Parallelrechnern. 12. März Technische Universität Chemnitz. Der Jacobi-Davidson Algorithmus auf. Parallelrechnern. Patrick Kürschner.

Transkript

1 Technische Universität Chemnitz 12. März sweise

2 Gliederung - sweise - sweise

3 Eigenwertprobleme Ziel: Lösung von Eigenwertproblemen Dabei: Ax = λx Matrix A C n n sehr groß, dünnbesetzt (sparse) Gesucht: Eigenwerte λ C und Eigenvektoren x C n \ {0} Vorkommen: Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen - sweise

4 Übersicht über Algorithmen Krylov-Unterraum- Lanczos Arnoldi Krylov-Schur - sweise

5 Übersicht über Algorithmen Krylov-Unterraum- Lanczos Arnoldi Krylov-Schur Vorkonditionierte Eigenlöser Davidson - sweise

6 Ritz-Galerkin-Ansatz Verwenden orthonormale Basis u 1,..., u k eines Unterraumes U k C n Berechnen größten Eigenwert θ und zugehörigen Eigenvektor s der reduzierten Matrix M k := U k AU k mit U k := [u 1,..., u k ] θ ist Ritzwert und y = U k s ist Ritzvektor, d.h. es gilt die Ritz-Galerkin-Bedingung: - sweise r := Ay θy U k

7 orthogonales Komplement suchen neues Eigenpaar (λ, x), das nah bei (θ, y) liegt betrachten orthogonale Zerlegung x = y + v mit v y x C n = span(y) y liefert Eigenproblem: A(y + v) = λ(y + v) verwenden Projektion von A in y : - sweise B = (I yy )A(I yy )

8 Korrekturgleichung und Erweiterung des Unterraumes Ergebnis: Korrekturgleichung (I yy )(A θi )(I yy )v = r Praxis: approximative Lösung mit iterativen und Vorkonditionierung K für (A θi ) Orthonormalisierung von v bzgl. U k (Gram-Schmidt) - sweise Unterraum mit u k+1 = v erweitern und neu beginnen

9 - 4 Konvergenz kubisch für symmetrische Matrizen quadratisch für unsymmetrische Matrizen - sweise

10 - 4 Konvergenz kubisch für symmetrische Matrizen quadratisch für unsymmetrische Matrizen Namensgebende Davidson-: [diag(a) θi ] v = r als Korrekturgleichung Jacobi s orthogonale Komplement Korrektur (JOCC) - sweise

11 - 4 Konvergenz kubisch für symmetrische Matrizen quadratisch für unsymmetrische Matrizen Namensgebende Davidson-: [diag(a) θi ] v = r als Korrekturgleichung Jacobi s orthogonale Komplement Korrektur (JOCC) Anderer Zugang zum JD Newtonverfahren und RQI auf A(y + v) = λ(y + v) anwenden - sweise

12 zu Lanczos und Arnoldi Krylovraum- reduzieren das Eigenproblem in einen Krylovraum: K(A, q, m) = span { q, Aq, A 2 q,..., A m 1 q } Lanczos: V AV = T = - sweise Arnoldi: V AV = H =

13 -QR Problem: konvergiert zunächst nur gegen größten Eigenwert - sweise

14 -QR Problem: konvergiert zunächst nur gegen größten Eigenwert Lösung: -QR berechnen mit JD partielle Schurform ] Qk AQ k = R k = [ JDQR Korrekturgleichung: ( I Q Q ) ( (A θi ) I Q Q ) t = r - sweise

15 Harmonische Ritzwerte Berechnung der kleinsten Eigenwerte: Berechnung der Ritzwerte θ von A 1 bzgl. Unteraum V θ 1 heißen harmonische Ritzwerte von A Berechnung ohne Invertierung von A: Benutzen orthonormale Basen der 2 Unterräume V und W = AV reduziertes Problem ist verallgemeinertes Eigenproblem: W AVs θw Vs = 0 - sweise Lösung z.b. mit QZ-Algorithmus

16 Parallelrechner und verwendete Software CHiC Chemnitzer-Hochleistungs-Linux-Cluster 530 über Netzwerk verbundene Rechner (Knoten) PETSc / SLEPc parallele Datenstrukturen für sparse Matrizen Lanczos, Arnoldi Krylov-Schur - sweise PRIMME JDQR, JDQMR für A = A T

17 Beispiel 1 2D-Laplace-Matrix Entstehung: Anwendung von zentralen finiten Differenzen auf Laplace-Operator in 2D (5-Punkte Stern) B I 4 1 A = I B I mit B = I B sweise

18 Beispiel 1: größte Eigenwerte Rechenzeiten auf einem Knoten Berechnung der 10 größten Eigenwerte der 2D-Laplace Matrix mit n = 10000, Unterraumdimension 25 - sweise

19 Beispiel 1: größte Eigenwerte Rechenzeiten erhöhen Matrixdimension auf n = parallele Rechnung auf 4, 8, 16 und 32 Knoten - sweise

20 Beispiel 1: größte Eigenwerte Beschleunigung Betrachten Quotient S(p) = T (1) T (p) mit T (1) ˆ=Rechenzeit auf niedrigster Knotenanzahl T (p) ˆ=Rechenzeit auf p facher Knotenanzahl - sweise

21 Beispiel 1: kleinste Eigenwerte Rechenzeiten - sweise

22 Beispiel 1: kleinste Eigenwerte Beschleunigung - sweise

23 Beispiel 2 Matrix rail c60.e FEM auf Wärmeleitungsgleichung aus einem Optimalsteuerungsproblem angewendet - sweise

24 Beispiel 2: größte Eigenwerte Rechenzeiten parallele Rechnung auf 1, 2, 4, 8, 16 und 32 Knoten - sweise

25 Beispiel 2: größte Eigenwerte Beschleunigung - sweise

26 Beispiel 2: kleinste Eigenwerte Rechenzeiten - sweise

27 Beispiel 2: kleinste Eigenwerte Beschleunigung - sweise

28 liefert schnellere Ergebnisse als Lanczos / Arnoldi Konvergenzgeschwindigkeit abhängig von Lösung der Korrekturgleichung schnellstes beim Berechnen der kleinsten Eigenwerte verfügbare JD-Implementierung nur begrenzt anwendbar - sweise

29 Ausblick unsymmetrische Matrizen A A T innere Eigenwerte verallgemeinerte Probleme Ax = λbx = JDQZ-Algorithmus quadratische Eigenwertprobleme polynomielle Probleme ( A0 + λa 1 + λ 2 A 2 ) x = 0 - sweise

30 Ende Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Literatur: G. L. G. Sleijpen und H. A. Van der Vorst: A Iteration Method for Linear Eigenvalue Problems H. A. Van der Vorst: Computational Methods for Large Eigenvalue Problems Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe und H. A. Van der Vorst: Templates for the solution of algebraic eigenvalue problems: a practical guide - sweise