2.15 Linienverbreiterung

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1 2.15 Linienverbreiterun Bei den bisherien Rechnunen wurden die Eneriezustände immer als beliebi scharf anenommen. Dies ist allerdins selbst für isolierte Atome nicht richti, da die Zustände aufrund der endlichen Lebensdauer eine ewisse Linienbreite besitzten. Nur Zustände mit unendlich laner Lebensdauer besitzen eine scharf definierte Enerie (Enerie-Zeit Unschärferelation). Die Enerieunschärfe eines Zustands, der eine endliche Lebensdauer besitzt, wird durch die in Abb darestellte Lorentzfunktion beschrieben (die Lorentzfunktion ist die Fouriertransformierte einer exponentiell abfallenden Funktion): 1 1 L( E) ( E E 1 0) 2 (2.15.1) Die Halbwertsbreite der Lorentzfunktion ist: 2 E (2.15.2) Abbildun : Enerieunschärfe eines Zustands mit der Lebensdauer Setzt man für einen typischen Wert für die spontane Rekombinationsdauer ein ( = 1 ns), so erhält man als Breite der Enerieverteilun E = 1.3 µev, also eine sehr scharfe Linie. Für isolierte Atome ist diese Betrachtun zulässi, bei Zuständen im Festkörper muss zusätzlich noch die Wechselwirkun mit den anderen Ladunsträern und den hononen berücksichtit werden. Hier ereben sich viel kürzere Lebensdauern im Bereich von nur 100 fs. Nach dieser Zeitspanne streuen die Elektronen oder Löcher in einen anderen Zustand, für die eneretische Unschärfe hat das die leichen Konsequenzen wie eine strahlende Rekombination. Mit = 100 fs eribt sich eine um den Faktor 10 4 rößere Linienbreite, d.h. 13 mev. Das Verstärkunsprofil eines aktiven Materials mit endlicher Linienbreite berechnet man durch die Faltun der Verstärkunsfunktion mit der Lorentzfunktion: ( E) ( E') L( E E') de' (2.15.3)

2 Neben der Lorentzfunktion werden auch Gaussfunktionen oder die soenannte Chinn Funktion zur Beschreibun der Linienverbreiterun verwendet. Die Chinn Funktion ist die Fouriertransformierte eines Zustands, der mit folender Zeitabhänikeit zerfällt: ( t) l( t) 2 e lo10 ( t[ ps]) 2 1.5lo10 t 0.5 (2 lo10 t) l (2.15.4) Für lane Zeiten wird l(t)~t, d.h. es eribt sich ein exponentieller Zerfall, für kurze Zeiten ist l(t)~t 2 d.h. man bekommt einen aussförmien Verlauf. Genauers steht in der Arbeit von Chinn: S.R. Chinn,.S. Zory, and A.R. Reisiner Jr., A model for GRIN-SCH-SQW diode lasers, IEEE J. Quantum. Electron. 24, pp (1988) Abb zeit diese drei Funktionen in einer loarithmischen Darstellun. Die Halbwertsbreite ist bei allen Funktionen leich (13 mev), die Steilheit der Flanken allerdins sehr unterschiedlich. Die Gaussfunktion (in der loarithmischen Darstellun eine arabel) fällt am schnellsten ab, die Lorentzfunktion besitzt lane Ausläufer. Abbildun : Verlauf von Funktionen zur Beschreibun einer endlichen Linienbreite von strahlenden Überänen (Lorentz, Gauss und Chinn) Abb zeit das Verstärkunsprofil eines Quantenfilms mit und ohne Linienverbreiterun. Die Faltun der Verstärkunsfunktion mit der Verbreiterunsfunktion führt zu einer Reduktion der maximalen Vestärkun und zu einer Aufweichun des sprunhaften Ansties an der Bandkante. Da die Flanken der Lorenztfunktion nur schwach abfallen wird ein roßer Teil der Absorption ab Enerien über 1.3 ev in den Bereich unter der Bandlücke efaltet, was zu einer (unphysikalischen) Absorption in diesem Bereich führt. Die Gauss- oder Chinn-Funktion liefern hier eine bessere Approximation

3 Abbildun : Verstärkun eines Quantenfilms ohne (estrichelte Linie) und mit (durchezoe Linien) Linienverbreiterun 2.16 Messun von Materialverstärkun Die in diesem Abschnitt beschriebenen Verfahren messen nicht direkt die Materialverstärkun, sondern die modale Verstärkun modal = Material. Der Füllfaktor wird meist aus den Strukturdaten berechnet, von der emessenen modalen Versträrkun kann dann auf die Materialverstärkun zurückerechnet werden. a) Strichlänenmethode Die Strichlänenmethode erfordert die Herstellun einer speziellen Kontakteometrie auf der Laserprobe, dabei werden Kontaktstreifen unterschiedlicher Läne auf die robe aufebracht. Das Licht koppelt durch die vordere Facette der Struktur aus, die hintere Facette ist weit von den Kontaktstreifen entfernt und kann vernachlässit werden. Die Strukturen sind daher keine Laser (die Rückkopplun fehlt), sondern spezielle Leuchtdioden. Abb zeit schematisch eine Struktur zur Verstärkunsmessun mit der Strichlänenmethode. Abbildun : Struktur zur Verstärkunsmessun mit der Strichlänenmethode

4 Zur weiteren Betrachtun nehmen wir an, dass über die esamte Struktur verteilt spontane Emission mit einer Leistunsdichte sp in Richtun der vorderen Facette emittiert wird. Diese spontane Emission wird beim Durchlaufen der Struktur verstärkt (oder abeschwächt). Die esamte, von der vorderen Facette emittierte Leistun erhält man durch Interation über alle mölichen Emissionspositionen. Der Beitra der am Ort x emittierten und dann verstärkten spontanen Emission zur Ausansleistun ist (siehe auch Abb ): ( x') exp( ( L x')) (2.16.1) sp Das Subskript steht für amplified spontaneous emission. Abbildun : Verstärkun der am Ort x spontan emittierten Leistun beim Durchlaufen der Struktur. Die esamte Ausansleistun erhält man durch Interation über die Läne des Bauelements: e L sp L e 1 e 1 L L L ( Lx) L x sp, es spe dx spe e dx 0 0 sp L, es e 1 (2.16.2) Für kleine Verstärkunen kann man die Exponentialfunktion linear nähern und erhält damit im Grenzfall 0: sp, es 1 L 1 spl (2.16.3) e L 1 Ohne Verstärkun steit die Ausansleistun also linear mit der Läne der Struktur an. Bei Absorption sättit die Ausansleistun mit zunehmender Läne, da Licht aus dem hinteren Teil nicht mehr bis zur vorderen Facette durchkommt. In diesem Fall ist: sp, sat für <0 und L (2.16.4) L

5 Für Verstärkun schließlich wächst die Ausansleistun exponentiell mit der Läne an: sp L, sat e für >0 und L (2.16.5) Abb zeit die Abhänikeit der emittierten Leistun von der Läne für die drei oben diskutierten Fälle. Durch Messun der Emissionsspektren für verschiedene Kontaktlänen kann durch Anpassun des Verlaufs (L) an Gleichun die Verstärkun bestimmt werden. Der umpstrom muss dabei auf die Kontaktfläche anepasst werden, um alle Messunen bei konstanter Stromdichte durchzuführen. Abbildun : Ausansleistun in Abhänkeit von der Läne für Absorption, Transparenz und Verstärkun. Nachteile der Strichlänenmethode: - keine Messun am echten Laser mölich - aufwendi, Herstellun einer speziellen Struktur erforderlich Vorteile der Strichlänenmethode: - Messun von über roßen Bereich - keine freien arameter bei der Auswertun

6 b) Hakki-aoli Verstärkunsmessunen nach Hakki und aoli sind direkt an Lasern mölich. Die Verstärkun wird aus dem Kontrast der Fabry-erot Moden im Emissionspektrum bestimmt, wie in Abb darestellt ist. Abbildun : Verstärkunsmessun nach Hakki und aoli. Der Kontrast ist der Verhältniss vom Maximum zum Mittel der benachbarten Minima einer Mode: K 2 min, i1 max, i min, i (2.16.6) Aus der Theorie von Fabry-erot Interferometern kann man einen Zusammenhan zwischen dem Kontrast und der Verstärkun herleiten: 1 1 K 1 lo lo L R K 1 (2.16.6) Messunen mit dem Hakki-aoli Verfahren sind nur bis zur Laserschwelle mölich. Hier eht der Kontrast een unendlich, aus Formel (2.16.6) erhält man für diesen Grenzfall die bekannte Formel für die Schwellenverstärkun eines Lasers: 1 lo 1 (2.16.7) th L R Ist das Material im Resonator transparent (=0) so erhält man als weiteren Spezialfall einen Kontrast von: 1 R K trans (2.16.8) 1 R

7 Die Läne taucht in dieser Formel wie erwartet nicht mehr auf. Abb zeit emessene Emissionspektren eines Quantenfilm- und eines Quantenpunktlaser bei einer Wellenläne von ca. 1 µm. Die daraus mittels der Hakki-aoli Methode berechneten Verstärkunskurven sind in Abb aufetraen Intensität (bel. Einheiten) Quantenfilmlaser Wellenläne (nm) Quantenpunktlaser Wellenläne (nm) Abbildun : Emissionsspektren eines Quantenfilm- und eines Quantenpunktlasers 10 5 Quantenfilmlaser Quantenpunktlaser Verstärkun (cm -1 ) Wellenläne (nm) Abbildun : Emissionsspektren eines Quantenfilm- und eines Quantenpunktlasers Nachteile der Hakki-aoli Methode - Messun nur bis zur Laserschwelle mölich - enauer Wert für R erforderlich, Fresnel-Formel liefert nur Abschätzun Vorteile der Hakki aoli Methode - Messun direkt am Bauelement mölich