Algorithmen zur Visualisierung von Graphen

Transkript

1 Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Teile & Herrsche-Algorithmen: Bäume und serien-parallele Graphen Vorlesung im Wintersemester 202/203 Tamara Mchedlidze Martin Nöllenburg 23. Oktober 202

2 Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen

3 Anwendbarkeit Gut bei induktiv oder rekursiv definierten Familien von Graphen Binärbaum mit Wurzel:. Zeichne linken Teilbaum 2. Zeichne rechten Teilbaum 3. füge zusammen + Wurzel tiefe(v): Abstand zur Wurzel Durchlaufreihenfolgen preorder inorder postorder

4 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8)

5 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8)

6 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8) 2 Phasen:. postorder (bottom-up): Konturen und x-offsets zum Vorgänger einsammeln 2. preorder (top-down): absolute Koordinaten ausrechnen

7 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8) 2 Phasen:. postorder (bottom-up): Konturen und x-offsets zum Vorgänger einsammeln 2. preorder (top-down): absolute Koordinaten ausrechnen Kontur: verkettete Liste von Knoten (-Koordinaten)

8 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8) Phase :. Bearbeite T l (v) und T r (v) 2. Laufe parallel linke Kontur von T r (v) und rechte Kontur von T l (v) ab 3. Bestimmt daraus d v, den horizontalen Minimalabstand von v l und v r 4. x-offset(v l ) = d v 2, x-offset(v r ) = d v 2 5. Baue linke Kontur von T v aus: v, linke Kontur von T l (v) und evtl. überhängendes Teilstück von linker Kontur von T r (v) 6. Rechte Kontur analog

9 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8) Phase 2. etze y-koordinate y(v) = tiefe(v) 2. etze x(v) = 0 für Wurzel und rekursiv die x-koordinate x(v l ) und x(v r ) der Nachfolger von v auf x(v)+ x-offset(x(v l )) bzw. x(v)+ x-offset(x(v r )) Zusammenfassung: Algorithmus berechnet Binärbaumlayout: geradliniges Gitterlayout tiefengeschichtet, kreuzungsfrei Knoten derselben Tiefe haben Abstand 2 Knoten sind über Nachfolgern zentriert linke/rechte Nachfolger sind strikt links/rechts identische Teilbäume gleich gezeichnet

10 Breitenminimierung von Binärbaumlayouts atz (upowit, Reingold) Die Breitenminimierung von Binärbaumlayouts ist NP-schwer Beweis: Reduktion von 3AT F = C C m, C i = y i, y i,2 y i,3, y i,j {x,..., x n, x,..., x n } Konstruiere Baum T (F ), der genau dann Layout mit Breite W 24 hat, wenn F erfüllbar ist. Baum T (x k ) für Var. x k : p p q 0 q 0 q k q k

11 Breitenminimierung von Binärbaumlayouts atz (upowit, Reingold) Die Breitenminimierung von Binärbaumlayouts ist NP-schwer Beweis: Reduktion von 3AT F = C C m, C i = y i, y i,2 y i,3, y i,j {x,..., x n, x,..., x n } Konstruiere Baum T (F ), der genau dann Layout mit Breite W 24 hat, wenn F erfüllbar ist. Baum T (x k ) für Var. x k : p q 0 q k p q 0 q k Baum T i,j u u l Höhe l = 3(i ) + j

12 Breitenminimierung von Binärbaumlayouts atz (upowit, Reingold) Die Breitenminimierung von Binärbaumlayouts ist NP-schwer Beweis: Reduktion von 3AT F = C C m, C i = y i, y i,2 y i,3, y i,j {x,..., x n, x,..., x n } Konstruiere Baum T (F ), der genau dann Layout mit Breite W 24 hat, wenn F erfüllbar ist. Baum T (x k ) für Var. x k : p q 0 q k p q 0 q k Baum T i,j u u l Höhe l = 3(i ) + j Literalbaum: p T (x k ) y i,j = x k b T i,j T (y i,j ) für y i,j = x k b T (x k ) 6 6 T i,j

13 Breitenminierung II Klauselbaum T (C i ): T (y i, ) T (y i,2 ) T (y i,3 ) Erfüllte Klausel hat Breite höchstens = 24 Beachte: alle Literalbäume haben volle Breite auf vierter Ebene von oben Nicht erfüllte Klausel: = 25

14 Breitenminierung II Klauselbaum T (C i ): Formelbaum T (F ) T (C ) b T (y i, ) T (y i,2 ) T (y i,3 ) Erfüllte Klausel hat Breite höchstens = 24 Beachte: alle Literalbäume haben volle Breite auf vierter Ebene von oben T (C 2 ) b T (C m ) Nicht erfüllte Klausel: = 25 Breite 24 F erfüllbar

15 HV-Bäume Idee: Zeichne Teilbäume in Rechtecke, Wurzel liegt in linker oberer Ecke Nachfolger liegen vertikal unterhalb bzw. horizontal rechts Induktionsanfang: Induktionsschritt: kombiniere Layouts horizontale Kombination (Fläche: 3 7) Berechne optimale Zeichnung mit dynamischer Programmierung vertikale Kombination (Fläche: 4 6)

16 Rechtslastige hv-layouts Rechtslastiges hv-layout: Wähle in jedem chritt Horizontal-Kombination Platziere größeren Teilbaum rechts Lemma Höhe eines rechtslastigen hv-layouts für Baum mit n Knoten ist höchstens log n. Beweis: Vertikale Kanten haben Länge w Knoten mit minimaler y-koordinate betrachte eindeutigen Pfad P zur Wurzel für jede vertikale Kante (u, v) auf P : T (v) > 2T (u) P enthält höchstens log n solcher Kanten Platzbedarf: O(n log n)

17 Radiale Baumlayouts

18 Beispiel Radiallayout

19 Beispiel Radiallayout

20 Beispiel Radiallayout

21 Beispiel Radiallayout

22 Beispiel Radiallayout

23 Beispiel Radiallayout

24 Beispiel Radiallayout

25 Beispiel Radiallayout

26 Verlassen des Kreisringsektors

27 Verlassen des Kreisringsektors τ ρ i ρ i+ cos τ = ρ i ρ i+

28 Verlassen des Kreisringsektors τ ρ i ρ i+ cos τ = ρ i ρ i+

29 erien-parallele Graphen

30 erien-parallele Graphen Graph G heißt serien-parallel, wenn er aus genau zwei Knoten (uelle s, enke t sowie der Kante (s, t) besteht oder aus zwei serien-parallelen Graphen G, G 2 mit uellen s, s 2 und enken t, t 2 durch eine der folgenden Kombinationen hervorgeht serielle Komposition: Identifiziere t und s 2, s neue uelle, T 2 neue enke t 2 parallele Komposition: Identifiziere s, s 2 als neue uelle Identifiziere t, t 2 als neue enke t = t 2 t s t = s 2 s s = s 2

31 erien-parallele Graphen II Lemma erien-parallele Graphen sind azyklisch und planar. Beschreibung des rekursiven Aufbaus durch binären Baum: Blätter sind Kanten (-Knoten) Innere Knoten sind - oder P-Knoten (vgl. PR-Baum)

32 P-Graphen: Dekompositionsbaum

33 P-Graphen: Dekompositionsbaum P

34 P-Graphen: Dekompositionsbaum P P

35 P-Graphen: Dekompositionsbaum P P

36 P-Graphen: Dekompositionsbaum P P

37 P-Graphen: Dekompositionsbaum P P

38 P-Graphen: Dekompositionsbaum P P

39 P-Graphen: Dekompositionsbaum P P P

40 P-Graphen: Dekompositionsbaum P P P

41 P-Graphen: Dekompositionsbaum P P P

42 P-Graphen in Anwendungen Ablaufdiagramme PERT-Diagramme (Program Evaluation and Review Technique) Außerdem: Linearzeitalgorithmen für sonst NP-vollständige Probleme (z.b. Maximum Independent et)

43 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ).

44 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t 0 t n G n G 0 s 0 s n G n+ s n+

45 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t 0 t n tn G n G n s n G 0 s 0 s n G n+ s n+ sn

46 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n G 0 s 0 s n G n+ s n+ sn

47 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ G 0 G n+ sn

48 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ G 0 G n+ sn

49 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ G 0 G n+ sn

50 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ G 0 G n+ sn

51 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ 2 t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ Π G 0 G n+ sn

52 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ 2 t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ Π G 0 G n+ sn

53 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ 2 t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ Π G 0 G n+ sn

54 Untere chranke für die Fläche atz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(2 n ). Beweis: t n+ t n+ 2 t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ Π G 0 G n+ sn

55 Linkslastige Ordnungen Ordnung heißt linkslastig, wenn -Knoten nur als rechte Nachfolger von P-Knoten vorkommen. atz Wenn G serien-parallel, einfach und linkslastig geordnet, so besitzt G Zeichnung der Größe O(n 2 ). Komponenten des Dekompositionsbaums: t Layout von G passt in rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck mit vertikaler Basis, chenkel nach links. uelle in unterer Ecke, enke in oberer Ecke, linke Ecke frei rechtester Nachbar von s t (t s) liegt unterhalb (oberhalb) der Mitte v v v Nachbar der uelle (enke) kein Knoten liegt im Parallelogramm von v und s (t). s

56 Konstruktion -Knoten (Induktionsanfang): s t

57 Konstruktion -Knoten (Induktionsanfang): s t t (G 2 ) -Knoten (serielle Komposition): (G ) s

58 Konstruktion -Knoten (Induktionsanfang): s t t (G 2 ) -Knoten (serielle Komposition): (G ) P-Knoten (parallele Komposition): t (G 2 ) (G ) s s

59 Konstruktion -Knoten (Induktionsanfang): s t t (G 2 ) -Knoten (serielle Komposition): (G ) P-Knoten (parallele Komposition): t (G 2 ) (G ) s Eigenschaften: kreuzungsfrei und aufwärts höchstens quadratische Fläche s

60 Darstellung von ymmetrien in Graphen aus Hong, Eades, Lee 00

61 Darstellung von ymmetrien in Graphen Definition: Automorphismen eines DAG Ein Automorphismus eines DAG G = (V, E) ist eine Knotenpermutation π : V V, die Adjazenzen respektiert und alle Kantenrichtungen erhält oder alle Kantenrichtungen umdreht: (u, v) E (π(u), π(v)) E oder (u, v) E (π(v), π(u)) E. Die Automorphismen von G bilden mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe. die Automorphismengruppe eines Graphen zu bestimmen ist GIvollständig für Graphen mit beschränktem Maximalgrad und planare Graphen geht das in Polynomialzeit

62 Darstellung von ymmetrien in Graphen Definition: Automorphismen eines DAG Ein Automorphismus eines DAG G = (V, E) ist eine Knotenpermutation π : V V, die Adjazenzen respektiert und alle Kantenrichtungen erhält oder alle Kantenrichtungen umdreht: (u, v) E (π(u), π(v)) E oder (u, v) E (π(v), π(u)) E. Die Automorphismen von G bilden mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe. die Automorphismengruppe eines Graphen zu bestimmen ist GIvollständig für Graphen mit beschränktem Maximalgrad und planare Graphen geht das in Polynomialzeit

63 Darstellbare ymmetrien ein Automorphismus π eines Graphen ist darstellbar, wenn es eine Zeichnung gibt, die eine ymmetrie enthält, welche π induziert Lin charakterisiert darstellbare Automorphismen [Lin 92] Darstellbare Automorphismen eines Graphen zu finden ist NPschwer für planare Graphen ist das wieder in Polynomialzeit möglich

64 Darstellbare ymmetrien ein Automorphismus π eines Graphen ist darstellbar, wenn es eine Zeichnung gibt, die eine ymmetrie enthält, welche π induziert Lin charakterisiert darstellbare Automorphismen [Lin 92] Darstellbare Automorphismen eines Graphen zu finden ist NPschwer für planare Graphen ist das wieder in Polynomialzeit möglich stellt dar, aber nicht 2 3 stellt 2 3 dar, aber nicht , nicht darstellbar

65 ymmetrien in P-Graphen v π(v) u π(u) π vert

66 ymmetrien in P-Graphen π(u) v π(v) π(v) v u π(u) u π vert π hor

67 ymmetrien in P-Graphen π(u) π(u) v π(v) π(v) v v π(v) u π(u) u u π vert π hor π rot

68 ymmetrien in P-Graphen π(u) π(u) v π(v) π(v) v v π(v) u π(u) u u π vert π hor π rot {π vert, π hor, π rot }

69 ymmetrien in P-Zeichnungen atz (Hong, Eades, Lee 00) Die in einem kreuzungsfreien Aufwärtslayout eines P- Graphen darstellbaren ymmetrien sind entweder {id} {id, π} mit π {π vert, π hor, π rot } {id, π vert, π hor, π rot }.

70 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P P P

71 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P P P

72 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P P

73 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum Kanonische Kodierung etze C(G) = 0 für alle -Knoten G. Für jede Tiefe t = max G tiefe(g),..., 0 Für jeden - oder P-Knoten G der Tiefe t mit Nachfolgern G,..., G k setze C(G) = c(g ),..., c(g k ) und sortiere C(G) nichtabsteigend, falls G ein P-Knoten ist. ortiere die Menge der Tupel aller Knoten der Tiefe t lexikographisch. Für jede Komponente G der Tiefe t setze ihre Kodierung auf c, falls ihr Tupel in der sortierten Tupelfolge als c-tes verschiedenes Tupel auftritt.

74 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum Kanonische Kodierung etze C(G) = 0 für alle -Knoten G. Für jede Tiefe t = max G tiefe(g),..., 0 Für jeden - oder P-Knoten G der Tiefe t mit Nachfolgern G,..., G k setze C(G) = c(g ),..., c(g k ) und sortiere C(G) nichtabsteigend, falls G ein P-Knoten ist. ortiere die Menge der Tupel aller Knoten der Tiefe t lexikographisch. Für jede Komponente G der Tiefe t setze ihre Kodierung auf c, falls ihr Tupel in der sortierten Tupelfolge als c-tes verschiedenes Tupel auftritt.

75 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum Kanonische Kodierung etze C(G) = 0 für alle -Knoten G. Für jede Tiefe t = max G tiefe(g),..., 0 Für jeden - oder P-Knoten G der Tiefe t mit Nachfolgern G,..., G k setze C(G) = c(g ),..., c(g k ) und sortiere C(G) nichtabsteigend, falls G ein P-Knoten ist. ortiere die Menge der Tupel aller Knoten der Tiefe t lexikographisch. Für jede Komponente G der Tiefe t setze ihre Kodierung auf c, falls ihr Tupel in der sortierten Tupelfolge als c-tes verschiedenes Tupel auftritt.

76 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum Kanonische Kodierung etze C(G) = 0 für alle -Knoten G. Für jede Tiefe t = max G tiefe(g),..., 0 Für jeden - oder P-Knoten G der Tiefe t mit Nachfolgern G,..., G k setze C(G) = c(g ),..., c(g k ) und sortiere C(G) nichtabsteigend, falls G ein P-Knoten ist. ortiere die Menge der Tupel aller Knoten der Tiefe t lexikographisch. Für jede Komponente G der Tiefe t setze ihre Kodierung auf c, falls ihr Tupel in der sortierten Tupelfolge als c-tes verschiedenes Tupel auftritt.

77 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum Kanonische Kodierung etze C(G) = 0 für alle -Knoten G. Für jede Tiefe t = max G tiefe(g),..., 0 Für jeden - oder P-Knoten G der Tiefe t mit Nachfolgern G,..., G k setze C(G) = c(g ),..., c(g k ) und sortiere C(G) nichtabsteigend, falls G ein P-Knoten ist. ortiere die Menge der Tupel aller Knoten der Tiefe t lexikographisch. Für jede Komponente G der Tiefe t setze ihre Kodierung auf c, falls ihr Tupel in der sortierten Tupelfolge als c-tes verschiedenes Tupel auftritt. Zwei Knoten u und v gleicher Tiefe sind genau dann isomorph, wenn sie den gleichen Code haben.

78 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P P

79 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P P

80 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P P , 0,

81 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P P , 0,

82 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P , P, 0,

83 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P , P, 2 0,

84 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P,,,, , P, 2 0,

85 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P,,,, , P, 2 0,

86 Knotenkodierung im Dekompositionsbaum P,, 2,,,, , P, 2 0,

87 Vertikale ymmetrien atz (Hong, Eades, Lee 00) Gegeben sei der kanonische Dekompositionsbaum eines serienparallelen Graphen. Es sei G eine Komponente, die durch Komposition der Komponenten G,..., G k entstehe. Ist G ein -Knoten, dann ist G vertikal symmetrisch, wenn alle G,..., G k vertikal symmetrisch sind. Ist G ein P-Knoten, so betrachten wir die Klassen G j = {G i : i k, c(g i ) = j}, j =,..., k, von isomorphen Teilgraphen. G j gerade j vertikal symmetrisch G j ungerade für genau ein j G vertikal symmetrisch g.d.w. Graphen in G j vertikal symmetrisch G i, G j ungerade für i j G nicht vertikal symmetrisch

88 Vertikale ymmetrien atz (Hong, Eades, Lee 00) Gegeben sei der kanonische Dekompositionsbaum eines serienparallelen Graphen. Es sei G eine Komponente, die durch Komposition der Komponenten G,..., G k entstehe. Ist G ein -Knoten, dann ist G vertikal symmetrisch, wenn alle G,..., G k vertikal symmetrisch sind. Ist G ein P-Knoten, so betrachten wir die Klassen G j = {G i : i k, c(g i ) = j}, j =,..., k, von isomorphen Teilgraphen. G j gerade j vertikal symmetrisch G j ungerade für genau ein j G vertikal symmetrisch g.d.w. Graphen in G j vertikal symmetrisch G i, G j ungerade für i j G nicht vertikal symmetrisch

89 Vertikale ymmetrien atz (Hong, Eades, Lee 00) Gegeben sei der kanonische Dekompositionsbaum eines serienparallelen Graphen. Es sei G eine Komponente, die durch Komposition der Komponenten G,..., G k entstehe. Ist G ein -Knoten, dann ist G vertikal symmetrisch, wenn alle G,..., G k vertikal symmetrisch sind. Ist G ein P-Knoten, so betrachten wir die Klassen G j = {G i : i k, c(g i ) = j}, j =,..., k, von isomorphen Teilgraphen. G j gerade j vertikal symmetrisch G j ungerade für genau ein j G vertikal symmetrisch g.d.w. Graphen in G j vertikal symmetrisch G i, G j ungerade für i j G nicht vertikal symmetrisch

90 Vertikale ymmetrien atz (Hong, Eades, Lee 00) Gegeben sei der kanonische Dekompositionsbaum eines serienparallelen Graphen. Es sei G eine Komponente, die durch Komposition der Komponenten G,..., G k entstehe. Ist G ein -Knoten, dann ist G vertikal symmetrisch, wenn alle G,..., G k vertikal symmetrisch sind. Ist G ein P-Knoten, so betrachten wir die Klassen G j = {G i : i k, c(g i ) = j}, j =,..., k, von isomorphen Teilgraphen. G j gerade j vertikal symmetrisch G j ungerade für genau ein j G vertikal symmetrisch g.d.w. Graphen in G j vertikal symmetrisch G i, G j ungerade für i j G nicht vertikal symmetrisch

91 Beweisidee vertikale ymmetrie -Knoten

92 Beweisidee vertikale ymmetrie P-Knoten, alle Klassen gerade Anzahl -Knoten

93 Beweisidee vertikale ymmetrie P-Knoten, alle Klassen gerade Anzahl -Knoten alle Knoten v-symm. P-Knoten, eine Klasse ungerade Anzahl & v-symm.

94 ymmetrien zeichnen aus Hong, Eades, Lee 00

95 ymmetrien zeichnen aus Hong, Eades, Lee 00

96 ymmetrien zeichnen aus Hong, Eades, Lee 00