Aufgaben und Lösungen

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1 Aufgaben und Lösungen Aufgabe Aus einer Schulklasse von 3 Schülern soll eine Abordnung von Schülern zum Direktor geschickt werden. Auf wie viele Arten kann diese Abordnung gebildet werden? ( ) 3 = (Kombination) Aufgabe Auf wie viele Arten kann man 7 Hotelgäste in freien Einzelzimmern unterbringen? ( )! = 7! = 64.8 (Variation) 3! 7 Aufgabe 3 Für das Elfmeterschießen muß der Trainer der Spieler auf dem Platz benennen. Wie viele Möglichkeiten hat er bei der Bestimmung der Kandidaten? der Bestimmung der Reihenfolge der Schützen, nachdem die Kandidaten gewählt wurden? ( ) = 46 (Kombination)! = (Permutation) Aufgabe 4 Bei der Fußball-WM 998 nahmen 3 Nationen teil. Wie viele Möglichkeiten gab es für die Teilnehmer des Halbfinales (= Runde der letzten 4)? für die Reihenfolge auf den ersten 4 Plätzen? ( ) 3 = 3.96 (Kombination) 4 3! = (Variation) (3 4)! Aufgabe Ein Autokennzeichen werde gebildet aus mindestens, maximal Buchstaben des Alphabets (insgesamt 6 Buchstaben) und einer Zahl bestehend aus mindestens, maximal 3 Ziffern (ohne die an erster Stelle) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn ein Buchstabe auch mehrmals erscheinen darf? ein Buchstabe maximal einmal erscheinen darf? = (Variation) = (Variation)

2 Aufgabe 6 Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten zur Bildung eines EDV-Passwortes gibt es, das besteht aus genau zwei, unterschiedlichen Buchstaben des Alphabets (insgesamt 6 Buchstaben, Groß- und Kleinschreibung ohne Bedeutung) und einer Zahl bestehend aus mindestens, maximal 4 Ziffern ( an erster Stelle möglich)? Aufgabe 7 6 ( 3 4 ) = 7.. (Variation) In einem Zimmer gibt es Lampen, die unabhängig voneinander aus- und eingeschaltet werden können. Wie viele Arten der Beleuchtung gibt es insgesamt? Aufgabe 8 k= = k 3 4 = 3 (Kombination) Ein Zigarettenautomat hat 6 Fächer. Der Händler überlegt, mit welchen seiner Sorten der Automat gefüllt werden soll. Wie viele verschiedene Auswahlmöglichkeiten hat der Händler, wenn die Reihenfolge der Sorten in den Fächer keine Rolle spielt und wenn eine Sorte maximal in ein Fach gefüllt werden darf? ( ) = (Kombination) 6 Aufgabe 9 Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für 4 unterschiedlich farbige Kugeln gibt. m schwarze und weiße Kugel gibt. 4! = 4 (Permutation) m Aufgabe In einem Regal stehen fünf französische, sieben spanische und elf englische Bücher. Auf wie viele Arten lassen sich zwei Bücher in verschiedenen Sprachen auswählen? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 = 67 (Kombination) Aufgabe Ein Zug besteht aus 4 Wagen der. Klasse, 7 Wagen der. Klasse, Speisewagen, Gepäckwagen. Wie viele unterscheidbare Wagenfolgen sind möglich wenn die Wagen beliebig eingereiht werden dürfen? wenn die Wagen der. Klasse nicht getrennt werden dürfen? 4! = (Permutation) 4! 7!!! Betrachten die 4 Wagen der. Klasse als Element! = 396 (Permutation)! 7!!!

3 3 Aufgabe Der Frosch Leo kann auf einem Papierstreifen mit nummerierten Feldern 3... n ein oder zwei Felder vorwärts springen. Zu Beginn steht er in Feld. Auf wie viele Weisen kann Leo zum Feld n gelangen? f n = f n f n (wobei f n = F n Fibonacci-Zahlen) mit f =, f =, f 3 =. Aufgabe 3 Man bestimme die Anzahl der 8-stelligen Wörter aus Zeichen A und 3 Zeichen B, in denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen. 8! 4 = (Permutation)! 3! Aufgabe 4 Wie viele geordnete Teilmengen kann man aus einer Menge von Elementen auswählen? Aufgabe k= Wie lautet der Koeffizient von a 7 b c 4 in (a b c) 3? Aufgabe 6 ( ) ( ) n n Man beweise: k = n für alle n, k! k k Aufgabe 7 ( ) = 4 (Kombination) k 3! 7!!4! a7 b c 4 =.74a 7 b c 4 (Multinomialkoeffizient) ( ) n n (n )! n = k (k )!(n k )! = n! (k )!(n k)! = k n! ( ) n k!(n k)! = k k Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, mit einer Lotto-Ziehung ( 6 aus 49 ) 3 Richtige Richtige mit Zusatzzahl zu realisieren! ( )( ) ( ) 6 ( ) = 46.8 (Kombination) ( ) 4 = (Kombination) Aufgabe 8 Herr Reichlich stirbt unerwartet und nimmt das Codewort zu seinem Tresor mit ins Grab. Seine Angehörigen wissen nur, dass der Code -stellig ist und genau 3 Ziffern enthält, unter denen die Ziffern und 4 nicht vorkommen. Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung? ( ) [ ( )( )] 3 = 84

4 4 Aufgabe 9 Eine Firma hat Angestellte, davon sind männlich. Auf wieviele Arten können sie eine Arbeitsgruppe bestehend aus Angestellten bilden, so dass zumindest eine Frau und ein Mann in der Arbeitsgruppe vorkommen? 4 ( )( ) 8 = 4.66 (Kombination) l l Aufgabe l= Ein Krankenpfleger muss Tage die Woche arbeiten, er möchte aber entweder Samstag oder Sonntag frei haben. Wieviele Möglichkeiten hat er, seine Arbeitstage auf die Woche zu verteilen? Mo-Fr Sa und 4 von {Mo,...,Fr} So und 4 von {Mo,...,Fr} ( ) ( ) ( ) = (Kombination) 4 4 Aufgabe Ein Restaurant bietet verschiedene Suppen, verschiedene Hauptgerichte und 6 verschiedene Nachspeisen an. Hannes hat sich entschieden höchstens eine Suppe, höchstens ein Hauptgericht und höchstens eine Nachspeise zu konsumieren. Wieviele verschiedene Menüzusammenstellungen gibt es unter diesen Voraussetzungen? Aufgabe ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) 6 ( ) 6 ) = 46 (Kombination) Vor einem Bankschalter stehen sieben Personen und warten in einer Schlange. Wie viele verschiedene Anordnungen innerhalb der Schlange sind möglich? Wenig später öffnet der Nachbarschalter. Daraufhin wechseln vier Personen zum zweiten Schalter. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, vier von den sieben Personen in einer neuen Schlange (vor dem zweiten Schalter) anzuordnen? 7! =.4 (Permutation) ( ) 7 4! = 84 (Kombination, Permutation) 4 Aufgabe 3 An einem Judo-Turnier nehmen in der Gewichtsklasse von 7 bis 77 Kilogramm acht Kämpfer teil. Wie viele verschiedene Einzelpaarungen sind möglich? ( ) 8 = 8 (Kombination) Aufgabe 4 In der ersten Fußball-Liga eines Landes spielen in der Saison 999/ Mannschaften um die Meisterschaft darunter die Mannschaften Pechstadt und Glückstein. Wie viele verschiedene Platzierungs-Tabellen der Liga sind nach dem letzten Spieltag der Saison theoretisch möglich? Wie ändert sich die Anzahl aus Teil, wenn nach dem letzten Spieltag die Mannschaft aus Pechstadt auf Platz und die Mannschaft aus Glückstein auf Platz liegt?! =, 377 (Permutation) 3! = (Permutation)

5 Aufgabe Ein Bit kann zwei Zustände ( oder ) annehmen. Ein Byte besteht aus 8 Bits (z.b. ). Wie viele verschiedene Bytes gibt es? 8 = 6 (Variation) Aufgabe 6 Ein Zahlenschloss besitzt fünf Ringe, die jeweils die Ziffern,..., 9 tragen. Wie viele verschiedene fünfstellige Zahlencodes sind möglich? Wie ändert sich die Anzahl aus Teil, wenn in dem Zahlencode jede Ziffer nur einmal vorkommen darf, d.h. der Zahlencode aus fünf verschiedenen Ziffern bestehen soll? (c) Wie andert sich die Anzahl aus Teil, wenn der Zahlencode nur aus gleichen Ziffern bestehen soll? =. (Variation)!! = 3.4 (Variation ohne Wiederholung) (c) Aufgabe 7 F n bezeichne die n-te Fibonacci-Zahl mit F n = F n F n, und F n := ( ) n F n. Beweisen Sie, dass für alle n, k N gilt: F nk = F k F n F k F n Induktionsanfang: Die Behauptung gilt für k = : F n = F n = F F n F F n = ( ) F F n = F n Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für alle k. Induktionsschritt: k k F nk = F nk F nk = IV F k F n F k F n F k F n F k F n = (F k F k )F n (F k F k )F n = F k F n F k F n Aufgabe 8 In einer Fabrikhalle haben acht Werkstätten Platz. Wie viele Möglichkeiten gibt es, in der Halle acht verschiedene Werkstätten einzurichten? Wie viele Möglichkeiten gibt es, in dieser Halle zwei Zuschneidestationen, zwei Drehbänke und drei Lackierstationen einzurichten? (Eine Stelle bleibt also frei.) 8! = 4.3 (Permutation) 8! =.68 (Permutation)!!3!

6 6 Aufgabe 9 Personen verabschieden sich voneinander mit Händedruck. Jeder geht alleine nach Hause. Wie oft werden dabei die Hände gedrückt? Ehepaare verabschieden sich voneinander mit Händedruck und gehen paarweise nach Hause. Wie oft werden dabei die Hände gedrückt? (c) Die Ehepaare verabschieden sich folgendermaßen: Die Herren von den Herren mit Händedruck, die Damen von den Damen mit Küsschen auf beide Wangen, die Damen von den Herren mit Händedruck und Küsschen auf die rechte Wange. Die Ehepaare gehen wieder paarweise nach Hause. Wie viele Küsschen werden gegeben? Wie oft werden die Hände gedrückt? = 9 = (c) Anzahl Händedrücke: = Anzahl Küsschen: = 4

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