Hinweis.

Transkript

1 Hinweis Diese Datei darf nur an Ausrichtende dieser 2. Runde der Mathematik- Olympiade weitergeleitet werden. Aufgaben und Lösungen sind bis zu den Wettbewerbsterminen geheim zu halten. Wegen möglicher abweichender Termine an bestimmten Wettbewerbsorten ist bis zum offiziellen Freischaltungstermin auf der Internetseite des Mathematik- Olympiaden e.v. (Klassen 3-4: , Klassen 5-7: , Klassen 8-12: ) jeder Verbreitung außerhalb der eigenen Wettbewerbsdurchführung unbedingt entgegenzuwirken. Auch eine spätere auszugsweise oder vollständige Veröffentlichung ist nicht zulässig. Das schließt insbesondere das Internet mit ein. Über Ausnahmen entscheidet der Mathematik-Olympiaden e.v. auf Antrag an den 1. Vorsitzenden, Herrn Prof. Dr. Jürgen Prestin.

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3 eolympiadeklass5 57. Mathematik-Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Aufgaben c 2017 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Du hast fünf Karten, auf denen jeweils eine der Ziffern 1, 2, 3, 4 oder 5 steht. Jede Ziffer kommt genau einmal vor. Daraus wählst du vier Karten aus und legst eine vierstellige Zahl. Dann multiplizierst du diese Zahl mit der Zahl auf der nicht ausgewählten Karte. Beispiel: = 6902 a) Ermittle die kleinste Zahl, die du auf diese Weise als Ergebnis der Multiplikation erhalten kannst. b) Ermittle die größte Zahl, die du auf diese Weise als Ergebnis der Multiplikation erhalten kannst. c) Ermittle alle Möglichkeiten solcher Multiplikationen, um als Ergebnis der Multiplikation die Zahl 6710 zu erhalten An einem Wandertag veranstaltet die 5. Klasse eine Schatzsuche. Die Klasse wird in zwei Gruppen geteilt. Jede Gruppe muss nacheinander drei Hinweise zum Versteck des Schatzes finden. Die erste Gruppe findet den ersten Hinweis schon nach acht Minuten. Für den dritten Hinweis braucht die Gruppe dreimal so lange wie für den zweiten. Nach genau einer Stunde haben sie die drei Hinweise entdeckt. Die zweite Gruppe benötigt die meiste Zeit zum Finden des ersten Hinweises. Für den zweiten Hinweis braucht die Gruppe acht Minuten weniger und für den dritten Hinweis nochmals acht Minuten weniger als für den zweiten. Insgesamt hat auch die zweite Gruppe genau eine Stunde benötigt. Wie lange haben die Gruppen jeweils die einzelnen Hinweise gesucht? Führe jeweils eine Probe durch. Auf der nächsten Seite geht es weiter! 2

4 Anna, Bettina, Clara, Daniela und Emily spielen in einem Handballverein und haben heute Siebenmeter-Würfe geübt. Jedes der fünf Mädchen hatte zehn Würfe. Danach wurde bekannt: (1) Insgesamt wurden 35 Tore erzielt. (2) Jedes Kind hat eine andere Anzahl von Treffern erzielt. (3) Daniela hat am wenigsten Treffer geworfen. (4) Emily hat ein Tor weniger erzielt als Clara und zwei weniger als Anna. (5) Anna hatte nur einen Fehlwurf. Tatsächlich kann man aus diesen fünf Aussagen die Trefferanzahlen der fünf Mädchen nicht eindeutig bestimmen: Es gibt zwei mögliche Verteilungen. Ermittle diese beiden möglichen Verteilungen Clara hat einen Holzwürfel mit der Kantenlänge 4 cm. Drei Seitenflächen sind gelb angemalt, drei rot; die Flächen mit der gleichen Farbe treffen jeweils an einer Ecke zusammen. Anschließend zersägt sie den großen Würfel in kleine Würfel mit der Kantenlänge 1 cm. a) Wie viele kleine Würfel erhält sie? b) Clara sortiert die Würfel nach der Anzahl der bemalten Flächen, egal ob rot oder gelb. Wie viele verschiedene Würfelsorten findet sie? Wie viele Würfel findet sie jeweils von den einzelnen Sorten? Nun setzt Clara die kleinen Würfel zu größeren Würfeln zusammen. c) Kann es ihr gelingen, einen Würfel zu bauen, bei dem alle Außenflächen rot sind? Begründe deine Antwort. d) Wie groß ist der größte Würfel, den sie bauen kann und bei dem außen weder eine rote noch eine gelbe Fläche zu sehen ist? 3

5 eolympiadeklass6 57. Mathematik-Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Aufgaben c 2017 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar a) Ermittle alle zweistelligen Zahlen, die durch 4, 5 und 6 teilbar sind. b) Ermittle alle zweistelligen Zahlen, die sowohl bei der Division durch 5 als auch bei der Division durch 7 den Rest 1 lassen. c) Ermittle alle dreistelligen Zahlen, die sowohl bei der Division durch 3 als auch bei der Division durch 5 als auch bei der Division durch 7 den Rest 1 lassen Die drei Abbildungen zeigen ein Quadrat ABCD, das aus 4 4 Kästchen (Einheitsquadraten) besteht. Ein Teil ist jeweils grau gefärbt. Berechne für jede graue Fläche den Flächeninhalt in Kästchen. D C D C D G C F F A E B A E B A E B Auf der nächsten Seite geht es weiter! 4

6 Frau Nolle und Frau Bock müssen zu einem Treffen nach Berlin. Sie fahren beide mit ihrem Auto. Frau Nolle kommt aus Bielefeld und muss 400 km fahren, Frau Bock kommt aus Bonn, fährt über Bielefeld und muss insgesamt 600 km fahren. Frau Nolle fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h, Frau Bock fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h. a) Wie lange brauchen beide jeweils, bis sie ihr Ziel erreicht haben? Frau Bock fährt um 10:00 Uhr morgens los, Frau Nolle um 11:30 Uhr. b) Wie viele Kilometer hat Frau Bock zurückgelegt, wenn Frau Nolle losfährt? c) Wann erreicht Frau Bock Bielefeld? d) Ermittle den Zeitpunkt, an dem Frau Bock Frau Nolle eingeholt hat LENA und ANNE sitzen zusammen und denken über ihre Vornamen nach. a) LENA sagt: Mein Vorname hat vier Buchstaben, ein A, ein E, ein L und ein N. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese vier Buchstaben jeweils verschieden anzuordnen? b) ANNE überlegt entsprechend: Mein Vorname hat auch vier Buchstaben. Dann gibt es genauso viele Möglichkeiten wie bei LENA. Hat ANNE Recht? c) Nun kommt auch noch NANNI und sagt: Mein Vorname hat sogar fünf Buchstaben. Bei mir gibt es deswegen mehr Möglichkeiten der Anordnung als bei euch mit euren vier Buchstaben. Hat NANNI Recht? d) Darauf sagt LENA: Dann hole ich meine große Schwester ANNETTE, und die hat mehr Möglichkeiten als wir alle zusammen. Hat LENA Recht? 5

7 eolympiadeklass7 57. Mathematik-Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Aufgaben c 2017 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Für eine Zaunfront benötigt Herr Kunze 11 Pfosten bei einem Pfostenabstand von 2,40 m. Wie viele Pfosten benötigt Herr Kunze, wenn der Abstand 1,50 m betragen soll? Hinweis: Die Breite der Pfosten soll vernachlässigt werden Laura fährt in der Regel jeden Tag von Audorf nach Bergstadt mit dem Zug, der dazu genau eine Dreiviertelstunde braucht. Eines Tages wurde Laura von ihrer Mutter mit dem Auto mitgenommen. Die Straße, die sie fuhren, führt an den Bahngleisen entlang. Das Auto fuhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h. Sie starteten eine Viertelstunde später als der Zug und kamen 5 Minuten früher an. a) Wie weit ist Audorf von Bergstadt entfernt? b) Wie groß war die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges? Die Seite BC eines gleichseitigen Dreiecks ABC wird über den Punkt C hinaus verlängert. Auf dieser Verlängerung liegt der Punkt D derart, dass die Strecken BC und CD gleich lang sind. Die Punkte A und D werden durch eine Strecke miteinander verbunden. a) Zeichne die beschriebene Figur und beschrifte die genannten Punkte. b) Berechne die Größen der Innenwinkel des Dreiecks ACD. c) Ist der Flächeninhalt des Dreiecks ACD größer, gleich oder kleiner als der Flächeninhalt des Dreiecks ABC? Begründe deine Antwort. Auf der nächsten Seite geht es weiter! 6

8 Jonas hat aus den Ziffern von 1 bis 9 drei paarweise verschiedene Ziffern ausgewählt, von denen also keine zwei gleich sind. Aus diesen drei Ziffern hat er alle dreistelligen Zahlen gebildet, in denen jede dieser drei Ziffern genau einmal vorkommt. Die Summe aller dieser dreistelligen Zahlen ist eine vierstellige Zahl, die auf 18 endet. Weise nach, dass aus diesen Angaben die vierstellige Zahl eindeutig ermittelt werden kann, und gib sie an. Hinweis: In dieser Aufgabe wird nur das aus der Schule gewohnte Zehnersystem (auch dekadisches System oder Dezimalsystem genannt) mit den zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 betrachtet. 7

9 eolympiadeklass8 57. Mathematik-Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Aufgaben c 2017 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Nach dem Kauf eines neuen Autos muss man bekanntlich im Lauf der Zeit mit einem Wertverlust rechnen. Für diesen Wertverlust werden im Lauf des ersten Jahres 20 %, im zweiten Jahr weitere 15 % und im dritten Jahr nochmals weitere 15 % angenommen, wobei alle diese Prozentangaben auf den ursprünglichen Kaufpreis bezogen sind. Der jeweils entstehende verminderte Wert wird als Zeitwert bezeichnet. a) Frau Krause bezahlte für ihren Neuwagen Euro. Berechne den Zeitwert nach zwei Jahren. b) Herr Neubert kauft ein neues Auto für Euro. Er möchte den Wagen nach vier Jahren zum Zeitwert verkaufen, den er als Euro annimmt. Welchen Prozentsatz (vom ursprünglichen Kaufpreis) hat er dabei für den Wertverlust im vierten Jahr angenommen? c) Herr Kunze will sein Auto nach drei Jahren verkaufen. Der eigentliche Zeitwert von Euro hat sich allerdings aufgrund eines Unfalls um 10 % verringert. Wie viel Prozent des ursprünglichen Kaufpreises beträgt nun der so entstandene Zeitwert? Es sei ABC ein stumpfwinkliges Dreieck und A sei der Scheitel des stumpfen Winkels. Der Punkt E sei derjenige Punkt auf der Geraden AC, für den die Geraden AC und BE senkrecht aufeinander stehen. Der Punkt F sei derjenige Punkt auf der Geraden AB, für den die Geraden AB und CF senkrecht aufeinander stehen. Schließlich sei S der Schnittpunkt der Geraden BE und CF. Beweise: Unter diesen Voraussetzungen ist die Größe des Winkels BSC gleich der Summe der Größen der beiden spitzen Innenwinkel des Dreiecks ABC. Auf der nächsten Seite geht es weiter! 8

10 Eine neue Rechenoperation zweier rationaler Zahlen a und b mit b 0 wird durch a b = a a b erklärt. Zum Beispiel gilt 1 3 = = 2 3. a) Berechne 7 4 und 7 ( 2). b) Prüfe durch Rechnung nach, ob 3 4 = 4 3 und (6 3) 4 = 6 (3 4) gelten. c) Ermittle die Zahl a, für die a 2 = 2 gilt. d) Ermittle alle Paare (a,b) aus ganzen Zahlen a und b, für die a b = 0 gilt Fritz besitzt mehrere zweifarbige Kugeln, und zwar rot-blaue, rot-grüne, rot-weiße, blau-grüne, blau-weiße und grün-weiße. Er verrät uns: (1) Die Kugeln liegen in einer Kiste. (2) Die Anzahl der blau-grünen Kugeln ist durch 2 teilbar. (3) Genau ein Drittel der Kugeln ist zu einem Teil blau. (4) Genau ein Viertel der Kugeln ist blau-weiß. (5) Genau ein Fünftel der Kugeln ist rot-grün. (6) Es gibt sechsmal so viele rot-grüne Kugeln wie rot-blaue Kugeln. (7) Die Anzahl der Kugeln ist kleiner als das Siebenfache von 20. a) Zeige, dass die Anzahl der Kugeln durch diese Angaben eindeutig bestimmt ist, und gib diese Anzahl an. b) Ermittle den prozentualen Anteil der Kugeln, die blau-grün sind, an der Gesamtzahl der Kugeln. c) Ermittle den prozentualen Anteil der Anzahl der blau-grünen Kugeln an der Anzahl der Kugeln, die zu einem Teil blau sind. 9

11 eolympiadeklass9 57. Mathematik-Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Aufgaben c 2017 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind. Auf eine Beweisangabe kann außerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenen Namen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann Gegeben sind drei zerbeulte Kanister A, B und C. Es ist bekannt, dass Kanister A genau acht Liter, Kanister B genau fünf Liter und Kanister C genau drei Liter Fassungsvermögen hat. Keiner der Kanister besitzt eine Maßeinteilung. Es ist somit unmöglich, an unvollständig gefüllten Kanistern den Stand einer teilweisen Füllung abzulesen. Trotzdem ist es durch Umfüllvorgänge beispielsweise möglich, von anfangs im Kanister A enthaltenen acht Litern Flüssigkeit zwei Liter abzumessen: Umfüllvorgang Inhalt A (8) Inhalt B (5) Inhalt C (3) (Anfang) A B B C Für das Umfüllen gelten dabei folgende Regeln: Beim Umfüllen wird nichts verschüttet. Ein Kanister wird entweder vollständig in einen anderen Kanister entleert, oder es wird genau so viel umgefüllt, bis der Zielkanister randvoll ist. Es wird keine Flüssigkeit weggeschüttet. a) Zeigen Sie, dass man bei einem Anfangsstand von acht Litern Flüssigkeit in Kanister A und leeren Kanistern B und C mit weniger als acht Umfüllvorgängen erreichen kann, dass sich gleichzeitig in einem der Kanister ein Liter und in einem anderen vier Liter Flüssigkeit befinden. Verwenden Sie zur Darstellung eine Tabelle nach obigem Muster. b) Dieselkraftstoff wird traditionell aus Erdöl hergestellt, während Biodiesel aus Pflanzen erzeugt wird. Beide Kraftstoffarten sind mischbar, wobei die beiden Arten in jedem Gemisch gleichmäßig verteilt sind. Der Kanister B sei anfangs mit fünf Litern Diesel, der Kanister C mit drei Litern Biodiesel gefüllt und der Kanister A sei leer. Finden Sie eine Folge von Umfüllungen, bei der sich nach drei Umfüllvorgängen in Kanister A genau sechs Liter Gemisch und nach vier weiteren Umfüllvorgängen in den Kanistern A und B jeweils genau vier Liter Gemisch befinden. Auf der nächsten Seite geht es weiter! 10

12 c) Ermitteln Sie für Ihre Lösung von b) den Anteil an Biodiesel für die sechs Liter in Kanister A nach drei Umfüllungen und jeweils den Anteil an Biodiesel für die vier Liter in Kanister A und in Kanister B nach der letzten Umfüllung (Angabe als gekürzte Brüche) Gegeben sind die beiden Funktionen a und b mit den Gleichungen a(x) = 4 x 4 +8 und b(x) = x a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen a und b in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. b) Weisen Sie nach, dass beide Funktionen eine gemeinsame Nullstelle haben. c) Ermitteln Sie für die Funktion b alle weiteren Nullstellen. d) Ermitteln Sie reelle Zahlen p,q,r, für die die Funktion c mit der Gleichung c(x) = p x q +r eine Nullstelle x 1 = 2 hat und ihren größten Wert 7 für x 2 = 6 annimmt. e) Ergänzen Sie im Koordinatensystem aus a) den Graphen der Funktion c In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit der Basis AB und Basiswinkeln der Größe 30 schneiden die Mittelsenkrechten der Schenkel AC und BC die Basis in den Punkten E und F. Weisen Sie nach, dass dann AE = EF = F B gilt Wir sagen, zwei reelle Zahlen sind krass verschieden, wenn sie in keiner Nachkommastelle übereinstimmen. Beispielsweise sind die Zahlen 1 = 0,25 = 0,250 = 0, und 1 = 0, nicht krass verschieden, da beide die gleiche dritte Nachkommastelle 0 haben. Die Zahlen 7 = 0,23 und 1 = 0,1250 dagegen sind krass verschieden Wir betrachten nun Paare (a,b) ganzer Zahlen mit a,b 2. Ein solches Paar nennen wir gut, wenn jede der Zahlen 1, 2 a 1,..., von jeder der Zahlen 1, 2 b 1,..., krass verschieden ist. a a a b b b a) Ist das Paar (5,7) gut? b) Bestimmen Sie alle guten Paare (a,b) mit a = 2. c) Bestimmen Sie alle guten Paare (a,b). Hinweis: Keine Dezimaldarstellung endet mit lauter Neunen. 11

13 eolympiadeklass Mathematik-Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Aufgaben c 2017 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind. Auf eine Beweisangabe kann außerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenen Namen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann Gegeben sind drei zerbeulte Kanister A, B und C. Es ist bekannt, dass Kanister A genau acht Liter, Kanister B genau fünf Liter und Kanister C genau drei Liter Fassungsvermögen hat. Keiner der Kanister besitzt eine Maßeinteilung. Es ist somit unmöglich, an unvollständig gefüllten Kanistern den Stand einer teilweisen Füllung abzulesen. Trotzdem ist es durch Umfüllvorgänge beispielsweise möglich, von anfangs im Kanister A enthaltenen acht Litern Flüssigkeit zwei Liter abzumessen: Umfüllvorgang Inhalt A (8) Inhalt B (5) Inhalt C (3) (Anfang) A B B C Für das Umfüllen gelten dabei folgende Regeln: Beim Umfüllen wird nichts verschüttet. Ein Kanister wird entweder vollständig in einen anderen Kanister entleert, oder es wird genau so viel umgefüllt, bis der Zielkanister randvoll ist. Es wird keine Flüssigkeit weggeschüttet. a) Zeigen Sie, dass man bei einem Anfangsstand von acht Litern Flüssigkeit in Kanister A und leeren Kanistern B und C mit weniger als acht Umfüllvorgängen erreichen kann, dass sich gleichzeitig in einem der Kanister ein Liter und in einem anderen vier Liter Flüssigkeit befinden. Verwenden Sie zur Darstellung eine Tabelle nach obigem Muster. b) Dieselkraftstoff wird traditionell aus Erdöl hergestellt, während Biodiesel aus Pflanzen erzeugt wird. Beide Kraftstoffarten sind mischbar, wobei die beiden Arten in jedem Gemisch gleichmäßig verteilt sind. Der Kanister B sei anfangs mit fünf Litern Diesel, der Kanister C mit drei Litern Biodiesel gefüllt und der Kanister A sei leer. Finden Sie eine Folge von Umfüllungen, bei der sich nach drei Umfüllvorgängen in Kanister A genau sechs Liter Gemisch und nach vier weiteren Umfüllvorgängen in den Kanistern A und B jeweils genau vier Liter Gemisch befinden. Auf der nächsten Seite geht es weiter! 12

14 c) Ermitteln Sie für Ihre Lösung von b) den Anteil an Biodiesel für die sechs Liter in Kanister A nach drei Umfüllungen und jeweils den Anteil an Biodiesel für die vier Liter in Kanister A und in Kanister B nach der letzten Umfüllung (Angabe als gekürzte Brüche) Gegeben sind die beiden quadratischen Funktionen a und b mit den Gleichungen a(x) = 2(x 2)(x 6) und b(x) = 1 6 x x 3 3. a) Weisen Sie nach, dass beide Funktionen eine gemeinsame Nullstelle besitzen. b) Die Funktion b hat eine zweite Nullstelle. Bestimmen Sie diese. c) Eine quadratische Funktion c hat eine Nullstelle x 1 = 2 und ihr Graph den Scheitelpunkt S c (6,7). Ermitteln Sie eine Gleichung für c. d) Weisen Sie nach, dass der Scheitelpunkt S c des Graphen der Funktion c der Mittelpunkt der Strecke zwischen den Scheitelpunkten S a und S b der Graphen der Funktionen a und b ist Wir sagen, zwei reelle Zahlen sind krass verschieden, wenn sie in keiner Nachkommastelle übereinstimmen. Beispielsweise sind die Zahlen 1 = 0,25 = 0,250 = 0, und 1 = 0, nicht krass verschieden, da beide die gleiche dritte Nachkommastelle 0 haben. Die Zahlen 7 = 0,23 und 1 = 0,1250 dagegen sind krass verschieden Wir betrachten nun Paare (a,b) ganzer Zahlen mit a,b 2. Ein solches Paar nennen wir gut, wenn jede der Zahlen 1, 2 a 1,..., von jeder der Zahlen 1, 2 b 1,..., krass verschieden ist. a a a b b b a) Ist das Paar (5,7) gut? b) Bestimmen Sie alle guten Paare (a,b) mit a = 2. c) Bestimmen Sie alle guten Paare (a,b). Hinweis: Keine Dezimaldarstellung endet mit lauter Neunen In einem gleichschenkligen DreieckABC mit der BasisAB und Basiswinkeln der Größeα < 45 schneiden die Mittelsenkrechten der Schenkel AC und BC die Basis in den Punkten E und F. a) Angenommen, es gilt α = 30. Weisen Sie nach, dass dann AE = EF = FB gilt. b) Angenommen, es gilt0 < α < 45. Zeigen Sie, dass die Umkreismittelpunkte der Dreiecke EBC und FCA auf dem Umkreis k des Dreiecks EFC liegen. 13

15 nolympiadeklasse Mathematik-Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Aufgaben c 2017 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind. Auf eine Beweisangabe kann außerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenen Namen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann Für welche reellen Zahlen z gibt es positive ganze Zahlen a, b und c, die das Gleichungssystem a +b +c = 57, a 2 +b 2 c 2 = z, z c = 2017 erfüllen? Man bestimme jeweils alle Lösungen (a,b,c) in Abhängigkeit von z Auf einem Kreis k liegen n Punkte P 1,...,P n so, dass durch keinen Punkt im Inneren des Kreises mehr als zwei der Verbindungsstrecken verlaufen. P 1 P 2, P 1 P 3,..., P 1 P n,..., P n 1 P n a) Es sei zunächst n = 6. Man ermittle die Anzahl aller Dreiecke, deren Seiten auf den Verbindungsstrecken liegen und deren Ecken Schnittpunkte dieser Verbindungsstrecken im Inneren des Kreises sind. b) Wie viele solche Dreiecke gibt es für n = 7? c) Wie viele solche Dreiecke gibt es, wenn n > 7 eine beliebige positive ganze Zahl ist? Man beweise, dass die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte des Inkreises eines Dreiecks und eines seiner Ankreise vom Umkreis des Dreiecks halbiert wird. Hinweis: Ein Kreis heißt Ankreis eines Dreiecks, wenn er eine Dreiecksseite von außen und die Verlängerungen der anderen beiden Dreiecksseiten berührt. Auf der nächsten Seite geht es weiter! 14

16 Man bestimme den kleinsten Wert, den das Produkt ( )( )( )( ) p = a 1 b 1 c 1 d 1 annehmen kann, wenn a, b, c und d positive reelle Zahlen mit a + b + c + d = 1 sind. 15