6. Prüfungsaufgaben zur Relativitätstheorie

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1 6. Prüfungsaufgaben zur Relaiiäsheorie Aufgabe : Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih S sehe in seinem Zug und sende zur Zei = ein Zeisignal in beide Rihungen aus. Vom hineren Ende komm die Anwor nah 4 s, om orderen Ende aber ers nah 8 s. Wie lang is der Zug und wie is S om orderen Ende enfern? Zeihne das Minkowski-Diagramm zu diesem Vorgang. / s Aufgabe : Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih S seh 4 Lihsekunden = km om orderen Ende des 6 Lihsekunden langen Zuges enfern: 4 5 Aufgabe : Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih S flieg zur Zei = = mi der Geshwindigkei in posiier -Rihung an S orbei. S sende zur Zei = om Ursprung = ein Lihsignal und zur Zei = 5 s am Or = Lihsekunden eine zweies Signal aus. Für S sind beide Signale am gleihen Or ausgesand worden. Wie groß is die Geshwindigkei on S? Aufgabe : Minkowski-Diagramm und Uhrenabgleih = =,. Aufgabe : Gleihzeiigkei S beweg sih mi =,4 in posiie -Rihung und passier S zur Zei = =. Im selben Augenblik sende S in beide Rihungen eine Funksignal aus, welhes on S ausgesehen nah Sekunde gleihzeiig or und hiner S reflekier wird. a) Formuliere die Or-Zei-Funkionen E() für S sowie für die beiden reflekieren Lihsrahlen L () und L () aus der Sih on S in Sekunden s bzw. Lihsekunden s. b) Berehne durh Gleihsezen der ensprehenden Funkionen aus a), zu welhen Zeien und und an welhen Oren und on S aus gesehen die reflekieren Signale wieder bei S einreffen. ) Zeihne mi diesen Angaben ein Minkowski-Diagramm aus der Sih on S. d) Zeihne dann das ensprehende Minkowski-Diagramm aus der Sih on S. Aufgabe : Gleihzeiigkei a) E() =,4 ; L () = + und L () =. b) L riff E zur Zei =,4 s am Or,56 s. L riff E zur Zei =, s am Or =, s. ) siehe links d) siehe rehs Aufgabe 4: Gleihzeiigkei S flieg zur Zei = = mi der Geshwindigkei in posiier -Rihung an S orbei. S sende zur Zei = om Ursprung = ein Lihsignal und zur Zei = s am Or = 5 Lihsekunden eine zweies Signal aus. Für S sind beide Signale gleihzeiig ausgesand worden. Wie groß is die Geshwindigkei on S? Aufgabe 4: Gleihzeiigkei Die Linien gleiher Zei sind um α = an s = an (,6) zur Senkrehen geneig. Die Linien gleihen Ores sind um 5 s den gleihen Winkel zur Waagrehen geneig. Die Geshwindigkei is also =,6.

2 Aufgabe 5: Zeidilaaion Die Uhr on S flieg mi =,8 an einer Reihe synhronisierer Uhren on S orbei. Bei = s zeig die gerade passiere ruhende Uhr = 4 s. Bei wird eine weiere ruhende Uhr mi = 9 s passier. Berehne und zeihne das Minkowski- Diagramm für diesen Vorgang. Aufgabe 5: Zeidilaaion Δ = / s = 5 s,6 = s = 5 s. / s Aufgabe 6: Zeidilaaion () S beweg sih mi =,6 in posiie -Rihung und passier S zur Zei = =. Beanwore die folgenden Fragen jeweils. rehnerish. zeihnerish in einem Minkowski-Diagramm aus der Sih on S.. zeihnerish in einem Minkowski-Diagramm aus der Sih on S. a) Welhe Zei zeig die Uhr on S, wenn gleihzeiig für S in S die Zei = 4 s angezeig wird? () b) Welhe Zei zeig die Uhr on S, wenn gleihzeiig für S in S die Zei = 4 s angezeig wird? () ) Welhe Zei zeig die Uhr on S, wenn gleihzeiig für S in S die Zei = 5 s angezeig wird? () d) Welhe Zei zeig die Uhr on S, wenn gleihzeiig für S in S die Zei = 5 s angezeig wird? () Aufgabe 6: Zeidilaaion. Rehnungen: (4). Minkowski-Diagramm on S (4). Minkowski-Diagramm on S (4) f = =,8 a) = f =, s b) = f =, s ) = f d) = ' f = 4 s = 4 s Aufgabe 7: Zeidilaaion Ein Raumshiff S flieg mi =,6 on der Erde weg, die es zur Zei = = passier ha. Die Uhren des Raumshiffes zeigen = 4 Minuen an, als es eine Raumsaion passier, deren Uhren Erdzei anzeigen und die relai zur Erde ruh. a) Zeihne das Minkowski-Diagramm. b) Welhe Zei zeig die Uhr der Raumsaion bei dem Treffen an? ) Wie groß is die Enfernung zwishen Erde und Raumsaion on diesen aus berahe? d) Die Raumsaion melde das Treffen an die Erde. Wann riff diese Meldung dor ein? Aufgabe 7: Zeidilaaion a) siehe rehs b) = 5 Minuen ) = = Lihminuen 4 / min / min /min d) = + = 8 Minuen /min

3 Aufgabe 8a: Zwillingsparadoon Paul flieg mi =,6 zu einem Lihjahre enfernen Sern, mah shnell ein Erinnerungsfoo und kehr mi =,6 wieder zur Erde zurük. Dor ha sein Zwillingsbruder Peer Jahre auf ihn geware. Paul ha jedes Jahr seiner Zeirehnung einen Gebursagsgruß an Peer geshik. Zeihne ein Minkowski-Diagramm mi allen Gebursagsgrüßen und besimme Pauls Aler bei seiner Rükkehr. Aufgabe 8a: Zwillingsparadoon siehe rehs: Paul is nur um 8 Jahre äler geworden. Da er sein Bezugssysem bei der Umkehr gewehsel ha, sind die Bezugssyseme nih mehr gleihberehig bzw. symmerish! (Rükfahr) (Rükfahr) / a (Hinfahr) (Hinfahr) /a Aufgabe 8b: Zwillingsparadoon Kay sare an seinem. Gebursag mi =,8 zu einer Reise nah dem 4 Lihjahre enfernen Planeen Ananke. Jedes Jahr sende er seiner auf der Erde zurükgebliebenen gleihalrige Freundin Gerda ein Funksignal mi Gebursagsgrüssen, welhes on Gerda sofor beanwore wird. Nah dem Empfang seines ersen Funksignals häl es Gerda shon nih mehr aus und flieg ihm mi ebenfalls,8 hinerher. a) Selle den Vorgang im Minkowski-Diagramm aus der Sih der Erde dar. () b) Wie iel Zei is auf der Erde om Sar bis zu Kays. Gebursag ergangen? () ) Wie wei is Kay bis zu seinem. Gebursag gekommen? () d) Zeige, dass Gerda Jahre auf Kays ersen Gebursagsgruss waren muss. () e) Wie iele Jahre sind auf der Erde bis zu Kays Ankunf ergangen? () f) Wie al is Kay bei seiner Ankunf? () g) Wie al sind Kay und Gerda bei ihrem Wiedersehen? () Aufgabe 8b: Zwillingsparadoon Alle Rehnungen in Jahren a und Lihjahren a: a) Siehe rehs mi Skalierungsfakor =,6. () b) Auf der Erde sind,6 = 5 Jahre ergangen. () ) Im Sysem der Erde is Kay in dieser Zei 4 /Lihjahr /Lihjahr /Jahr Δ = Δ =,8 5 = 4 Lihjahre wei gekommen. () d) Die Or-Zei-Funkion on Kays ersem Gebursagsgruß is /Jahr e () = + mi ( 5 ) = 4 = () = + mi () = Gerda sare nah Jahren. () e) Auf der Erde sind bis zu Kays Ankunf = 4 = 5 Jahre ergangen.,8 () f) In Kays Sysem sind in dieser Zei,6 5 = Jahre ergangen und er is bei seiner Ankunf Jahre al. () g) Die beiden reffen sih nah + = + = 6 Jahren im Aler on 6 Jahren. () Aufgabe 9: Dopplereffek () Einem Raumshiff, welhes sih mi der konsanen Geshwindigkei =,6 on der Erde wegbeweg, werden in Jahresabsänden (Periode T = a in Erdzei) Radiosignale hinerhergesand und on diesem wieder zur Erde zurükgeworfen. a) In welhen Perioden T kommen die Signale aus der Sih der Erde bei dem Raumshiff an? () b) In welhen Perioden T kommen die Signale aus der Sih des Raumshiffes bei ihm an? () ) In welhen Perioden T kommen die Signale aus der Sih der Erde wieder auf der Erde an? () d) In welhen Perioden T kommen die Signale aus der Sih des Raumshiffes wieder auf der Erde an? () e) Zeihnen Sie ein Or-Zei Diagramm mi a und s a und markieren Sie die Ergebnisse aus a) d) in diesem Diagramm. Tragen Sie die Jahre aus der Sih des Raumshiffes maßsabsgereu auf seiner Orslinie ein. (4).

4 Aufgabe 9: Dopplereffek () a) Ereignisse auf dem Raumshiff on der Erde aus berahe. T Nihrelaiisisher Dopplereffek: T = = 5 a =,5 a. () b) Ereignisse auf dem Raumshiff om Raumshiff aus berahe. Relaiisisher Dopplereffek: T = T = T ) Ereignisse auf der Erde on der Erde aus berahe. = a. () Relaiisisher Dopplereffek om Raumshiff aus gesehen: T = T = 4 a. oder zweimal nihrelaiisisher Dopperleffek on der Erde aus gesehen: T = T = T = 4a () d) Ereignisse auf der Erde om Raumshiff aus berahe. T' T Nihrelaiisisher Dopplereffek: T = = = 6 a =, a. () 5 e) Diagramm (4) s/ a s / a / a T T T T T /a Aufgabe : Lorenz-Transformaionen () S beweg sih in posiie -Rihung mi der Geshwindigkei =, zum S-Sysem, so dass die Ursprünge der Koordinaensyseme zur Zei = = in Dekung sind. Im S -Sysem blizen die Lampe am Or =,5 6 km zur Zei = s und die Lampe am Or = 6 km zur Zei = 4 s auf. a) Berehne die Ore und sowie die Zeien und für diese Ereignisse im S-Sysem. (4) b) Zeihne das Minkowski-Diagramm aus der Sih on S. (4) ) Zeihne das Minkowski-Diagramm aus der Sih on S. (4) 4

5 Aufgabe : Lorenz-Transformaionen a) =,9,954; mi = 5 s und = s 4,7 s und, s (), s und 8,8 s. () b) Minkowski-Diagramm für S: siehe links: (4) ) Minkowski-Diagramm für S : siehe rehs: (4) / s / s / s / s Aufgabe : Lorenz-Transformaion (5) Ein Lihsekunden langer Einsein-Zug passier mi =,4 einen ebenfalls Lihsekunden langen Bahnseig, wobei die Lok = zur Zei = = als erse or allen anderen Wagen das om Lokführer aus gesehen ordere Bahnseigende = erreih. a) Zeihne ein Minkowski-Diagramm aus der Sih eines am orderen Bahnseigende bei = sehenden Beobahers. () b) Zeihne ein Minkowski-Diagramm aus der Sihdes Lokführers bei =. () ) Welhe Zei zeig die Uhr am hineren Bahnseigende = s an, als die Lok orbei fähr? () d) Wo befinde sih das Zugende zu dieser Zei om Bahnhof aus gesehen? () e) Welhe Zei zeig die Uhr in der Lok an, als sie das hinere Bahnseigende = s erreih? () f) Wo befinde sih das Zugende om Bahnhof aus gesehen, wenn im Zugende die Zei = 6,874 s angezeig wird? () g) Wie groß wäre die kineishe Energie des shweren Zuges nah klassisher Berehnung? () h) Wie groß is die kineishe Energie des shweren Zuges nah relaiisisher Berehnung? () Lösungen a) Diagramm: siehe rehs () b) Diagramm: siehe rehs () ) = = s, 4 = 7,5 s () d) = = - = s,965 s,5 s () e) = 6,87 s () ' ',4 6,87 f) = -,5 s (),965 g) E kin = m =,8m =,44 J () mi der Ruhemasse m = kg und =,4 h) E kin = m m = ( ) m,9 m =,64 J () / s / s / s / s

6 Aufgabe a: Relaiisishe Energie im Zykloron a) Welhe Spannung benöig man, um Elekronen mi der Ruhemasse m = 9, kg und der Ladung Q =,6 9 C auf,8 zu beshleunigen? b) Wie sark muss das Magnefeld sein, dami sie auf eine Kreisbahn mi einem Radius on 5 m gelenk werden? Lösung: a) E po = E kin U Q = m = m U 4, kv. m 5m b) F z = F L = Q B B = 45,5 mt r Q r Aufgabe b: Relaiisishe Energie im Zykloron a) Welhe Spannung benöig man, um Proonen mi der Ruhemasse m =,67 7 kg und der Ladung Q =,6 9 C auf,8 zu beshleunigen? b) Wie sark muss das Magnefeld sein, dami sie auf eine Kreisbahn mi einem Radius on 5 m gelenk werden? Lösung: a) E po = E kin U Q = m = m U 6,6 MV. m 5m b) F z = F L = Q B B =,85 T r Q r Aufgabe : Geshwindigkeisergleih und Energie (8) Der Einsein-Zug S beweg sih in posiie -Rihung mi der Geshwindigkei =,6 zum Bahnhof S, so dass die Lok ( = ) zur Zei = = das om Lokführer aus gesehen ordere Bahnseigende ( = ) passier. Der Lokführer gib zur genau in diesem Augenblik einen Shuss in negaie -Rihung auf das Zugende ab. Er sell fes, dass das Geshoss eine Geshwindigkei on u =,8 ha und nah Δ =,75 s das Zugende erreih. a) Wie lang is der Zug aus der Sih des Lokführers? () b) Selle den Vorgang im Minkowski-Diagramm aus der Sih on S dar. () ) Selle den Vorgang im Minkowski-Diagramm aus der Sih on S dar. (4) d) Welhe Zuglänge s miss S? () e) Welhe Laufzei Δ miss S für das Geshoss? () f) Welhe Geshwindigkei u miss S für das Geshoss? () g) Welhe Geshwindigkei u bezogen auf den Bahnhof würde S nah klassisher Berahung aus der Geshwindigkei des Zuges und der Relaigeshwindigkei u des Geshosses im Zug ableien? () h) Welhe kineishe Energie ha ein Geshoss mi der Ruhemasse on g und einer Geshwindigkei on,8 nah relaiisisher Berahung? () i) Welhe kineishe Energie häe das Geshoss aus h) nah klassisher Rehnung? () 6

7 Lösungen (8) a) Für S ha der Zug die Länge Δ = Δ = Lihsekunden. () b) siehe rehs () ) siehe rehs (4) d) =,8 Zuglänge Δ =,8 Δ =,4 Lihsekunden () ' ' e) Für S is Δ = =,75,6 = s,475 s (),8,8 f) Das Geshoss is on S aus berahe zur Zei =,75 s am Or = s. Von S aus berahe seh die Uhr in diesem Augenblik auf =,475 s und das Geshoss is am Or ' ',6,75 = = s,975 s (),8,8 Für S ha es die Geshwindigkei u =,8. () g) In klassisher Berahung würde man die Geshwindigkeien on Zug und Geshoss einfah addieren und erhiele,6,8 =, für die Geshwindigkei des Geshosses relai zum Bahnseig. () h) E kin = m m = ( ) m = 4 m =,5 J () mi der Ruhemasse m = g und =,6. i) E kin = 9 m = 5 m =,6 J () / s / s / s / s