Serie 4: Gradient und Linearisierung

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1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die Funktion f : R 2 R mit f(x, y) = y2 x xy 2. a) Bestimmen Sie die Richtungen, in denen die Funktion f i) im Punkt (2, 4) am schnellsten wächst. ii) im Punkt (2, 4) am schnellsten fällt. iii) In welche Richtungen ist die Änderungsrate von f im Punkt (2, 4) gleich Null? b) Bestimmen Sie die Richtungsableitung von f im Punkt (2, 4) in der Richtung von v = 3 i + j. c) Wir betrachten jetzt die Kurve γ : R R 2 mit γ(t) = ( ) e t cos t e t sin t. Berechnen Sie die Ableitung der zusammengesetzten Funktion h : R R, t h(t) = f (γ(t)), i) direkt, d.h. indem Sie h explizit angeben und ableiten, ii) mit Hilfe der Kettenregel. 2. Wir betrachten die Kurve x 3 + 2y 3 + xy = 4 um den Punkt (2, ). a) Gibt es eine Funktion y = y(x) von x, so dass sich die Kurve in der Nähe dieses Punktes als Graph von y darstellen lässt? Wenn ja, welchen Wert hat y (2)?

2 b) Gibt es eine Funktion x = x(y) von y, so dass sich die Kurve in der Nähe dieses Punktes als Graph von x darstellen lässt? Wenn ja, welchen Wert hat x ( )? 3. Drücken Sie w r und w θ als Funktion von r und θ aus mit w = x + xy z 2, x = r cos θ, y = r sin θ, z = eθ r. 4. Die partiellen Ableitungen einer Funktion f(x, y, z) in den Punkten auf der Helix x = cos t, y = sin t, z = t seien f x = cos t, f y = sin t, f z = t 2 + t 2. a) In welchen Punkten der Kurve kann f gegebenenfalls Extremwerte annehmen? Hinweis: Berechnen Sie df dt. b) Geben Sie eine bestimmte Funktion f(x, y, z), die diese partiellen Ableitungen auf der Helix besitzt. Es gibt unendlich viele korrekte Lösungen. Hinweis: Schreiben Sie die gegebenen partiellen Ableitungen bezüglich x, y und z, statt t. 5. Wir betrachten die durch f(x, y) = ln ( (x ) 2 + y 3 ) y gegebene Funktion f. a) Skizzieren Sie den (maximalen) Definitionsbereich der Funktion f. Ist der Definitionsbereich offen? Was ist sein Rand? b) Bestimmen Sie die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt (0, 4). c) Bestimmen Sie die Tangente an die Niveaulinie von f durch (0, 4). d) Bestimmen Sie diejenigen Punkte, in denen die Tangentialebene an den Graphen der Funktion f parallel zur xy-ebene liegt. e) Bestimmen Sie eine quadratische Näherung der Funktion f in der Nähe von (0, 3). 6. Wir betrachten die durch f(x, y) = (sin x) y gegebene Funktion f. 2

3 a) Approximieren Sie die Funktion f um den Punkt ( π 6, 2) linear. b) Schätzen Sie die resultierende Änderung in f ( π, 2) ab, bei Abweichungen von 6 dx = π, dy = Sie dürfen einen Taschenrechner benutzen. 80 c) Geben Sie mit Hilfe der Linearisierung eine Näherung für die Zahl (sin 3 ) Sei z = ln(x 2 + y 2 ), x = 2u und y = 3u. Dann ist dz du gleich (a) u. (b) 2 u. (c) 3 u. (d) 4 u. 3

4 7.2 Welche Rechenregel für Gradienten von Funktionen von n Variablen ist falsch? (a) (f + g) = f + g. (b) (fg) = f g. (c) (f 2 ) = 2f f. ( ) (d) f = f f 2 (für f 0). 7.3 In welcher Richtung steigt die Funktion f(x, y, z) = xe yz am schnellsten an der Stelle (, 0, 2)? (a) i + 2 j. 5 5 (b) (c) (d) 5 i k. 2 j + k. 5 5 j + 2 k

5 7.4 Die Tangentialebene an den Graphen der Funktion f(x, y) = (x 2 + y 2 )e y im Punkt (, 0, ) (a) ist durch die Gleichung x = 2y z gegeben. (b) ist durch die Gleichung y = 2z x gegeben. (c) ist durch die Gleichung z = 2x y gegeben. (d) gibt es nicht, da der Punkt nicht auf der Fläche liegt. 7.5 Die Linearisierung der Funktion f(r, θ) = r 2 e 2θ um den Punkt (, π) ist (a) e 2π ( + 2r + 2θ 2π). (b) e 2π ( + 2r + 2θ). (c) e 2π ( 2r 2θ). (d) e 2π ( + 2π + 2r + 2θ). 7.6 Die Tangente an die Ellipse ( im Punkt 2, 20 3 (a) 4x + 9y = 0. ) ist 4x 2 + 9y 2 = 36 (b) 4x + 9y = (c) 4x + 3 5y = 2. (d) 4x + 3 5y = Die Tangentialebene an die Niveaufläche von f(x, y, z) = x 2 4y 2 + z + 7 durch den Punkt (,, 3) ist (a) 2x + 8y z = 0. (b) 2x + 8y z = 3. (c) 2x 8y + z = 3. (d) 2x 8y + z = 7. 5

6 7.8 Welcher Punkt P = (x, y) auf dem Hyperbelast x 2 y 2 = 2, x > 0, hat vom Punkt (0, 4) auf der y-achse den kleinsten Abstand? Hinweis: Minimieren Sie die Funktion f(x, y) = x 2 + (y 4) 2 = (Abstand zwischen (x, y) und (0, 4)) 2 auf dem Hyperbelast mit der Parametrisierung x = 2 + y 2. (a) Der Punkt P = (4, 2). (b) Der Punkt P = (2 7, 4). (c) Der Punkt P = (2 3, 0). (d) Einen solchen Punkt gibt es nicht. 6

7 7.9 Die sogenannte Lemniskate x 2 ( x 2 ) = y 2 lässt sich (a) in der Nähe des Punktes (0, 0) als Graph einer Funktion von x darstellen. (b) in der Nähe des Punktes (0, 0) als Graph einer Funktion von y darstellen. (c) in der Nähe des Punktes (, 0) als Graph einer Funktion von x darstellen. (d) in der Nähe des Punktes (, 0) als Graph einer Funktion von y darstellen. 7.0 Seien f(x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) 0. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? (a) Dann ist die Ableitung der in einer Umgebung von x 0 durch f(x, ϕ(x)) = 0 definierten Funktion ϕ gegeben durch ϕ (x 0 ) = f x(x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ). (b) Ohne eine Funktion ϕ explizit zu kennen, ist es unmöglich, deren Ableitung zu berechnen. (c) Nach der Kettenregel ist d f f f(x, ϕ(x)) = (x, ϕ(x)) + dx x y (x, ϕ(x)) ϕ (x). (d) Falls f x (x 0, y 0 ) 0, dann ist auch in einer Umgebung von x 0 eine Funktion durch f(ψ(y), y) = 0 definiert. 7

8 Die Lösungen sind. a) i) 0 (, 3). ii) 0 (, 3). iii) ± 0 (3, ). b) c) i) h(t) = e 2t 4 (sin (2t) cos (2t)), h (t) = e 2t cos(2t). ii) γ(t) = (ẋ(t), ẏ(t)) = ( (x(t) + y(t)), x(t) y(t)), x+y 2, h (t) wie in i). f x (x, y) = x y 2, f y(x, y) = 2. a) Ja, y (2) = 8. b) Ja, x ( ) = 8. w 3. r = cos θ + 2r cos θ sin θ + 2 e2θ r 3 w θ = r sin θ r2 sin 2 θ + r 2 cos 2 θ 2 e2θ r a) (cos( 2), sin( 2), 2), (cos(), sin(), ). b) Mögliche Antwort x2 2 + y2 2 + z3 3 + z2 2 2z. 5. a) Definitionsbereich: (x ) 2 + y 3 > 0, ist offen, Rand ist y = (x ) b) 2x + y + 2z = ln 4 4. c) 2x + y = 4. d) (, 4). e) x 2 8x + 2xy 2 y2 + 3y a) b) c) ( ) x π 6 ln 2 4 (y 2). 7. siehe online Version mittels des personalisierten Links oder das zugehörige PDF auf der Kursübungswebseite 8