Algorithmen I. Tutorium 1-3. Sitzung. Dennis Felsing

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1 Algorithmen I Tutorium 1-3. Sitzung Dennis Felsing

2 Überblick 1 Sortieren und Suchen 2 Mastertheorem 3 Datenstrukturen 4 Kreativaufgabe Dennis Felsing Algorithmen I 2/27

3 Sortieren und Suchen 1 Sortieren und Suchen Übungsblatt 1 - Aufgabe 1 Eigenschaften von Sortieralgorithmen Sortieralgorithmen 2 Mastertheorem 3 Datenstrukturen 4 Kreativaufgabe Dennis Felsing Algorithmen I 3/27

4 Übungsblatt 1 - Aufgabe 1 Aufgabe (a) Zeigen Sie, dass f (n) = n! in O(n n ) liegt. (b) Zeigen Sie, dass f (n) sogar in o(n n ) liegt. Dennis Felsing Algorithmen I 4/27

5 Eigenschaften von Sortieralgorithmen Laufzeiten für Worst Case, Average Case und Best Case in-place Kein zusätzlicher Speicherplatz notwendig stabil Erhält Reihenfolge der Sortierschlüssel Dennis Felsing Algorithmen I 5/27

6 Bubblesort Dennis Felsing Algorithmen I 6/27

7 Bubblesort Vergleiche nebeneinander liegende Elemente und vertausche diese, wenn notwendig. Wiederholen bis bei einem Durchlauf keine Vertauschungen mehr auftreten. Eigenschaften Worst Case: Dennis Felsing Algorithmen I 6/27

8 Bubblesort Vergleiche nebeneinander liegende Elemente und vertausche diese, wenn notwendig. Wiederholen bis bei einem Durchlauf keine Vertauschungen mehr auftreten. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: Dennis Felsing Algorithmen I 6/27

9 Bubblesort Vergleiche nebeneinander liegende Elemente und vertausche diese, wenn notwendig. Wiederholen bis bei einem Durchlauf keine Vertauschungen mehr auftreten. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: Dennis Felsing Algorithmen I 6/27

10 Bubblesort Vergleiche nebeneinander liegende Elemente und vertausche diese, wenn notwendig. Wiederholen bis bei einem Durchlauf keine Vertauschungen mehr auftreten. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n) inplace: Dennis Felsing Algorithmen I 6/27

11 Bubblesort Vergleiche nebeneinander liegende Elemente und vertausche diese, wenn notwendig. Wiederholen bis bei einem Durchlauf keine Vertauschungen mehr auftreten. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n) inplace: Ja stabil: Dennis Felsing Algorithmen I 6/27

12 Bubblesort Vergleiche nebeneinander liegende Elemente und vertausche diese, wenn notwendig. Wiederholen bis bei einem Durchlauf keine Vertauschungen mehr auftreten. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n) inplace: Ja stabil: Ja Dennis Felsing Algorithmen I 6/27

13 Insertionsort Dennis Felsing Algorithmen I 7/27

14 Insertionsort Schrittweise nächsten Wert an passender Stelle in sortierte Sequenz einfügen. Eigenschaften Worst Case: Dennis Felsing Algorithmen I 7/27

15 Insertionsort Schrittweise nächsten Wert an passender Stelle in sortierte Sequenz einfügen. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: Dennis Felsing Algorithmen I 7/27

16 Insertionsort Schrittweise nächsten Wert an passender Stelle in sortierte Sequenz einfügen. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: Dennis Felsing Algorithmen I 7/27

17 Insertionsort Schrittweise nächsten Wert an passender Stelle in sortierte Sequenz einfügen. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n) inplace: Dennis Felsing Algorithmen I 7/27

18 Insertionsort Schrittweise nächsten Wert an passender Stelle in sortierte Sequenz einfügen. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n) inplace: Ja stabil: Dennis Felsing Algorithmen I 7/27

19 Insertionsort Schrittweise nächsten Wert an passender Stelle in sortierte Sequenz einfügen. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n) inplace: Ja stabil: Ja Dennis Felsing Algorithmen I 7/27

20 Selectionsort Dennis Felsing Algorithmen I 8/27

21 Selectionsort Wähle Minimum aus unsortiertem Rest aus und vertausche mit erstem unsortiertem Element. Eigenschaften Worst Case: Dennis Felsing Algorithmen I 8/27

22 Selectionsort Wähle Minimum aus unsortiertem Rest aus und vertausche mit erstem unsortiertem Element. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: Dennis Felsing Algorithmen I 8/27

23 Selectionsort Wähle Minimum aus unsortiertem Rest aus und vertausche mit erstem unsortiertem Element. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: Dennis Felsing Algorithmen I 8/27

24 Selectionsort Wähle Minimum aus unsortiertem Rest aus und vertausche mit erstem unsortiertem Element. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n 2 ) inplace: Dennis Felsing Algorithmen I 8/27

25 Selectionsort Wähle Minimum aus unsortiertem Rest aus und vertausche mit erstem unsortiertem Element. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n 2 ) inplace: Ja stabil: Dennis Felsing Algorithmen I 8/27

26 Selectionsort Wähle Minimum aus unsortiertem Rest aus und vertausche mit erstem unsortiertem Element. Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n 2 ) Best Case: O(n 2 ) inplace: Ja stabil: Nein Dennis Felsing Algorithmen I 8/27

27 Mergesort Dennis Felsing Algorithmen I 9/27

28 Mergesort 1 Teile die Zahlenfolge in zwei Hälften 2 Sortiere die beiden Hälften rekursiv 3 Füge die beiden Hälften zusammen Eigenschaften Worst Case: Dennis Felsing Algorithmen I 9/27

29 Mergesort 1 Teile die Zahlenfolge in zwei Hälften 2 Sortiere die beiden Hälften rekursiv 3 Füge die beiden Hälften zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n log n) Average Case: Dennis Felsing Algorithmen I 9/27

30 Mergesort 1 Teile die Zahlenfolge in zwei Hälften 2 Sortiere die beiden Hälften rekursiv 3 Füge die beiden Hälften zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n log n) Average Case: O(n log n) Best Case: Dennis Felsing Algorithmen I 9/27

31 Mergesort 1 Teile die Zahlenfolge in zwei Hälften 2 Sortiere die beiden Hälften rekursiv 3 Füge die beiden Hälften zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n log n) Average Case: O(n log n) Best Case: O(n log n) inplace: Dennis Felsing Algorithmen I 9/27

32 Mergesort 1 Teile die Zahlenfolge in zwei Hälften 2 Sortiere die beiden Hälften rekursiv 3 Füge die beiden Hälften zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n log n) Average Case: O(n log n) Best Case: O(n log n) inplace: Nein stabil: Dennis Felsing Algorithmen I 9/27

33 Mergesort 1 Teile die Zahlenfolge in zwei Hälften 2 Sortiere die beiden Hälften rekursiv 3 Füge die beiden Hälften zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n log n) Average Case: O(n log n) Best Case: O(n log n) inplace: Nein stabil: Ja Dennis Felsing Algorithmen I 9/27

34 Quicksort Dennis Felsing Algorithmen I 10/27

35 Quicksort 1 Wähle ein Pivot-Element p 2 Partitioniere die Folge in zwei Teile a = x : x < p, b = x : x > p 3 Sortiere a und b rekursiv 4 Füge die sortierten Felder zusammen Eigenschaften Worst Case: Dennis Felsing Algorithmen I 10/27

36 Quicksort 1 Wähle ein Pivot-Element p 2 Partitioniere die Folge in zwei Teile a = x : x < p, b = x : x > p 3 Sortiere a und b rekursiv 4 Füge die sortierten Felder zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: Dennis Felsing Algorithmen I 10/27

37 Quicksort 1 Wähle ein Pivot-Element p 2 Partitioniere die Folge in zwei Teile a = x : x < p, b = x : x > p 3 Sortiere a und b rekursiv 4 Füge die sortierten Felder zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n log n) Best Case: Dennis Felsing Algorithmen I 10/27

38 Quicksort 1 Wähle ein Pivot-Element p 2 Partitioniere die Folge in zwei Teile a = x : x < p, b = x : x > p 3 Sortiere a und b rekursiv 4 Füge die sortierten Felder zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n log n) Best Case: O(n log n) inplace: Dennis Felsing Algorithmen I 10/27

39 Quicksort 1 Wähle ein Pivot-Element p 2 Partitioniere die Folge in zwei Teile a = x : x < p, b = x : x > p 3 Sortiere a und b rekursiv 4 Füge die sortierten Felder zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n log n) Best Case: O(n log n) inplace: Ja stabil: Dennis Felsing Algorithmen I 10/27

40 Quicksort 1 Wähle ein Pivot-Element p 2 Partitioniere die Folge in zwei Teile a = x : x < p, b = x : x > p 3 Sortiere a und b rekursiv 4 Füge die sortierten Felder zusammen Eigenschaften Worst Case: O(n 2 ) Average Case: O(n log n) Best Case: O(n log n) inplace: Ja stabil: Nein Dennis Felsing Algorithmen I 10/27

41 Radixsort Dennis Felsing Algorithmen I 11/27

42 Radixsort Sortiere Zahlen nach d Stellen, die jeweils k Werte annehmen können, beginnend bei geringwertigster Stelle. Eigenschaften Worst Case: Dennis Felsing Algorithmen I 11/27

43 Radixsort Sortiere Zahlen nach d Stellen, die jeweils k Werte annehmen können, beginnend bei geringwertigster Stelle. Eigenschaften Worst Case: Average Case: O(d(n + k)) Dennis Felsing Algorithmen I 11/27

44 Radixsort Sortiere Zahlen nach d Stellen, die jeweils k Werte annehmen können, beginnend bei geringwertigster Stelle. Eigenschaften Worst Case: Average Case: Best Case: O(d(n + k)) O(d(n + k)) Dennis Felsing Algorithmen I 11/27

45 Radixsort Sortiere Zahlen nach d Stellen, die jeweils k Werte annehmen können, beginnend bei geringwertigster Stelle. Eigenschaften Worst Case: Average Case: Best Case: inplace: O(d(n + k)) O(d(n + k)) O(d(n + k)) Dennis Felsing Algorithmen I 11/27

46 Radixsort Sortiere Zahlen nach d Stellen, die jeweils k Werte annehmen können, beginnend bei geringwertigster Stelle. Eigenschaften Worst Case: Average Case: Best Case: inplace: stabil: O(d(n + k)) O(d(n + k)) O(d(n + k)) Ja Dennis Felsing Algorithmen I 11/27

47 Radixsort Sortiere Zahlen nach d Stellen, die jeweils k Werte annehmen können, beginnend bei geringwertigster Stelle. Eigenschaften Worst Case: Average Case: Best Case: inplace: stabil: O(d(n + k)) O(d(n + k)) O(d(n + k)) Ja Unbedingt! Dennis Felsing Algorithmen I 11/27

48 Mastertheorem Anwendung Auflösung rekursiver Formeln der Form T (n) = at ( n b ) + f (n) Wird häufig zur Laufzeitbestimmung bei rekursiven Algorithmen verwendet. Fälle 1 f (n) O(n log b a ε ) T (n) Θ(n log b a ) 2 f (n) Θ(n log b a ) T (n) Θ(n log b a log n) 3 f (n) Ω(n log b a+ε ) und a f ( n b ) c f (n) für ein c < 1 T (n) Θ(f (n)) Es kann auch keiner der Fälle auftreten. Dennis Felsing Algorithmen I 12/27

49 Datenstrukturen 1 Sortieren und Suchen 2 Mastertheorem 3 Datenstrukturen Grundlegendes Stacks Queues Arrays Verkettete Listen 4 Kreativaufgabe Dennis Felsing Algorithmen I 13/27

50 Datenstrukturen Dynamische Mengen können in unterschiedlichen Datenstrukturen verwaltet werden. Operationen auf Dynamischen Mengen Search(S,k) Insert(S,x) Delete(S,x) Minimum(S) Maximum(S) Successor(S,x) Predecessor(S,x) Uns interessiert der Zeitaufwand für die Operationen. Dennis Felsing Algorithmen I 14/27

51 Stacks Funktionsweise Ein Stack (Stapel) implementiert einen last-in, first-out-speicher. Operationen Push(S,k): Füge neues Element hinzu Pop(S): Entferne zuletzt hinzugefügtes Element Dennis Felsing Algorithmen I 15/27

52 Stacks Implementierung auf Array (Feld) Stack-Empty(S) 1 return S.top == 0 Push(S, x) 1 S.top = S.top S[S.top] = x Pop(S) 1 if Stack-Empty(S) 2 error underflow 3 else S.top = S.top 1 4 return S[S.top + 1] Alle Operationen in O(1). Dennis Felsing Algorithmen I 16/27

53 Stacks Beispiel Sei S ein Stack. Führe folgende Operationen aus: Pop(S) Push(S,1) Push(S,2) Push(S,3) Push(S,4) Pop(S) Pop(S) Push(S,5) Pop(S) Dennis Felsing Algorithmen I 17/27

54 Stacks Beispiel Sei S ein Stack. Führe folgende Operationen aus: Pop(S) Push(S,1) Push(S,2) Push(S,3) Push(S,4) Pop(S) Pop(S) Push(S,5) Pop(S) Welche Informationen fehlen? Dennis Felsing Algorithmen I 17/27

55 Stacks Beispiel Sei S ein Stack. Führe folgende Operationen aus: Pop(S) Push(S,1) Push(S,2) Push(S,3) Push(S,4) Pop(S) Pop(S) Push(S,5) Pop(S) Welche Informationen fehlen? Array-Größe 3, Stack leer Dennis Felsing Algorithmen I 17/27

56 Stacks Stack-Empty(S) 1 return S.top == 0 Push(S, x) 1 S.top = S.top S[S.top] = x Pop(S) 1 if Stack-Empty(S) 2 error underflow 3 else S.top = S.top 1 4 return S[S.top + 1] Aufgabe Wandle die Operationen auf Stacks ab, so dass auch Overflows erkannt werden. Dennis Felsing Algorithmen I 18/27

57 Queues Funktionsweise Eine Queue (Warteschlange) implementiert einen first-in, first-out-speicher. Operationen Enqueue(S,k): Füge neues Element hinzu Dequeue(S): Entferne zuerst hinzugefügtes Element Dennis Felsing Algorithmen I 19/27

58 Queues Implementierung auf Array (Feld) Enqueue(Q, x) 1 Q[Q.tail] = x 2 if Q.tail == Q.length 3 Q.tail = 1 4 else Q.tail = Q.tail + 1 Dequeue(Q) 1 x = Q[Q.head] 2 if Q.head == Q.length 3 Q.head = 1 4 else Q.head = Q.head return x Alle Operationen in O(1). Dennis Felsing Algorithmen I 20/27

59 Queues Beispiel Sei Q eine Queue. Führe folgende Operationen aus: Dequeue(Q) Enqueue(Q,1) Enqueue(Q,2) Enqueue(Q,3) Enqueue(Q,4) Dequeue(Q) Dequeue(Q) Enqueue(Q,5) Dequeue(Q) Dennis Felsing Algorithmen I 21/27

60 Queues Beispiel Sei Q eine Queue. Führe folgende Operationen aus: Dequeue(Q) Enqueue(Q,1) Enqueue(Q,2) Enqueue(Q,3) Enqueue(Q,4) Dequeue(Q) Dequeue(Q) Enqueue(Q,5) Dequeue(Q) Welche Informationen fehlen? Dennis Felsing Algorithmen I 21/27

61 Queues Beispiel Sei Q eine Queue. Führe folgende Operationen aus: Dequeue(Q) Enqueue(Q,1) Enqueue(Q,2) Enqueue(Q,3) Enqueue(Q,4) Dequeue(Q) Dequeue(Q) Enqueue(Q,5) Dequeue(Q) Welche Informationen fehlen? Array-Größe 3, Queue leer Dennis Felsing Algorithmen I 21/27

62 Queues Enqueue(Q, x) 1 Q[Q.tail] = x 2 if Q.tail == Q.length 3 Q.tail = 1 4 else Q.tail = Q.tail + 1 Dequeue(Q) 1 x = Q[Q.head] 2 if Q.head == Q.length 3 Q.head = 1 4 else Q.head = Q.head return x Aufgabe Schreibe Enqueue- und Dequeue-Operationen, die Über- und Unterläufe erkennen. Dennis Felsing Algorithmen I 22/27

63 Arrays Operationen Search: Suche ein Element ( Dennis Felsing Algorithmen I 23/27

64 Arrays Operationen Search: Suche ein Element (O(n)) Get: Lese Element mit Index ( Dennis Felsing Algorithmen I 23/27

65 Arrays Operationen Search: Suche ein Element (O(n)) Get: Lese Element mit Index (O(1)) Delete: Entferne Element mit Index ( Dennis Felsing Algorithmen I 23/27

66 Arrays Operationen Search: Suche ein Element (O(n)) Get: Lese Element mit Index (O(1)) Delete: Entferne Element mit Index (O(n)) Insert: Füge Element an Stelle ein ( Dennis Felsing Algorithmen I 23/27

67 Arrays Operationen Search: Suche ein Element (O(n)) Get: Lese Element mit Index (O(1)) Delete: Entferne Element mit Index (O(n)) Insert: Füge Element an Stelle ein (O(n)) Dennis Felsing Algorithmen I 23/27

68 Verkettete Listen Funktionsweise Objekte linear angeordnet, Zugriff mit Zeigern Varianten Einfach und doppelt verkettet Unsortiert und sortiert Nichtzyklisch und zyklisch Wir betrachten Doppelt verkettete, unsortierte, nichtzyklische Listen. Operationen Search: Suche ein Element ( Dennis Felsing Algorithmen I 24/27

69 Verkettete Listen Funktionsweise Objekte linear angeordnet, Zugriff mit Zeigern Varianten Einfach und doppelt verkettet Unsortiert und sortiert Nichtzyklisch und zyklisch Wir betrachten Doppelt verkettete, unsortierte, nichtzyklische Listen. Operationen Search: Suche ein Element (O(n)) Insert: Füge Element ein ( Dennis Felsing Algorithmen I 24/27

70 Verkettete Listen Funktionsweise Objekte linear angeordnet, Zugriff mit Zeigern Varianten Einfach und doppelt verkettet Unsortiert und sortiert Nichtzyklisch und zyklisch Wir betrachten Doppelt verkettete, unsortierte, nichtzyklische Listen. Operationen Search: Suche ein Element (O(n)) Insert: Füge Element ein (O(1)) Delete: Entferne Element ( Dennis Felsing Algorithmen I 24/27

71 Verkettete Listen Funktionsweise Objekte linear angeordnet, Zugriff mit Zeigern Varianten Einfach und doppelt verkettet Unsortiert und sortiert Nichtzyklisch und zyklisch Wir betrachten Doppelt verkettete, unsortierte, nichtzyklische Listen. Operationen Search: Suche ein Element (O(n)) Insert: Füge Element ein (O(1)) Delete: Entferne Element (O(1)) Dennis Felsing Algorithmen I 24/27

72 Entwurf Sortieralgorithmus Aufgabe Entwerfe einen Algorithmus der eine Folge von n Zahlen sortiert. Dabei liegen alle Zahlen zwischen 1 und n. Der Algorithmus soll im Worst-Case in O(n) laufen. Dennis Felsing Algorithmen I 25/27

73 Übersicht 1 Sortieren und Suchen Übungsblatt 1 - Aufgabe 1 Eigenschaften von Sortieralgorithmen Sortieralgorithmen 2 Mastertheorem 3 Datenstrukturen Grundlegendes Stacks Queues Arrays Verkettete Listen 4 Kreativaufgabe Entwurf Sortieralgorithmus Dennis Felsing Algorithmen I 26/27

74 Dennis Felsing Algorithmen I 27/27

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