Verteilungen eindimensionaler diskreter Zufallsvariablen Diskrete Verteilungen. Hypergeometrische Verteilung Poissonverteilung

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1 Verteilungen eindimensionaler diskreter Zufallsvariablen Diskrete Verteilungen Hypergeometrische Verteilung Approimationen Typisierung der diskreten theoretischen Verteilungen Bibliografie: Prof. Dr. Kück Universität Rostock Statistik, Vorlesungsskript, Abschnitt 5.2 Bleymüller / Gehlert Verlag Vahlen 23 Statistische Formeln, Tabellen und Programme Bleymüller / Gehlert / Gülicher Verlag Vahlen 24 Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Hartung Oldenbourg Verlag 22 Statistik 2

2 Hypergeometrische Verteilung Grundmodell der hypergeometrischen Verteilung ist das Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit schwarzen und weißen Kugeln ohne Zurücklegen. Die Urne enthalte N Kugeln, davon seien M Kugeln weiß. Der Urne werden n Kugeln entnommen, von denen weiß sind. X ist die Zufallsgröße für die Anzahl der weißen Kugeln unter n gezogenen. Die Anzahl der Entnahmemöglichkeiten von Kugeln beträgt: N M für n Kugeln insgesamt, für der M weißen n N M und für n- der N-M schwarzen Kugeln. n Die Wahrscheinlichkeit, unter den n gezogenen Kugeln weiße zu haben, ist also: M N M N f H () = / für =,..., n n n 3 Hypergeometrische Verteilung Verteilungsfunktion: j M N M N FH () = / ν = ν n ν n für für für < j < j + n mit j =,..., n Erwartungswert: E(X) = n M N Varianz: Var (X) = n M N (N M ) (N N N n) 4 2

3 Hypergeometrische Verteilung Beispiel: Ein Jahrgang eines ingenieurwissenschaftlichen Studiengangs, der aus 2 weiblichen und 8 männlichen Studenten besteht, wird zum Absolvieren eines Praktikums in 2 fünfköpfige Arbeitsgruppen aufgeteilt. Die Zufallsgröße X sei die Zahl der Studentinnen in einer beliebigen Arbeitsgruppe. Die Werte der Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion enthält die folgende Tabelle: f H (),3939,4244,27344,47849,548,26 F H (),3939,739453,946797,994646, Erwartungswert: E(X) = 5,2 = Varianz: Var(X)= 5,2,8 95/99 =, Hypergeometrische Verteilung Grafische Darstellungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion Verteilungsfunktion f(x),5,4,3,2, ,2 F(),8,6,4,

4 Hypergeometrische Verteilung Die Berechnung der Funktionswerte der hypergeometrischen Verteilung ist recht aufwendig. Daher benutzt man zur näherungsweisen Bestimmung unter bestimmten Voraussetzungen die Formeln für die Binomialverteilung. Die Fehler, die man dabei macht, sind bei großen N, M und N-M bzw. bei n/n<,5 klein. Das heißt: Ändert sich die Zusammensetzung der Grundgesamtheit durch das Entnehmen einzelner Elemente nur geringfügig, so lässt sich die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung approimieren. Approimationsregel: Falls n/n<,5, ist die Approimation mit M/N θ erlaubt. Unser Beispiel mit den Arbeitsgruppen stellt mit n/n =5/ =,5 einen Grenzfall dar. In der nachfolgenden Tabelle werden deshalb die eakten und die approimierten Werte (mit θ =2/ =,2) der Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion vergleichend gegenübergestellt sowie die Differenzen angegeben: 7 Hypergeometrische Verteilung f H () f B () f H ()-f B () F H () F B () F H ()-F B (),393, ,837,393, ,837,424,496,54,73945,73728,27 2,2734,248,254,9468,9428,472 3,4785,52 -,335,99465,99328,37 4,55,64 -,25,99979,99968, 5,2,32 -,,,, Die grafische Darstellung der beiden Verteilungsfunktionen zeigt kaum sichtbare Unterschiede: F(),2,8,6,4 Hypergeom.,2 Binomial

5 Hypergeometrische Verteilung Beispiel: Aus einer Urne mit N=6 Kugeln, von denen (N-M)=4 schwarz und M=2 weiß sind, werden zweimal je drei Kugeln entnommen. Die erste Ziehung erfolgt mit Zurücklegen (Binomialverteilung), die zweite Ziehung ohne Zurücklegen (hypergeometrische Verteilung). Die Zufallsvariable X sei die Zahl der gezogenen weißen Kugeln. Die beiden Verteilungen haben die gleichen Funktionsparameter: N B =N H =6, M H =M B =2, n B =n H =3, M/N=θ=/3. Da n/n=,5 >,5 ist, darf die hypergeometrische Verteilung nicht durch die Binomialverteilung approimiert werden. Für die beiden Ziehungen (Verteilungen) ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeitsfunktionen, Verteilungsfunktionen, Erwartungswerte und Varianzen: 9 Hypergeometrische Verteilung f H () f B () f H ()-f B () F H () F B () F H ()-F B (),2,2963 -,963,2,2963 -,963,6,4444,556,8,747,593 2,2,2222 -,222,,963,37 3,,37 -,37,,, E(X),, Var(X),4,6667 f H (3) liefert bei Eingabe in den Taschenrechner eine Fehlermeldung: / = nicht definiert! Aus inhaltlicher Überlegung ergibt 3 3 sich aber, dass die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne mit 2 weißen Kugeln ohne Zurücklegen 3 weiße Kugeln zu ziehen, Null sein muss. Für gleiche Funktionsparameter gilt: E H (X) = E B (X) (wegen: n M/N = n θ) Var B (X) Var H (X) (mit Var H (X)=Var B (X) für n= und mit Var H (X)= für n=n) 5

6 Hypergeometrische Verteilung,2 F(),8,6,4,2 Binomialvert. Hypergeom Die beiden Verteilungsfunktionen F H () und F B () (als Treppe durchgezogen) weichen deutlich voneinander ab. Eine Binomialverteilung und eine hypergeometrische Verteilung mit den gleichen Funktionsparametern (N, n und M/N=θ konstant) weisen in ihren Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen und ihrer Varianz Unterschiede auf, die nur unter bestimmten Bedingungen (=>Approimationsregeln) vernachlässigt werden können. Der Erwartungswert ist aber bei beiden Verteilungen identisch. [E(X) =n M/N =n θ =konstant] Hypergeometrische Verteilung Beispiel: Der Fischbestand in einem See lässt sich folgendermaßen schätzen: Man fängt und markiert M Fische und setzt sie wieder aus. Dann fängt man n Fische und stellt fest, dass darunter m markierte Fische sind. Unter der Annahme, dass m die zu erwartende Anzahl markierter Fische ist, d.h., m = E(X) = n M/N, erhält man N = M n/m als Schätzwert für die Anzahl der Fische im See. Aus M=5, n=, m=8 folgt N = 625 als Schätzwert für den Fischbestand im See. Anmerkung: Beim Fangen der n Fische kann man entweder jeden Fisch sofort nach dem Angeln wieder freisetzen (=>Binomialverteilung) oder die gefangenen Fische am Ufer sammeln (=>hypergeometrische Vert.). Aufgrund der identischen E(X) ist das Berechnungsverfahren (N=M n/m) bei beiden Methoden gleich. Das Sammeln der Fische ist trotzdem zu bevorzugen, da die hypergeometrische Verteilung eine kleinere Varianz hat, die Annahme m =E(X) somit eher zutrifft und das Sammel-Verfahren dadurch mit größerer Wahrscheinlichkeit ein richtiges Ergebnis liefert. 2 6

7 Betrachtet man die binomialverteilte Zufallsgröße X, wenn n über alle Grenzen wächst und dabei θ derart gegen Null strebt, dass n θ gegen den endlichen Erwartungswert µ konvergiert, so ergibt sich bei diesem Grenzübergang für X folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: Verteilungsfunktion: µ µ fp () = e für =,,... mit e = 2,78...(Eulersche! = j ν FP () µ e ν = ν! µ für für < j < j + mit Zahl) j =,,... 3 Erwartungswert und Varianz: E(X) = Var(X) = µ Typische Anwendungsfälle der ergeben sich aus Warteschlangenmodellen: Anzahl der Telefonate, die in einer Zeiteinheit eine Zentrale erreichen, Anzahl der Anfragen an einem Netzserver pro Zeiteinheit, Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit, Anzahl der Kfz, die in einer Zeiteinheit einen Grenzübergang passieren wollen. 4 7

8 Folgende Bedingungen charakterisieren einen Poisson - Prozess: Die Wahrscheinlichkeitsstruktur des Prozesses ändert sich nicht im Zeitverlauf (Zeitinvarianz). Die Anzahl der Vorkommnisse in sich nicht überlappenden Zeitintervallen ist unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, genau ein Vorkommnis in einem kleinen Zeitintervall zu beobachten, ist proportional zur Länge des Intervalls. Die Wahrscheinlichkeit, mehr als ein Vorkommnis in einem kleinen Zeitintervall zu beobachten, ist annähernd Null. 5 Beispiel: An einem Fahrkartenschalter erscheinen pro Minute durchschnittlich 3 neue Kunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer beliebigen Minute a) kein Kunde ankommt, b) höchstens zwei Kunden ankommen. Lösung: Die Zufallsvariable X ist poissonverteilt mit µ=3 pro Minute zu erwartenden Kunden. a) W(X=) = f P () = µ e -µ /! = 3 e -3 /! =,498 b) W(X 2) = f P () + f P () + f P (2) = 3 e -3 /! + 3 e -3 /! e -3 /2! =,498 +,494 +,224 =,

9 Grafische Darstellungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion.25 f() Verteilungsfunktion,2 F(),8,6,4, Die Binomialverteilung kann durch die approimiert werden, wenn bei genügend großem n der Parameter θ klein ist: Faustregel:Falls n> und θ<,5, ist die Approimation mit µ = n θ erlaubt! Die eignet sich auch zur Approimation der hypergeometrischen Verteilung, wenn M/N=θ klein und N im Vergleich zu n groß ist: Faustregel:Falls M/N<,5, n> und n/n<,5, ist die Approimation mit µ = n M/Nerlaubt! Für ausgewählte µ-werte sind die Wahrscheinlichkeits- und die Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung tabelliert (Bleymüller/ Gehlert, Formelsammlung). 8 9

10 Beispiel: Ein Betrieb produziert ein Werkstück mit einer Ausschuss-Quote von θ=,2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Entnahme einer Stichprobe von n=5 Werkstücken a) genau zwei b) mehr als zwei Ausschussteile gefunden werden. Lösung: Es handelt sich um eine Binomialverteilung, die wegen n=5> und θ=,2<,5 durch eine approimiert werden kann. In der Stichprobe ist µ = n θ = 5,2 = Ausschussteil zu erwarten. a) W(X=2) = f P (2) = µ /! e -µ = 2 /2! e - =,839 b) W(X>2) = -f P ()-f P ()-f P (2) = -,3679-,3679-,839 =,83 9 Grafische Darstellungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion.4 f() Verteilungsfunktion,2 F(X),8,6,4,

11 Beispiel: Von 25 an der WiSo-Fakultät eingeschriebenen Studenten stammen 5 aus dem Bundesland Niedersachsen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Umfrage mit n= Teilnehmern a) genau zwei b) mehr als drei Befragte aus Niedersachsen kommen? Lösung: Es handelt sich um eine hypergeometrische Verteilung mit N=25 und M=5, die wegen M/N=,2<,5, n/n=,4<,5 und n=> durch eine mit µ = n M/N = 2 approimiert werden kann. a) W(X=2) = f P (2) = µ e -µ /! = 2 2 e -2 /2! =,277 b) W(X>3) = - f P ()- f P ()- f P (2)- f P (3) = -,353-,277-,277-,84 =,429 2 Grafische Darstellungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion Verteilungsfunktion f() ,2 F(),8,6,4,

12 ,6 f(),5,4,3,2, µ =, ,35 f(),3,25,2,5,,5 µ =, ,25 f(),2,5,,5 µ = Das Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion der hängt stark von µ ab. 23 Die Darstellungen auf der vorigen Folie zeigen die Asymmetrie der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Als Ausdruck der Asymmetrie wird der Parameter Schiefe (absolut oder relativ) verwendet. Die relative Schiefe einer ergibt sich zu: E (( X (µ -/2 ) ist positiv und signalisiert damit, dass die Verteilung linkssteil ( = rechtsschief) ist. Die Schiefe nimmt mit wachsendem µ ab und strebt gegen Null. Die Verteilung wird dadurch annähernd symmetrisch. 3 E ( X )) ) µ = = ( E (( X E ( X )) ) ) ( µ ) µ 24 2

13 Approimationen F H () n/n <,5, n > und M/N <,5 n/n <,5 F B () n > und θ <,5 F P () N 2 n und n θ (- θ) 9 n θ (-θ) 9 µ 9 Normalverteilung F N () Auf die zu den stetigen Verteilungen gehörende Normalverteilung gehen wir in den kommenden Vorlesungen näher ein. 25 Typisierung der diskreten theoretischen Verteilungen Verteilung Binomialverteilung Bernoulli- Verteilung Gleichverteilung Parameter n =, 2,... θ θ n =, 2,... Erwartungswert [Varianz] θ n n i i= n [θ (-θ)] n θ 2 i n n n i i= i= [n θ (-θ)] 2 Grundmodell Ein Versuch mit n gleichwahrscheinlichen Resultaten i, i =, 2,..., n Anzahl der Versuche mit dem Resultat A, wenn ein Versuch mit zwei möglichen Resultaten A und Ā durchgeführt wird. Anzahl der Versuche mit dem Resultat A, wenn n Versuche mit zwei möglichen Resultaten A und Ā durchgeführt werden mit W(A) = θ. Urnenmodell mit Zurücklegen. 26 3

14 Typisierung der diskreten theoretischen Verteilungen Verteilung Hypergeometrische Verteilung Parameter N =, 2,... M =,,..., N n =, 2,..., N µ > Erwartungswert [Varianz] n M/N M N M N n n N N N µ [µ] Grundmodell Anzahl der Versuche mit dem Resultat A, wenn n Versuche mit zwei möglichen Resultaten A und Ā durchgeführt werden. Im ersten Versuch ist W(A) = M/N. Urnenmodell ohne Zurücklegen Verteilung im Warteschlangenmodell, wenn die Zufallsvariable X Zählvariable für die Bestimmung der Anzahl der Abfertigungen ist. Grenzverteilung der Binomialverteilung mit n, θ und n θ µ. 27 4