Ganzrationale Funktionen

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1 Gazratioale Fuktioe 9. Defiitio gazratioaler Fuktioe Im Folgede werde ebe lieare ud quadratische Fuktioe auch solche betrachtet, bei dee die Variable i der dritte, vierte oder auch i eier och höhere Potez auftritt. Gazratioale Fuktio Seie N ud a, a,..., a, a R mit a. Eie Fuktio f : RR, a a... aa heißt gazratioale Fuktio oder Polom -te Grades. Die Zahle a, a,, a heiße die Koeffiziete. Für die Defiitiosmege eier gazratioale Fuktio gilt D = R. Die kostate Fuktioe a ud a sid gazratioale Fuktioe ullte Grades. Der Nullfuktio ordet ma keie Grad zu. Beispiele (Polome ud Nichtpolome) a) p ( ) ist ei Polom dritte Grades. b) p( ) ist ei Polom erste Grades. c) p ( ) ist ei Polom ullte Grades. d) f( ) ist kei Polom (wege des Wurzelterms). e) h ( ) ist kei Polom (wege des Bruchterms). Aufgabe. Etscheide Sie, welche der Fuktioe gazratioale Fuktioe sid. Gebe Sie gegebeefalls de Grad a. a) f () = b) f () =, ( ) c) f () = + d) f () = e) f () = f ) f () = g) f () = h) f () = 6 i) f () =

2 9 Gazratioale Fuktioe 9. Smmetriekriterium für gazratioale Fuktioe Bei gazratioale Fuktioe lässt sich bereits durch eie Blick auf de Fuktiosterm auf ei mögliches Smmetrieverhalte des Graphe schließe. f () = + +, g() = + Smmetrie zur -Achse G g Smmetrie zum Ursprug Trete ur -Poteze mit gerade Epoete ud evetuell auch ei absolutes Glied a auf, da hat das Vorzeiche vo keie Eifluss auf de Fuktioswert. Es gilt stets f( ) f( ). Trete dagege ur -Poteze mit ugerade Epoete auf ud ist a =, so ist die Bedigug f( ) f( ) stets erfüllt. Smmetriekriterium für gazratioale Fuktioe Der Graph eier gazratioale Fuktio f : RR, a a... a a ist geau da smmetrisch zur -Achse, we ihr Fuktiosterm ur -Poteze mit gerade Epoete ud evetuell auch ei absolutes Glied a ethält, smmetrisch zum Ursprug, we ihr Fuktiosterm ur -Poteze mit ugerade Epoete ethält ud a = ist Trete i eiem gazratioale Fuktiosterm sowohl gerade als auch ugerade Epoete auf, so liegt keie der eifache Smmetrie vor. Beispiele (Awede des Smmetriekriteriums) a) f : RR, f( ) 7 Smmetrie zur -Achse, da ur gerade Epoete auftrete. b) f : RR, f( ) Smmetrie zum Ursprug, da ur ugerade Epoete auftrete ud kei absolutes Glied. c) f : RR, f( ) 7 Weder Smmetrie zur -Achse och zum Ursprug, da sowohl gerade als auch ugerade Epoete auftrete.

3 9 Gazratioale Fuktioe Aufgabe. Im Folgede sid die Graphe vo Potezfuktioe dargestellt. Gebe Sie das jeweilige Smmetrieverhalte a. Formuliere Sie eie allgemeie Regel. a) b) c) d). Etscheide Sie ahad des Fuktiosterms, ob der Graph der Fuktio f smmetrisch ist. Gebe Sie gegebeefalls die Art der Smmetrie a. a) f( ) 7 b) f( ) 7 c) f( ) d) f( ) e) f ( ) f ) f ( ) 6. Etscheide Sie ahad des Fuktiosterms, ob der Graph der Fuktio f smmetrisch ist. Forme Sie de Fuktiosterm bei Bedarf um. Gebe Sie gegebeefalls die Art der Smmetrie a. a) 6 f( ) 7 b) f( ) ( ) c) f( ) ( ) ( ) d) f( ) ( ) ( ) e) f( ) f ) f ( ) ( ). Gegebe sid Fuktioe mit de Gleichuge f( ), g( ) ud h( ). Orde Sie de Graphe die richtige Fuktiosgleichug zu. Begrüde Sie Ihre Etscheidug. a) b) c)

4 9 Gazratioale Fuktioe 9. Verhalte im Uedliche Bei der Utersuchug gazratioaler Fuktioe ist auch das Verhalte der Fuktioswerte für ud für vo Iteresse. Bei dem abgebildete Fuktiosgraphe werde die Fuktioswerte für sehr groß, für werde sie sehr klei. Ma sagt, dass die Fuktioswerte gege + bzw. gege strebe. Ma spricht dabei vo ueigetliche Grezwerte. Für die Fuktio i der Abbildug verwedet ma folgede Schreibweise: f( ) f( ) oder i Grezwertschreibweise: lim f( ) ud lim f( ). + Wir suche ach eier eifache Möglichkeit, bei gazratioale Fuktioe die ueigetliche Grezwerte ahad des Fuktiosterms zu bestimme. Hierzu betrachte wir als Soderfälle zuächst die Potezfuktioe. Ueigetliche Grezwerte bei Potezfuktioe I folgede Abbilduge sid die Möglichkeite für das Grezwertverhalte vo Potezfuktioe mit positive Epoete wiedergegebe. f( ) g( ) gerader Epoet f( ) g( ) f( ) g( ) ugerader Epoet f( ) g ( ) G g G g G g G g lim f( ) lim g( ) lim f( ) lim g( ) lim f( ) lim g( ) lim f( ) lim g( ) lim f( ) lim g( ) lim f( ) lim g( ) lim f( ) lim g( ) lim f( ) lim g( ) A de Graphe erket ma, dass das Grezwertverhalte davo abhägt, ob der Epoet der Potezfuktio gerade oder ugerade ist. Ei zusätzliches Miuszeiche bewirkt eie Spiegelug des Graphe a der -Achse.

5 9 Gazratioale Fuktioe Ueigetliche Grezwerte bei gazratioale Fuktioe Die ueigetliche Grezwerte für eier gazratioale Fuktio f : RR, a a... aa mit a lasse sich direkt am Fuktiosterm ablese. Eie allgemeie Regel ka durch die folgede Überlegug gewoe werde. Grezwertbetrachtug bei gazratioale Fuktioe für ) zusam- Wir klammer dazu im Fuktiosterm die höchste Potez me mit dem Koeffiziete a aus: f( ) a a a... a a a a a a a a a a a ( für für Das Grezwertverhalte vo f für wird ur durch de Term a bestimmt. Es ergibt sich i beide Fälle ei ueigetlicher Grezwert. Ueigetliche Grezwerte gazratioaler Fuktioe für Eie gazratioale Fuktio f : RR, a a... aa mit a hat für dieselbe ueigetliche Grezwerte wie die Potezfuktio p: RR, a. Es gilt: also: lim f( ) lim a. Kurz: Jede gazratioale Fuktio verhält sich für wie das Glied mit der höchste -Potez. Zur Bestimmug des Grezwertverhaltes eier gazratioale Fuktio im Uedliche sid also ur die beide folgede Pukte zu beachte: die Grezwerte lim ud lim der höchste Potez der Variable ud das Vorzeiche des zugehörige Koeffiziet a.

6 6 9 Gazratioale Fuktioe Die folgede Tabelle gibt eie sstematische Überblick über das Verhalte gazratioaler Fuktioe für i Abhägigkeit vo ud a. N * gerade gerade ugerade ugerade a R a > a < a > a < Beispiel f( ) f( ) f( ) f ( ) lim f ( ) lim f ( ) Verhalte wie Beispiele (Bestimme vo Grezwerte für ) a) f ( ) Grezwerte: lim f( ) lim ( ) lim ( ) b) f ( ) Grezwerte: lim f( ) lim ( ) lim ( ) c) f( ) 7 Grezwerte: lim f( ) lim ( 7) lim ( ) d) f ( ) 7 Grezwerte: lim f( ) lim ( 7) lim ( ) Es gibt auch Fuktioe, die für bzw. für keie Grezwert besitze. Die Siusfuktio ist ei Beispiel für eie si ( ) solche Fuktio. Sie hat weder für och für + eie Grezwert (auch keie ueigetliche).

7 9 Gazratioale Fuktioe 7 Aufgabe 6. Lese Sie die Grezwerte der Fuktio f für a de abgebildete Graphe ab. Notiere Sie diese i der Grezwertschreibweise. a) b) c) 7. Bestimme Sie die ueigetliche Grezwerte der Fuktio f für. a) c) e) f( ) b) f( ) d) f( ) f ) f( ) f( ) f( ) 7 8. Orde Sie de Fuktiosgraphe die richtige Fuktio zu. Begrüde Sie Ihre Atwort mit möglichst viele Argumete, daruter auch eie Grezwertbetrachtug. Bestimme Sie zur Kotrolle auch de -Achseabschitt. a) b) c) d) f: ( ) ( ) h : ( ) ( ) ( ) g: ( ) ( ) ( ) k: ( ) ( ) ( ) 9. Gebe Sie eie mögliche Term eier gazratioale Fuktio f mit de folgede Eigeschafte a. a) Grad ; Grezwerte lim f( ) ; Ordiateabschitt b) Grad ; Grezwerte lim f( ) ; geht durch de Ursprug

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