FORMELSAMMLUNG GEOMETRIE. by Marcel Laube

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1 FORMELSAMMLUNG GEOMETRIE y Mrcel Lue

2 PLANIMETRIE... 4 PUNKT... 4 LINIE... 4 FLÄCHE... 4 KÖRPER... 4 WINKEL... 5 Arten von Winkeln... 5 Neenwinkel... 5 Scheitelwinkel... 6 Komplementwinkel... 6 Supplementwinkel... 6 Stufen- oder Gegenwinkel... 6 Wechselwinkel... 6 Entgegengesetzte Winkel... 6 Winkelmessung...7 SYMETRIE...7 DAS DREIECK... 7 DIE VIER DREIECKSTRANSVERSALEN... 8 Die Mittelsenkrechten... 8 Die Höhen... 8 Die Schwerelinien oder Seitenhlierenden... 8 Die Winkelhlierenden... 8 DREIECKSFLÄCHE... 9 BERECHNUNGEN AN SPEZIELLEN DREIECKEN... 9 BERECHNUNGEN AM RECHTWINKLIGEN DREIECK... 9 Stz des Pythgors... 9 Höhenstz... 9 Stz des Euklid...0 BERECHNUNGEN AM GLEICHSCHENKLIGEN DREIECK... 0 Die Höhe... 0 Die Fläche:... 0 Beim rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck... 0 BERECHNUNGEN AM GLEICHSEITIGEN DREIECK... Höhe... Fläche... Umkreisrdius... Inkreisrdius... VIERECKE... PARALLELOGRAMM ODER RHOMBOID... Fläche... DAS RECHTECK... Fläche... Digonlen... Umkreisrdius... ROMBUS UND QUADRAT... Fläche eim Romus... Fläche... Digonlen... TS-Zürich Seite / ML

3 Umkreisrdius... 3 Inkreisrdius... 3 DAS TRAPEZ... 3 Fläche... 3 VIELECKE... 3 UNREGELMÄSSIGES VIELECK... 3 Winkelsumme... 3 REGELMÄSSIGE VIELECKE... 4 Winkel... 4 Inkreisrdius... 4 Fläche... 4 Umfng... 4 Seitenlänge... 4 DER KREIS... 5 STRECKENVERHÄLTNISSE... 5 Sehnenstz... 5 Sekntenstz... 5 Tngentenstz...6 BERECHNUNGEN AM KREIS... 6 Umfng... 6 Fläche... 6 KREISTEILE... 6 Fläche eines Kreissektors... 6 Sehne eines Kreissegmentes... 6 Höhe eines Kreissegmentes... 6 Fläche eines Kreissegmentes... 6 STRECKENVERHÄLTNISSE... 7 STRAHLENSÄTZE Strhlenstz Strhlenstz... 8 DAS ZEICHNERISCHE LÖSEN VON PROPORTIONSGLEICHUNGEN... 8 Grundkonstruktion... 8 Grundkonstruktion... 9 Grundkonstruktion STRECKENTEILUNG... 0 Innere Teilung...0 Äussere Teilung... Hrmonische Teilung... Goldener Schnitt (oder stetige Teilung)... MITTELWERTE... Arithmetisches Mittel... Geometrisches Mittel... 3 Hrmonisches Mittel... 3 ÄHNLICHKEIT...3 KONGRUENZSÄTZE BEI DREIECKEN... 4 ÄHNLICHKEITSSÄTZE DER DREIECKE... 4 TRIGONOMETRIE... 6 TS-Zürich Seite / ML

4 DIE WINKELFUNKTIONEN... 6 Sinusfunktion... 6 Kosinusfunktion... 6 Tngensfunktion... 6 Kotngensfunktion... 6 Steigung... 6 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen... 7 Umrechnungstelle der Winkelfunktionen... 7 Spezielle Werte von Winkelfunktionen... 7 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN BELIEBIGER WINKEL... 8 BERECHNUNGEN DES SCHIEFWINKLIGEN DREIECKS... 8 Der Sinusstz... 8 Der Kosinusstz... 8 STEREOMETRIE... 9 ZYLINDERARTIGE KÖRPER... 9 TS-Zürich Seite / ML

5 Plnimetrie Punkt Mit dem geometrischen Punkt wird eine estimmte Stelle ezeichnet. Er ist nicht messr. Er ht keine Ausdehnung, er ist dimensionslos. Er wird mit einem Grossuchsten ezeichnet. Linie Bewegt sich ein Punkt, so erzeugt er eine Linie. Die Linie ht eine Dimension (die Länge) Linien werden mit Kleinuchsten ezeichnet. Arten von Linien: Die Gerde: Die Gerde ist unegrenzt Durch zwei verschiedene Punkte führt genu eine Gerde Der Strhl: Nimmt mn uf einer Gerde einen Punkt n, so entstehen zwei Hlgerden Gerden, die von einem Punkt us gehen, heissen Hlgerden oder Strhlen Die Strecke: Liegen uf einer Grden zwei Punkte, so heisst der Aschnitt zwischen ihnen (inklusive der Punte) Strecke. Zwischen zwei Punkten ist die Strecke die kürzeste Verindung. Strecken können gemessen werden, und mn knn mit ihnen rechnen. Fläche Bewegt sich eine Linie, so erzeugt sie eine Fläche Es git krumme und eene Flächen Eine Fläche ht zwei Dimensionen (Länge und Breite) Körper Eine Fläche, die sich ewegt, erzeugt einen Körper. Ein Körper ht drei Dimensionen (Länge, Breite und Höhe) TS-Zürich Seite / ML

6 Winkel Dreht mn einen Strhl um einen festen Punkt, so entsteht ein Winkel. Mn ezeichnet die Winkel mit griechischen Buchsten Oder mit dem Zeichen und den Punkten uf den Schenkeln. Der Scheitepunkt ist immer in der Mitte (z. Bsp: CAB) Winkel können uch ls Drehung etrchtet werden. Hierei gilt folgendes: + - Arten von Winkeln Spitzer Winkel: 90 > > 0 Rechter Winkel: = 90 Stumpfer Winkel: 80 > > 90 Gestreckter Winkel: = 80 Üerstumpfer Winkel: 360 > > 80 Vollwinkel: = 360 Wenn mn Winkel im Gelände misst, so unterscheidet mn folgende Arten: Erheungswinkel: Der Erheungs- oder Höhenwinkel wird von der Wgrechten nch oen gemessen. Der Gegenstnd liegt höher ls ds Auge. Neigungswinkel: Der Neigungs-, Senkungs- oder Tiefenwinkel wird von der Wgrechten nch unten gemessen. Der Gegenstnd liegt tiefer ls ds Auge. Neenwinkel Hen einen Scheitel und den Scheitelpunkt gemeinsm Sie ergeen zusmmen immer 80 (Supplementwinkel) TS-Zürich Seite / ML

7 Scheitelwinkel Hen nur den Scheitelpunkt gemeinsm Sind immer gleich gross Komplementwinkel Sie ergeen zusmmen immer 90 Supplementwinkel Sie ergeen zusmmen immer 80 Stufen- oder Gegenwinkel Sind immer gleich gross Wechselwinkel Sind immer gleich gross Entgegengesetzte Winkel Ergeen immer 80 TS-Zürich Seite / ML

8 Winkelmessung Altgrd oder sexgesimle Teilung: Der Kreis wird in 360 Teile (Grd) geteilt Grd ht 60 Minuten Minute ht 60 Sekunden Neue Teilung oder zentesimle Teilung: Der Vollwinkel wird in 400 Teile (Gon) geteilt Ds Bogenmss = Kreisogen / Rdius Umrechnen Bogenmss -> Altgrd: rd entspricht etw entsprechen [rd] r * 80 -> 80* * r Symetrie Ein Körper ist symetrisch, wenn er üer eine Gerde gespiegel in gleicher Form nochmls vorhnden ist. Symetrische Körper sind immer uch kongruent; ds heisst es sitimmen lle entsprechenden Strecken oder Winkel üerein Ds Dreieck Innenwinkelstz: Summe der Innenwinkel = 80 Aussenwinkelstz: Summe der Aussenwinkel = 360 Innen- Aussenwinkelstz: = + = + = + TS-Zürich Seite / ML

9 Die vier Dreieckstrnsverslen Die Mittelsenkrechten Sie stehen senkrecht uf den entsprechenden Seitenmittelpunkten Sie ilden den Mittelpunkt (M) des Umkreises Die Höhen Sie stehen senkrecht uf den entsprechenden Seiten und gehen durch den gegenüerliegenden Eckpunkt Sie schneiden sich im Höhenschnittpunkt (H) Die Höhe teilt die Seite in zwei Aschnitte: linker Aschnitt q; rechter Aschnitt p Die Schwerelinien oder Seitenhlierenden Sie verinden die Seitenmitte mit den gegenüerliegenden Eckpunkten Sie schneiden sich im Schwerpunkt (S) Der Schwerpunkt teilt die Schwerelinie im Verhältnis : Die Winkelhlierenden Sie schneiden sich im Inkreismittelpunkt (O) Den Rdius des Inkreises nennt mn Die Winkelhlierende teilt die entsprechende Seite in zwei Aschnitte: rechter Aschnitt u; linker Aschnitt v v u v u TS-Zürich Seite / ML

10 Dreiecksfläche Allgemein: gh A Wenn der Innkreisrdius geg. ist: A ( c) Wenn lle Seiten geg. sind: A s( s )( s )( s c) woei: U s Berechnungen n speziellen Dreiecken Berechnungen m rechtwinkligen Dreieck Kthete Kthete q Hypothenuse p Hypothenuse: Ktheten: Die längste Seite des Dreiecks. Dem rechten Winkel gegenüerliegend (griech: ds Druntergespnnte) Die eiden nderen Dreiecksseiten. (griech: ds Lot) Stz des Pythgors Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kthetenqudrte flächengleich mit dem Hypothenusenqudrt. c Höhenstz Im rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt üer der Höhe flächengleich dem Rechteck, geildet us den eiden Hypothenusenschnitten. h p * q TS-Zürich Seite / ML

11 Stz des Euklid Im rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt üer einer Kthete flächengleich dem Rechteck, geildet us der Hypothenuse und dem nliegenden Hypothenusenschnitt. c* p c * q Berechnungen m gleichschenkligen Dreieck Beim gleichschenkligen Dreieck sind die zwei Bsiswinkel gleich gross Zwei Seiten (die Schenkel) sind gleich lng Die Höhe, die Winkelhlierende, die Seitenhlierende und die Mittelsenkrechte ilden zusmmen die Symetriechse Die Höhe h c c 4 Die Fläche: c A c 4 Beim rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck Höhe: h c Seite c: c Fläche: A TS-Zürich Seite / ML

12 Berechnungen m gleichseitigen Dreieck Beim gleichseitigen Dreieck sind lle Winkel 60 Alle Seiten sind gleich lng Die Schnittpunkte von Höhen, Mittelsenkrechten, Seitenhlierenden und Winkelhlierenden fllen zusmmen Dieser Schnittpunkt ist Mittelpunkt des Umkreises und des Inkreises Der Mittelpunkt teilt die Höhe im Verhältnis : Höhe h 3 Fläche A 4 3 Umkreisrdius r 3 3 Inkreisrdius 6 3 Vierecke Winkelsumme = 360 Jeder Aussenwinkel im Viereck ist der Supplementwinkel zum Innenwinkel Aussenwinkelsumme = 360 Prllelogrmm oder Rhomoid Je zwei Seiten sind prllel Die Gegenwinkel im Prllelogrmm sind gleich gross: = = Je zwei enchrte Winkel sind Supplementwinkel: z.bsp: + = 80 Die Digonlen hlieren sich TS-Zürich Seite / ML

13 Fläche A * h * h c* h d * h c d Ds Rechteck Ds Rechteck ist ein Rhomoid, dessen Innenwinkel 90 sind Im Rechteck ist die Seite = Höhe Die Digonlen hlieren sich Fläche A Digonlen e f Umkreisrdius e r f Romus und Qudrt Der Romus ist ein Prllelogrmm mit vier gleichen Seiten Ds Qudrt ist ein Rechteck mit vier gleichen Seiten Fläche eim Romus ef A h Beim Qudrt: Fläche A Digonlen e TS-Zürich Seite / ML

14 Umkreisrdius r Inkreisrdius Ds Trpez Zwei Seiten sind prllel Bei gleichschenkligen Prllelogrmmen sind die nicht prllelen Seiten gleich lng Die n einem Schenkel liegenden Winkel sind Supplementwinkel Fläche A mh woei: c m Vielecke Unregelmässiges Vieleck Ein unregelmässiges Vieleck nennt mn so, wenn mindestens ein Winkel oder eine Seite gegenüer den nderen verschieden ist. Winkelsumme 80 ( n ) woei: n = Anzhl Ecken TS-Zürich Seite / ML

15 Regelmässige Vielecke Alle Innenwinkel sind gleich gross Alle Seiten sind gleich lng Alle Winkelhlierenden und Mittelsenkrechten schneiden sich im Mittelpunkt der Figur (=Mittelpunkt des In- und des Umkreises) Jede Winkelhlierende oder Mittelsenkrechte ist uch eine Symetriechse (ein regelmässiges n-eck ht n Symetriechsen) Wenn mn ds n-eck in Dreiecke ufteilt, so nennt mn ein solches Dreieck ds Bestimmungsdreieck Aus der Betrchtung des Bestimmungsdreieckes knn mn folgendes erkennen: Der Umkreisrdius r ist gleich dem Schenkel des Bestimmungsdreieckes Der Inkreisrdius ist gleich der Höhe des Bestimmungsdreieckes Die Bsis des Bestimmungsdreieckes ist gleich der Seite des regelmässigen Vieleckes Der Bsiswinkel ist hl so gross wie der Vieleckwinkel Winkel n * 80 n Inkreisrdius 4 r s n Fläche A n oder s n * 4 n * 4r sn A n sn n* * nr *sin *cos n n Umfng U n 80 n* sn nr *sin n Seitenlänge s n r *sin woei: 80 TS-Zürich Seite / ML

16 Der Kreis Alle Punkte, die in einer Eene von einem gegeenen festen Punkt gleichen Astnd hen, liegen uf einem Kreis. Kreiseigenschften: Der Kreis ist durch 3 Punkte estimmr Peripheriewinkel üer den gleichen Bogen sind gleich gross Ein Zentriwinkel ist doppelt so gross wie der dzugehörige Peripheriewinkel Ist der Zentriwinkel genu 80 ; der Peripheriewinkel dementsprechen 90, so nennt mn den Kreis Thleskreis Der Sehnentngentenwinkel ist gleich gross wie der Peripheriewinkel üer der Sehne Sehnen mit gleicher Länge hen den gleichen Astnd zum Mittelpunkt Der Rdius zum Tngentenerührungspunkt steht senkrecht uf der Tngente Innere (äussere) Tngenten sind Tngenten zweier Kreise. Die Tngentenschnitte sind gleich lng Die Punkte ller Kreise, die zwei Punkte gemeinsm hen liegen uf einer Gerden In einem Tngentenviereck ist die Summe zweier gegenüerliegender Seiten gleich gross Streckenverhältnisse Sehnenstz Schneiden sich zwei Sehnen innerhl Eines Kreises, so ist ds Produkt ihrer Aschnitte konstnt. * = * Sekntenstz Schneiden sich zwei Seknten usserhl des Kreises, so ist ds Produkt der entsprechenden Sekntenschnitte gleich. * = * TS-Zürich Seite / ML

17 Tngentenstz Schneiden sich eine Seknte und eine Tngente, so ist ds Produkt der Sekntenschnitte gleich dem Qudrt der Tngentenlänge. * = Berechnungen m Kreis Umfng U d * * * r Fläche A r * d 4 Kreisteile Fläche eines Kreissektors d A s * oder A s d * r * r 4 * rc Sehne eines Kreissegmentes s h r h h s Höhe eines Kreissegmentes h r 4r s r r Fläche eines Kreissegmentes A Seg r r s( r h) oder A Seg sin 80 TS-Zürich Seite / ML

18 Streckenverhältnisse Beispiel 8cm 3 cm Beispiel 6 4,5 4 3 Genuso wie Zhlen könne uch Strecken miteinnder verglichen werden. Knn mn uf zwei Strecken ein gleiches Mss n trgen, so sgt mn die Strecken sind mssverwndt. Ds geometrische Verhältnis (Quotient) ist ds Verhältnis ihrer Msszhlen. 8 8:3 3 Hen zwei Streckenpre gleiche Verhältniswerte, so ilden ihre vier Msszhlen eine Verhältnisgleichung, d.h. eine Proportion. Allgemein: c d Eine von den vier Strecken estimmen heisst, die vierte Proportion estimmen. Strhlensätze c c c c. Strhlenstz Werden die Strhlen eines Strhlenpres von Prllelen geschnitten, so sind entsprechende Aschnitte der Strhlen verhältnisgleich. TS-Zürich Seite / ML

19 . Strhlenstz Werden die Strhlen eines Strhlenpres von Prllelen geschnitten, so verhlten sich die Aschnitte der Prllelen wie die vom Scheitelpunkt usgehenden Aschnitte eines Strhles. c c Ds zeichnerische Lösen von Proportionsgleichungen Grundkonstruktion Zeichne zu den drei gegeenen Strecken,, und c die vierte Proportionle: c d oder c d TS-Zürich Seite / ML

20 Grundkonstruktion Zeichne zu zwei gegeenen Strecken und, woei die mittlere Proportionle sei, die dritte Proportionle d: d Grundkonstruktion 3 Zeichne zu zwei gegeenen Strecken und d die mittlere Proportionle : Die Verhältnisgleichung lutet: d d d Dieses Beispiel wird ls mit des Höhenstzes gelöst. TS-Zürich Seite / ML

21 Streckenteilung Innere Teilung Eine Strecke AB soll innen im Verhältnis m:n geteilt werden.. Möglichkeit: (mit Hilfe des. Strhlenstzes) A T B m n. Möglichkeit: (mit Hilfe des. Strhlenstzes) n A T B m TS-Zürich Seite / ML

22 Äussere Teilung Eine Strecke AB soll ussen im Verhältnis m:n geteilt werden. m n A B T Hrmonische Teilung Wird eine Strecke AB innen und ussen im gleichen Verhältnis geteilt, so sgt mn, sie sei hrmonische geteilt. Die Punkte A, B, C und D heissen hrmonische Punkte. m A C B D n n Goldener Schnitt (oder stetige Teilung) Eine Strecke AB ist stetig geteilt, wenn der längere Aschnitt die mittlere Proportionle zwischen der gnzen Strecke und dem kürzeren Aschnitt ist: A B C AC : AB AB : BC TS-Zürich Seite / ML

23 x -x 5 0, x 68 Grundkonstruktion des Goldenen Schnittes C D / A E B 5 0. AE 68 Mittelwerte Arithmetisches Mittel m m TS-Zürich Seite / ML

24 Geometrisches Mittel g g Hrmonisches Mittel m g h 90 h Ähnlichkeit Kongruent (=deckungsgleich) Ähnlich Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie in Form und Grösse üereinstimmen. Ds Zeichen ist Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in der Form üereinstimmen. Sie können er verschiedene Grössen hen. Ds Zeichen ist TS-Zürich Seite / ML

25 Kongruenzsätze ei Dreiecken. Kongruenzstz: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seiten üereinstimmen (SSS).. Kongruenzstz: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel üereinstimmen (SWS). 3. Kongruenzstz: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der grösseren Seite gegenüerliegenden Winkel üereinstimmen (SSW). 4. Kongruenzstz: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und zwei Winkeln üereinstimmen (WSW, SWW, WWS). Ähnlichkeitssätze der Dreiecke. Ähnlichkeitsstz: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis der drei Seiten üereinstimmen.. Ähnlichkeitsstz: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem ihnen eingeschlossenen Winkel üereinstimmen. 3. Ähnlichkeitsstz: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem der grösseren Seite gegenüerliegenden Winkel üereinstimmen. 4. Ähnlichkeitsstz: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln üereinstimmen. Bei ähnlichen Dreiecken gilt: ' ' c' h s w c ' c ' c h s w c U ' U A' A K K c ' K TS-Zürich Seite / ML

26 Wenn mn die Punkte von ähnlichen Figuren mit gerden verindet, so schneiden sich diese Gerden in einem Punkt. Dieser Punkt Z ist ds Ähnlichkeitszenrum. Wenn K positiv ist: Z Wenn K negtiv ist: Z TS-Zürich Seite / ML

27 Trigonometrie Die Trigonometrie ht die Aufge, die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln im eenen Dreieck herzustellen. (ei rechtwinkligen Dreiecken) Die Winkelfunktionen Sinusfunktion sin Gegenkthete Hypothenuse Kosinusfunktion cos Ankthete Hypothenuse Tngensfunktion tn Gegenkthete Ankthete Kotngensfunktion cot Ankthete Gegenkthete Steigung m tn z.b: Eine Steigung von 8,5% => m = tn = 8,5/00 = ; = 4,86 (im Rechner tn eingeen) TS-Zürich Seite / ML

28 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen cos tn sin(90 ) sin cos(90 ) cot(90 ) cot tn(90 ) sin cos (trigonometrischer Pythgors) sin tn cos cos cot sin tn cot cot tn Umrechnungstelle der Winkelfunktionen gegeen sin cos tn cot gesucht sin --- cos tn cot cos sin --- sin sin sin sin tn tn cos --- cos cos cos cot cot cot cot --- tn Spezielle Werte von Winkelfunktionen sin 0 3 cos tn cot TS-Zürich Seite / ML

29 Trigonometrische Funktionen elieiger Winkel Berechnungen des schiefwinkligen Dreiecks Der Sinusstz Zwei Seiten eines (elieigen) Dreiecks verhlten sich wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel. sin c sin sin sin oder ls fortlufende Proportion: : : c sin :sin : sin Der Sinusstz findet Anwendung, wenn: Eine Seite und zwei Winkel gegeen sind Zwei Seiten und ein Gegenwinkel gegeen sind Der Kosinusstz Ds Qudrt einer Dreiecksseite ist gleich der Summe der Qudrte der eiden nderen Seiten, vermindert um ds doppelte Produkt us diesen Seiten und dem Kosinus ihres Zwischenwinkels. c c c ccos ccos cos Der Kosinusstz findet Anwendung, wenn: Zwei Seiten und ihr Zwischenwinkel gegeen sind (Berechnung der 3. Seite) Die drei Seiten gegeen sind (Berechnung eines Winkels) TS-Zürich Seite / ML

30 Stereometrie Zylinderrtige Körper Zylinderrtige Körper hen eine Deckfläche, die Prllel und kongruent zur Grundfläche sind. TS-Zürich Seite / ML