10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch

Transkript

1 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch 9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator 1dim 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Bewegung im Zentralfeld Der Drehimpuls in der Quantenmechanik Radialteil Vergleich Bohrmodel-Quantenmechanisches H 3dim Was gibt Neues?? Drehimpuls!!

2 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimensionen (x,y,z)! ( R,θ,φ ) Breitengrade Laplace Operator in Kugelkoordinaten: Betrachte die Schrödingergleichung in 3 Dimensionen, da das Potential im Wasserstoff ein Zentralpotential ist geht man zu Kugelkoordinaten über.

3 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Sphärische Polarkoordinaten Kugelkoordinaten: x=r sinθ cosφ y= r sinθ sinφ Z=r cosθ Laplace Operator in Kugelkoordinaten: Breitengrade

4 Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Ψ(r,θ,φ)= R(r) T(θ) P(φ) Hängt nur von r,θ ab Hängt nur von φ ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 Lösung: Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(φ)=P(φ + 2nπ) Teilen durch Ganzzahlig (m) m 2 Z

5 Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Ψ(r,θ,φ)= R(r) T(θ) P(φ) C 1 = m l 2 umsortieren, nach r und θ Hängt nur von r,θ ab Hängt nur von φ ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 hängt nur von r ab hängt nur von θ ab ) Beide Lösung: Seiten müssen konstant sein C 2 Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(φ)=P(φ Legendresche + nπ) substituiere ξ=cosθ! Differentialgleichung Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen P m Teilen durch l T=P C Ganzzahlig (m) lm (cos(θ)) 2 = l(l+1), l 2 N T(θ) P(φ) = P lm (cos(θ)) e imφ = Y lm m (θ,φ) ε Z Kugelflächenfunktionen

6 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Der Drehimpuls in der Quantenmechanik Physikalische Größe Operator

7 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Der Drehimpuls in der Quantenmechanik Physikalische Größe Operator

8 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch l = 0,1,2,3... Drehimpulsquantenzahl -l m l l Magnetische Quantenzahl Unschärferelation im Drehimpuls: l z l x > ~ l z l y > ~ l x l y > ~ z x,y Komponente unbestimmt Beispiel l=2 m=-2,-1,0,1,2 m~ 2 dimensionale Welt?

9 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch 1. Länge des Drehimpulsvektors ist quantisiert! 2. kann nicht beliebig im Raum stehen: Richtung ist quantisiert! Was ist die z (Quantisierungsachse)? hier weiter

10 Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Ψ(r,θ,φ)= R(r) T(θ) P(φ) C 1 = m l 2 umsortieren, nach r und θ Hängt nur von r,θ ab C 2 = l (l+1) Hängt nur von φ ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 hängt nur von r ab hängt nur von θ ab ) Beide Lösung: Seiten müssen konstant sein C 2 Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(φ)=P(φ Legendresche + nπ) substituiere ξ=cosθ! Differentialgleichung Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen P m Teilen durch l T=P C Ganzzahlig (m) lm (cos(θ)) 2 = l(l+1), l 2 N T(θ) P(φ) = P lm (cos(θ)) e imφ = Y lm m (θ,φ) ε Z Kugelflächenfunktionen

11 auflösen Für r! 1 vernachlässige 1/r und 1/r 2 negativ Vollständige Lösung (Laguerre Polynome): hängen von n&l ab Beschränkung für l l<0,1,2,... n Wie Bohrmodel! hängt NICHT von l ab

12 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Ψ nlm (r,θ,φ)= R nl (r) T(θ) lm P m (φ) = R nl (r) Y lm (θ φ) Quantenzahlen: Hauptquantenzahl n = 1,2,... Drehimpuls magnetisch (Projektion des Drehimpulses) Symbol l = 0,1,2,3,4... (n-1) s,p,d,f -l m l n 2 Möglichkeiten Grundzustand n=1 l=0 m=0 n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1 keine Bohrsche Kreisbahn! KEIN Drehimpuls. Entartet (gleiche Energie)

13 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Ψ nlm (r,θ,φ)= R nl (r) T(θ) lm P m (φ) = R nl (r) Y lm (θ φ) R nl (r) 2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden Höchste Dichte am Kern! r R nl (r) 2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zu finden Maximum beim Bohrschen Radius

14 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Ψ nlm (r,θ,φ)= R nl (r) T(θ) lm P m (φ) = R nl (r) Y lm (θ φ) R nl (r) 2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden 1 Knoten! r R nl (r) 2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zu finden

15 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Ψ nlm (r,θ,φ)= R nl (r) T(θ) lm P m (φ) = R nl (r) Y lm (θ φ) Y 00 = C 1 Y 10 = C 2 cosθ Y 11 = C 3 sinθ eiφ Y 20 =C 4 (2cos 2 θ sin 2 θ) Y 21 =C 5 (cosθ sinθ e iφ Y 22 =C 6 sin 2 θ e 2iφ Z-Achse (Quantizierungsachse) Polardarstellung: Abstand von (0,0) ist Funktionswert

16 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Ψ nlm (r,θ,φ)= R nl (r) T(θ) lm P m (φ) = R nl (r) Y lm (θ φ) Y 00 = C 1 Y 10 = C 2 cosθ Y 11 = C 3 sinθ eiφ Y 20 =C 4 (2cos 2 θ sin 2 θ) Y 21 =C 5 (cosθ sinθ e iφ Y 22 =C 6 sin 2 θ e 2iφ Z-Achse (Quantizierungsachse) Polardarstellung: Abstand von (0,0) ist Funktionswert

17 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Verbreitete Darstellung: Sind nicht gleichzeitig messbar Form nur Stilisiert

18 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Vergleich Bohrsches Atommodell - Quantenmechanik r-abhängigkeit Quantenmechanik verschmiert Bohr Planetenbahnen Radius r n r n =a 0 /Z n 2 Dichte kann bei r=0 maximal sein 0 bei r=0 Drehimpuls L=n~

19 Mehrelektroneneffekte Fehlt noch! 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch Coulombwechselwirkung Abschirmung durch andere Elektronen 11. Aufhebung der L-Entartung Korrekturen aufgrund magnetischer Kräfte der Kreisströme im Atom 12. Der Spin Feinstruktur Atome in äusseren Feldern 13. Atome in äusseren Magnetfeldern der Zeemaneffekt

20 11. Aufhebung der L-Entartung Im Wasserstoff E nicht von l abhängig Quantenzahlen: Hauptquantenzahl n = 1,2,... Drehimpuls magnetisch (Projektion des Drehimpulses) Symbol l = 0,1,2,3,4... (n-1) s,p,d,f -l m l Beeinflusst bei Wasserstoff die Wellenfunktion aber NICHT die Energie Erstaunlicherweise gleicher Energieeigenwert! Gilt nur im Coulombpotential

21 11. Aufhebung der L-Entartung Lithium n=1 Z=3 Äussere Elektron sieht Z=1? E n =13,6/n 2 für n>2?? l-entartung aufgehoben! 2s fester gebunden als 2p

22 11. Aufhebung der L-Entartung 2s Dichte innerhalb der 1s Hülle Abgeschirmetes Potential Z=1 Z=3 l-entartung aufgehoben! 2s fester gebunden als 2p

23 11. Aufhebung der L-Entartung Gelbe Natrium Linien: Na: 2 Elektronen n=1 8 n=2 1 n=3 Gelbes Licht 589 nm

24 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch 11. Aufhebung der L-Entartung 12. Der Spin Feinstruktur Elektronespin Spin Bahn Kopplung, die Feinstruktur Lambshift Hyperfeinstruktur 13. Atome in äusseren Magnetfeldern der Zeemaneffekt

25 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur Der Elektronenspin Nach unserem heutigen Wissen ist das Elektron punktförmig, denoch hat es einen internen Drehimpuls Bahndrehimpuls Interner Drehimpuls Interner Drehimpuls SPIN bei Elektronen Punktteilchen!! Es gibt kein anschauliches Bild

26 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur Experimenteller Hinweis: Aufspaltung der Wasserstoff Balmer α Sommerfeld hatte klassische Erklärung

27 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur 1925 G.E. Uhlenbeck S. Goudsmit Spinning Electrons and the Structure of Spectra

28 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur What the historians forget - and also the physicists - is that in the discoveries in physics chance, luck plays a very, very great role. Of course, we do not always recognize this. If someone is rich then he says "Yes, I have been clever, that is why I am rich"! And the same is being said of some one who does something in physics "yes, a really clever guy...". Leiden Ehrenfest Paschen Helium Spektrum One of the things which stuck to me is that in Paschen's experiments on the helium line, its fine stucture and the relativistic explanation, there was a forbidden component which was obviously present. And when I talked to the theoreticians about that forbidden component... but you know how theoreticians are... they then say: "Poor experiments". I found a formula for the doublets in the spectra, claiming that it was exactly the same formula as used by Sommerfeld for the X-ray doublets. And I told this to Ehrenfest. At that stage it was all wrong but Ehrenfest never discouraged anyone and said: "That's nice, we'll publish it". And there was a short little piece in "Naturwissenschaften Uhlenbeck came to the Hague - where I lived and he lived there too. I had promised to write a short article for "Physica", then in Dutch, and I did it together with him, which was really great. Because he knew nothing, but was so good; he asked all those questions I had never asked, and from that collaboration to make things clear emerged a few, as we now know, important results. One of the first results that came out was a new interpretation of the spectrum of hydrogen Well the note was submitted and published [6]. Directly, the next day, I received a letter from Heisenberg and he refers to our "mutige Note" (courageous note). I did not even know we needed courage to publish that. I wasn't courageous at all. I think I still have Heisenberg's letter. In it he writes a formula... I did not understand a bit of it. And then he says somewhere: "What have you done with the factor 2?" Which factor? Not the slightest notion, and the formula given without derivation.

29 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur 1925 G.E. Uhlenbeck S. Goudsmit Spinning Electrons and the Structure of Spectra Elektronen haben einen Inneren Drehimpuls z Quantisierungsachse ½ ~ 0 -½ ~ m s = ½ħ zusätzliche Quantenzahl: m s n,l,m l,m s

30 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur 1) Kreisstrom erzeugt magnetisches Diploment Leiterschleife: 2) Magnetischer Dipol in Magnetfeld hat potentielle Energie B 3) Kreisendes Teilchen erzeugt Magnetfeld Strom I Fläche A N S Drehimpuls l Magnetisches Dipolmoment µ= IA senkrecht auf A

31 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur Drehimpuls l 1) Kreisstrom erzeugt magnetisches Diploment Leiterschleife: Strom I r Umlaufzeit T Fläche A π r 2 Magnetisches Dipolmoment µ= IA senkrecht auf A Bohrsche Magneton magnetisches Moment eines Elektrons von l=1~

32 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur Analog: Magnetisches Moment des Elektrons für einen Kreisstrom wäre g=1 g: g-faktor des Elektrons g s =2,0023 Dirac Theorie (relativistische QM) g=2 QED: Wechselwirkung mit Strahlungsfeld Der g Faktor ist eine Proportionalitätskonstante zwischen Drehimpuls und magnetischem Moment. Für Elektronen auf einer Kreisbahn ist er 1. Es gibt keine klassiche Erklärung für Werte ungleich 1.

33 Halbklassisches Modell der Feinstruktur: Im System des Elektrons: e - B Feld durch Kreisbewegung des Kerns ms z = ~ Gesamtdrehimpuls j mit Kosinussatz QM nur Mittelwert j l s

34 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur Größenordnung E ls 10-4 ev vgl. (3.4eV n=2)

35 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur Beispiel: s=1/2 l=1 s j j=1+1/2 = 3/2 l s j=3/2 j l j=1-1/2 =1/2 l=1 j=1/2

36 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur e - Wie stark ist das Magnetfeld? B Feld durch Kreisbewegung des Kerns 10-4 ev Am 2 B = 1 Tesla = 10 4 Gauss Durch Magnetfeld sind l und s gekoppelt z m j s s l l j=1+1/2 = 3/2 B-Feld Magnetfeld bewirkt Drehmoment Kreisel weicht senkrecht aus -> Präzession um l da l nicht fest von Aussen l und s um ihre Summe j

37 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur n=2, l=0,1 l=1, j=3/2 l=0, j=s l=1, j=1/2 n=1 l=0 l=0 j=s Was fehlt??? Bisher Nichtrelativistisch! E n =10eV Schrödinger gleichung ohne Spin E FS =10-4 ev Feinstruktur LS

38 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur Relativistische Effekte: n=2, l=0,1 l=1, j=3/2 l=0, j=s 2p 3/2 l=1, j=1/2 2p 1/2,2s 1/2 Dirac Gleichung Relativistische Schrödingergleichung Massenzunahme Geschwindigkeitsabhängig n,l abhängig n=1 l=0 l=0 j=s 1s 1/2 Notation: nl j E n =10eV Schrödinger gleichung ohne Spin E FS =10-4 ev Feinstruktur LS E rel =10-4 ev Relativistische Effekte n=2, l=1, j=3/2 2p 3/2 n=1, l=0, j=s=1/2 1s 1/2

39 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur n=2, l=0,1 l=1, j=3/2 l=0, j=s 2p 3/2 Innerhalb Diractheorie l=1, j=1/2 2p 1/2,2s 1/2 E n,j,l = E n,j,l+-1 n=1 l=0 l=0 j=s 1s 1/ W.Lamb, R. Retherford 2p 1/2,2s 1/2 sind ev (!!!) verschieden E n =10eV E FS =10-4 ev E rel =10-4 ev Schrödinger gleichung ohne Spin Feinstruktur LS Relativistische Effekte hier weiter

40 2p 3/2 2s 1/2 2p 1/2,2s 1/2 2p 1/ ev 1s 1/2 treibe 2p 1/2 2s 1/2 Übergang mit Hochfrequenz (10 9 Hz) 2p 1/2 strahlt Photon aus, 2s 1/2 metastabil rege 2p 1/2, 2s 1/2 mit e an Erzeuge atomaren Wasserstoff

41 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur Lambshift Quantenelektrodynamik Selbstwechselwirkung mit dem Strahlungsfeld Anschauliches Bild: Innerhalb E t>~ Photonenrückstoß führt zu Zitterbewegung Emission und Reabsorbtion von virtuellen Photonen Elektron ist verschmiert ca m vgl. Kern m Bohrsche Bahn m Maximaler Effekt nahe am Kern: 2s ist etwas weniger gebunden als 2p g-faktor des Elektrons:

42 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur n=2, l=0,1 l=1, j=3/2 l=0, j=s 2p 3/2 l=1, j=1/2 2p 1/2,2s 1/2 2p 3/2 2s 1/2 2p 1/ ev e ev n=1 l=0 l=0 j=s 1s 1/2 E n =10eV E FS =10-4 ev E rel =10-4 ev E Lamb = ev Schrödinger gleichung ohne Spin Feinstruktur LS Relativistische Effekte Lambshift QED

43 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur, Lambshift 10. Das Wasserstoffatom quantenmechanisch 11. Aufhebung der L-Entartung 12. Der Spin Feinstruktur Elektronespin Spin Bahn Kopplung, die Feinstruktur Lambshift Hyperfeinstruktur 13. Atome in äusseren Magnetfeldern der Zeemaneffekt

44 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur, Lambshift Hyperfeinstruktur Auch der Kern hat einen Spin (und Ausdehung!) Bohrsche Magneton: magnetische Moment eines Elektrons auf einer Kreisbahn mit l=1 Kernmagneton: I = 0,1,... -I m I I magnetisches Kernmoment zu I: Proton Spin I=1/2 g Faktor des Kerns g proton = g neutron =

45 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur, Lambshift Hyperfeinstruktur Atomhülle magnetisches Kernmoment zu I: wegen µ I (Kernmasse) typisch 10 3 kleiner als FS Kern B Feld durch Atomhülle mit Drehimpuls J=l+s Gesamtdrehimpuls des Atoms F I Kernspin Hüllendrehimpuls J

46 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur, Lambshift Übersicht Drehimpulskopplung Gesamtdrehimpuls des Atoms F Hüllendrehimpuls J Bahndrehimpuls der Hülle L Hüllendrehimpuls J I Kernspin Elektronenspin s Hyperfeinstruktur Feinstruktur

47 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur, Lambshift n=2, l=0,1 l=1, j=3/2 l=0, j=s 2p 3/2 l=1, j=1/2 2p 1/2,2s 1/2 2p 3/2 2s 1/2 2p 1/2 n=1 l=0 E n =10eV Schrödinger gleichung ohne Spin l=0 j=s E FS =10-4 ev Feinstruktur LS 1s 1/2 E rel =10-4 ev Relativistische Effekte E Lamb = ev Lambshift QED F= ev F=0 E HFS =10-6 ev Hyperfein struktur (Kern)

48 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur, Lambshift Weitere Effekte des Kerns auf die Energieeigenwerte: Elektrisches Feld: Endliche Kernausdehnung (Abweichung von 1/r bei kleinen Abständen) Elektrisches Quadrupolmoment des Kerns

49 12. Bahn-, Spinmagnetismus, Feinstuktur, Lambshift 12. Der Spin Feinstruktur Elektronespin Elektronen haben einen internen Drehimpuls von +- ½ und ein damit verbundenes magnetisches Moment (das doppelt so gross ist wie in der klassischen Physik) Spin Bahn Kopplung, die Feinstruktur Je nach Richtung des magnetischen Momentes von Elektron und Bahn (Projektion des Elektronenspins auf den Bahndrehimpuls) ergibt sich eine Energie (aus der magnetischen WW) Lambshift Hyperfeinstruktur Aufgrund der Wechselwirkung des Elektrons mit dem virtuellen Photonenfeld des Vakuums (Quantenelektrodynamik) egibt sich eine weitere kleine Energieverschiebung Wie Feinstruktur, jedoch zwischen dem Gesamtdrehimpuls der Hülle und dem Gesamtdrehimpuls des Kerns (ist aufgrund der Kernmasse viel kleiner als die Spin-Bahn Kopplung)