Einführung in die Digitale Verarbeitung Prof. Dr. Stefan Weinzierl

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1 Einführung in die Digitale Verarbeitung Prof. Dr. Stefan Weinierl WS11/12 Musterlösung 6. Aufgabenblatt Analyse von LTI-Systemen. 1. Betrachten Sie ein stabiles lineares eitinvariantes System mit der Eingangsfolge x[n] und der Ausgangsfolge y[n]. Die Ein- und die Ausgangsfolge erfüllen die Differenengleichung y [n 1] 10 3 y [n ] y [n 1]= x [n]. 1.1 Stellen Sie die Pole und Nullstellen in der -Ebene graphisch dar. 1.2 Bestimmen sie die Impulsantwort h[n]. (Aufgabe 5.2, S. 390 in [OS04]) Antwort: 1.1 Die Differenengleichung kann direkt -transformiert werden. Y Y Y = X Y 1 10 = X 3 Y X =H = H = = Davon lässt sich ablesen, dass die Pole der Übertragungsfunktion sind P1 =3, P2 = 1 3 und die Nullstellen N1 =0 Die Wurel von einem Polynom können auch im Matlab mit dem Befehl roots gefunden werden. Die Darstellung auf der -Ebene folgt aus den Ergebnissen.

2 1.2 Die Impulsantwort kann durch Polynomdivision ermittelt werden. Davon ist die Impulsantwort abulesen. Wenn erhalten wir mit Rücktransformation H = h [n]=δ [ n 1] 10 3 δ [n 2] 91 9 δ [n 3] δ [n 4] Oder mit Partialbrucherlegung kann man auch eine geschloßene Form erhalten:

3 Es ist H = Und it Nutung der Tabelle der bekannte Paare der -Transformation bekommt man h [n]= n u[n ] n u[ n 1] Hier kann man merken, dass aus der letteren Übertragungsfunktion lässt es nicht schlussfolgern, welche Folge die Rücktransformation gibt (siehe Beispiele in [OS04]). Man muss dau auch den Konvergenbereich angeben, um sicherustellen, ob es um eine links- oder rechtsseitige Folge handelt. In dem Fall aber ist es bekannt, dass es hier ein stabiles System u betrachten ist. Das heißt, der Konvergenbereich (in Grün beeichnet) schließt den Einheitskreis ein, wie man hier sieht: Das ist nur möglich wenn der Konvergenbereich des äußersten Pols nach 'innen' streckt, was dann heißt, dass die resultierende Folge aber nicht kausal sein wird.

4 2. Ein kausales lineares eitinvariantes System lässt sich beschreiben durch die Differenengleichung y[n]= 3 y[n 1] y[n 2] x[n 1] Bestimmen Sie die Systemfunktion H() = Y()/X() dieses Systems. Stellen Sie die Pole und Nullstellen von H() graphisch dar und geben Sie den Konvergenbereich an. Wiederum lässt sich die Systemfunktion aus der Diffenenengleichung ermitteln. Y = 3 2 Y 1 Y 2 X Y = X 1 Y X = H = H = = Daraus kommt die Darstellung von Polen und Nustellen auf der -Ebene: Hier ist aber der Konvergenbereich > 2, da es nicht gesagt ist, ob das System stabil ist oder nicht. Es ist trotdem angegeben, dass das System kausal ist. Deswegen muss jede Folge, die in dem Impulsantwort auftritt eine rechtsseitige Folge sein, und somit liegt der Konvergenbereich außerhalb des äußersten Pols. Das System ist also kausal aber instabil.

5 2.2 Ermitteln Sie die Impulsantwort des Systems. Die Impulsantwort ist wieder mit Polynomdivision u berechnen. Genau in der gleichen Weise wie bei 1.2 bekommt man H = h[n ]=δ [n 1 ] δ [n 2 ] δ [n 3] δ [n 4] Entsprechend ist durch Partialbrucherlegung: h [n]= 2 n u[n ] n u [n] 2.3 Ist das System stabil oder instabil? Ermitteln sie ein stabile (nichtkausale) Impulsantwort, die die Differenengleichung erfüllt. Auch aus der letten Gleichung ist es leicht ersichtlich, dass das System nicht stabil sein kann. Um eine nichtkausale Impulsantwort u ermitteln, ändern wir die Impulsantwort so: h [n]= 2 n u[n ] n u [ n 1] Diese Impulsantwort entspricht der gleichen Übertragungsfunktion, ist aber akausal. Da aber die Folge, die aus dem Pol = 2 resultiert jett eine linkseitige Folge ist, liegt der Konvergenbereich für diesen Pol innerhalb. Das heißt, der gesamte Konvergenbereich wird u einem Ring, 0.5 < < 2, und dadurch ist die Einheitskreis eingeschlossen und das System stabilisiert. (Aufgabe 5.8, S. 392 in [OS04], geringfügig modifiiert) 3. Ein eitdiskretes kausales LTI System hat die Systemfunktion H = Ist das System stabil? 3.2 Formulieren Sie die Ausdrücke für ein Minimalphasensystem H 1 und einen Allpass H ap, sodass H =H 1 H ap (Aufgabe 5.12, S. 393 in [OS04])

6 3.1 Um eine Aussage über die Stabilität des Systems u machen, schreiben wir die Systemfunktion folgenderweise: H = j j So kann man sehen, dass die Pole des Systems (also die Wurel des Nennerpolynoms) sind 1P = j 0.9, 2P = j 0.9. Sie liegen beide innerhalb des Einheitskreises, und somit ist das System stabil. 3.2 Die gewünschte Form, die hier u erreichen ist, besagt, dass die Übertragungsfunktion eines Systems kann geschrieben werden als das Produkt der Funktionen weier Systeme: Eines Minimalphasensystems und eines Allpasses. Das Allpass System beeinflüsst nicht den Betragsfrequengang des Gesamtsystems (wie von dem Namen u entnehmen ist), sondern nur den Phasenfrequengang. Dafür versucht man schrittweise die 2 Systeme anunähern. Zuerst formt man die Übertragungsfunktion um: H = j j So ist u bemerken, dass die wei Nustellen für = 3 und = -3 sind sie, die die usätliche Phase addieren (siehe [OS04], Abs. 5.5 und 5.6), da wenn wir minimalphasensysteme betrachten, sie haben alle ihre Nullstellen innerhalb des Einheitskreises. Um aus der letteren Gleichung ein Minimalphasensystem u bekommen spiegeln wir diese wei Nullstellen um den Einheitskreis, indem wir die Konjugierte Reiproken davon nehmen. In diesem Fall sind beide Nullstellen reell, deshalb bekommt man für die neuen = 1/3 und = -1/3. Dadurch lässt sich die Übertragungsfunktion des Systems H 1 so ausdrücken: H 1 = 1 j j Das Allpass System muss man dann notwendigerweise im Nenner als Polynom die wei neuhinugefügte Terme haben, damit sie sich mit den aus H 1 aufheben. Das was übrig bleibt, ist den Zähler des Allpasssystems u finden, und der ist nichts Anderes als ein Polynom mit den wei Nullstellen für = 3 und = -3. Es ist auch noch ein Faktor hinugefügt, um sicherustellen, dass wir genau den gleichen Betragsfrequengang bekommen wie vorher. Schliesslich: H AP = LITERATUR:[OS04] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, J. R. Buck: Zeitdiskrete Signalverarbeitung, 2., überarbeitete Aufl., Pearson, 2004