Analog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form. ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können.

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1 142 Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können. efinition Ist ein Normalbereich in R 2, bzw. R 3, dann nennt man f(x,y)dydx = f(x,y,z)dzdydx = b o(x) x=ay=u(x) b o(x) x=ay=u(x) z=ũ(x,y) f(x,y)dydx bzw. õ(x,y) f(x,y,z)dzdydx das oppelintegral, bzw. reifachintegral über. Wie schon nach dem 1. Beispiel auf Seite 140 bemerkt, erhält man durch Integration von f(x,y) = 1, bzw. f(x,y,z) = 1 den Flächeninhalt, bzw. das Volumen von. Satz 11.1 Für einen Normalbereich gilt 1 = Flächeninhalt, bzw. Volumen von Beispiel Sei = {(x,y) 0 x 1,x 2 y x}. 1. Wir berechnen den Flächeninhalt von. Nach Satz 11.1 ist er gleich 1dydx = 1 x 0 x 2 dydx = 1 0 (x x 2 )dx = xdx 0 x 2 dx. ie rechte Seite ist nun genau das, was wir aus der Schule kennen. Wir finden den Flächeninhalt = 1 6.

2 Wir berechnen das oppelintegral von f(x,y) = xy über Koordinatentransformationen Oft sind Integrale über Normalbereiche schwierig zu berechnen, da die unteren und oberen Grenzen u(x) und o(x) nach dem Einsetzen in die Stammfunktionen zu komplizierten Integranden führen. In diesen Fällen kann der Wechsel zu einem anderen Koordinatensystem hilfreich sein. as heisst, man wechselt zu Polar-, Zylinder oder Kugelkoordinaten. Polarkoordinaten (r, ϕ) ie Polarkoordinaten bilden ein Koordinatensystem von R 2. ie Umrechnung lautet für r 0 und ϕ [0,2π). x = r cosϕ y = r sinϕ Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) ie Zylinderkoordinaten ergänzen die Polarkoordinaten um die z-koordinate zu einem Koordinatensystem von R 3. ie Umrechnung ist dementsprechend für r 0, ϕ [0,2π) und z R. x = r cosϕ y = r sinϕ z = z

3 144 Kugelkoordinaten (r, ϕ, ϑ) ie Kugelkoordinaten sind ein Koordinatensystem von R 3. ie Umrechnung lautet x = r cosϕsinϑ y = r sinϕsinϑ z = r cosϑ für r 0, ϕ [0,2π) und ϑ [0,π]. Ebenfalls üblich ist es, anstatt des Winkels ϑ den Winkel ϑ = π 2 ϑ zu benutzen, wobei dann ϑ [ π 2, π 2 ] ist und sinϑ (bzw. cosϑ) in den Umrechnungsformeln durch cos ϑ (bzw. sin ϑ) zu ersetzen sind. Integriert man nun über eine Funktion und wechselt das Koordinatensystem, dann braucht es im Integral bezüglich der neuen Koordinaten einen Korrekturfaktor. Satz 11.2 Sei R 2, bzw. R 3 ein Bereich im kartesischen Koordinatensystem. Für eine Funktion f : R gelten die folgenden Transformationsformeln. Integration in Polarkoordinaten: f(x,y)dxdy = f(rcosϕ,rsinϕ)rdϕdr r ϕ Integration in Zylinderkoordinaten: f(x,y,z)dxdydz = f(rcosϕ,rsinϕ,z)rdzdϕdr r ϕ z Integration in Kugelkoordinaten: f(x,y,z)dxdydz = r ϕ ϑ f(rcosϕsinϑ,rsinϕsinϑ,rcosϑ)r 2 sinϑdϑdϕdr Woher kommt beispielsweise der Korrekturfaktor r bei der Integration in Polarkoordinaten? Bei der Integration in kartesischen Koordinaten unterteilt man den Integrationsbereich in kleine Rechtecke mit Seitenlängen x und y. as heisst, man summiert über Rechtecke mit Flächeninhalt x y, bzw. integriert über infinitesimal kleine Rechtecke mit Flächeninhalt dxdy. Bei der Integration in Polarkoordinaten wird der Bereich in kleine Ringteilflächen unterteilt, deren Flächeninhalt ungefähr r r ϕ ist. ies führt zu r drdϕ im Integral.

4 145 ie Korrekturfaktoren in den anderen beiden Fällen sind analog erklärbar. Allgemeiner kann eine beliebige Koordinatentransformation durchgeführt werden (ähnlich der Substitution bei einem Integral einer reellen Funktion). er Korrekturfaktor berechnet sich dann durch die sogenannte Jacobideterminante. Beispiele 1. Sei R 2 der Kreisring mit Aussenkreisradius 2 und Innenkreisradius 1 und sei f(x,y) = x(x 2 +y 2 ). 2. as Volumen V des Zylinders vom Radius R und der Höhe h ist gegeben durch V = R 2π h r=0ϕ=0z=0 R 1 r dzdϕdr = 2πh rdr = πr 2 h. r= Flächenintegrale as bestimmte Integral über einem Intervall haben wir verallgemeinert zu einem Wegintegral über einer Kurve. Ähnlich können wir das Bereichsintegral über einem Rechteck verallgemeinern zu einem Flächenintegral über einer Fläche. Eine Kurve ist das Bild einer Abbildung (Parametrisierung) in einer Variablen t. Eine Fläche ist das Bild einer Abbildung (Parametrisierung) in zwei Variablen u und v. Beispiele von Flächen sind die Kugeloberfläche (Sphäre), die Oberfläche eines Zylinders, die Oberfläche eines Kegels oder der Graph einer Funktion f(x,y) : R.

5 146 efinition Eine Teilmenge F R 3 heisst Fläche, wenn es eine (stückweise) stetig differenzierbare Abbildung x(u, v) x : B R 2 R 3, (u,v) x(u,v) = y(u, v) z(u, v) mit x(b) = F gibt. ie Fläche heisst regulär, wenn x u (u,v) x v (u,v) 0 für alle (u,v) B (bis auf endlich viele Ausnahmen). ie Vektoren x u (u,v) und x v (u,v) sind Tangentenvektoren an die Fläche F im Punkt x(u,v). ie Bedingung x u x v = x u (u,v) x v (u,v) 0 bedeutet, dass sie linear unabhängig sind. er Vektor x u x v steht senkrecht zu x u und x v, das heisst senkrecht auf der Fläche F. ank den Zusätzen stückweise und bis auf endlich viele Ausnahmen in der efinition können auch zusammengesetzte Flächenstücke(wie zum Beispiel die Oberfläche des Zylinders, zusammengesetzt aus Mantel, Boden und eckel) als reguläre Fläche betrachtet werden. Beispiele 1. ie Kugeloberfläche F vom Radius 2 ist eine reguläre Fläche parametrisiert durch 2cosϕsinϑ x : [0,2π] [0,π] F, x(ϕ,ϑ) = 2sinϕsinϑ 2cosϑ 2. er Graph der Funktion f(x,y) = 8 x 2 y 2 ist eine reguläre Fläche parametrisiert durch Es gilt u x : R 2 Graph(f), x(u,v) = v. 8 u 2 v 2

6 147 Wir definieren nun Flächenintegrale für Funktionen f und Vektorfelder F analog zu den Wegintegralen. ie Rolle des Geschwindigkeitsvektors x(t) bei denwegintegralen übernimmt nun der Vektor x u x v bei den Flächenintegralen. efinition Sei F R 3 eine reguläre Fläche parametrisiert durch x(u,v) für (u,v) B. Sei f(x, y, z) : F R eine stetige Funktion. as Flächenintegral von f über F ist definiert durch f ds = f( x(u,v)) x u x v dudv F B Sei F(x,y,z) : F R 3 ein stetiges Vektorfeld. as Flächenintegral von F über F ist definiert durch F ds = F( x(u,v)) ( x u x v )dudv F B Beim Wegintegral haben wir durch C ds die Länge der Kurve C erhalten. Analog ist nun ds = Flächeninhalt der Fläche F F Ist F das Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit, dann ist F F d S die Flüssigkeitsmenge, dieprozeiteinheitdieflächef durchströmt. enn x u x v istderflächeninhalt des Parallelogramms, auf dem x u x v senkrecht steht. Pro Zeiteinheit durchströmt ein Parallelepiped dieses Parallelogramm. as Volumen dieses Parallelepipeds ist gegeben durch det(f( x(u,v)), x u, x v ) = F( x(u,v)) ( x u x v ). Summieren wir über infinitesimal kleine Parallelogramme, führt dies zum Flächenintegral F F d S, welches deshalb auch Fluss von F durch F in Richtung x u x v genannt wird. Beispiel Sei f(x,y,z) = x 2 +y 2 +2z und F = {(x,y,z) x 2 +y 2 = 1, 0 z 1} die Mantelfläche des Zylinders vom Radius 1 und der Höhe 1. iese Fläche kann parametrisiert werden durch cosϕ x(ϕ,z) = sinϕ für (ϕ,z) [0,2π) [0,1]. z

7 148 Für das Flächenintegral erhalten wir 11.4 Integralsätze In diesem letzten Abschnitt werden die Integralsätze von Green, Gauß und Stokes kurz vorgestellt. Für konkrete Berechnungen sind diese Sätze sehr nützlich. er ivergenzsatz von Gauß er ivergenzsatz von Gauß führt das Flächenintegral F F d S eines Vektorfeldes F auf ein reifachintegral zurück. ( uv ) efinition Sei F(x,y,z) = ein Vektorfeld auf R 3. ie ivergenz von F ist w definiert durch divf = u x + v y + w z. Analog ist die ivergenz eines Vektorfeldes F(x,y) = ( u v) definiert durch divf = u x + v y. Symbolisch kann man die ivergenz mit Hilfe des Skalarprodukts divf = F schreiben. ie ivergenz ist also eine reellwertige Funktion, divf : R. Sei F das Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit. ie ivergenz gibt an, ob an einer Stelle (x, y, z) Flüssigkeit ensteht oder verloren geht oder ob Gleichgewicht besteht. Es gilt divf > 0 = Quelle: Es fliesst mehr ab als zu. divf < 0 = Senke: Es fliesst mehr zu als ab. divf = 0 = Quellenfrei: Es fliesst genauso viel zu wie ab. Wir nennen einen Bereich R 3 regulär, falls eine geschlossene, reguläre Oberfläche F hat. Typische Beispiele sind Kugel, Zylinder, Kegel oder ein Quader. Satz 11.3 (ivergenzsatz von Gauß) Sei R 3 regulär und seine Oberfläche F so parametrisiert, dass der Normalenvektor x u x v nach aussen zeigt. Sei F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf. ann gilt divf dv = F ds. F

8 149 Ist also beispielsweise das Flächenintegral auf der rechten Seite schwierig zu berechnen, so kann stattdessen das eventuell einfachere Bereichsintegral auf der linken Seite berechnet werden. Beispiele 1. Sei die Kugel vom Radius 1 und F(x,y,z) = ( 00 1 ). Mit dem Satz von Gauß folgt, dass der Fluss durch die gesamte Kugeloberfläche nach aussen gleich Null ist. ( xy ) 2. Sei wieder die Kugel vom Radius 1 und F(x,y,z) =. Wir benutzen, dass das Volumen der Kugel gleich 4 3 π ist. z er Fluss durch die gesamte Kugeloberfläche beträgt also 4π. er Satz von Stokes Beim Satz von Stokes gehen wir von einer regulären Fläche F R 3 aus, die zwei Seiten hat und deren Rand eine (einfache, reguläre) geschlossene Kurve ist. Ist x(u, v) eine Parametrisierung von F, dann muss die Randkurve C F so parametrisiert werden: Satz 11.4 (Satz von Stokes) Sei F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf der Fläche F. ann gilt rotf ds = F d s. F C F Anstelle des Flächenintegrals von rot F können wir also das Wegintegral von F über den Rand von F berechnen. Insbesondere ist das Flächenintegral von rot F für alle Flächen mit derselben Randkurve gleich.

9 150 er Satz von Green er Satz von Green entspricht dem Satz von Stokes in der Ebene. Wir betrachten einen Bereich R 2, der von einer (einfachen, regulären) geschlossenen Kurve C berandet ist. Wir parametrisieren die Randkurve C so, dass der Bereich zu unserer Linken ist, wenn wir C durchlaufen. Satz 11.5 (Satz von Green) Sei F(x,y) = ( u v) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf. ann gilt ( v x u ) dxdy = F d s. y C Wir können also ein oppelintegral mit Hilfe eines eventuell einfacheren Wegintegrals berechnen. Beispiel Sei R 2 der Einheitskreis und F(x,y) = ( y x ). Wie im Beispiel können wir für jeden wie oben beschriebenen Bereich R 2 den Flächeninhalt berechnen. Satz 11.6 Flächeninhalt() = 1 ( ) y d s 2 x C Schliesslich erhalten wir aus dem Satz von Green den ivergenzsatz von Gauß in der Ebene. Sei R 2 wie oben und x(t) eine Parametrisierung der geschlossenen Randkurve C von. Senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor x(t) ) = steht der Normalenvektor n(t) = 1 ( y ) (t) x(t) x (t) ( x (t) y (t) der Länge 1. Für ein Vektorfeld F wie im Satz von Green gilt nun divf dxdy = (F n)ds. C