KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...

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1 KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge Grezwertbestimmug Grezwertbestimmug durch Abschätzug Mootoe Folge Eiige allgemeiere Beispiele Grudtechike zur Bestimmug vo Grezwerte vo Zahlefolge Lerziele 7 Defiitio eier Zahlefolge, Begriffe: koverget, diverget, bestimmt diverget, Eigeschafte vo Zahlefolge: Jede kovergete Zahlefolge ist beschräkt. Ubeschräkte Zahlefolge sid diverget. Der Grezwert eier kovergete Zahlefolge ist eideutig bestimmt. Rechehilfe: Grezwerte: q, =, Vergleichskriterium + a ) = e a, a R. Stetigkeitsargumet Mootoiekriterium 29

2 7 Zahlefolge Aufspalte vo Summe/Differeze/Produkte/Quotiete ist immer möglich, we die etstehede Grezwerte existiere. Reche mit Uedlich. Achtug! Ubestimmte Ausdrücke müsse aders utersucht werde. 7. Kovergete Zahlefolge Wir werde Zahlefolge dazu beötige de Begriff der Stetigkeit eier Fuktio zu defiiere, adererseits sid Zahlefolge aber auch Abbilduge. Defiitio 7. Uter eier Folge reeller Zahle oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erklärte reellwertige Fuktio, die jedem N 0 ei a R zuordet: Ma schreibt hierfür N 0 a R. a ) N ud a ) 0, oder auch a 0, a, a 2,.... Die Zahle a heiße Glieder der Folge. Die direkte Vorschrift a wird als explizites Bildugsgesetz, die rekursive Defiitio der a als implizites Bildugsgesetz bezeichet. Eie Zahlefolge heißt beschräkt, we es reelle Kostate K ud K 2 gibt mit K a K 2 für alle 0. Defiitio 7.2 Eie Zahlefolge a ) 0, strebt oder kovergiert gege de Grezwert a R, we es zu jeder beliebig kleie vorgegebee Schrake ε > 0 eie Idex 0 N gibt, so dass gilt a a < ε für alle 0. Ma schreibt: a a für oder kurz a a bzw. a = a. Jede gege Null kovergierede Folge heißt Nullfolge. Nicht kovergete Folge heiße diverget. 30

3 7. Kovergete Zahlefolge Beispiel 7.3 Die Folge a ) kovergiert gege Null ud ist deshalb eie Nullfolge. Nachweis der Kovergez aus der Defiitio. Es gilt a 0 = < ɛ ɛ <, d.h. wählt ma 0 gleich der kleiste atürliche Zahl, die kleier oder gleich ɛ 0 < ɛ für all > 0. ist, so gilt Beispiel 7.4 Die Folge a ) N mit a = ist diverget, a = 2 ist eie Nullfolge, 2 + a = kovergiert gege. Satz 7.5 Für jede kovergete Zahlefolge a ) 0 gilt. Der Grezwert ist eideutig bestimmt, d.h. aus a = a ud a = b folgt a = b. 2. Kovergete Zahlefolge sid beschräkt, d.h. es gibt eie Kostate K mit a K für alle N 0. Beweis zu ): Wir ehme a, dass gilt a = a ud a = b, d.h. es gilt a a < ɛ für alle 0 ud a b < ɛ für alle. Damit ist aber auch a b beliebig klei, da aus de Voraussetzuge folgt a b = a a + a b a a + a b 2ɛ für max 0, ). zu 2): Es sei ɛ =, da die Zahlefolge koverget ist, gilt a a für 0 a a a a a + für 0. D.h. alle Glieder der Zahlefolge mit 0 liege zwische a ud a +. Es verbleibe damit edlich viele Glieder der Zahlefolge, die u.u. außerhalb des Itervalls 3

4 7 Zahlefolge [a, a + ] liege, deshalb müsse diese edlich viele Glieder extra mit eibezoge werde, es sei K := mia, a 0, a,..., a 0 ) ud K 2 := maxa +, a 0, a,..., a 0 ), da gilt K a K 2 für alle 0. #. Defiitio 7.6 Ist a ) 0 eie Folge ud 0 < < 2 <... < m <... eie uedliche) aufsteigede Idexfolge, da heißt die Folge a 0, a, a 2..., a m,... Teilfolge vo a ) 0. Umittelbar aus der Defiitio folgt: Ist a = a, da kovergiert auch jeder uedliche) Teilfolge gege a. Defiitio 7.7 Ma sagt, dass eie Folge bestimmt gege de ueigetliche Grezwert divergiert, we zu jedem och so großem K R die Ugleichug a K für alle > 0 K ) gilt. Aalog defiiert ma die bestimmte Divergez gege de ueigetliche Grezwert. Beispiel 7.8 Für die Folgea ) >0 mit a = q, N, gilt a = q =, q >,, q =, 0, q <, diverget für q. 7.2 Grezwertbestimmug 7.2. Recheregel Aus gegebee Folge a ) 0 ud b ) 0 werde durch Additio, Subtraktio, Multiplikatio ud Divisio eue Folge gewoe. 32

5 7.2 Grezwertbestimmug Satz 7.9 Sid a ) 0 ud b ) 0 kovergete Zahlefolge mit da gilt. a ± b = a ± b, 2. a b = ab, isbesodere ist ca = ca, für c R. a = a ud b = b 3. Ist a 0, da gibt es ei N 0 mit a 0 für alle ud für die Folge a ), b ) gilt a = a, b = b a a. 4. a = a. 5. Ist a > 0, da gibt es ei 2 N 0 mit a > 0 für alle 2 ud für die Folge a ) 2 gilt a = a. Beweisidee:. Aus a a 0 ud b b 0 folgt als Abschätzug mittels Dreiecksugleichug: a ± b ) a ± b) = a a) ± b b) a a + b b Wieder Dreiecksugleichug: a b ab = a b b)+ba a) a b b + b a a A b b + b a a 0, isbesodere ist a A da jede kovergete Folge beschräkt ist siehe Satz 7.5.) ) 3. Ist a 0, da ethält a a 2, a a 2 icht die Null, aber alle Glieder der Folge ab eiem gewisse Idex. Für diese gilt a a a a a a C a a, für. 4. a a a a. 5. Ist a = 0, da sei ɛ > 0 beliebig klei gewählt ud es gibt eie Idex 0 N 0, so dass a ɛ 2 gilt für alle 0. Da gilt aber auch a ɛ für diese ud damit 33

6 7 Zahlefolge a 0. Ist dagege a > 0, da gilt a a = a a a + a a + a = a a a + a a a 0. a Bemerkug 7.0 Obige Recheregel gelte ur für edliche Grezwerte bzw. Teilgrezwerte. Trotzdem ka ma i eiige Fälle auch aus der bestimmte Divergez der Folge gege + bzw. auf die Kovergez bzw. bestimmte) Divergez schließe: ± = 0, 0 ± = 0, =, ) = ) =. Dagege sid 0 0,,, 00, sogeate ubestimmte Ausdrücke, d.h. der Grezwert ka edlich, uedlich oder auch icht existet sei. Beispiel 7. Die Folge a ) N mit dem allgemeie Glied a = 3 ist eie Nullfolge. Wie wir bereits gesehe hat ist die Folge mit a = eie Nullfolge, dashalb ist auch 3 eie Nullfolge. Ebeso ist die Folge mit a = + eie Nullfolge, da gilt = + ) = ) = ) = + 2 ), da = ist, ist diese Folge als Produkt zweier Nullfolge eie Nullfolge. Weiterhi strebt 2 deshlab die Folge des Neers b = + gege, somit ist der Grezwert der gesamte 2 Folge gleich Null, da die Zählerfolge eie Nullfolge ist ud der Neer gege 0 strebt Es ist erlaubt de Quotiete zu bilde.) Satz 7.2 Stetigkeitsargumet) Ist die Fuktio f x) i a stetig, da gilt für alle Folge a ) N mit a = a. ) f a ) = f a = f a) Vgl. Abschitt Stetigkeit vo Fuktioe.) 34

7 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug Beispiel 7.3 Die Folge a ) N mit dem allgemeie Glied a = + 3 ist eie Nullfolge. a = kovergiert gege 3 4, a = kovergiert gege Grezwertbestimmug durch Abschätzug Die Grudidee besteht dari Folgeglieder so abzuschätze, dass ma de Grezwert bekater Folge verwede ka. Satz 7.4 Vergleichskriterium) Lasse sich für die Glieder der Zahlefolge a ) 0 ach obe ud ute abschätze durch b a c mit b = c = c, da ist die Folge a ) 0 koverget ud es gilt a = c. Beweis: Für jedes ɛ > 0 gilt c ɛ b a c c + ɛ für alle hireiched große, also a c #. Satz 7.5 Grezwertbildug erhält schwache Ugleichuge) Sid a ) 0 ud b ) 0 kovergete Folge mit a b für alle, da gilt a = a b = b. Bemerkug 7.6 Die Grezwertbildug erhält aber i. Allg. keie strikte Ugleichuge. Aus a < b für alle, folgt ur a = a b = b ud icht die strikte Ugleichug, wie das Beispiel a = 0 ud b = belegt. 35

8 7 Zahlefolge Beispiel 7.7 si )2 Die Folge a ) N mit dem allgemeie Glied a = ist eie Nullfolge. Beispiel 7.8 Ma bestimme de Grezwert. Dieser Grezwert ist icht trivial, da es zwei widerstreitede Teile gibt. Nämlich strebt für offesichtlich gege Uedlich, adererseits strebt c für jede belieibige poisitive reelle Zahl gege Eis. Was ergibt sich u als Grezwert? Wir schätze wie folgt ab: = ) + ) = + ) ) + ) ) 2 ach der Biomische Formel ) + ) 2 2 da für jedes feste N gilt ud damit 0. Damit ergibt sich die Ugleichug ) + ) 2 2 ) ) ) 2 0 ud es gilt ) 2 = 0. Damit ist aber auch ) = ) 2 = 0. ud = ) + ) = ) ) + = 0 + =. 7.4 Mootoe Folge Defiitio 7.9 Eie Zahlefolge a ) 0 heißt mooto wachsed bzw. mooto falled), we a + a bzw. a + a ) für alle 0 gilt. 36

9 7.4 Mootoe Folge Bemerkug 7.20 Die Folge a ) 0 ist geau da mooto wachsed, we die Folge a ) 0 mooto falled ist. Satz 7.2 Mootoie-Kriterium) Jede mooto wachsede oder mooto fallede beschräkte Zahlefolge ist koverget. Beispiel 7.22 Die Zahlefolge a ) N mit dem allgemeie Glied a = c ist koverget ud hat de Grezwert wie ma mit dem gleiche Trick wie für zeige ka, a = k=0 ist koverget ud hat de Grezwert e. k! Bemerkug 7.23 Ei weiterer wichtiger Grezwert ist + ) = e. Weiterhi gilt + a = e ) a, für alle a R. Bemerkug 7.24 Es sei davor gewart, aus Testrechuge mit dem Tascherecher auf die Kovergez bzw. de Grezwert der Folge zu schließe. Ei schöes Beispiel dafür ist ) 3 + log 0 0! Die erste hudert oder auch taused) Glieder sid wizig, da 0! = = ud z.b. log = log = 3 ist. Trotzdem strebt log 0 für. 37

10 7 Zahlefolge gege Uedlich! Folglich gilt 3 + log 0 ) =. 0! 7.5 Eiige allgemeiere Beispiele Es gelte die übliche Regel, die jeder ket, ur weiß ma ebe icht welche Regel de u azuwede ist. Aufgabe 7. Ma bestimme de Grezwert der Folge mit dem allgemeie Glied a = Wir bereche zuächst die Teilgrezwerte: 2 = 3 = 2+ = 3+ =. Es ist also ei ubestimmter Ausdruck Uedlich durch Uedlich. Dafür gibt es die Regel vo L Hospitale. Die L Hospitalsche Regel gibt es ur für Fuktioegrezwerte! Wir müsse us also etwas aderes eifalle lasse. Was köte das sei? Erweiter mit Hilfe der biomische Formel a + b)a b) = a 2 b 2. Ausklammer ud Kürze Beispiel zu Ausklammer ud Kürze a = Aufgabe 7.2 Ma bestimme de Grezwert

11 7.5 Eiige allgemeiere Beispiele I userem Beispiel hilft Ausklammer ud Kürze. Wir klammer sowohl i Zähler als auch Neer 3 aus ud Kürze: 2 ) 3 + a = = ) ) = Nu sieht ma, dass als Teilgrezwert ur och zu bereche ist ud damit ergibt sich ) 2 = = = 3. 2 ) Beispiel zum Ausklammer a = 2 2 Aufgabe 7.3 Ma bestimme de Grezwert 2 ) 2 Um de Grezwert zu bestimme, ist der beste Weg auszuklammer: 2 ) 2 = 2 ) 2 ) ) ) = 2 2 Es gilt ud damit 2 2 = 2 = 0 ) = 2 ) 2 ) = 2 = + 2 > 0, 39

12 7 Zahlefolge somit ergibt sich isgesamt 2 ) 2 = + 2) = Beispiel zum Erweiter a = Aufgabe 7.4 Ma bestimme de Grezwert Die Aalyse des Quotiete ergibt eie Ausdruck der Gestalt + ud der Neer ud damit der gesamte Bruch sid ei ubestimmter Ausdruck. Wir überwide das Problem durch Erweiter gemäß der 3. biomische Formel: ) ) = ) 2 = 2 2 = ) Damit ergibt sich ei weiterer ubestimmter Ausdruck vom Typ. Diesmal klammer wir i Zähler ud Neer aus: = ) ) ) = = + 3 ) ) = Beispiel zum Grezwert e Die typische Aufgabe hierzu beruhe auf der Tatsache, dass icht ur ist, soder, dass allgemei gilt x + ) = e + x ) x = e. Der Trick besteht also dari ei geeigetes x zu sehe. 40

13 7.5 Eiige allgemeiere Beispiele Aufgabe 7.5 Ma bestimme des Grezwert + 3 ) 2 Durch geeigetes Aufschreibe fide wir ei geeigetes x. + 3 ) 2 = + 3 ) Mit strebt aber auch x = gege Uedlich ud wir köe de Grezwert umschreibe 3 zu Für Grezwerte gilt ak = a ) k, + 3 ) 2 = x + 3 ) 2 = x + x ) x 3 2. k N ud damit ist + x ) x 3 2 = x + x ) x ) 6 = e 6. 4

14 7 Zahlefolge 7.6 Grudtechike zur Bestimmug vo Grezwerte vo Zahlefolge. Ausklammer, 2. Erweiter mit der 3. biomische Formel a b)a + b) = a 2 b 2, 3. Recheregel für Grezwerte vo Zahlefolge, 4. Stetigkeitsargumet: Ist f stetig i a ud gilt a = a, so ist 5. Stadardgrezwerte : a) = 0, b) α = c) q = d) e) =,, α > 0,, α = 0, 0, α < 0, ) f a ) = f a, q >,, q =, 0, < q <, exisitert icht, q, + ) = e, p + p ) = e, p 0, 6. Reche mit Uedlich: a) c ± = ±, c R, = f a), b) c =, c ) =, c) ) =, c > 0, c) c ± = 0, c R, d) + =, =, e) =, ) =, ) ) =, 0 0, Vorsicht! Dagege sid 0,, ubestimmte Ausdrücke, d.h. der Grezwert ka edlich oder uedlich sei oder exisitert überhaupt icht! 7. Satz über die mootoe Kovergez: mootoe ud beschräkte Folge sid koverget. 42

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