Finanzmathematische Grundlagen zur Zins- und Rentenrechnung

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1 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug (Fassug - November 008) /3 Markus Scheche Emal: Homepage:

2 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Vorwor Deser Tex sell ee Sammlug meer Noze zur Zs- ud Reerechug dar ud wrd uregelmäßge Absäde akualser. Tpps ud Areguge ehme ch gere egege. Vorab soll kurz auf e häufges Mssversäds über Kodoe vo Geldalage ud Kred- oder Geldaufahme egegage werde. Als Prvaperso ke ma für Geldalage mes Zssäze zwsche % ud 5 %. Der Zssaz für ee kurzfrsge Geldaufahme (Dspo-Kred) leg mes gue 0 % darüber. Dese Zusammehag solle ma für de folgede Tex komple besee lege. Her sd de Markelehmer kee Prvapersoe, soder Saae, Bake ud Uerehme zwefelsfreer Boä. Auch werde m mdeses Mo. aufwärs deulch höhere Voluma gehadel. Leg her der Zssaz für ee ejährge Geldalage bespelswese be 5,00 %, so leg der für ee Geldaufahme be 5,0 % ud behale dam ur ee sehr gerge Hadelsspae. Da deser Uersched so gerg ausfäll, wrd zur weere Verefachug davo ausgegage, dass de Zssäze für Geldalage ud Geldaufahme desch sd (abragefreer Mark). Ergäzug November 008: De Fazkrse der Jahre 007 ud 008 ha auch vor der soebe gemache Aahme ch hal gemach. Telwese lege u auch für Bake de Zssäze für Geldaufahme ud Geldalage weer auseader. Sellewese s es sogar so, dass ee Geldaufahme zewese überhaup ch mehr möglch s. De gemache Aahme des abragefree Markes wrd daher deoch aufrecherhale, da de Zs- ud Reerechug lezlch davo ausgehe muss, dass e geregeler Mark vorhade s; aderfalls sd alle achfolged gemache Aussage oheh gegesadslos. Auch wrd her e heoresches Kozep behadel, das für de Praxs ers och espreched och azupasse s. /3

3 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Ihal. Efache Zs- ud Reerechug be kosaem Zs Aufzsug ud Abzsug eer Zahlug Abzsug eer Zahlugsrehe (Reebarwerfakor) Aufzsug eer Zahlugsrehe (Reeedwerfakor) Nomal- ud Effekvzs Zse ud Rede Der Zs De Rede Verglech vo Zs ud Rede Modellerweerug für de verzse Varae Redeberechug mels srukurkogrueer Refazerug Redeberechug über Forward-Säze Barwerrechug m eer Zssrukurkurve Zssrukurkurve verschedeer Marksegmee Ermlug der Zssrukurkurve De Srukurkogruee Refazerug (SKR) Zerobod Abzsugsfakore (ZAF) De Boosrappg-Mehode Efluss vo Geld- / Brefspae auf de Barwer Der Begrff srukurkogruee Refazerug s e egeragees Warezeche der Gllardo AG 3/3

4 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug. Efache Zs- ud Reerechug be kosaem Zs Das efachse Umfeld für de Zs- ud Reerechug s e Mark m eem ezge Zs für alle Laufzee. Das bedeue, dass bespelswese für ee ejährge Geldalage der gleche Zs gezahl wrd we für ee füfjährge Geldalage. Durch de Aahme, dass e Zs für alle Laufzee gl, sell deser Mark ee Spezalfall dar, dem Zse ud Rede desch sd. Der Uersched deser bede Bezechuge wrd uer Absch. och geauer dargesell. Weerh exsere kee Geld- / Brefspae, weshalb zu e ud demselbe Zs Geld sowohl ageleg als auch aufgeomme werde ka. Für de erse Bespele solle zuächs auch ur gazjährge Laufzee der Geschäfe möglch se. Defere Varable: BW Barwer ees Zahlugssroms zum heuge Zepuk (0) Auch als EW 0 oder K bezeche. EW Edwer ees Zahlugssroms zum Zepuk Zssaz (eres rae) dezmaler Schrebwese 6 % 0,06 Ze Azahl der Perode (Jahre) be Afall der Zahlug E Bespel aus der Praxs herfür s de Berechug der seuerlch zulässge Pesosrücksellug ach 6a ESG. Es exsere kee Adressrske alle Schulder habe ee zwefelsfree Boä. 4/3

5 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug.. Aufzsug ud Abzsug eer Zahlug Ee bespelhafe Geldalage vo K 00 zu 6 % 0,06 führ ach Jahr som zu eem Edwer EW 06. De Formel herzu laue: K ( ) ( 0,06) EW Dese Berechug des Edweres e ma auch Aufzsug. Mels ees efache Dresazes bzw. Umformug ach K gelag ma zur Umkehrfuko der Abzsug. EW K ( ) K EW ( ) Ma ka herm u bereche we vel Kapal ma heue alege muss, um ach eem Jahr e gewüsches Edkapal zu erhale. Ee weere Beschrebug s, dass ma m der Abzsug bereche was der Edwer EW de heue wer wäre bzw. s. Her sprch ma auch vom Barwer. Daher wrd de Varable des heuge Kapals K m Folgede auch durch BW für de Barwer ersez. De ächse Fragesellug bezeh sch u auf mehrjährge Laufzee. Herzu wede ma de Formel für Auf- ud Abzsug efach mehrmals a. Der Edwer, de ma ach eer ejährge Aufzsug erhäl, sez ma u als eue Sar- Barwer ochmals de Formel e. Im Fall eer drejährge Laufze sell sch des we folg dar. BW ( ) EW EW ( ) EW 3 EW ( ) EW ( ) ( ) ( ) BW ( ) 3 EW 3 BW M deser Vorgeheswese uersell ma, dass Zse ch ausgezahl werde, soder dem Kapal hzugereche ud mverzs werde. Für de akuelle Markumgebug m ur eem Zssaz s es jedoch egal ob de Zse ausgezahl werde, da weder zum gleche Zs ageleg werde köe. 5/3

6 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Für de allgemee Fall m eer Laufze vo Jahre gl daher: ( ) EW BW für de Aufzsug ud BW EW ( ) für de Abzsug. Be gebrochee Laufzee leg es ahe für de Varable ch ausschleßlch gaze Zahle soder auch gebrochee Jahre we,5 für ¼ Jahr zuzulasse. Dese Vorgeheswese s m Allgemee auch prakkabel ud wrd m Folgede auch verwede. Be der asächlche Bewerug vo Geld- ud Kapalmarksrumee uersell ma herm jedoch ee Zskoveo, de der Regel der Praxs aber kaum aufr. De de Zse würde be der ebe agewedee kouerlche Verzsug uas äglch 3 ermel, dem Kapal zugereche ud am Folgeag mverzs. Dese für alle Markelehmer rasparee ud fare Zskoveo wäre m heuge Zealer mels EDV auch problemlos realserbar. I der Praxs habe sch aus der Vergagehe jedoch Zskoveoe (moalch, uaralswese ec.) ewckel, de besser für ee mauelle Berechug geege sd. Abzsug vo Zahluge ( ) ( ) ( ) 3 BW EW EW EW * Grafsche Darsellug der Abzsug 3 Geau geomme bedeue seg, dass für jede belebg klee Zeehe ( 0) ee Verzsug ermel wrd bzw. werde ka. 6/3

7 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug.. Abzsug eer Zahlugsrehe (Reebarwerfakor) Hadel es sch ch mehr um ee ezele Zahlug, soder um mehrere Zahluge, sprch ma vo eer Zahlugsrehe. I der Praxs geh es bespelswese um de Fragesellug welches Kapal für ee wederkehrede Reezahlug heue ög s. Her s es ebefalls möglch dese mels eer efache Formel auf- oder abzuzse. Als Prämsse gl herbe, dass de laufede Zahluge Z glech hoch (uform) sd ud glechmäßg (äudsa) afalle. Ob des am Perodeede (achschüssg) gescheh oder am Perodeafag (vorschüssg), ka durch ee klee Varao der Formel dargesell werde. Zusammefassug defere Varable: Zusäzlch zur Auf- ud Abzsug werde och de folgede Varable verwede. Azahl der Zahluge. Im Exkurs zur geomersche Rehe werde folgede Varable verwede. R g k Rehe R m Elemee. geomersche Rehe g m Elemee. allgemee Zählvarable / Idex Basseleme der geomersche Rehe Das Basseleme seh her zur bessere Übersch je ach Awedug für de Abzsugs- oder de Aufzsugsfakor. ( ) bzw. ( ) De Abzsug eer Zahlugsrehe erfolg dem ma jede Zahlug Z espreched hres Zahlugszepukes auf de heuge Tag 0 abzs. Auf ee Idexerug vo Z m wurde verzche, da alle Zahluge defosgemäß bs auf de Zepuk glech sd. 7/3

8 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug 8/3 Der Asaz herfür laue: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z Z Z Z BW... Zur bessere Übersch wrd m Z gereche. De Barwer BW für ee Bass- Geldehe e ma auch achschüssge Reebarwerfakor RBWF achschüssg. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) achschüssg RBWF... Um de obere Rehe weer zu verefache s zuächs das Ergebs aus dem folgede Exkurs zur geomersche Rehe owedg. Exkurs zur geomersche Rehe: Ee Rehe Form vo k k R... 3 läss sch verefache dem ma zuers de Fakor ausklammer. ( ) 0... k k k k R Be der Rehe der obere Klammer hadel es sch um ee geomersche Rehe.... g Vo deser Rehe wrd hre Mulplkao m u weder subraher. g... Herbe hebe sch bs auf Afag ud Ede der Rehe alle Elemee auf. g g... Durch Ausklammer vo g - erhäl ma: ( ) g ud g

9 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug 9/3 Sez ma deses Ergebs u weder de ursprüglche Rehe e erhäl ma. R k k k k achschüssg 0 ) ( Das Ergebs gl für de Rehe eer achschüssge Zahlug. Für de Rehe der vorschüssge Zahlug muss der gesame Zahlugssrom ur um e ach vore verschobe werde, da de erse Zahlug her ch abgezs wrd. Des gescheh efach dem ma de Fakor vor dem Bruch durch ersez bzw. wegläss. R k k vorschüssg 0 ) ( Das Ergebs aus dem vorherge Exkurs läss sch u verwede, we ma folgede Zuordug für de eperodge Abzsugsfakor vormm ud ) ( R achschüssg esez. Dadurch erhäl ma be eer achschüssge Zahlug / Ree de Formelasaz: ( ) ( ) ( ) ( ) RBWF achschüssg Zwscheschr: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RBWF achschüssg Der Schr vom vor- zum achschüssge Reebarwerfakor erfolg ählch we bem Exkurs zur geomersche Rehe. Da u der Ausgagsformel ke

10 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Abzsugs-Vorfakor zum Sreche mehr zur Verfügug seh, wrd der achschüssge Reebarwerfakor sadesse für ee Perode aufgezs. RBWF vorschüssg ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RBWFachschüssg ( ) Zusammefassed gl: RBWF RBWF achschüssg vorschüssg ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 achschüssger Reebarwerfakor vorschüssger Reebarwerfakor.3. Aufzsug eer Zahlugsrehe (Reeedwerfakor) Nu soll ch der Barwer eer wederkehrede Zahlug zum heuge Zepuk besmm werde, soder dere Edwer der Zukuf. I der Praxs r dese Fragesellug auf, we das Edkapal ees regelmäßg egezahle Berages ermel werde soll. Bespele sd de Berechug des Alageerfolgs vo Bak-, Bausparverräge ud Lebesverscheruge 4. M eem klee Trck läss sch de Formel beres aus der für de abgezse Zahlugsrehe ablee. M dem Reebarwerfakor wrd beres de gesame Zahlugsrehe zu eer ezge Zahlug am heuge Tag, dem Barwer, zusammegefass. Dese see Zahlug müsse ma daher egelch ur zusäzlch zum Ewerzepuk aufzse. Beres beka s: RBWF achschüssg ( ) ( ) EW BW ud ( ) 4 Das Todesfallrsko wrd desem Bespel verachlässg. 0/3

11 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug De beschrebee Vorgeheswese bedeue u de RBWF achschüssg BW zu seze ud a erhäl de Formel, de ebeso für vorschüssge Zahluge ermel werde ka. EW ( ) ( ) ( ) ( ) Der Reeedwerfakor läss sch selbsversädlch auch, we de Reebarwerfakor, über de geomersche Rehe bereche. Herzu sez ma de Varable de Fakor für de efache Aufzsug () e. R k vorschüssg ( ) egesez k 0 Achug: Durch das eseze R (achschüssg) würde ma durch de Sadpukwechsel de vorschüssge Reeedwerfakor erhale. Des läss sch erkläre, da de de aus Sch des Barwers (0) achschüssge Zahluge aus Sch des Edwers u vorschüssg sd. So wrd de leze achschüssge Zahlug m / () abgezs. Aus Sch des Edweres fäll se jedoch geau m Edwer a Ee Aufzsug (m Fakor ) fde her ch mehr sa also vorschüssg aus Sch des Edweres. REWF vorschüssg ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /3

12 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug De Folgede Grafk sell ochmals de Wechsel vo achschüssger Zahlug vorschüssge Zahlug dar. De Zahluge Z -3 sd aus Sch des Barwers achschüssg, aber vorschüssg aus Sch des Edwers. De Bezechug der Zahlug erfolg jedoch ses aus heuger Sch (erse Zahlug sofor oder ach eer Perode) der des Barweres, also achschüssg. De Esezug vo R erfolg aus Sch des Edweres - also das vorschüssge R. vorschüssg vorschüssg vorsch. achschüssg achschüssg achschüssg BW Z Z Z 3 Barwer 0 Edwer 3 * Darsellug des Wechsels der Berachugswese vo achschüssg vorschüssg. Zusammefassed gl: ( ) REWFachschüssg achschüssger Reeedwerfakor REWF vorschüssger Reeedwerfakor vorschüssg ( ) ( ) /3

13 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug.4. Nomal- ud Effekvzs Auf de erse Blck ersche de Agabe ees Zssazes vo z.b. 4 % p.a. edeug. Be desem Zs hadel es sch auf jede Fall um de Nomalzs. Sd de Zse jährlch, achschüssg zu zahle s des ebefalls der Effekvzs. Nu werde Rechugsabschlüsse vo Bakkoe der Regel uaralswese ersell. Das erse Verel der Zse s u z.b. scho deulch früher zu erche. Ma köe sage, dass sch herdurch der Zs scho ewas euer afühl. Um ee Verglechbarke Zssäze uer Berückschgug der Sellschraube des Rechugsabschlusses herbezuführe, exser der Effekvzs. Be eem Nomalzs vo 4 % ud uaralswese Rechugsabschlüsse bzw. Kapalseruge 5 s dam für jedes Quaral e Zs vo % zu zahle. Dese Zs läss ma auf dem Koo sehe ud daher werde dese % zusäzlch och mverzs. Berache ma de ver Quarale als ver dmesoslose Perode ka ma das Ergebs aus desem Koo über de Aufzsugsformel aus.. ermel. EW BW o m al 4 4 effekv EW BW o m al 4 4 Ma erhäl m der obere Formel ee Effekvzs vo 4,06 %. Um dese Fakor wächs das Kapal durch de mehrmalge Kapalserug erhalb ees Jahres a. % % % % 00,00 0,00 0,0 03,03 04,06 0 /4 /4 3/4 4/4 5 Der Zs wrd dem Kapal zugeschlage ud vo da a mverzs. 3/3

14 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug We ma selbs m verschedee Schrwee fesselle ka seg der Effekvzs sogar m häufgere Kapalserugserme och weer a. Es läge für de Geldgeber daher ahe see Zse uedlch of m Jahr zu kapalsere. Dem scheb jedoch beres de Mahemak ee Regel vor. Der Effekvzs seg zwar m häufgere Kapalseruge, zeg allerdgs ee Kovergez, de ee obere Greze darsell. Für uedlche Kapalseruge gl ohe geauer auf de Eulersche Zahl e,78 ezugehe: lm o m al e o m al Verzsugsare m edlche Kapalseruge bezeche ma als dskree Verzsug, da de Fuko zwsche de Zepuke auch ch defer s. De Grezfall m uedlche Kapalseruge e ma daher kouerlche oder auch sege Verzsug, da für jede belebge Zepuk de Kapalewcklug (Effekvzs) defer s. De Beschräkug des Wereberechs auf bzw. soll ur ausdrücke, dass es sch um de Berech erhalb eer Perode hadel ud s m allgemee Fall ch owedg. dskree Verzsug: effekv ( ) o m al N sege Verzsug: effekv ( ) o m ( ) e al R De sege Verzsug r der Mark-Praxs ch auf. Beög wrd se jedoch z.b. für de Bewerug vo Fazdervae, we dem Black & Scholes 6 bzw. Black76 Modell zur Opospresbewerug, da her of m sege Vereluge gearbee wrd, de ee sege Verzsugsverlauf ohe Defoslücke beöge. 6 Black, F. ad M. Scholes, The Prcg of Opos ad Corporae Lables, Joural of Polcal Ecoomy 8, No. 3 (May-Jue 973), pp Mero, R.C., The Theory of Raoal Opo Prcg, Bell Joural of Ecoomcs ad Maageme Scece 4, No. (Sprg 973), pp /3

15 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug. Zse ud Rede Der Uersched zwsche ud Zse ud Rede ersche zuächs rval. Im Zusammehag m Zse sprch ma of auch vo eer laufede Verzsug be Rede s m Gegesaz herzu of vo eer Verfallrede de Rede. Um de Uersched m Folgede aschaulch herauszuarbee, wrd zuers auf Bespele aus de Afäge des Geldverlehes egegage. Herbe se vorab bemerk, dass de Boä des Schulders ewadfre s. Der Pres, der für de Zeraum des Verlehes verlag wrd, s som ur ee Vergüug für de egelche Verzch auf das Kapal... Der Zs Der Asaz de e Zs verfolg, s der, dass für das Überlasse ees Geldberags ee perodsche Gebühr währed der Überlassug verlag wrd. Für das Verlehe vo 00 werde bespelswese 5 a Gebühr pro Jahr fällg, de jewels am Ede ees jede Jahres oder be vorherger Fällgke des Kapals zu zahle sd. Her sprch ma auch vo eer laufede Verzsug bzw. eem Zs vo 5,00 % p.a. auf de Kapalberag Dese Kapalmarkusace s besoders m europäsche Raum we verbree. Aufgrud der wederkehrede Zahlug sprch ma be dem Zs auch vo eer Ree ählch eer Alersree oder Peso. Das Markumfeld dem m solche verzse Forderuge 7 gehadel wrd, wrd daher auch Reemark gea. Auszahlug vo 00 Zszahlug vo 5 Rückzahlug der 00 ud Zszahlug vo 5 0 * Darsellug der Zahlugssröme (Cash-Flows) be eem verzse Geldverleh. 7 Geme sd her Alehe ud Schuldverschrebuge, also verbrefe Geldforderuge, de dam ch mehr bem Erskredgewährede verblebe müsse, soder vo desem weerverkauf werde köe. 5/3

16 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug.. De Rede E aderer Asaz führ zuächs über ee Dsko 8. Der Schulder geh heue ee Verpflchug für de Zukuf e ud erhäl dafür heue ee Geldberag ausgezahl, der beres um alle währed der Laufze afallede Gebühre gekürz wurde. Som sd bs zur Fällgke kee weer Zahluge zu lese. Für de Verpflchug zwe Jahre 00 zurückzuzahle zahl e Geldverleher z.b. heue 90,70 (Abzsugsfakor für Jahre 90,70 %) aus. Dese Kapalmarkusace s besoders m eglschsprachge Raum we verbree. Da dese Forderuge bs zur Fällgke kee Zahluge zur Folge habe, sprch ma her auch vo Zerobods (Nullkupoalehe). Um de Gebühr des Dsko-Geldverlehers m der des Zs-Geldverlehers zu vergleche, reche ma mels der umgeforme Abzsugsformal aus. de Varable aus, de ma aufgrud des Ursprugs aus eem Dsko-Geschäf u ch Zs soder Rede e. EW 00,00 K EW Eseze der Varable 0,05 K 90,70 ( ) Auszahlug vo 90,70 kee Zahlug! Rückzahlug der 00 0 * Darsellug der Zahlugssröme (Cash-Flows) be eem dskoere Geldverleh. 8 Abzug - eglsch: dscou. 6/3

17 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug.3. Verglech vo Zs ud Rede M de voragegagee Ausführuge s bewese, dass bede Bespele zum gleche Ergebs führe. Aschaulch ka ma sch des auch vorselle, dass ma sch heue de 90,70 bem Dsko-Geldverleher leh ud dese selbs als Zs- Geldverleher zu 5 % weder für zwe Jahre verleh. Herbe sd bede Geschäfsare ohe Dffereze eader überführbar. Wederalage Jahr zu 5 % Auszahlug vo 90,70 Zszahlug vo 4,54 Rückzahlug der 90,70 ud Zszahlug vo 4,54 Rückzahlug der 4,54 ud Zszahlug vo 0, T 0 * Darsellug der verzse Alage des dskoere Auszahlugsberags. Dam wäre bewese, dass Zs ud Rede desch sd, wo doch zu Beg davo gesproche wurde grade de Uersched herauszuarbee. Deser Uersched exser der Regel auch ud ra ur bsher ch auf, wel m voragegagee Bespel zur verzse Varae Aahme gemach wurde, de eem Spezalfall Zse ud Rede desch werde lasse. Nur be Geschäfe, de geau ee Perode laufe ud kee zusäzlche Zszahluge erhalb deser Perode habe, sd Zs ud Rede mmer desch. Uersuche wr daher de Aahme aus dem Bespel geauer. Abgesehe vo der Aahme, dass gelehee Beräge sofor weder weer verlehe werde köe, wurde () uersell, dass der Zssaz vo 5 % weerh gl ud das auch obwohl her das Geld ur och e Jahr verlehe wurde. Werde aber für ee Berechug zum Zepuk (0) Markprese heragezoge, dürfe ur solche verwede werde, de auch asächlch zu (0) vorlege ud dam hadelbar sd. 7/3

18 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Wederalage Jahr zu 5 % zulässg? Zszahlug vo 4,54 Rückzahlug der 4,54 ud Zszahlug vo 0, Dass ee Aussage über de zuküfge, ejährge Zs () zum Zepuk (0) umöglch s, bedarf keer weere Erläuerug. Der ejährge Zs (0) s jedoch beka. M deser Iformao ud eem m folgede Exkurs erläuere Hlfsmel s es möglch zum Zepuk (0) e Geschäf m eer Laufze vo eem Jahr zu äge, das aber ers () beg. Dadurch ka da der gesuche Zs ausschleßlch aus Iformaoe, de (0) vorlege ermel werde. Herbe hadel es sch um e so geaes Geldgeschäf auf Term. De Zssaz herfür e ma auch Forward-Rae oder kurz ur Forward, we klar s, dass es sch um ee Zssaz hadel. Exkurs - Geldgeschäf auf Term Für das folgede Bespel wrd de eue Aahme gemach, dass für kürzere Laufzee der Regel gergere Zse verlag werde als für lägere Laufzee ud vce versa. Aber auch adere Markkosellaoe sd möglch. Nur sd dese da der Erklärug ewas weger aschaulch. Des läss sch verefached dadurch erkläre, dass der Geldverleher sch lägere Ze a ee Zssaz bde ud dese auch be Markveräderuge ch mehr währed der Laufze äder ka. Für de Redeberechug aus der Dsko Varae s des ch releva, da zum Zepuk () kee Zahlug safde. Dam s beres erkebar, dass für de Redeberechug kee zusäzlche Markdae heragezoge werde, ezg der dskoere Auszahlugsberag (0) fleß als Markpres e. Zum Zepuk (0) solle bespelhaf de folgede Markdae vorlege: 8/3

19 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug 3,00% Zssaz für ee Laufze vo eem Jahr 5,00% Zssaz für ee Laufze vo zwe Jahre ZAF 90,70% (Zerobod-)Abzssugsfakor für ee Laufze vo Jahre r ZAF 5,00% Zugehörge Rede für de ZAF r ZAF ZAF Geschäf Dskogeschäf Jahre 90,70 Rückzahlug 00 0 Geschäf Dskogeschäf Jahr 90,70 Rückzahlug 93,4 [ 90,70 *,03 ] Rede Zs 7,04 % * Geldgeschäf auf Term Hadel es sch m Bespel be Geschäf um ee Geldalage ud be Geschäf um ee Geldaufahme, fde (0) kee Zahlug mehr sa. Ers () sd 93,4 fällg (ezuzahle), de da () m 00,00 zurückgezahl werde. Dam werde 93,4 eem Jahr für e Jahr ageleg ud rechersch m 7,04 % verzs. Solche Termgeschäfe bzw. Forward-Raes werde auch drek am Geld ud Kapalmark gehadel ohe de Geschäfe & ezel abschleße zu müsse. Dass sch der Zssaz wrklch umelbar aus de Geschäfsdae vo & erreche, ergb sch aus der Abragefrehe des Markes. Wäre der Forward-Zs ch geau 7,04 %, köe ma durch de Abschluss der Geschäfe & ud eem solche Termgeschäf (Forward Alage oder Aufahme) ee rskolose Mehrerrag erzele, der eem scher ke Markelehmer frewllg zugesehe wrd. 9/3

20 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug.4. Modellerweerug für de verzse Varae Für das folgede Bespel wrd de eue Aahme gemach, dass für kürzere Laufzee der Regel 9 gergere Zse verlag werde als für lägere Laufzee ud vce versa. Des läss sch verefached dadurch erkläre, dass der Geldverleher sch lägere Ze a ee Zssaz bde ud dese auch be Markveräderuge ch mehr währed der Laufze äder ka. Für de Redeberechug aus der Dsko Varae s des ch releva, da zum Zepuk () kee Zahlug safde. Dam s beres erkebar, dass für de Redeberechug kee zusäzlche Markdae heragezoge werde, ezg der dskoere Auszahlugsberag (0) fleß als Markpres e. Zum Zepuk (0) solle bespelhaf de folgede Markdae vorlege: Bespelhafe Markdae: 3,00% Zssaz für ee Laufze vo eem Jahr 5,00% Zssaz für ee Laufze vo zwe Jahre ZAF 90,70% (Zerobod-)Abzssugsfakor 0 für ee Laufze vo Jahre r ZAF 5,00% Zugehörge Rede für de ZAF r ZAF ZBAF Zusäzlch wrd u zu bessere Übersch egeführ, dass Auszahluge (Kredgewährug ud zu lesede Zszahluge) als Balke uerhalb der - Achse ud Ezahluge (Rückzahluge ud zu erhalede Zszahluge) oberhalb der -Achse dargesell werde. 9 Des s be eer ormale Zssrukur, de zu de mese Zepuke der volkswrschaflche Kojukurzykle vorleg, der Fall. Sele ree auch so geae verse Zssrukure auf. 0 De Bezechug ZAF oder auch ZBAF ha sch für de Abzsugsfakor aufgrud sees ege Bezugs zum Zerobod allgeme durchgesez. 0/3

21 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug.4.. Redeberechug mels srukurkogrueer Refazerug Es gl u de Rede für de verzse Varae zu bereche. Dazu reche ma zuers de verzse Varae ee dskoere Varae um. Heraus läss sch da efach de Rede besmme. Aufahme vo 4,6 für Jahr Zszahlug vo 4,76 Rückzahlug der 95,4 ud Zszahlug vo 4,76 0 Auszahlug vo 95,4 Rückzahlug der 4,6 ud Zszahlug vo 0,4 Um zwe Jahre 00 zu erhale, müsse 00 /,05 95,4 (0) verlehe werde. Da ma be der verzse Varae ach eem Jahr beres 95,4 * 0,05 4,76 a Zse erhäl, ka ma och (0) selbs ee Geldberag für e Jahr Höhe vo 4,76 /,03 4,6 zu 3 % aufehme. Dam beög ma per Saldo für de Auszahlug (0) ur 90,6. De Rede läge für deses Geschäf be 5,05 %. Das Geschäf häe salder berache ur och ee Zahlug (0) ud ee (). I () würde kee Zahlug mehr afalle. Weerh ha ma durch dese Kosruko vermede ee Aahme über de Jahreszs, der eem Jahr vorleg, mache zu müsse. M dem voragegagee Bespel wurde beres ee efache Varae der als srukurkogruee Refazerug bezechee Mehode durchgeführ, de a späerer Selle och geauer erläuer wrd. Warum s u aber de Rede desem Bespel aus der verzse Varae höher als de der Dsko Varae? Der Grud herfür s de für de Laufzee uerschedlche Zssäze zu fde. So wurde für de verzse Alage der 95,4 aus dem voragegagee Bespel beres für de erse Perode 5 % Zse gezahl, obwohl derze für ejährge Geldalage ur 3 % gezahl werde. Dese 5 % koe daher wederum durch ee Kred vorfazer werde, der seerses aber ur m 3 % verzs wurde. Dese % Zserspars sd uas de Ursache für de um 0,05 % höhere Rede gegeüber der Dsko Varae, de dese Möglchke der Vorfazerug ch bee, da () kee Zahlug für dere Rückzahlug afäll. /3

22 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug.4.. Redeberechug über Forward-Säze Ee adere Erklärug s über de beres erläuere Forward-Saz möglch. So wrd für de Ausglech der 4,76 () ke Geld (0) aufgeomme, soder deses Geld per Term zum Forward-Saz vo 7,04 % für e Jahr ageleg. Deses Geschäf wrd jedoch scho (0) so verebar ud abgeschlosse. Welche Zssäze da wrklch () vorlege s som ch mehr releva. Zszahlug vo 4,76 Rückzahlug der 95,4 ud Zszahlug vo 4,76 Rückzahlug der 4,76 ud Zszahlug vo 0,335 0 Auszahlug vo 95,4 Alage vo 4,76 % für Jahr Zs 7,04 % Um de erse Zszahlug ach eem Jahr zu uerdrücke, wrd dese per Term glech weder ageleg. De Zs herfür erhäl ma aus der Berechug für Forward-Säze aus.3. I () erhäl ma u ee Rückzahlug vo 05,095 be eer Auszahlug vo 95,4 (0). Durch e Eseze de Redeformel aus.. ergb sch so ebefalls ee Rede vo 5,05 % 05,095 Formel aus.. 0, ,4 Würde ma 90,6 (0) auszahle erhäl ma sa der 05,095 da geau 00,00. Des zeg auch, dass bede Varae (.4.. &.4.) zum gleche Ergebs führe. Be der verzse Varae ha som der ejährge Zs auch ee Efluss auf de Rede bzw. de Kurs eer zwejährge Geldalage. Be der Dsko-Varae s des ch der Fall. Her sd uas ur de ere Dae (Laufze ud Kurs) releva. Daher auch de Bezechug ere Verfallrede /3

23 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug 3. Barwerrechug m eer Zssrukurkurve De Aahme eer flache Zssrukur, we se uer Puk gemach wurde, erwes sch der Praxs als uzureffed. Desem Umsad wurde beres Asäze Rechug gerage. Nu gl es sch erhalb eer Zssrukurkurve zu bewege. I der Theore gb dese Kurve für alle erdeklche Laufzee ee esprechede Zs a. I der Praxs habe sch jedoch Jahreservalle durchgesez. Gebrochee Laufzee köe auf de uerschedlchse Mehode erpoler werde, de a späerer Selle och erläuer werde. 3.. Zssrukurkurve verschedeer Marksegmee Glech vorab bleb azumerke, dass es de Zssrukurkurve ch gb. Velmehr ha jedes ezele Marksegme see egee, dvduelle Kurve. Weerh ha auch jede Währug hre egee Zssrukurkurve. So leg es auf der Had, dass e Cash-Flow Schwezer Frake ch m eer Euro-Zssrukurkurve abgezs werde ka Euro-Zse gb es auch ur für Euro-Geldalage 3! Exkurs: m Iere verfügbare Quelle für Euro-Zssrukurkurve: Euro-Pfadbrefkurve: hp://www.hypverbad.de/d/ere.sf/dex/de_vdh_pfadbrefk.hm Euro-Swapkurve hp://www.bodboard.de/frames/av_/mdswaps.php Euro-Saasalehe (Bud) Achug! Redekurve, kee Zskurve! hp://www.bodboard.de/frames/av_/redespegel.php Euro-Uerehmesalehe: Je ach Boä des Uerehmes wrd her ee der obe geae Kurve z.b. de Swapkurve ewas ach obe verschobe. Im uerjährge Berech wrd der Regel och m Laufzee vo,3,6, ud 9 Moae gearbee. Typsch sd de Uerscheduge Saasalehe, Pfadbrefe, Bakschuldverschrebuge, Zs-Swaps ud Uerehmesalehe. 3 Auch we bespelswese e Quao-Swap ee Ausahme darsell, dürfe klar se, dass es sch her ch um ee koveoelle Geldalage hadel. 3/3

24 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Daher s be der Abzsug ees Cash-Flows zuächs de Frage zu beawore welchem Marksegme sch deser beweg. Be eem Pfadbref mag de Eschedug für de Euro-Pfadbrefkurve och rech efach se, aber be der berebswrschaflche Bewerug eer Pesosrücksellug s dese Wahl, abgesehe vo der Vorgabe aus dem Seuerrech, ch ubedg efach. Im weere Verlauf wrd ur och vo der Zskurve gesproche geme s herm mmer de Euro-Swapkurve, de der Regel auch m der Euro-Pfadbrefkurve desch s, was verefached auch ageomme wrd. 3.. Ermlug der Zssrukurkurve De Zse selbs werde a de Werpaper-Börse 4 der Regel ch gehadel. Des lee sch daraus ab, dass be eem fesverzslche Werpaper, we der Name scho sag, der Zs ch veräderbar s. Ee Presbldug ka daher ur über de Kurs erfolge. Deoch ha sch de Zssrukurkurve zu eem uverselle Isrume ewckel, welches de Lage am Reemark m am bese beschreb. Um de Zssrukurkurve aus de Kurse zu besmme, muss de Abzsug uas umgekehrer Rchug erfolge. Auch sd de selese Fälle Kurse vo fesverzslche Werpapere verfügbar, de geau e, zwe oder mehr Jahre laufe. Daher muss späeses a deser Selle scho erpoler werde. M der Zssrukurkurve erhäl ma da ee georme Iformao über de Mark. I der Praxs müsse herzu vele Dge berückschg werde, de a deser Selle jedoch ch weer veref werde. So dürfe z.b. (urealssche) Werpaperkurse, de be gerge Umsäze zusade gekomme sd, ch das gleche Gewch habe we Mlloeumsäze sehr lude Tel. E Kokrees Bespel für de beschrebee Vorgeheswese wrd a deser Selle ch gea. Eveuell wrd des her späer och ergäz. 4 Be de OTC-Swaps zwsche Bake (ud Uerehme) ka durch de dervave Geschäfsar mlerwele doch davo gesproche werde, dass de Zse selbs gehadel werde. 4/3

25 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug 3.3. De Srukurkogruee Refazerug (SKR) De Srukurkogruee Refazerug, m Folgede kurz SKR, s ee Mehode um ee Zahlugssrom mels eer Zssrukurkurve abzuzse. Gruddee s herbe alle der Zukuf afallede Zahluge durch Gegegeschäfe zu schleße. Daach verbleb 0 ur och der abgezse Barwer des Zahlugssroms. Uer Puk.4.. wurde des beres eem efache Bespel agewede. Im u folgede Bespel wrd e edfällger Zahlugssrom 5 vo für 5 Jahre zu eem achschüssge Zssaz vo 4 % p.a. mels der vorlegede Zssrukurkurve abgezs. (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom Zskurve Jahr / () 4,00% Jahre / () 4,50% 3 Jahre / (3) 5,00% 4 Jahre / (4) 5,50% 5 Jahre / (5) 6,00% Be der SKR beg ma u de zelch leze Zahlug (5) m eem Markgeschäf auf Bass der Zskurve zu schleße. Es gl also ee Kred (vo 98.3 ) zu 6,0 % aufzuehme, der zu eer Rückzahlugsverpflchug vo (5) führ. Dam fäll per Saldo (5) kee Zahlug mehr a. De jedoch esehede Zsverpflchuge werde zu de Zepuke () bs (4) als weerer Zahlugssrom erfass. (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom Geschäf zu 6,0 % Nu wrd de gleche Vorgeheswese (4) agewede. Her fehl derze ee Ezahlug vo.887 bzw. der Rückfluss eer Geldalage vo.788 zusamme 5 Auszahluge m egavem ud Ezahluge bzw. Rückflüsse m posvem Vorzeche. 5/3

26 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug m hre Zse vo 5,5 %. I (4) fäll u ebefalls per Saldo kee Zahlug mehr a. (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom Geschäf zu 6,0 % Geschäf zu 5,5 % Vervollsädg ma u de Vorgeheswese bs (), so falle () bs (5) kee Zahluge mehr a. Was bleb sd 9.44 (0), was de Barwer bzw. de Abzsug des Zahlugssroms darsell. (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom Geschäf zu 6,0 % Geschäf zu 5,5 % Geschäf zu 5,0 % Geschäf zu 4,5 % Geschäf zu 4,0 % Summe Zerobod Abzsugsfakore (ZAF 6 ) Sd ach der Mehode der SKR aus 3.3 u mehrere verschedee Geschäfe abzuzse, wrd des rech aufwedg, zumal de de SKR eer Tabellekalkulao ohe Programmerkesse relav schwer auomaserbar s. Des Vorgeheswese ka deulch verefach werde, dem ma für jede Laufze we.. de Kurs ees esprechede Zerobods besmm. Deser wes ur och ee Zahlug 0 ud be Fällgke auf. Des ka mels der SKR erfolge. Jedoch sd de gewoee Kurse da uversell esezbar ud de SKR muss ch be jedem Geschäf vo euem agewede werde. M dem Bespel aus 3.3. sell sch des we folg dar. Zuers ermel ma de ZAFs für de Laufzee 0 bs 5. Herzu wähl ma be Fällgke ee ormere Cash- Flow we z.b. oder be Prozeagabe 00 %, we desem Bespel. 6 Of auch ZBAF gea. 6/3

27 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 00,000% Geschäf zu 6,0 % 94,340% -5,660% -5,660% -5,660% -5,660% -00,000% Geschäf zu 5,5 % -5,365% 0,95% 0,95% 0,95% 5,660% Geschäf zu 5,0 % -5,0% 0,55% 0,55% 5,365% Geschäf zu 4,5 % -4,890% 0,0% 5,0% Geschäf zu 4,0 % -4,70% 4,890% Summe 74,73% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% Das Ergebs s so zu erpreere, dass ee Zahlug 5 heue 74,73 % hrer Höhe 5 wer s. (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom 0,000% 0,000% 0,000% 00,000% 0,000% Geschäf zu 6,0 % 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% Geschäf zu 5,5 % 94,787% -5,3% -5,3% -5,3% -00,000% Geschäf zu 5,0 % -4,965% 0,48% 0,48% 5,3% Geschäf zu 4,5 % -4,75% 0,4% 4,965% Geschäf zu 4,0 % -4,568% 4,75% Summe 80,50% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% Be eer Zahlug 4 sd es 0 80,50 %. De Spale 5 ud de Zele m dem Geschäf zu 6,0 % köe ma her selbsversädlch auch efere. De weer ZAF selle sch we folg dar. Über de Zusammehag aus.. s es zudem möglch aus dem ZAF och de zugehörge Rede zu besmme. Laufze Zs ZAF Rede Jahr / () 4,00% 96,54% 4,00% Jahre / () 4,50% 9,553% 4,5% 3 Jahre / (3) 5,00% 86,300% 5,03% 4 Jahre / (4) 5,50% 80,50% 5,57% 5 Jahre / (5) 6,00% 74,73% 6,3% Dam läss sch u der Zahlugssrom aus 3.3. sehr efach abzse. (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom esprecheder ZAF 00,000% 96,54% 9,553% 86,300% 80,50% 74,73% Barwer Summe /3

28 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Der Vorel deser Mehode zeg sch ab dem zwee Zahlugssrom. Is u e edfällger Zahlugssrom vo über 4 Jahre zu eem achschüssge Zssaz vo 6 % p.a. mels der vorlegede Zssrukurkurve abzuzse, köe de emal ermele ZAF ereu verwede werde. (0) () () (3) (4) Zahlugssrom esprecheder ZAF 00,000% 96,54% 9,553% 86,300% 80,50% Barwer Summe De Boosrappg-Mehode I 3.4. muss jedoch für jede ZAF ee komplee SKR durchgeführ werde. Be 0 s des e rech aufwedges Procedere. Bem Boosrappg versuch ma sch de vorherge Ergebsse zu Nuze zu mache. Daher ermel ma bem Boosrappg de ZAF vo der kurze zu lage Laufze h ud ch we be der SKR umgekehr. Zuers ermel ma de ZAF, kurz ZAF. Da deser dealsere Wel zwsche 0 ud kee Zahluge afalle, läss sch deser drek ermel. De Es m Zähler seh her für ee Geldehe bzw. 00 % Dezmalschrebwese. ZAF 96,54% 0,04 Auch be ZAF ermel ma u, ählch we be der SKR, welches Geschäf de zelch leze Zahlug kompeser. Dese ha 0 de Wer: Zwscheer gebs 0 95,694% 0,045 Deser Berag aus 0 wrd jedoch och m verzs ud führ zu eer weere Zahlug vo: 8/3

29 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Zszahlu g 4,306% 0,045 0,045 Dese Zahlug wrd u ch mehr koveoell kompeser, soder ma ermel efach m Hlfe vo ZAF dere Wer 0. Barwer Zszahlug aus 0 ZAF 0,045 96,54% 4,4% 0,045 Da dese Zahlug uerwüsch s, zeh ma dere Wer 0 efach vo dem beres für 0 erhalee Zwscheergebs ab ud erhäl ZAF. ZAF ZAF ZAF 0,045 96,54% 9,553% 0,045 Graphsch läss sch des we folg darselle. ZAF Ergebs 9,553 % Rückzahlug 00,000 % 0 Schr Ergebs 95,694 % uerwüsche Zszahlug vo 4,5 % auf de 95,694% Rückzahlug 00,000 % [95,694 % 4,5 % Zse darauf ] Schr Ergebs -4,4 % Efere der Zahlug m 4,5 % auf -95,694% Abzse der 4,5 % auf 95,694 % m ZAF Schr 3 Ergebs 9,533 % 95,694 % - 4,4 % 9/3

30 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Wede ma dese Vorgeheswese u für ZAF 3 a ha ma ud jez zwe uerwüsche Zahluge. Dese köe weder kompeser werde, da jez ebe ZAF auch ZAF beka s. ZAF ZAF 3 3 ZAF 3 3 ZAF 4 3 ZAF A deser Selle wrd vellech beres klar, dass m Zähler och ausklammer ka. Herdurch wrd ch ur de Schrebwese verkürz, soder auch der Trck her dem Boosrappg deulch. ZAF ZAF 4 4 ZAF 4 4 ZAF ( ZAF ZAF ZAF ) 4 3 I der Klammer werde uas efach ur alle voragegagee ZAFs summer. Des läss sch allgeme auch we folg schrebe. ZAF ZAF Dam bee das Boosrappg ee efache Mehode um de ZAFs aus eer Zssrukurkurve zu ermel ohe de Doppelarbee we be der SKR ausführe zu müsse Efluss vo Geld- / Brefspae auf de Barwer De Aahme, dass a Mark kee Geld- / Brefspae exsere, s zwar für ee pragmasche Asaz mes völlg ausreched. Deoch führe dese Spae 7 zu Uerschede der Bewerug, de be segede Voluma doch zu eeswere Beräge awachse köe. Weerh läss sch dam zege, dass de Verwedug vo ZAFs ud vo Boosappg ur für ee dealsere Form 7 Auch am deusche Mark mes Spread gea. 30/3

31 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug der Bewerug geüg. Is e Zahlugssrom asächlch m Markgeschäfe ee Barwer zu 0 zu überführe, ka des ur m der SKR erfolge, we am folgede Bespel gezeg wrd. Dazu wrd zuers de bsherge Zssrukur m Geld- / Brefspae 8 erweer. Laufze Zs (Geld) Zs (Bref) Jahr / () 4,00% 4,5% Jahre / () 4,50% 4,75% 3 Jahre / (3) 5,00% 5,0% 4 Jahre / (4) 5,50% 5,70% 5 Jahre / (5) 6,00% 6,5% Als Zahlugssrom wrd weder das Bespel aus 3.3. heragezoge. Deser soll durch see posve Zahluge ee Geldalage m der Zukuf legede Rückflüsse darselle. M der SKR soll u der asächlch am Mark erzelbare Barwer ermel werde. (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom Zuers s u weder m eem Kredgeschäf de Zahlug 5 ausgeglche werde. Deses Kredgeschäf muss u zum Brefsaz vo 6,5 % geäg werde. (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom Geschäf zu 6,5 % Be de u folgede Geschäfe hadel es sch da ausahmslos um Geldalage, de zum Geldsaz abgeschlosse werde. Der resulerede Barwer uerschede sch u vo dem aus Zum Geldsaz ka ageleg werde ud zum Brefsaz ka e Kred aufgeomme werde. De Spae sd jedoch am Ierbakemark deulch gerger, zege da jedoch ch de Uersched deulch. 3/3

32 Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug (0) () () (3) (4) (5) Zahlugssrom Geschäf zu 6,5 % Geschäf zu 5,5 % Geschäf zu 5,0 % Geschäf zu 4,5 % Geschäf zu 4,0 % Summe Auch we ma Bref-ZAFs bereche würde, um de Zahlugssrom da dam zu bewere, wäre das Ergebs wederum e aderes. Escheded s m Bespel, dass es ur be der Awedug der SKR möglch s de Wechsel vo Geld- zu Brefsaz zu erkee. Deser Wechsel ka auch mehrmals oder überhaup ch erfolge. Erfolg er überhaup ch, wäre wederum ee Bewerug m ZAFs möglch. Ob des zurff s m eger Erfahrug auch abschäzbar, was aber grade de Grezfälle ch möglch s. Daher lefer wrklch exake Ergebsse, be der Berückschug vo Geld- / Brefspae, ur de SKR. Wrd dese Exakhe jedoch ch geforder, mel ma efach de Geld- / Brefspae ud bewere mels ZAFs, de ma mels Boosrappg ermel ud erhäl m deulch weger Aufwad ählche Ergebsse. Ma s versuch zu deke, dass m de heuge Recherkapazäe de SKR mmer möglch wäre. I de Bespele wurde allerdgs mmer m gazjährge Zeabsäde gearbee, was de Hadhabug deulch verefach. Außerdem seg der Aufwad be de mehrere aused Zahlugssröme eer Bak och weer a. Wrd herm da och ee Value-a-Rsk Smulao m hudere oder ausede Szeare durchgeführ, sd auch akuelle Recher schell ee Wele beschäfg. 3/3

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