Otto Praxl. Dreiecke berechnen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Otto Praxl. Dreiecke berechnen"

Transkript

1 Otto Prxl Dreieke erenen Formelsmmlung für die Berenung der Dreieke in der Eene. Grundlgen und Herleitungen der Formeln. Mit Progrmmen für wissensftlie HP-Tsenrener

2 Impressum Verfsser: Otto Prxl Titel des Bues: Dreieke erenen Dteinme: Dreieke.pdf Internetseite: Ureerret: Dieses Bu ist ureerretli gesützt (Ureerretsgesetz UrG vom 9. Septemer 1965 in der Fssung vom 13. Septemer 003). Der Sutz stet n dem deutsem Ureerretsgesetz dem Verfsser son mit der Entsteung des Mnuskripts zu. Es edrf keiner Erteilung eines Sutzrets oder einer Registrierung. Jede Verwertung ußerl der gesetzli zugelssenen Fälle edrf einer vorerigen sriftlien Vereinrung mit dem Verfsser. Ds Bu drf nit one vorerige Genemigung des Verfssers nderweitig veröffentlit werden. Jede widerretlie Nutzung wäre ein Verstoß gegen ds Ureerretsgesetz, der geritli verfolgt werden knn. Sämtlie Werknutzungsrete liegen eim Verfsser. lle Rete vorelten! Veröffentliung: Diese usge wird ls gesütztes PDF-Dokument uf der Internetseite des Verfssers zum Herunterlden ngeoten. Nutzungsedingungen: Der Nutzer verpflitet si, ds im üerlssene Bu nur privt und nit kommerziell zu nutzen. Lyout und Gestltung (mit Mirosoft WORD 007): Otto Prxl Hftungsussluss: Ds Bu wurde ser sorgfältig zusmmengestellt. Trotzdem können Feler entlten sein. Für evtl. Feler und drus resultierende Nteile üernimmt der Verfsser keine Hftung. Bildnweise: lle Bilder stmmen vom Verfsser. Letztes Bereitungsdtum: Bereitungskennzeien: Dr

3 Inltsverzeinis 3 1. Vorwort...5. Einleitung Winkeleineiten Winkel in ltgrd (Grd, Minuten und Sekunden) Winkel in Neugrd (Gon) Winkel im Bogenmß (Rdint) usgezeinete Winkel rkusfunktionen rkusfunktion für Grdngen Umkerfunktionen für trigonometrise Funktionen Umkerfunktionen uf Tsenrenern Kerwerte der trigonometrisen Funktionen Der Swerpunkt des Dreieks llgemeines Prinzip zur Berenung von Swerpunkten Zeinerise Ermittlung des Swerpunkts im Dreiek Mtemtiser Beweis der Swerpunktlge im Dreiek Die Summe der Innenwinkel Mtemtiser Beweis für ein n-ek (Polygon) Zeineriser Beweis für ds Dreiek Dreieksungleiungen Formeln und Sätze für ds retwinklige Dreiek Benennungen Der Tleskreis Definition Teilung des retwinkligen Dreieks Der Stz des Pytgors Beweise Beweis dur Prllelversieung von Fläenelementen Indiser Beweis (1) dur Fläenerenung Indiser Beweis () dur Fläenerenung Pytgoreise Tripel Definition Prktise nwendung Der Stz des Euklid Der Höenstz Der Huptstz des Euklid Verllgemeinerung des Stzes von Pytgors Geometrise Änlikeit Beweis des Huptstzes des Euklid Beispiel mit Hlkreisen Die Mönden des Hippokrtes Definition der trigonometrisen Funktionen Definition von Sinus, Kosinus und Tngens Bezieungen zwisen den Winkelfunktionen Formeln für ds llgemeine Dreiek Der Sinusstz...

4 4 8.. Der Kosinusstz Umkreisrdius Umfng und ler Umfng Inkreisrdius Die Heronise Formel Hinweis uf Fläenerenung von Viereken Senenvierek im Kreis llgemeines konvexes Vierek Berenung der Dreieke Möglie Berenungskomintionen Berenungsluf und Formeln SSS Drei Seitenlängen S Eine Seitenlänge und zwei nliegende Winkel S Eine Seitenlänge und zwei Winkel SS Zwei Seitenlängen und dzwisenliegender Winkel Die Tsenrenerprogrmme für ds Dreiek Vorussetzungen Flg- zw. Moduseinstellungen m Tsenrener uswlmenü DREIB Ergenisse nng Litertur Ds grieise lpet Verzeinis der Formeln Verzeinis der Bilder Swortverzeinis (Index) Hinweise zum Geru der Formelsmmlung Die Frgestltung in Text, Bildern und Formeln ist ein wesentlies Element zur Erzielung und Erltung der Üersitlikeit. Desl sollte zum Lesen des Dokuments ein PDF-Reder und ein Frildsirm zur Verfügung steen. Ds usdruken uf Ppier sollte mit einem Frdruker erfolgen. Zwekmäßig sind usdruke entweder doppelseitig uf 4-Blättern oder ls Brosürendruk in 5 uf 4-Blättern (4 Seiten 5 = 1 Bltt 4), woei Lgen von 0 Seiten (= 5 Blätter 4) jeweils ls seprte Brosüre gedrukt werden (Seiten 1 is 0, 1 is 40). Hinweise zum usdruken und Binden des Bues finden Sie uf der Internetseite des Verfssers unter Büer seler inden. Zur Erleiterung eim Lesen sind Querverweise im Text ngert und u die Inlte der Verzeinisse sind mit Links verseen, mit denen im PDF-Reder die Verweisziele direkt erreit werden können. er u im gedrukten Bu können die gesuten Stellen mnuell leit gefunden werden, d ei den Querverweisen meist die Seitenzlen ngegeen wurden. Eenso sind die Seitenzlen für Formeln, Bilder und Begriffe in den Verzeinissen zu finden.

5 1. Vorwort 5 In der täglien Prxis ruen die nwender, vom Süler is zum Wissensftler, nit nur die Dreiekformeln llein, sondern u die mtemtisen Grundlgen dzu, die sie meist ußerl der Formelsmmlung in Lerüern nslgen müssen. Hier in dieser Formelsmmlung werden nit nur die Dreiekformeln ngegeen und ergeleitet, sondern u die Begriffe, Definitionen und die prktisen nwendungen usfürli erläutert. Vorussetzung zum Verständnis ist ein gutes mtemtises Sulwissen des Lesers. Vor llem ist die Kenntnis der Trigonometrie mit iren Winkelfunktionen erforderli. Die mtemtisen Erläuterungen zur Herleitung der Formeln sollen dem Leser die Möglikeit ieten, Einlike in die Metoden zu erweren, um felende Formeln später selst erleiten zu können. Dur Beispiele soll die nwendung der strkten Formeln in der Prxis gezeigt werden. Besonderer Wert wurde uf eine üersitlie Gliederung mit Inltsverzeinis, Bilderverzeinis, Formelverzeinis und uf ein detilliertes Swortverzeinis mit den verwendeten Begriffen und Stiwörtern gelegt. Untersleißeim, im ugust 013 Otto Prxl

6 . Einleitung 6 Im Geometrieunterrit in den Sulen spielt die Berenung von Dreieken eine witige Rolle. Die Trigonometrie mit iren Lersätzen ut uf Dreieken uf. In der Lndesvermessung werden Dreieknetze (z. B. Deutses Huptdreieknetz) mit trigonometrisen Festpunkten n Verfren der Tringultion ls Grundlgen der mtlien Vermessung ufgeut. Die Geometrie get uptsäli uf die Grieen zurük. Der grieise Mtemtiker Euklid 1 lete etw 35 vor Cr. und wirkte in lexndri. Er fsste ds dmlige Wissen üer die Geometrie in seinen 13 Büern zusmmen, in dem die Elemente der Geometrie endelt sind (Definitionen, Postulte, xiome, Beweise). Er nnnte sein Werk Die Elemente (Lit. [Euklid]). Ds Werk ist die Grundlge der Euklidisen Geometrie 3 und ist n der Biel ds m meisten verreitete Bu der Erde (siee Lit. [Kropp]). Mit dem Dreiek en si son Genertionen von Mtemtikern esäftigt. u Euklid t si ser usfürli mit dem Dreiek esäftigt und viele Lersätze drüer ufgestellt. 3. Winkeleineiten Der Vollständigkeit ler werden ier u die Eineiten für ds Winkelmß ngegeen Winkel in ltgrd (Grd, Minuten und Sekunden) Die Winkelmßeineit Grd ( ) wird u ls ltgrd ezeinet, dmit im Sprgeru gegenüer der Mßeineit Neugrd (siee unten) eine eindeutige Unterseidung mögli ist. Der Gesmtwinkel einer vollen Umdreung ist ein Vollkreis, der in 360 eingeteilt wird. Die Mßeineit eines Winkels ist 1 Grd ( ), lso 1 / 360 des Vollkreises. Der Hlkreis t 180. Der rete Winkel ist ein Viertelkreis mit Grd ( ) t 60 Minuten ('): 1 = 60'. 1 Minute (') t 60 Sekunden ("): 1' = 60" 1 = 60' = 3600". Wenn Verweslungsgefr mit Zeitngen estet, werden nstelle von Minuten und Sekunden u die Bezeinungen Winkelminuten und Winkelsekunden oder Bogenminuten und Bogensekunden verwendet. Grdngen können u mit dezimlen Bruteilen ls Dezimlzl gesrieen werden, z. B.: ' 36" 3 3, nit zu verweseln mit dem Pilosopen Euklid us Megr, der etw 400 vor Cr. lete. "Die Elemente" von Euklid sind in deutser Üersetzung in jeder guten wissensftlien Bundlung erältli (z. B. ls reprogrfise Ndruke von "Oswlds Klssikern der exkten Wissensften" oder n Heiergs Text us dem Grieisen üersetzt von Clemens Ter). 3 Sie erut uf dem Prllelenxiom: Dur einen Punkt ußerl einer Gerden knn nur eine Prllele zu dieser Gerden gezogen werden.

7 3.. Winkel in Neugrd (Gon) 7 In der Vermessungsprxis muss ser oft die Summe von Winkeln mit Winkelruteilen geildet werden. Die Renung mit dem 60er-System von Grd, Minuten und Sekunden ist für die ddition von Winkeln unprktis. u die Umrenung in dezimle Bruteile eines Grds wäre umständli. Desl wurde eine Mßeineit eingefürt, ei der die Bruteile des Kreises deziml geteilt sind. Der rete Winkel wird nit in 90, sondern in 100 Teile geteilt. Diese Mßeineit eißt Neugrd oder Gon ( g ), Kurzezeinung gon. Die Sklen der Vermessungsgeräte (z. B. Teodolit, Tymeter) en Neugrdteilung. Der Vollkreis t lso 400 g oder 400 gon. 90 entspreen 100 g = 100 gon. Die Bruteile von 1 gon werden ls Dezimlstellen inter dem Komm ngegeen. Desl wären u keine Untereineiten nötig. Trotzdem wurden die Neuminute ( ) ls 1 / 100 gon = 0,01 gon und die Neusekunde ( ) ls 1 / 100 = 0,01 = 0,0001 gon definiert. 1 g = 1 gon = 100 = = 0,9 Die ogestellten Busten g, und sind in der Sreiweise ser unprktis, desl werden sie in der Prxis kum verwendet. Winkelngen in Neugrd werden ls Kommzl mit 4 Nkommstellen gesrieen. Beispiel: 5 g 33 86, gesrieen ls 5,3386 g = 5,3386 gon = 4,80474 = 4 48'17,064". Bei Winkelngen dürfen für die Bruteile keine Vorsätze wie Dezi, Zenti oder Milli verwendet werden. Die Neuminute drf lso nit ls Zenti-Gon (gon) ezeinet werden. uf den wissensftlien HP-Tsenrenern ist neen ltgrd (DEG = degrees) und Bogenmß (RD = Rdins) u ds Winkelformt Neugrd (GRD) verfügr Winkel im Bogenmß (Rdint) Die Mßeineit für ds Bogenmß ist Rdint, Kurzzeien: rd. Ein Rdint ist glei dem eenen Winkel, der ls Zentriwinkel des Eineitskreises mit dem Rdius r = 1 m us dem Kreisumfng einen Bogen von 1 m Länge erussneidet. Der Kreisumfng des Vollkreises ist r. Wird diese Bogenlänge zum Rdius r des Kreises ins Verältnis gesetzt, dnn ergit si ds Bogenmß eines Vollkreises mit. Um ei Berenungen druf inzuweisen, dss ein Winkelwert im Bogenmß vorliegt (weil rd in der Berenung nit mitgesleppt wird), sind die Vrilennmen für ds Bogenmß mit einem Bogen üer dem Formelzeien gekennzeinet. Die Funktion rus, gekürzt r, die zur Mßzl eines Winkels im Bogenmß 4 fürt, ist lso ls ds Verältnis von Bogenlänge eines Winkels zum Rdius r des Kreises definiert: Formel 1: rkusfunktion (Bogenmß) r. r Umrenung zwisen ltgrd und Rdint: Formel : Umrenung Rdint in ltgrd rd r r r 57, , 4 rus kommt us dem Lteinisen und eißt Bogen

8 gelesen ls: 1 rd ist der Bogen mit einem Zentriwinkel von 57, Formel 3: Umrenung ltgrd in Rdint r 1 rd rd 0, rd Beispiel: Winkel in Grd: = 30. Die Mßzl im Bogenmß ergit si us: r rd Der Winkel von 30 wird ls /6 rd ngegeen. Die Bezeinung rd wird ei Berenungen weggelssen: sin (/6) = 0,5 = sin 30. Ds Bogenmß wird ls mtemtises Winkelmß verwendet. In mtemtisen Berenungen wird ds Bogenmß ls Zl one die Bezeinung rd verwendet. Trigonometrise Funktionen (Winkelfunktionen) und Winkelerenungen in Computerprogrmmen stützen si in den meisten Progrmmierspren uf ds Bogenmß usgezeinete Winkel Mne Winkelwerte in ltgrd werden ls usgezeinete Winkel ezeinet, weil sie si in estimmten Konstruktionen ls Sonderfll uszeinen. lle diese Winkel können mit Zirkel und Linel konstruiert werden, one einen Winkelmesser verwenden zu müssen. Im Bogenmß kommen nur gnzzlige Teile von rd ls usgezeinete Winkel vor: rd = 180, / rd = 90, / 3 rd = 60, / 4 rd = 45, / 6 rd = 30, / 10 rd = 18, / 1 rd = 15. ls Zentriwinkel eines Hlkreises, reter Winkel, u Reter gennnt, ls Zentriwinkel des Viertelkreises, ls Winkelwerte im gleiseitigen Dreiek, / 3 eines reten Winkels, ls telkreis mit einem len reten Winkel, ls ler Winkel im gleiseitigen Dreiek, 1 / 3 eines reten Winkels. 15 und 18 en ei der ritmetisen Berenung von Sinuswerten eine esondere Bedeutung. In Neugrd git es ls usgezeinete Winkel nur den Hlkreis mit 00 gon, den Viertelkreis mit 100 gon und den telkreis mit 50 gon rkusfunktionen Die rkusfunktionen werden verwendet, um Grdngen ins Bogenmß umzurenen rkusfunktion für Grdngen Wie oen son erwänt, wird die rkusfunktion r dzu verwendet, Grdngen ins Bogenmß umzurenen. Die llgemeine nge des rguments in r stet stellvertretend für rgumentwerte in ltgrd oder Neugrd. Im konkreten Fll wird die Winkeleineit ltgrd oder Neugrd ngegeen: Formel 4: rkusfunktion für ltgrd r 180

9 9 Formel 5: rkusfunktion für Neugrd g g r g Umkerfunktionen für trigonometrise Funktionen ußer der llgemeinen rkusfunktion für Grdngen (3.5.1) git es no die Umkerfunktionen der trigonometrisen Funktionen sin, os und tn. Wärend die trigonometrisen Funktionen x = sin (oder sin oder sin g ), x = os (oder os oder os g ) und x = tn (oder tn oder tn g ) jeweils den Funktionswert x zu einer Winkelnge liefern, ergit si ei einer Umkerfunktion us dem Funktionswert x der zugeörige Winkel. Ursprüngli sind diese rkusfunktionen so definiert worden, dss sie zu einem gegeenen Funktionswert jeweils einen Winkel im Bogenmß lieferten. Formel 6: rkussinusfunktion rsin x und Formel 7: rkuskosinusfunktion ros x und Formel 8: rkustngensfunktion rtn x. Computerprogrmme und Tsenrener liefern ei diesen Umkerfunktionen die Winkelgröße nit nur im Bogenmß, sondern u in ltgrd oder Neugrd, je ndem, wie ds Winkelformt (die Winkeleineit) uf dem Gerät vorgewält wurde. Desl wird in dieser Formelsmmlung die llgemeine Winkelnge verwendet (lso one nge des Bogens für ds Bogenmß), wenn es uf die Winkeleineit des Ergenisses nit nkommt: Für die Umkerfunktion der Winkelfunktionen gilt: Formel 9: rkussinusfunktion rsin x x sin(rsin x) Formel 10: rkuskosinusfunktion ros x x os(ros x) Formel 11: rkustngensfunktion rtn x x tn(rtn x) Ds rgument x ist ein Zlenwert one Mßeineit (reine Zl, dimensionslose Zl). Bei diesen Umkerfunktionen ist immer ds Gültigkeitsintervll (Qudrntenreltion) der Winkelwerte zu eten. Ds Ergenis ist immer ein Winkelwert.

10 Umkerfunktionen uf Tsenrenern uf den meisten Tsenrenern sind die Umkerfunktionen sin, os und tn uf den Tsten zu finden. Der Tstendruk strtet die jeweilige mtemtise Umkerfunktion Kerwerte der trigonometrisen Funktionen Zu den trigonometrisen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens wurden u die Kerwerte (Reziprokwerte) ls Funktionen definiert: Formel 1: Koseknsfunktion 1 ose sin Formel 13: Seknsfunktion 1 se os Formel 14: Kotngensfunktion 1 ot. tn Die Bezeinungen Sekns (se), Kosekns (ose) und Kotngens (ot) für die Kerwerte sind verltet und werden kum mer verwendet. Die Erklärungen sind in jedem Mtemtikndu unter dem Stiwort Goniometrie 5 zu finden (siee u Lit.[MtH], dort Seite 69). 5 Ds Wort Goniometrie kommt us dem Grieisen: goni = Winkel, metrein = messen

11 11 4. Der Swerpunkt des Dreieks 4.1. llgemeines Prinzip zur Berenung von Swerpunkten Wenn in der mtemtisen Litertur vereinfend von Swerpunkten die Rede ist, dnn ist immer deren Lge gemeint. Die Kenntnis der Lge der Swerpunkte in Fläen und Körpern ist im prktisen Berufsleen von Ingenieuren und Wissensftlern ser witig, desl dürfen die Formeln dfür in den Formelsmmlungen nit felen. Für die Berenung der Lge eines Swerpunkts ist ds sttise Moment S einer Fläe in Bezug uf einen elieigen festen Punkt erforderli. Es ist ds Produkt Fläeninlt ml stnd von diesem Punkt. Die sttisen Momente ller Fläenelemente in Bezug uf den Swerpunkt der Gesmtfläe een si uf. Die Dremomente einer Fläe oder eines Körpers, der im Swerpunkt ufgeängt ist, sind lso null. Die Swerpunktlge in einer Figur in Bezug uf einen gewälten festen Punkt wird us den Fläenelementen d und der Summe S der sttisen Momente ds dieser Fläenelemente dur die Division S/ erenet. Sttises Moment S und Fläe können dei dur Summenildung (ei gerdlinig egrenzten Figuren) oder dur Integrl (ei dur Kurven egrenzten Figuren) erenet werden. Der llgemeine mtemtise nstz, der den stnd e s des Swerpunkts (Swerpunktlge) zu einem elieigen Bezugspunkt ngit, lutet: Formel 15: Swerpunktlge e S S d d ds d Erläuterungen: ds = d, ist ds sttise Moment einer Teilfläe d, die einen estimmten stnd von einem estimmten Drepunkt (Bezugspunkt) t. S ist ds sttise Moment der Gesmtfläe us der Summe oder dem Integrl ller ds. ist die Gesmtfläe 6 der Figur us der Summe oder dem Integrl der Teilfläen d. e S ist der stnd des Swerpunkts der Figur vom gewälten Drepunkt. Für die Berenung des Swerpunkts im Dreiek wird der Berenungsgng üer ds Integrl n Formel 15 gezeigt. 4.. Zeinerise Ermittlung des Swerpunkts im Dreiek Jeder Süler weiß, dss der Swerpunkt eim Dreiek im unteren Drittelspunkt der Seitenlierenden liegt. Der Swerpunkt teilt die Seitenlierende im Verältnis :1. lle Seitenlierenden sneiden si in einem Punkt, nämli im Swerpunkt. Dmit knn der Swerpunkt des Dreieks zeineris ser leit ermittelt werden Mtemtiser Beweis der Swerpunktlge im Dreiek Owol der Swerpunkt des Dreieks zeineris ser leit ermittelt werden knn, ist der mtemtise Beweis nit so einf. Wir verwenden ds oen unter 4.1 esrieene Prinzip. 6 Bitte Bezeinungen nit verweseln: Ekpunkt und Fläeninlt (kursiv gesrieen)

12 1 Wir nemen ein elieiges Dreiek BC und zeinen die drei Seitenlierenden ein. Sie sneiden si in einem Punkt, dem Swerpunkt S. Nun teilen wir die gesmte Dreieksfläe prllel zur Seite in smle Streifen der Breite dx ein. Sie en lle iren Swerpunkt in der Mitte, nämli uf der Seitenlierenden. Wir zeinen stellvertretend für lle Streifen nur einen einzigen. Dieser t die Entfernung x vom Ekpunkt. Bild 1: Berenung der Swerpunktlge im Dreiek Nun entwikeln wir den nstz n Formel 15: dx x dx x d dx x dx x x S x d d dx x dx x dx x dx x S x S e d d d d Formel 16: Swerpunktstnd vom Ekpunkt e 3 D der Ekpunkt keine Vorrngstellung im Dreiek t, gilt für lle Höen in den Dreieken: Formel 17: Verältnis Swerpunktstnd zu Höe 3 e e e C B Der Swerpunkt eines Dreieks liegt, vom Ekpunkt us gemessen, in zwei Drittel der Dreieksöe. Dmit gilt u: Der Swerpunkt eines Dreieks liegt, vom Ekpunkt us gemessen, im zweiten Drittelspunkt der Seitenlierenden.

13 13 5. Die Summe der Innenwinkel 5.1. Mtemtiser Beweis für ein n-ek (Polygon) Wir wollen ier llgemein die Summe der Innenwinkel für ein elieiges konvexes 7 Polygon mit n Eken (n-ek) erenen. Bild : Innenwinkel im n-ek In Bild ist ein elieiges n-ek zu seen. Die Winkel i sind die Innenwinkel und die Winkel i sind die Ergänzungswinkel zu 180. Bei n Eken sind n gestrekte Winkel mit i i 180 vornden. Diese en zusmmen die Summe: n n n i i i i ) i 1 i 1 (1) ( ) ( ) ( n 180. i 1 lle Winkel i zusmmen etrgen 360 : n () ( i 1 i ) Ds wird nsuli, wenn mn in Bild von einem Ekpunkt usgeend zum nästen Ekpunkt färt und dort eine Retsdreung zum üernästen Ekpunkt usfürt. D dies im Gesmten nur eine einzige ußenumrundung von 360 erfordert, ist () nsuli ewiesen. () in (1) eingesetzt ergit: n n n i i i ) i 1 i 1 (3) ( ) ( ) ( 180 n 180. i 1 Drus ergit si die Summe der Innenwinkel im n-ek: Formel 18: Summe der Innenwinkel im n-ek n i 1 ( ) ( n ) 180 i Bei einem Dreiek ist n = 3 zu setzen, drus folgt: Winkelsumme im Dreiek = Zeineriser Beweis für ds Dreiek Für ds Dreiek knn mn die Summe der Innenwinkel u zeineris eweisen, indem mn in Bild 1 die Seite mit dem Winkel von Ekpunkt B prllel entlng der Seite zum Ekpunkt C versiet. Dnn geen lle drei Ritungen der Dreiekseiten dur den Ekpunkt C, woei lle drei Winkel + + = 180 üer einer Linie (Verlängerung von ) zu seen sind. 7 konvex: one einspringende Eken

14 6. Dreieksungleiungen 14 Beim Dreiek müssen zwei Seiten zusmmen immer länger sein ls die dritte Seite, sonst lässt si kein Dreiek zeinen. Diese Bedingung muss für lle drei Seiten geprüft werden und in jedem Fll zutreffen. lle Bedingungen in Formel 19 müssen erfüllt sein. Formel 19: Bedingungen für Dreieke In einem Computerprogrmm können diese Bedingungen utomtis gefrgt werden. Bei felerfter Einge der Seitenlängen erfolgt eine Felermeldung. Felerftes Beispiel: = 7 = 8 = ? 8 0 7? 0 7 8? trifft j, trifft j, trifft nit zu zu zu Eine der frgen trifft nit zu, weil zwei Seiten kleiner ls die dritte Seite sind: Diese drei Seitenlängen ergeen kein Dreiek..

15 7. Formeln und Sätze für ds retwinklige Dreiek 15 Ds retwinklige Dreiek ist ein Sonderfll des llgemeinen Dreieks. Viele Lersätze und Definitionen fußen uf dem retwinkligen Dreiek. Selst die Berenungen des llgemeinen Dreieks stützen si uf ds retwinklige Dreiek. Desl wird es ier zuerst endelt Benennungen Beim retwinkligen Dreiek git es esondere Benennungen, die in Bild 3 gezeigt sind: Bild 3: Ds retwinklige Dreiek Die retwinklig ufeinnderstoßenden Seiten und nennt mn Kteten. Die rete Winkel liegt ei Ekpunkt C, gegenüerliegende Seite wird Hypotenuse gennnt. Für die Ekpunkte werden die Bezeinungen, B und C verwendet. Die den Ekpunkten gegenüerliegenden Seiten werden mit den kleinen Busten, und den Ekpunkten entspreend ezeinet. Eenso werden die Ekwinkel nlog den Ekpunkten mit den kleinen grieisen Busten, und ezeinet. 7.. Der Tleskreis Definition Ist die Hypotenuse Bdes retwinkligen Dreieks der Durmesser eines Kreises, dnn liegt der gegenüerliegende Ekpunkt C mit dem reten Winkel uf der Kreislinie. lle Periperiewinkel üer dem Hlkreis sind rete Winkel (Bild 4). Bild 4: Tleskreis Dieser Stz stmmt von Tles von Milet (64 is 547 v. Cr.): Der geometrise Ort der Seitel ller reten Winkel, deren Senkel dur zwei feste Punkte und B geen, ist der Kreis um den Mittelpunkt der Verindungsstreke dieser Punkte mit dem stnd der eiden Punkte ls Durmesser. Der Stz von Tles ist ein Sonderfll der Periperiewinkel für den Zentriwinkel 180 (Tleskreis). Die Periperiewinkel sind in Lit. [Prxl1] endelt Teilung des retwinkligen Dreieks Bild 5: Teilung in zwei gleisenklige Dreieke Gegenüer der Seite : M 180 und gegenüer der Seite : 180 M. Ziet mn vom Mittelpunkt M des Kreises in Bild 5 eine Gerde zum Ekpunkt C, dnn wird ds retwinklige Dreiek in zwei gleisenklige Dreieke mit gleiem Fläeninlt geteilt. Jedes gleisenklige Dreiek t ls Grundlinie den Kreisrdius / (= ler Durmesser) und die Höe. Die Teilungswinkel m Mittelpunkt etrgen:

16 7.3. Der Stz des Pytgors Bild 6: Der Stz des Pytgors 16 Der nsteende Lerstz wr in Spezilfällen son den Ägyptern, den Byloniern und den Indern eknnt. Er wurde erstmls von Pytgors (um v. Cr.) ewiesen. Desl erielt er u seinen Nmen. Euklid definiert den Stz des Pytgors im Ersten Bu seiner Elemente unter Nr. 47: m retwinkligen Dreiek ist ds Qudrt üer der dem reten Winkel gegenüerliegenden Seite den Qudrten üer den den reten Winkel umfssenden Seiten zusmmen glei. Euklid zeigt n der ngegeenen Stelle u glei den Beweis nnd einer Zeinung, den wir ier nit wiederolen wollen. Bild 6 zeigt die Sitution. Der rete Winkel efindet si ei Punkt C. Für die Seitenlängen > 0, > 0 und > 0 im retwinkligen Dreiek, und gilt: Formel 0: Der Stz des Pytgors Der Stz des Pytgors n Formel 0 gilt lso für lle positive reelle Zlen Beweise Es git unzälige Beweise des Stzes, meist nnd von Zeinungen. Im Jre 175 wurde der Universität Hlle eine Doktorreit (Disserttio Inugurlis Sistens Teoremtis Pytgorii Demonsttiones Plures von F. C. Jetze) vorgelegt, die 33 versiedene Beweise des Pytgors entielt Beweis dur Prllelversieung von Fläenelementen Der eknnteste Beweis get von der Figur in Bild 6 us. Ds Qudrt wird m Ekpunkt C prllel zur Seite is zum Ekpunkt versoen, sodss ein Prllelogrmm mit der Grundlinie entstet. Dieses wird um den Ekpunkt B um 90 in ds untere Qudrt inein gedret. Dnn folgt eine Prllelversieung des Prllelogrmms in ds Qudrt inein. Es entstet ein Retek, ds in unteren Qudrt genu unter der Seite liegt (siee Bild 6, reter Teil). Ds Gleie wird mit dem Qudrt üer gemt. m Sluss siet mn, dss si die prllel versoenen Fläe in der Summe mit dem Qudrt unter deken. Dmit ist der geometrise Beweis errt. Der Leser möge die esrieenen Sritte selst nvollzieen Indiser Beweis (1) dur Fläenerenung Bild 7: Indiser Beweis (1) Beweis n dem Hindu Bskr (1150 n. Cr.). In Bild 7 efinden si in einem Qudrt der Größe vier retwinklige Dreieke mit irer Seite n ußen. Wir müssen nur die Fläen nrenen:

17 Formel 1: Indiser Beweis (1) ) 17 4 ( ) ( Drus folgt Formel 0: Indiser Beweis () dur Fläenerenung Bild 8: Indiser Beweis () In Bild 8 efindet si ein Qudrt der Größe in einem Qudrt der Größe (+). Wir müssen nur die Fläen nrenen: Formel : Indiser Beweis () ( ) 4 Drus folgt Formel 0: Diese drei Beweise mögen zur Demonstrtion genügen Pytgoreise Tripel llgemein gilt der Stz des Pytgors n Formel 0 für lle positive reellen Zlen. Innerl dieses Zlenereis git es für die Formel 0 u gnzzlige Lösungen, ei denen, und ntürlie Zlen (N) sind. Diese Sonderfälle nennt mn pytgoreise Tripel Definition Ein Tripel (,,) von positiven gnzen Zlen eißt pytgoreises Tripel, wenn Ein pytgoreises Tripel eißt primitiv, wenn,, teilerfremd sind. Der folgende Stz git eine Besreiung ller primitiven Tripel: Jedes pytgoreise Tripel (,,) mit gerdem erält mn genu einml in der Form Formel 3: Pytgoreises Tripel, uv, u v u v mit u,v N, teilerfremd, nit eide ungerde, u > v > 0. Plto (etw v.cr.) verwendete folgenden nstz, woei n N und = gilt: Formel 4: Pytgoreises Tripel gilt. n 1, n, n Prktise nwendung Ds erümteste pytgoreise Tripel ist: Diese Lösung diente früer zur stekung reter Winkel uf der Bustelle: Eine 1 m lnge Snur erielt n 3 Metern und dnn n weiteren 4 Metern einen Knoten. Ddur wurde sie in Teillängen von 3, 4 und 5 m ufgeteilt. Wurden die eiden Enden der Snur von einer Person und n den Knoten von je einer weiteren Person gelten und gespnnt, erg die gespnnte Snur ein retwinkliges Dreiek.

18 7.5. Der Stz des Euklid 18 In einem retwinkligen Dreiek ist ds Qudrt üer einer Ktete glei dem Produkt der Hypotenuse und dem etreffenden Ktetensnitt uf der Hypotenuse. In Bild 6 ist dies dur die rote Trennlinie und untersiedlie frlie Hinterlegungen der Fläen ngedeutet. Der Beweis dieses Stzes wird mit dem Beweis unter gedekt Der Höenstz Der Höenstz ist eine Komintion der Sätze von Euklid und von Pytgors. Er gilt nur im retwinkligen Dreiek. In einem retwinkligen Dreiek ist ds Qudrt der Höe (dur den reten Winkel) glei dem Produkt der eiden Hypotenusensnitte. Der Beweis knn mit dem Senenstz des Kreises gefürt werden, der in Lit. [Prxl1] zu finden ist. Er wird ier wiederolt: Bild 9: Senenstz im Kreis Sind 1 und die snitte der einen Sene und 1 und die snitte der nderen Sene (Bild 9), dnn gilt: Formel 5: Senenstz im Kreis 1 1 Wenn si zwei Senen eines Kreises in einem Punkt S (Snittpunkt) sneiden, dnn ist ds Produkt us den snitten der einen Sene dem Produkt der snitte der nderen Sene glei. Euklid formulierte diesen Senenstz nit mit Produkten us Zlen, sondern mit der geometrisen Figur eines Reteks: Sneiden im Kreise zwei Senen einnder, so ist ds Retek us den snitten der einen dem Retek us den snitten der nderen glei. Hier sind die Fläengrößen der dur die snitte zu ildenden Reteke gemeint. Wir en oen unter 7. den Tleskreis endelt. Zeinet mn im Tleskreis die Höe des retwinkligen Dreieks ein und spiegelt ds Gnze um die Hypotenuse, dnn entstet ein Kreis mit zwei si im reten Winkel kreuzenden Senen (siee Bild 10), uf die der Senenstz ngewendet werden knn: Die eine Sene t zwei snitte je mit der Länge, die ndere Sene t die snitte p und q. Bild 10: Beweis des Höenstzes Formel 6: Höenstz p q

19 Der Huptstz des Euklid Verllgemeinerung des Stzes von Pytgors Im VI. Bu der Elemente des Euklid (Lit. [Euklid]) wird unter Nr. 31 eine Verllgemeinerung des Stzes von Pytgors formuliert: Im retwinkligen Dreiek ist eine (gerdlinige) Figur üer der dem reten Winkel gegenüerliegenden Seite den änlien, üer den den reten Winkel umfssenden Seiten änli gezeineten Figuren zusmmen glei. Diese Verllgemeinerung sgt us, dss der Stz des Pytgors nit nur für Qudrte gilt, sondern für änlie Figuren llgemein. Euklid t n der ngegeenen Stelle diesen Stz ewiesen. Der dortige Beweis gilt für gerdlinig egrenzte Figuren, lässt si er mit Hilfe der Integrlrenung u für mtemtise Funktionen eweisen. Diese Verllgemeinerung wird ls Huptstz des Euklid ezeinet Geometrise Änlikeit Bevor wir den Huptstz eweisen können, müssen wir no definieren, ws geometris unter änli zu versteen ist. Zwei Figuren sind einnder änli, wenn die eine dur Vergrößerung der nderen oder die ndere dur Verkleinerung der einen ineinnder üergefürt werden können, sodss sie dekungsglei sind. llgemein gesproen, können änlie Figuren dur Zoomen zur Dekung gert werden Beweis des Huptstzes des Euklid Der Beweis lutet, one die oen erwänte Integrlrenung emüen zu müssen: Bild 11: Figur Wenn gilt, dnn gilt u:. N Einsetzen der oigen usdrüke für, und folgt: Formel 7: Huptstz des Euklid, ws zu eweisen wr. Wenn eine elieige Figur (Bild 11) mit der Länge und dem Fläeninlt in eine änlie Figur mit der Länge umgewndelt wird, dnn ändert si der Fläeninlt qudrtis zur Länge uf, ei einer änlien Figur mit der Länge ergit si dnn die Fläe. Jetzt sreien wir no die Fläe ls. Wir können lso n die Seiten eines retwinkligen Dreieks nit nur Qudrte, sondern elieige änlie Figuren setzen. Die Figuren müssen nit voll n den Dreiekseiten nliegen, es genügt, wenn ds uf die Dreiekseiten projizierte Größenverältnis der lineren Mße der änlien Figuren :: eträgt.

20 0 Beispiel: Ein Kreis mit dem Durmesser erürt von ußen die Mitte der Dreiekseite, ein Kreis mit dem Durmesser erürt von ußen die Mitte der Dreiekseite, ein Kreis mit dem Durmesser erürt von ußen die Mitte der Dreiekseite. Dnn ist die Kreisfläe üer mit dem Durmesser die Summe der eiden Kreisfläen mit den Durmessern und Beispiel mit Hlkreisen Bild 1: Huptstz des Euklid mit Hlkreisen Die eiden Hlkreise üer den Kteten sind dem Hlkreis üer der Hypotenuse fläenglei: Formel 8: Huptstz des Euklid für Hlkreise k k k Die Mönden des Hippokrtes Bild 13: Mönden des Hippokrtes (1) k k k () k k k m m (1) in () eingesetzt ergit: (3) k k m m. Drus folgt: Formel 9: Mönden des Hippokrtes m m Hippokrtes von Cios (um v. Cr.), wr der erümteste rzt 8 des ltertums, esäftigte si er u mit Geometrie. ls Mönden (lt. lunul, grie. ) ezeinete er jedes zwisen zwei Kreisögen liegende Fläenstük. Die eiden Mönden üer den Kteten eines retwinkligen Dreieks sind zusmmen dem Dreiek fläenglei. Beweis: Diese Formel estätigt die Ritigkeit der Qudrtur der Mönden. Bezeinen wir die eiden Mönden in Bild 13 mit m und m, die Hlkreise üer den Dreiekseiten mit k, k und k (siee Bild 1) und die Dreiekfläe mit. Dnn können wir renen: 8 Mn denke n den Hippokrtisen Eid der Ärzte.

21 7.8. Definition der trigonometrisen Funktionen 1 Die trigonometrisen Funktionen (Winkelfunktionen) Sinus, und Kosinus werden im retwinkligen Dreiek (Bild 14) ls Verältnis von Seitenlängen definiert. Bild 14: Definition von Sinus, Kosinus und Tngens Definition von Sinus, Kosinus und Tngens Formel 30: Definition des Sinus sin Formel 31: Definition des Kosinus os Formel 3: Definition des Tngens tn Bild 14B zeigt die Verältnisse für den Sinus und Kosinus m Eineitskreis mit dem Rdius r = Bezieungen zwisen den Winkelfunktionen Bild 14B zeigt u die Ritigkeit des uf die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus ngewendeten Pytgors : Formel 33: Pytgors mit Sinus und Kosinus sin os 1. Der Tngens ist er u die Länge der Tngente des Winkels m Eineitskreis (Bild 14C). Formel 34: Sinus us Tngens sin tn 1 tn Formel 35: Kosinus us Tngens os 1 1 tn Die nderen Bezieungen zwisen den Winkelfunktionen, die Vorzeien der Winkelfunktionen in den vier Winkelfeldern (Qudrnten) des Kreises, die trigonometrisen Funktionen von Winkelsummen und Winkeldifferenzen, von doppelten und len Winkeln und die Summen und Differenzen von möge der Leser in den ülien Formelsmmlungen nslgen.

22 8. Formeln für ds llgemeine Dreiek Bevor wir uns mit der Berenung elieiger Dreieke esäftigen werden, müssen wir no einige Lersätze erleiten, die für diese Berenungen verwendet werden sollen Der Sinusstz Um den Sinusstz erzuleiten, ruen wir die Höen im Dreiek. Die Höen steen retwinklig uf den zugeörigen Dreiekseiten (Grundlinien). Bild 15: Höen im Dreiek Der Fläeninlt im Dreiek wird us Grundlinie und Höe erenet: Formel 36: Fläe us Grundlinie und Höe. Formel 37: Höen im Dreiek sin sin sin sin sin sin Wir setzen die Höenwerte us Formel 37 in Formel 36 ein und erlten: sin sin sin sin sin sin Wir vereinfen und streien die doppelten Terme: Formel 38: Fläe us Seiten und dzwisenliegendem Winkel sin sin sin Nun teilen wir Formel 38 dur und erlten: sin sin sin. Drus folgt dur Kürzen der Sinusstz: Formel 39: Sinusstz mit Seitenlängen im Nenner sin sin sin Der Sinusstz wird u mit den Reziprokwerten der Terme verwendet: Formel 40: Sinusstz mit Seitenlängen im Zäler sin sin sin

23 3 Der erste Term in Formel 40 ist der doppelte Umkreisrdius r des Dreieks (vergleie Formel 46). Dmit ängt der Umkreisrdius mit dem Sinusstz zusmmen. 8.. Der Kosinusstz Mit dem Kosinusstz knn us zwei Dreiekseiten und dem dzwisenliegenden Winkel die dritte Seite erenet werden. Wir verwenden zur Herleitung des Kosinusstzes Bild 15: sin ( os ) sin ( os os ) Formel 41: Kosinusstz für die Seite os (sin os ) os os. Drus folgt der Kosinusstz für die Seite : D die Seite keinen Vorrng t, können Formeln für die nderen eiden Seiten dur zyklise Vertusung ingesrieen werden: Formel 4: Kosinusstz für die Seite os Formel 43: Kosinusstz für die Seite os 8.3. Umkreisrdius Bild 16: Umkreisrdius eines elieigen Dreieks Es seien, und die Seiten und die Fläe eines elieigen Dreieks, ds in Bild 16 drgestellt ist. Im Dreiek BC mit den Seiten, und liegt der Winkel m Ekpunkt der Seite gegenüer. Der Zentriwinkel CMB des Umkreises üer der Seite eträgt m Kreismittelpunkt, weil der Winkel m Punkt der zugeörige Periperiewinkel 9 ist. Wird ds Lot vom Mittelpunkt uf die Seite gezogen, so teilt dieses Lot den Zentriwinkel in der Mitte, ds Lot und der Rdius ilden dnn m Mittelpunkt den Winkel. Dnn gilt: Formel 44: Sinus us Seitenlänge und Umkreisrdius sin. r 9 Siee Kreisformeln in Lit. [Prxl1].

24 4 Ht mn die Seitenlänge und den Sinus des gegenüerliegenden Winkel, dnn ergit si der Umkreisrdius. Formel 45: Umkreisrdius us ler Seitenlänge und Sinus des gegenüerliegenden Winkels r sin Die Fläe des Dreieks wird us den Seiten und und dem Sinus des Winkels erenet: sin. Nun wird der Sinus us Formel 44 eingesetzt: sin. r Umgestellt n dem Rdius r ergit si: Formel 46: Umkreisrdius eines elieigen Dreieks r. 4 ls Merkstz formuliert: Die Division des Produktes der drei Seitenlängen eines Dreieks dur ds Vierfe der Dreieksfläe ergit den Umkreisrdius des Dreieks Umfng und ler Umfng Sind die Seitenlängen eines Dreieks, und, dnn gilt: Formel 47: Umfng des Dreieks U Der le Umfng wird in einigen Formeln ls Hilfsgröße verwendet, die mit dem Formelzeien s ezeinet wird. Formel 48: Hler Umfng des Dreieks s 8.5. Inkreisrdius Bild 17: Inkreis und Inkreisrdius D die Dreiekseiten, und ls Tngenten m Innenkreis (Inkreis) des Dreieks nliegen, knn mn von den Ekpunkten zum Mittelpunkt des Kreises Linien zieen. Ddur entsteen drei neue Dreieke, deren Fläeninlt jeweils mit der Dreiekseite ls Grundlinie und dem Kreisrdius ls Höe erenet werden knn. Der Fläeninlt des gesmten Dreieks eträgt: Formel 49: Fläeninlt us lem Umfng und Inkreisrdius s.

25 5 Dur Umstellung dieses nstzes ergit si der Inkreisrdius us dem Fläeninlt, dei ist s der le Umfng des Dreieks: Formel 50: Inkreisrdius eines elieigen Dreieks s 8.6. Die Heronise Formel llgemein gilt für ds Dreiek: Der Fläeninlt ergit si ls Produkt einer Seitenlänge (Grundlinie g) und der len Höe uf diese Seite: Formel 51: Fläeninlt us Grundlinie und Höe g Die Heronise Formel erlut die Berenung des Fläeninlts eines Dreieks us den drei Seitenlängen, und. Wir leiten die Heronise Formel er, indem wir von Formel 51 usgeen. Bild 18 zur Herleitung der Heronisen Formel Der Fußpunkt der Höe teilt die Seite in zwei Teile: p und q. (1) q p q p () q p q p q p q p ) ( ) ( q p ) ( q p us (1) und () folgt: (3) p und q Fläeninlt des Dreieks: (4) 4 ) ( 4 p ) ( ) ( p p 4 Nun setzen wir die usdrüke us (3) in (4) ein und formen um:

26 ) ( ) ( 16 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 16 1 (5) Nun verwenden wir no den len Umfng us Formel 48: s und setzen in in (5) ein: s s s s ) ( ) ( ) (. Drus folgt die Heronise Formel: Formel 5: Heronise Formel ) ( ) ( ) ( s s s s Dreiek 8.7. Hinweis uf Fläenerenung von Viereken Die Fläenerenung der Viereke wird ier erwänt, weil die Formeln der Heronisen Formel gleien. Der Verfsser t im Bu Kreisformeln (siee Lit. [Prxl1]) die Formeln für ds Senenvierek im Kreis und für ds llgemeine konvexe Vierek getrennt ergeleitet. Hier werden die Formeln gegenüergestellt Senenvierek im Kreis Die Heronise Formel für ds Dreiek t die gleie Form wie die Formel für den Fläeninlt des Senenviereks im Kreis: Formel 53: Fläeninlt des Senenviereks im Kreis ) ( ) ( ) ( ) ( d s s s s Kreis im ek Senenvier.,, und d sind die Seitenlängen des Senenviereks im Kreis. d s ist der le Umfng des Senenviereks. Wenn mn die Seite d im Senenvierek glei null setzt, wird ds Senenvierek zu einem Senendreiek, für die die Heronise Formel gilt.

27 llgemeines konvexes Vierek u die Formel für den Fläeninlt eines elieigen konvexen 10 Viereks t eine änlie Form wie die oigen Formeln. Formel 54: Fläeninlt eines elieigen Viereks ( s ) ( s ) ( s ) ( s d) d os Vierek. d,, und d sind die Seitenlängen des llgemeinen Viereks. s ist der le Umfng des Viereks, ist ds ritmetise Mittel zweier Gegenwinkel im Vierek. Sonderfälle: D im Senenvierek zwei Gegenwinkel immer zusmmen 180 en, ist = 90 und os 0. Formel 53 ist dmit ein Sonderfll der Formel 54. Für d = 0 ist Formel 5 (die Heronise Formel) eenflls ein Sonderfll der Formel Berenung der Dreieke 9.1. Möglie Berenungskomintionen Ein Dreiek t 3 Seiten und 3 Ekwinkel. Zur eindeutigen Berenung eines Dreieks müssen von diesen 6 Bestimmungsgrößen mindestens 3 eknnt sein. Es git 6 möglie Komintionen (S = Seite, = Winkel, lt.: ngulus): 1. SSS drei Seitenlängen. S eine Seitenlänge mit zwei nliegenden Winkeln 3. S eine Seitenlänge und zwei ufeinnderfolgende Winkel 4. SS zwei Seitenlängen und der dzwisenliegende Winkel 5. drei Winkel 6. SS ein Winkel und zwei ufeinnderfolgende Seitenlängen Die eiden letzten Fälle sind nit eindeutig estimmr: 10 konvex = one einspringende Eken.

28 8 Im Fll 5 des Dreieks mit drei Winkeln ergit si ledigli die Form des Dreieks, wegen Felens von Längenmßen können Längen und Fläeninlt nit ermittelt werden. Diesen Fll endeln wir nit. Im Fll 6 ergeen si keine, eine oder zwei versiedene Lösungen, je n Größe des Winkels und der Länge der Seiten. Diesen Fll endeln wir nit. 9.. Berenungsluf und Formeln Für den Tsenrener werden die Fälle 1 is 4 ufereitet. Dzu werden die eknnten Formeln us der Formelkiste zw. von den ngegeenen Seiten geolt: Summe der Innenwinkel im Dreiek (Seite 13), Dreieksungleiungen (Seite 14), Stz des Pytgors (Seite 16) Höenstz (Seite 18). Sinusstz (Seite ), Kosinusstz (Seite 3). Heronise Formel (Seite 5) Die 3 Höen des Dreieks (Seite ) werden us dem Fläeninlt und den Seitenlängen erenet. Der Umkreisrdius r (Seite 3) ergit si us der len Seitenlänge dividiert dur den Si- nus des gegenüerliegenden Winkels. Der Inkreisrdius (Seite 4) wird us Fläeninlt geteilt dur den len Umfng erenet: = */U. Mit jedem der vier Progrmme SSS, S, SS und S werden us den gegeenen Bestimmungsstüken die felenden Werte erenet. Wir verwenden die Bezeinungen n Bild 19. Bild 19: Dreiek mit llen Bestimmungsstüken und den 3 Höen m Sluss der Berenung sind folgende 14 Werte verfügr:,, Seitenlängen,,, Ekwinkel Fläeninlt, U Umfng, s ler Umfng,,, Höen r Umkreisrdius Inkreisrdius

29 9..1. SSS Drei Seitenlängen 9 Gegeen sind die drei Seitenlängen, und eines Dreieks. Drus werden mit dem umgestellten Kosinusstz (Formel 41, Formel 4, Formel 43) die drei Ekwinkel, und und mit der Heronisen Formel (Formel 5) der Fläeninlt erenet. Formel 55: Ekwinkel ei Eke ros Formel 56: Ekwinkel ei Eke B ros Formel 57: Ekwinkel ei Eke C ros Formel 58: Fläeninlt s ( s ) ( s ) ( s ) Formel 59: Umfng U Formel 60: Hler Umfng s Formel 61: Höe uf Formel 6: Höe uf Formel 63: Höe uf Formel 64: Umkreisrdius r r 4 Formel 65: Inkreisrdius s

30 9... S Eine Seitenlänge und zwei nliegende Winkel Gegeen sind Seitenlänge und die eiden nliegenden Winkel und. Den felenden Winkel erenen wir us der Winkelsumme des Dreieks: Formel 66: Felender Winkel 180 Die nderen eiden Seitenlängen ergeen si us dem Sinusstz für ds llgemeine Dreiek: Formel 67: Sinusstz llgemein. sin sin sin Drus ergeen si die eiden Seitenlängen: Formel 68: Seitenlänge sin und sin Formel 69: Seitenlänge sin. sin 30 Dmit en wir lle Winkel und lle Seitenlängen und können für die Berenung ds Sem SSS Formel 58 verwenden S Eine Seitenlänge und zwei Winkel Gegeen sind Seitenlänge, Winkel und Winkel. Der felende Winkel wird us der Winkelsumme im Dreiek erenet: Formel 70: Felender Winkel 180 Nun en wir die Seite und lle Winkel. Dmit können wir ds Sem S enutzen SS Zwei Seitenlängen und dzwisenliegender Winkel Gegeen sind die Seitenlängen und und der dzwisenliegende Winkel. Wir erenen die Seitenlänge n Formel 4: os. Nun en wir lle drei Seitenlängen und können drus n Sem SSS lle weiteren Werte erenen.

31 9.3. Die Tsenrenerprogrmme für ds Dreiek Vorussetzungen 31 Für die folgenden usfürungen wird vorusgesetzt, dss si der Leser mit der Hndung und den Möglikeiten eines progrmmierren wissensftlien HP-Tsenreners uskennt. Dzu stet neen den Originl-HP-Hndüern u ds Hndu des Verfssers Wissensftlie HP- Tsenrener im prktisen Einstz (siee Lit. [Prxl3]) zur Verfügung. Die uf folgenden Bildern gezeigten Bildsirmzüge wurden uf einem HP 50g ergestellt Flg- zw. Moduseinstellungen m Tsenrener Um ei der Berenung Felermeldungen zu vermeiden, sollte mn einstellen: Zuerst den Modus uf RPN stellen: Mit [MODE] Formulr "CLCULTOR MODES" ufrufen und dort die erste Zeile "Operting Mode.. " uf RPN stellen. Dnn die nderen Flgs einstellen: (Flg -) = 1 (numerises Ergenis ei Konstnten) (Flg -3) = 1 (numerises Ergenis ei Funktionen) (Flg -0) = 0 ("Underflow" ergit Null) (Flg -1) = 0 ("Overflow" ergit nzeige: ±9E499) (Flg -) = 1 ("Unendli" ergit nzeige: ±9E499) (Flg -90) = 1 (CHOOSE-Minifont) (Flg -105) = 1 (Näerungsmodus = reelle Zlen) gewünstes Winkelformt: DEG, GRD oder RD. Dzu werden im RPN-Modus folgende Befele eingegeen: { } SF {-0-1 } CF Mit dem Befel DEG wird ls Winkelformt Grd ( ) eingestellt. Die Progrmme werden ls Progrmmverzeinis DREIECK.txt uf der Prxelius-Homepge zur Verfügung gestellt. Dieses Progrmmverzeinis knn zum PC eruntergelden werden und per Verindungssoftwre vom PC uf den HP-Tsenrener üertrgen werden. Bild 0 und Bild 1 zeigen die Menüs des Verzeinisses DREIECK. Bild 0: Menüpunkte 1 is 6 Bild 1: Menüpunkte 7 is 11 Ds Verzeinis DREIECK entält ein Huptprogrmm DREIB (Dreieke erenen), ds ein uswlmenü ietet, üer ds ds uswlmenü der Ergenisnzeige ERGEB, die vier Berenungsprogrmme SSS, S, SS, S, ds uswlmenü der Vrilenezeinungen VRBEZ und die Grfikusgen DRPL und BEZ ufgerufen werden können.

32 3 Ds Progrmm WFMT ist ein Hilfsprogrmm, ds innerl der Berenungsprogrmme ds üer die Flgs eingestellte Winkelformt feststellt und die entspreende Winkelsumme des Dreieks in den Stk stellt: ei DEG: 180 ei GRD: 00 ei RD: 3, Der Indiktor in der linken oeren Eke des Bildsirms zeigt die ktuelle Einstellung n. Die Eingen der Winkelwerte müssen im eingestellten Formt erfolgen. Jedes der Berenungsprogrmme (SSS, S, SS, S) knn u seprt ufgerufen werden und liefert lle Ergenisse uswlmenü DREIB Dieses uswlmenü entält 9 Menüpunkte: Üer die ersten vier Menüpunkte können die Berenungsprogrmme SSS, S, SS und S ufgerufen werden. Die restlien Menüpunkte sind mit Ergenisnzeige, Ergenisplot 11, Grfik mit den Bezeinungen, Vrileninfo und ngen üer den utor elegt. Nun knn die Einge der gegeenen Werte eginnen. N dem ufruf eines der vier Progrmme SSS, S, SS und S erfolgt die frge der enötigten ngen üer Seitenlängen und Winkel üer den INPUT-Befel. Die Winkel müssen in dem in der linken oeren Bildsirmeke sitren Winkelformt erfolgen. In den ier gezeigten Bildern ist der Indiktor DEG, lso Grd ( ), in der linken oeren Eke sitr. Bild : uswlmenü mit Punkten 1 is 8 Bild 3: uswlmenü mit Punkten is 9 Jeder der drei erforderlien Eingewerte ist mit [ENTER] zusließen. N dem dritten [ENTER] zeigt der Bildsirm so lnge die Eingen, is ds Ergenis erenet ist. N einiger Zeit erseint eine Messgeox. Z.B. lutet die Meldung n der SSS-Berenung: "SSS-Berenung: Ergenisse siee Menü!" Die Ergenisnzeige erfolgt üer die "Ergenisnzeige" des uswlmenüs DREIB oder direkt üer ds Progrmm ERGEB im reitsverzeinis. lle ngezeigten Werte sind u in ktuellen Verzeinis ls Vrilen vornden (siee unten). Der Menüpunkt Ergenisplot in DREIB strtet ds Progrmm DRPL (=Dreiekplot). DRPL ist ein Progrmm zur Plottusge des ereneten Dreieks. Es knn nur ufgerufen werden, wenn die Berenung eines Dreieks ereits erfolgt ist und die Ergeniswerte ls Vrile im ktuellen Verzeinis vornden sind. Liegen keine Ergeniswerte zum usplotten vor, wird eine Felermeldung usgegeen. 11 Plot ist ein feststeender Begriff us dem Englisen und ezeinet eine utomtis ergestellte grfise Drstellung. Die eiden Begriffe Plottusge und Plottvorgng stmmen von plotten und Plotter und sind mit tt zu sreien.

33 33 Der Plottvorgng frgt um die Erlunis zur Einstellung des Complex-Modus, die mn mit YES gewären muss. Der Dreiekplot zeigt die Form des ereneten Dreieks. Flls no keine Berenung vorusgegngen wr und desl keine Werte vorliegen, wird eine Felermeldung usgegeen. lle Ergenisse und lle per Progrmm erzeugten Vrilen knn mn mit der Menüfunktion LOE us dem ktuellen Verzeinis lösen. Die ülien Bezeinungen des Dreieks (siee Bild 4) sind in der Grfik BEZ interlegt, diese knn üer den Menüpunkt Bezeinungen ngezeigt werden. Die Grfik wurde uf dem HP 49G progrmmiert, dessen Bildsirm kleiner ist. Bild 4: Grfik mit Bezeinungen N den ülien Definitionen liegen den Seiten, und die Ekpunkte, B und C mit den Winkeln, und gegenüer. Der Menüpunkt Vrilen-Info zeigt die Bedeutung ller Vrilen in einem uswlmenü. Bild 5: Vrileninfos (1) Bild 6: Vrileninfos () Ergenisse Die folgenden Bilder zeigen die Ergenisvrilen, die im ktuellen Verzeinis interlegt werden und ds uswlmenü mit den Ergeniswerten. Drei Seitenlängen, drei Winkel Bild 7: Vrilen des Ergenisses (1)

34 34 Umfng U Fläeninlt Höe uf Seite Höe uf Seite Höe uf Seite Umkreisrdius r des Dreieks Bild 8: Vrilen des Ergenisses () Inkreisrdius des Dreieks Löstste LOE für lle Ergenisvrilen. Die restlien Menüfelder DREIB, ERGEB, SSS und, S sind die Progrmme, die eenflls im ktuellen Verzeinis DREIECK gespeiert sind. Bild 9: Vrilen des Ergenisses (3) Bild 30: Ergeniswerte (1) Bild 31: Ergeniswerte () Bild 3: Plot der Seitenlängen

35 nng Litertur Bezeinung (Lit.) utor Beitrg, Bu, Fundstelle [Euklid] Ter, Clemens Die Elemente Die 13 Büer des Euklid, zusmmengefsst in einem Bu. Ndruk der Üersetzung von , Leipzig, 1975, erusgegeen von der Wissensftlien Bugesellsft, Drmstdt ISBN X [Westri] Westri, Fritz Smmlung mtemtiser Formeln 1957, 16. uflge Linduer Verlg, Münen [Brts] [Bronstein] Brts, Hns- Joen Bronstein, I. N Semendjjew,K.. Mtemtise Formeln 1971, 10. uflge Bu- und Zeit-Verlgsgesellsft mh, Köln Tsenu der Mtemtik 1989, 4. uflge Verlg Hrry Deuts, Tun und Frnkfurt/Min ISBN [MtH] Gellert, Wlter Hndu der Mtemtik 197, Lizenzusge für Bu- und Zeit-Verlgsgesellsft mh, Köln [Kropp] Kropp, Gerrd Vorlesungen üer Gesite der Mtemtik 1967 BI-Hosultsenu Nr. 413/413 Biliogrpises Institut Mnneim/Züri [Prxl1] Prxl, Otto Kreisformeln, Formelsmmlung PDF-Dokument 013, siee [Prxl] Prxl, Otto Digitle geometrise Modelle (DGM), ndlung üer digitle Geländemodelle, PDF-Dokument 011, siee (Lesekennwort: Prxelius.de) [Prxl3] Prxl, Otto Wissensftlie HP-Tsenrener im prktisen Einstz Ein usfürlies Hndu nit nur für HP-nfänger. Grundlgen, Renerfunktionen, Progrmmierung, Prxisnwendungen, Beispiel-Progrmme. GRIN Verlg, 013, ISBN , Preis 14,99

36 Ds grieise lpet Telle 1: Grieises lpet Groß klein Nme usspre lf Bet Gmm g Delt d Epsilon e Zet z Et ä Tet t Iot i ϰ Kpp k Lmd l My m Ny n Xi x Omikron o (kurz) Pi p Ro r Sigm s Tu t Ypsilon ü Pi p Ci Psi ps Omeg o (lng) steen gleiwertig neeneinnder, kommt innerl des Wortes vor, stet m Ende eines Wortes. stet in grieisen Texten, kommt seltener vor.

37 10.3. Verzeinis der Formeln 37 Formel 1: rkusfunktion (Bogenmß)... 7 Formel : Umrenung Rdint in ltgrd... 7 Formel 3: Umrenung ltgrd in Rdint... 8 Formel 4: rkusfunktion für ltgrd... 8 Formel 5: rkusfunktion für Neugrd... 9 Formel 6: rkussinusfunktion... 9 Formel 7: rkuskosinusfunktion... 9 Formel 8: rkustngensfunktion... 9 Formel 9: rkussinusfunktion... 9 Formel 10: rkuskosinusfunktion... 9 Formel 11: rkustngensfunktion... 9 Formel 1: Koseknsfunktion Formel 13: Seknsfunktion Formel 14: Kotngensfunktion Formel 15: Swerpunktlge Formel 16: Swerpunktstnd vom Ekpunkt... 1 Formel 17: Verältnis Swerpunktstnd zu Höe... 1 Formel 18: Summe der Innenwinkel im n-ek Formel 19: Bedingungen für Dreieke Formel 0: Der Stz des Pytgors Formel 1: Indiser Beweis (1) Formel : Indiser Beweis () Formel 3: Pytgoreises Tripel Formel 4: Pytgoreises Tripel Formel 5: Senenstz im Kreis Formel 6: Höenstz Formel 7: Huptstz des Euklid Formel 8: Huptstz des Euklid für Hlkreise... 0 Formel 9: Mönden des Hippokrtes... 0 Formel 30: Definition des Sinus... 1 Formel 31: Definition des Kosinus... 1 Formel 3: Definition des Tngens... 1 Formel 33: Pytgors mit Sinus und Kosinus... 1 Formel 34: Sinus us Tngens... 1 Formel 35: Kosinus us Tngens... 1 Formel 36: Fläe us Grundlinie und Höe... Formel 37: Höen im Dreiek... Formel 38: Fläe us Seiten und dzwisenliegendem Winkel... Formel 39: Sinusstz mit Seitenlängen im Nenner... Formel 40: Sinusstz mit Seitenlängen im Zäler... Formel 41: Kosinusstz für die Seite... 3 Formel 4: Kosinusstz für die Seite... 3 Formel 43: Kosinusstz für die Seite... 3 Formel 44: Sinus us Seitenlänge und Umkreisrdius... 3 Formel 45: Umkreisrdius us ler Seitenlänge und Sinus des gegenüerliegenden Winkels... 4 Formel 46: Umkreisrdius eines elieigen Dreieks... 4 Formel 47: Umfng des Dreieks... 4 Formel 48: Hler Umfng des Dreieks... 4 Formel 49: Fläeninlt us lem Umfng und Inkreisrdius... 4 Formel 50: Inkreisrdius eines elieigen Dreieks... 5

Der Kosinussatz. So erhalten wir: und. Um beide Formeln miteinander vereinen zu können, stellen wir die zweite Formel nach h 2 um, und erhalten:

Der Kosinussatz. So erhalten wir: und. Um beide Formeln miteinander vereinen zu können, stellen wir die zweite Formel nach h 2 um, und erhalten: Der Kosinusstz Dreieke lssen si mit drei ngen zu irer Figur, vollständig zeinen. D er die zeinerise Lösung eines Dreieks nit so genu und zudem ret ufwendig ist, muss es u einen renerisen Weg geen, die

Mehr

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente: Stzgruppe des Pytgors Inlt: 1 Der Stz des Pytgors Pytgors im Rum 3 ufstellen von Formeln 4 Prktise nwendungen 5 Der Ktetenstz 6 Der Höenstz 7 Exkurs: Konstruktion retwinkliger Dreieke 8 ekliste 9 Hinweise

Mehr

FLÄCHE/ UMFANG VOLUMEN/ OBERFLÄCHE

FLÄCHE/ UMFANG VOLUMEN/ OBERFLÄCHE FLÄCHENBERECHNUNG FLÄCHE/ UMFANG VOLUMEN/ OBERFLÄCHE Für die Berenung von Fläen git es für die versiedenen Figuren Formeln, die mn kennen sollte. Mit ein pr kleinen Triks mt mn si ds Leen llerdings viel

Mehr

. - Verwandle das Rechteck in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck mit der neuen Breite x1. und der neuen Länge y. = und neuer zugehöriger Länge

. - Verwandle das Rechteck in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck mit der neuen Breite x1. und der neuen Länge y. = und neuer zugehöriger Länge Wirserg-Gymnsium Grundwissen temtik 9. rgngsstufe Lerninlte Fkten-Regeln-Beisiele Reelle Zlen Defintion der Qudrtwurzeln: Für 0 ist diejenige nit negtive Zl, deren Qudrt ergit. eißt Rdiknd. Es git Zlen,

Mehr

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra I WS 2003/2004 Musterlösung zu Blatt 4

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra I WS 2003/2004 Musterlösung zu Blatt 4 Prof. Dr. Helmut Lening Pderorn, den 0. Novemer 00 Mrkus Diekämper, Andrew Huer, Mr Jesse Age is. Novemer 00, Ur Üungen ur Vorlesung Linere Alger I WS 00/004 Musterlösung u Bltt 4 AUFGABE (4 Punkte): Gegeen

Mehr

DEMO für Trigonometrie. Teil 1. Geometrie Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

DEMO für  Trigonometrie. Teil 1. Geometrie Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Gemetrie Sinus, Ksinus und Tngens im retwinkligen Dreiek Text Nr. 16001 Stnd 8. pril 010 Friedri ukel Trignmetrie DEM für www.mte-d.de INTERNETILITHEK FÜR SHULMTHEMTIK Teil 1 www.mte-d.de 16001 Trignmetrie

Mehr

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente: Stzgruppe des Pytgors Inlt: 1 er Stz des Pytgors Pytgors im Rum 3 ufstellen von Formeln 4 Prktise nwendungen 5 er Ktetenstz 6 er Höenstz 7 Exkurs: Konstruktion retwinkliger reieke 8 ekliste 9 Hinweise

Mehr

Die Satzgruppe des Pythagoras

Die Satzgruppe des Pythagoras 7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen

Mehr

Teil 1. Prisma - Zylinder Pyramide - Kegel Pyramidenstumpf - Kegelstumpf Kugel - Kugelteile. Datei Nr Friedrich Buckel. Stand: 30.

Teil 1. Prisma - Zylinder Pyramide - Kegel Pyramidenstumpf - Kegelstumpf Kugel - Kugelteile. Datei Nr Friedrich Buckel. Stand: 30. Teil 1 Prism - Zylinder Pyrmide - Kegel Pyrmidenstumpf - Kegelstumpf Kugel - Kugelteile Dtei Nr. 11610 Stnd: 0. April 016 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Geometrie Körperberenungen Demo-Text für

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010 R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl

Mehr

a) Spezielle Winkel bei schneidenden Geraden und Parallelen α 3 β 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.

a) Spezielle Winkel bei schneidenden Geraden und Parallelen α 3 β 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. 0.05.0 Geometrie und Trigonometrie ) Spezielle Winkel ei shneidenden Gerden und Prllelen 4 4 Sheitelwinkel sind gleih (z.. zw. ) Neenwinkel ergänzen sih zu 80 0 (z.. + 80 0 ) Stufenwinkel sind gleih (z..

Mehr

Klasse 7 bis 9. gleichschenkliges gleichseitiges C C Dreieck

Klasse 7 bis 9. gleichschenkliges gleichseitiges C C Dreieck Heiner Prüser Geometriereitslätter Klsse 7 is 9 Dtum GP V senspiegelung Dreiekskon s t ruk t io n Inlt von Teil 3 ufgenltt Dreiekskonstruktion Dreiekskonstruktion SSS Dreiekskonstruktion WSW Dreiekskonstruktion

Mehr

Schrägbilder und Berechnungen an Körpern 1 Schrägbilder 22 2 Berechnungen an Körpern 25 3 Weiterführende Aufgaben 27 Probe-Prüfungsaufgaben 28

Schrägbilder und Berechnungen an Körpern 1 Schrägbilder 22 2 Berechnungen an Körpern 25 3 Weiterführende Aufgaben 27 Probe-Prüfungsaufgaben 28 Inlt Eene Geometrie: Dreieke 1 Seitenlängen und Winkelmße in retwinkligen Dreieken 6 erenungen in llgemeinen Dreieken 8 3 Weiterfürende ufgen 10 Proe-Prüfungsufgen 1 Eene Geometrie: Viereke und ndere Figuren

Mehr

10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck

10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck 10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn

Mehr

Grundwissen 8 Klasse. y = c x ist, das x-y-diagramm eine Ursprungsgerade ist.

Grundwissen 8 Klasse. y = c x ist, das x-y-diagramm eine Ursprungsgerade ist. Grundwissen 8 Klsse Direkt proportionle Größen x und y sind direkt proportionl, wenn zum n-en Wert ür x der n-e Wert ür y eört, die Wertepre quotientenlei y y2 sind:, x x2 y x ist, ds x-y-dirmm eine Ursprunserde

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 $Id: dreiek.tex,v 1.5 2013/04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen

Mehr

Wir haben ein Koordinatensystem mit der x-achse und der y-achse. Nun wird ein Kreis gebildet mit dem Radius r=1.

Wir haben ein Koordinatensystem mit der x-achse und der y-achse. Nun wird ein Kreis gebildet mit dem Radius r=1. Trigonometrie In diesem Themenereih wenden wir uns den Winkeln im rehtekigen Dreiek zu. Du hst uf deinem Tshenrehner siher shon die Tsten sin, os und tn gesehen. Doh ws edeuten sie? Ds wollen wir herusfinden.

Mehr

FLÄCHE/ UMFANG VOLUMEN/ OBERFLÄCHE

FLÄCHE/ UMFANG VOLUMEN/ OBERFLÄCHE FLÄCHENBERECHNUNG FLÄCHE/ UMFANG VOLUMEN/ OBERFLÄCHE Für die Berenung von Fläen git es für die versiedenen Figuren Formeln, die mn kennen sollte. Mit ein pr kleinen Triks mt mn si ds Leen llerdings viel

Mehr

Die Axiome der Geometrie

Die Axiome der Geometrie - - Die xiome der Geometrie. xiom: Inzidenzxiom. Es git Punkte und Gerden; jede Gerde ist eine Teilmenge der Punktmenge. Dur je zwei versiedene Punkte P und Q git es genu eine Gerde; diese Gerde ezeinen

Mehr

Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke

Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke Seite I Einige elementrgeometrische Sätze üer Dreiecke Durch drei nicht uf einer Gerden gelegene (d.h. nicht-kollinere) Punkte A, B, C in der euklidischen Eene ein Dreieck ABC mit Seiten,, c und (Innen-)Winkeln,,

Mehr

2.2. Aufgaben zu Figuren

2.2. Aufgaben zu Figuren 2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeihne ds Dreiek ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 $Id: trig.tex,v 1.14 016/05/06 1:6:14 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die dditionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der dditionstheoreme

Mehr

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010

Mehr

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180. Herleitung bzw. experimentelle Begründung in der Schule: Durch Punktspiegelung. Bedeutung+Winkelsumme 1

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180. Herleitung bzw. experimentelle Begründung in der Schule: Durch Punktspiegelung. Bedeutung+Winkelsumme 1 edeutung+winkelsumme 1 Winkelsumme Kpitel 5: Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels Sätzen üer Dreieke

Mehr

2.2. Figuren Dreiecke Winkelsumme in Dreiecken Besondere Dreiecke Vierecke

2.2. Figuren Dreiecke Winkelsumme in Dreiecken Besondere Dreiecke Vierecke .. Figuren Figuren sind zweidimensionle Geilde in der Eene. Die einfhsten Figuren sind Dreieke und Viereke.... Dreieke Bezeihnungen in Dreieken werden die Ekpunkte A, B, sowie die dzugehörigen Innenwinkel,,

Mehr

Der Begriff der Stammfunktion

Der Begriff der Stammfunktion Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 24

Beispiellösungen zu Blatt 24 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen

Mehr

Mathematik Trigonometrie Einführung

Mathematik Trigonometrie Einführung Mthemtik Trigonometrie Einführung Ws edeutet ds Wort Trigonometrie und mit ws eshäftigt sih die Trigonometrie? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Ek'

Mehr

Grundwissenkatalog / g8 Geometrie / 7. Jahrgangsstufe

Grundwissenkatalog / g8 Geometrie / 7. Jahrgangsstufe Grundwissenktlog / g8 Geometrie /. Jhrgngsstufe Die folgende ufstellung enthält mthemtishe Grundfertigkeiten, die ein Shüler nh der. Jhrgngsstufe eherrshen sollte. Dieses Wissen wird in den folgenden Jhren

Mehr

2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 :

2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 : Hns Wlser, [20080409] Eine Visulisierung des Kosinusstzes 1 Worum es geht Es wird eine zum Pythgors-Piktogrmm nloge Figur für niht rehtwinklige Dreieke esprohen. Dei werden ähnlihe gleihshenklige Dreieke

Mehr

2.2. Aufgaben zu Figuren

2.2. Aufgaben zu Figuren 2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeichne ds Dreieck ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.

Mehr

Mathematik - Arbeitsblätter

Mathematik - Arbeitsblätter I knn I knn Mte I knn Mte lernen Mtemtik - Areitslätter M Wiederolung 1 2 4 5 8 Gnze und rtionle Zlen 1 2 4 5 6 7 8 9 47 Ds retwinklige Koordintensystem 1 2 49 Potenzen 1 2 4 5 Anwendung der Prozentrenung

Mehr

Aufgabe 1. Die Zahl 6 wird aus 3 gleichen Ziffern mit Hilfe der folgenden mathematischen

Aufgabe 1. Die Zahl 6 wird aus 3 gleichen Ziffern mit Hilfe der folgenden mathematischen Deprtment Mthemtik Tg der Mthemtik 5. Juli 008 Klssenstufen 9, 10 Aufge 1. Die Zhl 6 wird us 3 gleihen Ziffern mit Hilfe der folgenden mthemtishen Symole drgestellt: + Addition Sutrktion Multipliktion

Mehr

Mathematik - Arbeitsblätter

Mathematik - Arbeitsblätter I knn I knn Mte I knn Mte lernen Mtemtik - Areitslätter M Wiederolung 1 4 5 8 Gnze und rtionle Zlen 1 4 5 6 7 8 9 47 Ds retwinklige Koordintensystem 1 49 Potenzen 1 4 5 Anwendung der Prozentrenung 1 4

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 10 SATZ DES PYTHAGORAS. Hypotenuse

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 10 SATZ DES PYTHAGORAS. Hypotenuse Mtemtik: Mg. Scmid Wolfgng Arbeitsbltt 10. Semester ARBEITSBLATT 10 SATZ DES PYTHAGORAS Definition: Ktete Ktete Hypotenuse Jene beiden Seiten, die den recten Winkel bilden (,b) nennt mn Kteten, die dritte

Mehr

Geometrie. 26. Juni Inhaltsverzeichnis. 1 Zweidimensionale Geometrie 2. 2 Dreidimensionale Geometrie 6

Geometrie. 26. Juni Inhaltsverzeichnis. 1 Zweidimensionale Geometrie 2. 2 Dreidimensionale Geometrie 6 Geometrie 6. Juni 017 Inltsverzeicnis 1 Zweidimensionle Geometrie Dreidimensionle Geometrie 6 1 1 Zweidimensionle Geometrie In diesem Kpitel wollen wir uns mit einigen einfcen geometriscen Formen bescäftigen

Mehr

Vorbereitung auf (3. Mai 2012) NAME: 5. Schularbeit: MATHEMATIK KL.: M3/I. - S.1

Vorbereitung auf (3. Mai 2012) NAME: 5. Schularbeit: MATHEMATIK KL.: M3/I. - S.1 Vorereitung uf (3. Mi 01) NME: 5. Sulreit: MTHEMTIK KL.: M3/I. - S.1 Netze versieener Prismen zeinen (Grunfläe: Dreiek, Vierek, regelmäßiges Sesek). Ds Netz eines Prisms estet us Grunfläe + Dekfläe + Mntel.

Mehr

Eigenschaften von Prismen

Eigenschaften von Prismen gnz klr: Mtemtik - Ds Ferieneft mit Erfolgsnzeiger Eigenscften von Ein gerdes Prism t immer eine rund- und eine Deckfläce, die deckungsgleic (kongruent) und prllel zueinnder sind. Den Astnd zwiscen rund-

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1.

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1. Modul : Grundlgen der Wirtschftsmthemtik und Sttistik Kurs 46, Einheit, Einsendeufge Die Regelungen zu den Einsendeufgen (Einsendeschluss, Klusurzulssung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformtionen

Mehr

a b a) b) Fig. 1 Unterschiedliche Orientierung In beiden Fällen setzt sich das Übergangsstück aus zwei Kreisbögen mit einem Übergangspunkt

a b a) b) Fig. 1 Unterschiedliche Orientierung In beiden Fällen setzt sich das Übergangsstück aus zwei Kreisbögen mit einem Übergangspunkt Rolfdieter Frnk / Hns Wlser Korögen wie kriegen wir die Kurve? Kurzfssung: Es geht drum, wie wir zwischen zwei Gerden die Kurve kriegen. Präziser: Zwei orientierte Gerden sollen durch Kreisögen gltt und

Mehr

Ein Winkel zwischen 0 und 90 heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90 und 180 heißt stumpfer Winkel.

Ein Winkel zwischen 0 und 90 heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90 und 180 heißt stumpfer Winkel. Geometrie 1 3 Winkelsummen Der von zwei Nhrseiten eines Vieleks geildete Winkel heißt Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel eines Dreieks eträgt 180. + + = 180 Die Summe der Innenwinkel eines Viereks

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I Mthemtik mcht Freu(n)de KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I 1. Aufgenstellungen Aufge 1.1. Erkläre, wrum die eiden drgestellten Dreiecke ähnlich zueinnder sind und erechne die fehlenden Seitenlängen x und

Mehr

5) Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments

5) Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments von Jule Menzel, 12Q4 5) Lplce-Whrscheinlichkeit eines ufllsexperiments Ergenis ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 ω 1 Ω ω 2 ω 3 ω 4 Ergenismenge ist ein Ereignis ist Teilmenge von Ω kurz: c Ω Ws ist ein Ereignis? Beispiel:

Mehr

Studienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest

Studienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest Studienkolleg ei den Universitäten des Freisttes Bern Üungsufgen zur Vorereitung uf den Mthemtiktest . Polnomdivision:. Dividieren Sie! ) ( 6 + 8 ):( + ) = Lös.: = ) ( 9 7 0 + 8 + 9):(6 + +) = Lös.: =

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

M4 - Übungen zur 2. Schularbeit

M4 - Übungen zur 2. Schularbeit M4 - Üungen zur. Sulreit Lernzielüerit: Die Länge von Körerigonlen von Primen erenen. In Srägrirtellung von Pyrmien Snittfläen einzeinen, ytgoräien Lertz nwenen. Zummengeetzte ufgen, ie en Lertz e Pytgor

Mehr

Lösung zur Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten)

Lösung zur Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten) Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 15.01.2018 Lösung zur Bonusklusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (45 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (WS

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

01 Proportion Verhältnis Maßstab

01 Proportion Verhältnis Maßstab 5 Ähnlihkeit und Strhlensätze LS 01.M1 01 Proportion Verhältnis Mßst 1 Lies die folgende Informtion sorgfältig. Mrkiere wihtige egriffe und Formeln. ) Proportionle Zuordnung ei einer proportionlen Zuordnung

Mehr

Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders.

Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders. Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 1 Erweiterung der Euklidischen Flächensätze uf ds llgemeine Dreieck nest Anwendung zur Volumenestimmung des llgemeinen Tetreders. Arno Fehringer Juni

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/20 08:57:49 hk Exp $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/20 08:57:49 hk Exp $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 $Id: dreiek.tex,v 1.15 2015/04/20 08:57:49 hk Exp $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen

Mehr

PLANIMETRIE. Ähnlichkeit. Strahlensätze

PLANIMETRIE. Ähnlichkeit. Strahlensätze PLNIETRIE Winkel Nebenwinkel betrgen zusmmen 80. Sheitelwinkel sind einnder gleih. Komplementwinkel betrgen zusmmen 90. Supplementwinkel betrgen zusmmen 80. Winkelmße: ltgrd ( ) Neugrd oder Gon ( g ) Bogenmß,

Mehr

Übungen zu Frage 62: Nr. 1: Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind gegeben: Grundkante a = 7,5 cm Mantelfläche M = 190 cm 2

Übungen zu Frage 62: Nr. 1: Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind gegeben: Grundkante a = 7,5 cm Mantelfläche M = 190 cm 2 Üungen tereometrie fünfseitige yrmide Üungen zu Frge 6: Nr : Von einer regelmäßigen fünfseitigen yrmide sind gegeen: Grundknte = 7,5 cm ntelfläce = 90 cm erecnen ie die Höe der eitenfläce und den Winkel

Mehr

Digitale geometrische Modelle (DGM)

Digitale geometrische Modelle (DGM) Otto Prl Digitle geometrise Modelle (DGM) Der eitrg endelt die Teorie und Pris der erenung von Längen, Fläen, Winkeln und Ruminlten im dreidimensionlen Rum mittels Vektoren. Dreieke finden in räumlien

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

Download VORSCHAU. Trigonometrie an Stationen. Übungsmaterial zu den Bildungsstandards. Marco Bettner, Erik Dinges.

Download VORSCHAU. Trigonometrie an Stationen. Übungsmaterial zu den Bildungsstandards. Marco Bettner, Erik Dinges. Downlod Mro Bettner, Erik Dinges Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Downloduszug us dem Originltitel: Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Dieser Downlod

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem

Mehr

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b 6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht

Mehr

5.5. Integralrechnung

5.5. Integralrechnung .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds

Mehr

(Analog nennt man a die und b die des Winkels β.)

(Analog nennt man a die und b die des Winkels β.) Mthemtik Einführung Ws edeutet ds Wort und mit ws eschäftigt sich die? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Eck' Beispiel: Pentgon ds Fünfeck mit 5 Winkeln

Mehr

Dreiecke können einerseits nach den Eigenschaften ihrer Seiten und andererseits nach ihren Winkeln benannt werden. Einteilung nach den Seiten:

Dreiecke können einerseits nach den Eigenschaften ihrer Seiten und andererseits nach ihren Winkeln benannt werden. Einteilung nach den Seiten: gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Eigenshften von reieken Ein reiek ht immer 3 Ekpunkte, 3 Seiten un 3 Innenwinkel. ie eshriftung eines

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte

Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte Kegelschnitte Kegelschnitte ds sind geometrische Figuren, die sich ergeen, wenn mn einen Kegel und eine Eene einnder schneiden lässt. Wir unterscheiden 3 Tpen von Kegelschnitten: Prel, Ellipse und Hperel.

Mehr

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Konstruktion mit Zirkel und Lineal Alert Ludigs Universität Freiurg Institut für Mthemtik Ateilung für Reine Mthemtik Prof Dr D Wolke Dipl Mth S Feiler Üungen ur Vorlesung Ergänungen ur Elementren Zhlentheorie Wintersemester 9/ 9 Üungsltt

Mehr

(1) (2) (3) (4) α... Ellipse ε = α... Parabel ε> α... Hyperbel. Mittelpunktsgleichung des Kreises:

(1) (2) (3) (4) α... Ellipse ε = α... Parabel ε> α... Hyperbel. Mittelpunktsgleichung des Kreises: Kegelschnitte 9 KEGELSCHNITTE Kreis, Ellise, rel und Herel werden Kegelschnitte gennnt, weil mn sie wie die folgenden Figuren zeigen ls Schnitte einer Eene mit einem Drehkegel erhält. Zur Klssifizierung

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Klausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (90 Minuten)

Klausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (90 Minuten) Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 2.7.24 Klusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (9 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (SS 24) Ich estätige,

Mehr

7.4. Teilverhältnisse

7.4. Teilverhältnisse 7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2017/2018 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:

Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2017/2018 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck: Prof. Dr. J. Pnnek Dynmics in Logistics Vorkurs Mthemtik für Ingenieur Innen WS 207/208 Übung 3 Aufgbe : Trigonometrie () Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:

Mehr

FORMELSAMMLUNG GEOMETRIE. by Marcel Laube

FORMELSAMMLUNG GEOMETRIE. by Marcel Laube FORMELSAMMLUNG GEOMETRIE y Mrcel Lue PLANIMETRIE... 4 PUNKT... 4 LINIE... 4 FLÄCHE... 4 KÖRPER... 4 WINKEL... 5 Arten von Winkeln... 5 Neenwinkel... 5 Scheitelwinkel... 6 Komplementwinkel... 6 Supplementwinkel...

Mehr

Download. Trigonometrie an Stationen. Übungsmaterial zu den Bildungsstandards. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download. Trigonometrie an Stationen. Übungsmaterial zu den Bildungsstandards. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Downlod Mro Bettner, Erik Dinges Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Downloduszug us dem Originltitel: Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Dieser Downlod

Mehr

Trigonometrie. M. Tamburrino. Januar Trigonometrie.doc. Trigonometrie FHSO Mathematik (Vorstudium) 1

Trigonometrie. M. Tamburrino. Januar Trigonometrie.doc. Trigonometrie FHSO Mathematik (Vorstudium) 1 Trigonometrie Einleitung... Winkel.... Definition.... Winkelmße... 3.. Winkel in Grd... 3.. Winkel im Bogenmss... 3 3 Trigonometrische Funktionen m rechtwinkligen Dreieck... 5 3. Definition... 5 3. Einige

Mehr

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopsdfghjklzxcvnmqwerty uiopsdfghjklzxcvnmqwertyuiopsd fghjklzxcvnmqwertyuiopsdfghjklzx Aufgen M-Beispielen cvnmqwertyuiopsdfghjklzxcvnmq Vorereitung uf die. Schulreit wertyuiopsdfghjklzxcvnmqwertyui

Mehr

6. Quadratische Gleichungen

6. Quadratische Gleichungen 6. Qudrtische Gleichungen 6.1 Voremerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Oertionen. Sie heen sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel

Mehr

Vorbereitung auf die 4. Schularbeit aus MATHEMATIK KL.: M2/I. - S

Vorbereitung auf die 4. Schularbeit aus MATHEMATIK KL.: M2/I. - S Vorereitun uf die. Sulreit u MTHEMTIK KL.: M/I. - S..0.0 In einem Dreiek mit dem Geodreiek Höen einzeinen. Merktz: Die drei Höenlinien eine Dreiek neiden einnder in einem Punkt, dem Höennittpunkt H. )

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-11 BERECHNEN VON RAUMINHALTEN

ARBEITSBLATT 5L-11 BERECHNEN VON RAUMINHALTEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng+LehrerInnentem ) Rottion um die -Achse ARBEITSBLATT 5L- BERECHNEN VON RAUMINHALTEN Es geht hier um folgende Aufgenstellung. Eine gegeene Funktion f() soll in einem estimmten

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 $Id: trig.tex,v 1.11 015/05/19 17:1:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.17 015/05/18 11:15:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.3 Spezielle Werte der trigonometrischen

Mehr

2008-06-11 Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik

2008-06-11 Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik 2008-06- Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik Lösung Version 2008-06-4 Cindy t 3000 geerbt. ) Den Betrg will sie so nlegen, dss sie in 20 Jren doppelt so viel Geld t. Berecne, zu welcem Zinsstz sie ds Geld nlegen

Mehr

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius. Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.

Mehr

Mathe lernen mit Paul

Mathe lernen mit Paul Mte lernen mit Pul Die kleine Formelsmmlung Mit Gutscein für 2 kostenlose Unterrictsstunden 2 Mte lernen mit Pul Inlt Algebr Mße und Gewicte 4 Grundrecenrten 5 Brucrecnung 6 Potenzen und Wurzeln 7 Prozentrecnung

Mehr

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.doc

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.doc EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 50 DEISSLER skript05-temp.do 5 Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels

Mehr

Die Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist

Die Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes

Mehr

Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 EXTREMWERTAUFGABEN

Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 EXTREMWERTAUFGABEN Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt 11 6. Semeste BEITSBLTT 11 EXTEMWETUFGBEN In diesem beitsbltt befssen wi uns mit ufgben, bei denen einem gegebenen Köpe ein ndee Köpe eingesieben ode umsieben wid. Beispiel:

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade 3 3 ANALYSIS 3.3 Extrem I: Winkel Eene/Gerde In diesem Aschnitt gehen wir von einer Gerde g und einer g nicht enthltenden Eene ε us und wollen unter llen möglichen spitzen Schnittwinkeln zwischen g und

Mehr

4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen

4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen 4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch

Mehr

Download. Hausaufgaben: Trigonometrie. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download. Hausaufgaben: Trigonometrie. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Downlod Otto Myr Husufgen: Üen in drei Differenzierungsstufen Downloduszug us dem Originltitel: Husufgen: Üen in drei Differenzierungsstufen Dieser Downlod ist ein uszug us dem Originltitel Husufgen Mthemtik

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, III

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, III Mthemtik mht Freu(n)de KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, III 1. Aufgenstellungen Aufge 1.1. Zur Shneelsterehnung wird der Neigungswinkel α des in der nhstehenden Aildung drgestellten Dhes enötigt. Dei gilt:

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt 8 0.06.017 Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck

Mehr

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen Zusmmenfssung: Astände, Winkel und Spiegelungen Inhltsverzeichnis Astände 1 Winkel 5 Spiegelungen 7 Für Experten 1 Astände Astnd Punkt Punkt: Schreiweise: Den Astnd zweier Punkte A und B ezeichnet mn mit

Mehr

Berechnung von Flächen unter Kurven

Berechnung von Flächen unter Kurven Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert

Mehr

Flächenberechnung. Aufgabe 1:

Flächenberechnung. Aufgabe 1: Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die

Mehr

Änderungen in Zweitauflagen von Buch, Arbeits- und Theorieheft und Begleitordner

Änderungen in Zweitauflagen von Buch, Arbeits- und Theorieheft und Begleitordner Änderungen in Zweituflgen von uh, reits- und Theorieheft und egleitordner lle uflgen des Shüleruhes, des reits- und Theorieheftes und des egleitordners lssen sih prolemlos neeneinnder verwenden. Shüleruh

Mehr