h h ϑ x h ϑ u + x h ϑ u g Der Inhalt liegt ausschließlich gasförmig vor. Aus ab.: ϑ krit ϑ krit S N, V/m
5 . Aufgabe 0 Punkte a Fundamentalgleichung: ds du + dv Kalorische Zustandsgleichung: du c v d + u v dv h s h Isochore Zustandsänderung: dv 0 s v c v oder d v s c v k Integration: 0 v ex s s0 c v s k s h s Die Steigung der Isochoren ist roortional zur emeratur und bei konstanter Wärmekaazität unabhängig vom Wert der Entroie. b siehe Abb. Wärmezufuhr q > 0 vom Heißkörer Wärmeabfuhr q < 0 regenerativ Wärmezufuhr q > 0 regenerativ Wärmeabfuhr q < 0 an den Kaltkörer c Wirkungsgrad des idealen Stirling-Prozesses: η C w q q zu q zu q zu + q ab q + q + q + q + q /q q zu q. Hautsatz: q q h k η C h k h k h d Wirkungsgrad des Stirling-Prozesses mit unvollständiger regenerativer Wärmeübertragung: η w q q zu q zu q zu + q ab q zu q + q + q + q q + a q k s s + h s s k s s + a c v h k h k h + a c v h k / s h η C + a c v / s h η C < η C 5
6 . Aufgabe 50 Punkte a h const 6 const b x 5 h 5 h h h aus /D: h 5 hs 5 s s, ϑ, ϑ aus /D: h h, x 0, h h, x x 0 0 K 5* 5, const - V const V, const 7* 7 x 0 const c d P 5 ṁ η s, h 5 h aus /D: h h, ϑ wnd t wt 0 h h 0 aus /D: h 0 h 0, x 0 h 0, h h, ϑ s w t HD wt h h aus /D: h h + V, x 0 h + V, h h, ϑ Wirkungsgrade: η s,p h h 0 h h 0, η s,p h h h h aus /D: h h, s 0, s 0 s 0 aus /D: h h, s, s s + V e Energiebilanz am Mischer M h ṁv ṁ h 5 + ṁ ṁ V ṁ h ṁ V h 5 h + η s, h 5 h f Entroiebilanz am Mischer M S irr,m ṁ s ṁ V s 5 /ṁ ṁ V s aus /D: s 5 s, h 5, s s, h, s s + V 6
7 g η th Ẇ t Q HD + Q ND + Q 70 Q HD + Q ND Q ṁ h h, Q 56 ṁ ṁ V h 6 h 5, Q 70 ṁ ṁ V h 0 h 7 h 7 h 0 + x 7 h 0 h 0 h Ė Q,HD ṁ e e ṁ h h u s s, Ė Q,ND ṁ e 6 e 5 ṁ ṁ V h 6 h 5 u s 6 s 5, aus /D: h 6 h 5, ϑ 6 aus /D: s s, h, s s, h, s 6 s, h 6, s 5 s, h 5, ζ Ẇ t Ė Q,HD + ĖQ,ND η th Q HD + Q ND Ė Q,HD + ĖQ,ND 7
8 5. Aufgabe 5 Punkte a Ausgangsunkt: Fundamentalgleichung für die Entroie S und Definiton von G oder Fundamentalgleichung von G zusammen mit dem vollständigen Differential von G, : ds dh V d, H G + S dh dg + ds + S d Vergleich mit vollständigem Differential liefert: V dg G G dg S d + V d G d + d G, S, b Ausrechnung der artiellen Ableitungen: V G n R Dies ist die Zustandsgleichung für ein ideales Gas. G S n R ln ϕ 0 c Mit der Definition der Enthalie H U + V folgt + c n s m U H V G + S V n R ln ϕ c 0 + n R ln ϕ 0 c + c n R. Mit den nun bekannten Funktionen G,, S, und V, folgt also unmittelbar U n u m n R c Einen Hinweis erhält man durch Betrachtung der Dimensionen: [ ] [ ] G m G, Nm K Ergänzung: Dies lässt sich mit ϕ 0 a 0 c 0 S n s m n R und den Rechenregeln für den Logarithmus umschreiben: c ln 0 ln 0 + ln a + c Wird für die freie Konstante ln a c gesetzt, verbleibt: S n s m n R c ln R ln 0 0 Offensichtlich ist c mit c c m R s ig m c m zu identifizieren, da es sich um ein ideales Gas handelt, für das gilt: ln 0 R ln 0 c m : molare Wärmekaazität bei konstantem Druck Ergänzung: Damit wird u m eine reine emeraturfunktion u m u m, wie es für ein ideales Gas sein muss: u m c m R c vm 8
9 c Das chemische Potential eines reinen Stoffes ist definiert als Daraus ergibt sich: µ g i,m g m G n., µ R ln ϕ c 0 G n. d Die molare Wärmekaazität bei konstantem Volumen ist definiert als: Ausrechnung liefert c vm um v n c vm c R U v e Fundamentalgleichung für S, vollständiges Differential für H, und Definitionsgleichung für die molare Wärmekaazität c m : ds dh V d, dh H d + H Nach Einsetzen von dh in die Fundamentalgleichung folgt für d 0: c m n S H d mit n c m Ergänzung: Ein entsrechender Ausdruck gilt auch für die Wärmekaazität bei konstanten Volumen: c vm S. n V 9
10 6. Aufgabe 6 Punkte a Energibilanz für adiabates Rohr: h + c const h t Am Zustandsunkt gilt für die otalenthalie: h t µ h + µ Daher ergibt sich: ρ h + hµ h t µ 0 h + µ 0 ρ h + hµ 0, hµ 0 µ 0 ρ h t µ 0 h + 9 µ 8ρ h t µ 0 h + µ ρ h + 9 hµ 0, h µ 0 9 hµ 0 h + hµ 0, hµ 0 hµ 0 b Am kritischen Punkt herrscht Schallzustand: Ma c a κ R h t µ h µ + c µ h + κ R c h µ κ + h µ h t µ κ + < c h µ und h t µ stehen in einem konstanten Verhältnis zueinander. Andererseits muss h stets kleiner als h sein, falls im Rohr eine Unterschallströmung im Zustand vorliegt. Daraus ergibt sich ein Kriterium für das maximal mögliche µ bzw. µ 0 der Aufgabenstellung. h µ h µ h t µ h + hµ κ+ h + µ < h ρ µ µ 0 < κ h ρ κ h ρ Für µ 0 ist h identisch mit h. Die Strömung befindeet sich im Eintritt bereits im kritischen Zustand, die maximal mögliche angeschlossene Rohrlänge ist dann Null. h h t µ 0 h t /µ 0 h t µ 0 h h * µ 0 h * /µ 0 h * µ 0 µµ 0 hµ 0 hµ 0 9/ hµ 0 µ0 µµ 0 µ/µ 0 d siehe Diagramm s s * µ 0 s * /µ 0 s * µ 0 s 0
11 e die maximal zulässige Rohrlänge nimmt mit wachsender Massenstromdichte bei ab, da die kritische Enthalie sich der Enthalie im Zustandsunkt mit wachsendem µ annähert. g Imulsbilanz am Rohr: ρ c ρ κ h A A R F h,a A µ ρ ρ κ h A Mit bekanntem, ρ und h lässt sich Rµ berechnen. mc mc* * * RF h,a
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