Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE

Transkript

1 Physik-Department LS für Funktionelle Materialien WS 215/16 Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Dr. Neelima Paul, Nitin Saxena, Daniel Moseguí González, Johannes Schlipf Vorlesung , Übungen , und Blatt 6 1. Loopingbahn Ein Körper startet mit der Geschwindigkeit v = m/s vom Punkt A (z = h) auf der in der nebenstehenden Abbildung gezeigten reibungsfreien Loopingbahn. a) Wie groß sind die Geschwindigkeiten in den Punkten B und C der Kreisbahn mit Radius R? für v = m/s gilt: E pot = mgh und E kin = 1/2 mv 2 = im Punkt C: im Punkt B: v = v = 2gh 2g(h 2R) allgemein gilt: im Punkt C: im Punkt B: mgh + 1/2 mv 2 = 1/2 mv 2 v = v = 2gh + v 2 2g(h 2R) + v 2

2 b) Wie groß darf das Verhältnis R/h höchstens werden, damit der Körper in Punkt B nicht herunterfällt? für v = m/s gilt: aus (v 2 /R) > g = v(r) > Rg = h > 5 2 R allgemein gilt: = h > 5R v2 g 2 c) Wie groß ist dann die Geschwindigkeit v min (B) bei einem Radius R = 5, m? v min (B) = gr v min (B) = 9,81 m/s 2 5, m = 7, m/s 2

3 2. Anziehung im Weltall Zwei Kugeln mit jeweils der Masse m = 1, kg und dem Radius R = 1, cm werden im Weltall fernab von anderen Massen ausgesetzt. Zur Zeit t = ruhen die beiden Kugeln unter einem Abstand der Schwerpunkte von d = 1, m. Aufgrund ihrer gegenseitigen Anziehung beginnen sie, sich aufeinander zuzubewegen. Mit welcher Relativgeschwindigkeit v prallen sie aufeinander? symmetrisches Problem: F g,links = F g,rechts (actio = reactio) Gravitation: F g = G m2 = ma = m v r 2 r: Abstand der Schwerpunkte Idee: Verwende Energiesatz: E pot + E kin = const. Vorlesung: E pot = F dx E pot =, wenn Kugeln im Kontakt. Leiste Arbeit gegen Gravitation, um die Kugeln auf Abstand d zu bringen. E pot = Ziel Start F dx = d 2R Gm 2 r 2 = Gm 2 ( 1 2R 1 d [ Gm 2 dr = r ) Dies ist die potentielle Energie, die bis zum Zusammentreffen in kinetische Energie umgewandelt wird. 2 Kugeln: ] d 2R = v = 2E kin = E pot = mv2 Gm ( 1 2R 1 ) = 5, m/s d v ist die Geschwindigkeit im Schwerpunktskoordinatensystem. Gesucht ist die relative Geschwindigkeit v v = 2v = 1,3 1 4 m/s Die Gravitationskraft ist im Vergleich zu anderen Kräften (Feder, Coulomb, etc.) sehr klein, daher die geringe Geschwindigkeit. Allerdings würden sich die beiden Kugeln auch mit dieser geringen Geschwindigkeit v erst nach ca. 8 Stunden treffen. In Erdpraxis verhindert in der Regel die Reibung derartige Beobachtungen. 3

4 3. Rakete Eine voll betankte Rakete des Typs Ariane 5 habe eine Masse von 75 t von denen 65 t Treibstoff sind. Der verbrannte Treibstoff verlässt die Rakete mit einer Ausströmgeschwindigkeit von v g = 55 m/s und einer Rate von 15 kg/s. Die Rakete befindet sich im Weltall, so dass weder Schwerkraft noch Luftwiderstand auf sie wirken. Beim Start hat sie die Geschwindigkeit v =, m/s. Für diese Aufgabe wird angenommen, dass die Rakete aus nur einer Stufe besteht, die gleichmäßig verbrannt wird. a) Bestimmen Sie den Schub der Rakete. Schub: Kraft, die ausgestoßenes Gas durch Impulsübertrag auf Rakete ausübt. F = dp = v g = d(m v) b) Bestimmen Sie die Brenndauer T der Rakete. = v g + m dv g = }{{} = = 55 m/s 15 kg/s = 8,25 MN 65 kg Treibstoff; verliert pro Sekunde 15 kg m(t) = 75 t 15 kg s T = 1 t T = 65 kg 15 kg s = 433 s c) Leiten Sie her, wie sich die Geschwindigkeit v(t) als Funktion der Zeit verhält! Hinweis: Aus dem 2. Newtonschen Axiom erhalten Sie mit dem allgemeinen Ausdruck für die Kraft eine Gleichung, die die zeitlichen Ableitungen und dv enthält. Integrieren Sie beide Seiten nach der Zeit! Newton: F = dp infinitesimale Änderung des Gesamtimpuls im Inertialsystem: dp = P(t = ) P(t = ) 4

5 P(t = ) = (m + )v Ri ; P(t = ) = m(v Ri + dv Ri ) + v gi dp = mdv Ri + (v gi v Ri ) = mdv Ri + v g wobei v Ri = v und v gi relativ zum Inertialsystem, v g relativ zur Rakete gemessen; keine äußere Kraft: F = dp = m dv Ri + v g = Achtung: v g = m dv Integral: m = m(t) = M }{{} 75 t t }{{} 15 kg/s t dv t = v g v(t) v() dv = v g m(t) 1 m m() m v(t) v() = v g (ln(m(t)) ln(m(t = ) }{{}}{{} ( ) v(t) = v g ln m(t) M = v g ln 1 M ) M t Skizze siehe e). d) Wie hoch ist die Endgeschwindigkeit v end der Rakete? Brennschluss: m(t) = 75 t 65 t = 1 t = v(t) = v g ln m(t) M = 55 m/s ln 1 t 75 t v(t) = 1181,96... m/s = 11,1 1 3 m/s oder 11,1 km/s 5

6 e) Wie hoch wäre die Endgeschwindigkeit v g, wenn auf die Rakete während der Brenndauer eine rücktreibende Kraft wirken würde, die der Fallbeschleunigung von g = 9,81 m/s 2 auf der Erde entspricht? dp = mg Zusätzliche Kraft ( m g), die der Rakete entgegen wirkt. Start von der Erde t m dv + v g = mg dv t = v(t) = v g ln m(t) M 1 t v g m g gt v(t) = 683,96... m/s = 6, m/s oder 6,83 km/s 6