Der lange Weg zu den Potenz- und Logarithmengesetzen

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1 Der lange Weg zu den Potenz- und Logarithmengesetzen. Schritt: x n, n N, also eine natürliche Zahl ungleich Null). Wie jeder weiß gilt: = } {{ 0 0 0} 0 } 0 {{ 0} = } {{ } = 09 6 Faktoren 3 Faktoren 6+3 = 9 Faktoren Das gilt deshalb auch allgemein für jede reelle Zahl x R und natürliche Zahlen m,n N : x n x m = } x x...x {{ x} x} x... {{ x x} = } x x...x x {{ x x...x x} = xn+m ) n Faktoren m Faktoren n+m Faktoren Eine weitere Folgerung ist, dass gilt x nm = x n ) m = x n x n...x n = } x x... {{ x x} x } x... {{ x x}...x } x...x {{ x} n Faktoren n Faktoren n Faktoren = } x x...x x x x...x {{ x...x x...x x} = xnm n mal m Faktoren. Schritt: Was gilt für rationale Zahlen r = m n mit m,n N? Wir beginnen mit der Definition von x n. Um auf die Definition der Umkehrfunktion zu x n zu schließen, schauen wir uns die Funktionsgraphen an:

2 6 6 3 Funktionen x, x, x 6, x 0 3 Funktionen x, x 3, x 5, x 9 6 Die Umkehrfunktion zu x n ist x n = n x und erfüllt die Gleichung x n) n = x. Wie man sieht gibt es aber für gerade Potenzen keine eindeutige Umkehrfunktion, deshalb definiert man die Umkehrfunktion nur für nichtnegative Argumente. Im Beispiel sieht das so aus: Die Gleichung x = hat zwei Lösungen, nämlich und. Wie soll also = bestimmt sein? Per Definition wird = bestimmt. Für ungerade Potenzen, also z.b. im Fall x 3 = 8, tritt dieses Problem nicht auf Funktionen x, 3 x, x, 5 x, 6 x, 0 x Trotzdem wird definiert, dass x 3 = 3 x nur für nichtnegative x definiert ist. Dagegen ist aber die Gleichung x 3 = 8 sehr wohl lösbar, sie hat die Lösung x = 3 8 =. Es gilt somit die Definition x m n = x n) m = n x) m, x 0, n,m N.

3 3. Schritt: Per Definition ist x 0 = für alle x R.. Schritt: Negative, ganze Zahlen n, n N. Für x 0 gilt x x = und damit auch ) n x n = = xn x x n = xn x n. Deshalb definiert man x n := x n, was auch sehr gut zu ) passt, da gilt x m x n = xm x n = xm n. 5. Schritt: Was ist eine sinnvolle Definition für reelle Zahlen α R? Wie sollte man x α definieren? Dazu bedient man sich der sogenannten e-funktion mit der Eulerschen Zahl e. 6. Schritt: Die e-funktion und die Logarithmusfunktion ln x. Für rationale und ganzzahlige Exponenten q ist e q nach den bisherigen Überlegungen definiert. D.h. gelten die Potenzgesetze für rationale Exponenten mit x = e : e n+m = e n e m, e m n = e n e m n = e n) m = n e) m = ) m = n e) m, e n = e n ) m = en, ) n e) m =. e m n 3) Da jede irrationale Zahl durch rationale Zahlen approximiert werden kann, definiert man nun die e-funktion für irrationale Zahlen α wie folgt. Es sei r n eine Folge rationaler Zahlen mit lim n r n = α, dann ist e α := lim n ern. Bildlich: Stellen Sie sich vor, dass für alle rationalen und negativen rationalen Zahlen q die Werte e q berechnet sind. Dann können diese Paare q, e q ) im x-y-koordinatensystem eingetragen werden, die Werte für e α ergeben sich dann durch zudefinieren in- 3

4 dem die Linie durchgezogen wird. Auf diese Weise wird eine stetige Funktion e x für alle reellen x erklärt und es gelten die Potenzgesetze für reelle Exponenten mit x = e genauso wie vorher )): e α+β = e α e β, für alle reellen α, β R. Insbesondere ist e α = e α und e α β = e α e β = eα e β. Í Man kann sich die Potenzgesetze auch so merken, dass sich die Exponenten addieren, wenn man Potenzen zur gleichen Basis also z.b. e oder eben auch jede andere reelle Zahl ungleich Null) multipliziert. Dagegen ist im Allgemeinen e α + e β e α+β. Oder anders ausgedrückt, die Exponentialfunktion ist keine lineare Funktion. Es gilt eben nicht e α + e β = e α+β. Damit haben wir für den Spezialfall x = e die Funktion x α erklärt. Wie kommt aber nun allgemein auf x α. Dazu schauen wir uns die Funktion e α an: 5 y = e x y = x 3 y = ln x Offensichtlich gibt es eine Umkehrfunktion und diese wird mit ln x bezeichnet, d.h. y = ln x e y = x. Das hat als erstes die Konsequenz, dass der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus alle positiven reellen Zahlen sind, da dies der Wertebereich der e- Funktion ist. Weiterhin ergeben sich die Logarithmengesetze aus den Potenzgesetzen: Sei y = lnx, y = ln x, y, y, x, x R, x, x > 0, dann gilt e y = x und

5 e y = x und wir erhalten: x x = e y e y = e y +y lnx x ) = ln e y +y ) = y + y = ln x + ln x, und x x = ey e y = ey y ln x x ) = ln e y +y ) = y y = ln x ln x sowie für n N : x n = e y ) n = e ny ) ln x n = ln e ny ) = n y = n ln x. Folglich gelten die Logarithmengesetze lnx x ) = ln x + ln x, x, x > 0, ) x ln = ln x ln x, x, x > 0, x ln x n = n ln x, x > 0, n N. Die Logarithmusfunktion ist also keine lineare Funktion. Insbesondere gilt nicht: lnx + y) = lnx + ln y. Ê Vorsicht Falle: Die Funktion ln x ist für alle reellen x mit x 0 definiert, aber ln x = ln x = ln x, dagegen ist die Funktion ln x nur für positive reelle x definiert! 7. Schritt: Nun können wir x α für x > 0 wie folgt definieren: x α = e lnxα) = e α lnx). Bemerkung: Anstelle der Basis e hätte man auch andere positive reelle Zahlen ungleich verwenden können, von Bedeutung sind insbesondere die Zahl bzw. die Zahl 0 als Basis. Der Logarithmus bzgl. der Basis wird auch mit ld x) und der Logarithmus zur Basis 0 wird auch mit lg x bezeichnet. 5

6 Es gelten nun die bekannten Potenzgesetze für reelle Exponenten α R und x > 0. Die Bedingung x > 0 ergibt sich daraus, dass der Logarithmus nur für positive x definiert ist. x α+β = x α x β, für alle reellen α, β R. Insbesondere ist x α = x α und x α β = x α x β = xα x β. Í Für ganzzahlige Exponenten, n Z, gelten die Potenzgesetze für alle reellen x mit ggf.) Ausnahme von x = 0. Aber schon für rationale Exponenten m n Q gelten die Potenzgesetze nur noch für x 0. Dabei muss der Fall x = 0 für Exponenten 0 ausgeschlossen werden, da 0 0 genauso wenig wie die Division durch Null erklärt ist. Insbesondere ist die Potenzfunktion keine lineare Funktion,d.h.x x α+β x α + x β. Es gilt eben nicht x α+β = x α + x β. 6