Bonusmaterial Vektorräume Schauplätze. Algebra Endliche Körper. Ein Körper ist durch ein Axiomensystem definiert

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1 Bonusmaterial Vektorräume Schauplätze der linearen Algebra 5 5 Endliche Körper Wir haben Vektorräume nur für die beiden Körper K = R und K = C definiert Man überzeugt sich leicht, dass man Vektorräume auch über andere Körper, etwa über Q, den Körper der rationalen Zahlen, definieren kann Es gibt viele weitere Körper Erfahrungsgemäß bereiten diese weiteren Körper Studienanfängern Schwierigkeiten Insbesondere gilt dies für die endlichen Körper, d h Körper, die nur endlich viele Elemente enthalten Aber tatsächlich spielen gerade diese endlichen Körper in vielen Anwendungen der linearen Algebra eine entscheidende Rolle: Die Codierungstheorie etwa ist ohne endliche Körper nicht denkbar, und moderne effiziente Verschlüsselungsverfahren, also Themen aus der Kryptologie, benutzen endliche Körper Wir interessieren uns für kleine Körper, nämlich für Körper, die nur endlich viele Elemente enthalten Solche Körper nennt man endliche Körper, genauer: Ein Körper K heißt endlich, wenn K = n N gilt Es ist ein Ergebnis der (nichtlinearen) Algebra, dass es zu jeder Primzahlpotenz p n, d h, p ist eine Primzahl und n eine natürliche Zahl, bis auf die Bezeichnung der Elemente genau einen Körper gibt, der p n Elemente enthält, und weitere endliche Körper gibt es nicht? Gibt es einen Körper mit 6 oder 7 oder 8 Elementen? Beispiel Es ist Z 2 := {, } mit den beiden wie folgt definierten Verknüpfungen + und ein endlicher Körper mit 2 Elementen: Ein Körper ist durch ein Axiomensystem definiert + und Wir beginnen mit der Definition eines Körpers Definition eines Körpers Eine Menge K mit zwei (inneren) Verknüpfungen + und heißt Körper, wenn für alle a, b, c K die folgenden Eigenschaften gelten: (i) a + (b + c) = (a + b) + c, (ii) Es gibt ein Element mit a + = a, (iii) Zu a gibt es ein a mit a + a =, (iv) a + b = b + a, (v) a (b + c) = (a b) + (a c), (vi) a (b c) = (a b) c, (vii) Es gibt ein Element = mit a = a (viii) Zu a = gibt es ein a mit a a =, (ix) a b = b a Beispiel Es sind Q, R und C mit ihren jeweiligen bekannten Verknüpfungen + und offenbar Körper, da sie die Axiome (i)-(ix) erfüllen Es gelten auch offenbar die Inklusionen Q R C Die Axiome (i)-(ix) sind einfach nachzuprüfen Es übernimmt die Rolle von und jene von Weil jeder Körper nach dem Axiomensystem mindestens zwei Elemente enthält, ist Z 2 also ein kleinstmöglicher Körper Wir verallgemeinern diese Konstruktion, um zu jeder Primzahl p einen Körper Z p mit p Elementen zu erhalten Zu jeder Primzahl p gibt es einen Körper Z p mit p Elementen Ist p eine Primzahl, so definiert die Relation a, b Z a p b : k Z : a b = kp eine Äquivalenzrelation auf Z (siehe Kapitel 2) Bezüglich dieser Relation zerfällt also Z in seine disjunkten Äquivalenzklassen Ist a Z, so setzen wir a ={b Z a p b} für die Äquivalenzklasse von a Für die Quotientenmenge Z/ p ={a a Z} schreiben wir kürzer Z p

2 2 5 Vektorräume Schauplätze der linearen Algebra Es gilt: ( ) Z p ={,,, p } Ist nämlich b Z eine beliebige ganze Zahl, so können wir diese durch p mit Rest teilen, also ganze Zahlen q und r bestimmen, sodass b = qp+ r mit r<p gilt (siehe das Kapitel zur elementaren Zahlentheorie auf der Website) Es gilt dann aber b p r, also b = r Und weil r zwischen und p liegt, folgt die Gleichheit der beiden Mengen in ( ) Wir führen nun in dieser Menge Z p zwei Verknüpfungen + und ein, sodass diese Menge bezüglich dieser Verknüpfungen einen Körper bildet So erhalten wir dann einen Körper mit p Elementen Wir addieren bzw multiplizieren zwei Elemente, also Äquivalenzklassen aus Z p, indem wir ihre Repräsentanten addieren bzw multiplizieren: a + b := a + b bzw a b := a b Nun besteht eine kleine Hürde Es ist nämlich eine offene Frage, ob diese Verknüpfungen sinnvoll sind, da ja Repräsentanten nicht eindeutig bestimmt sind Kann es denn nicht sein, dass etwa diese Summe vom gewählten Repräsentanten abhängt? Ist wirklich gewährleistet, dass für verschiedene a, a a auch stets a + b = a + b gilt? Dies ist tatsächlich sowohl für die Summe wie auch für das Produkt der Fall, man sagt: Die Verknüpfungen + und sind wohldefiniert Wir begründen dies für die Addition, für die Multiplikation geht man analog vor: Es gelte also a = a und b = b Zu zeigen ist: a+b = a +b Wegen a = a und b = b gibt es ganze Zahlen r, s mit Es folgt a = a + rpund b = b + sp a + b = a + b = a + b + (r + s)p = a + b = a + b, sodass also diese Addition wohldefiniert, also unabhängig von den Repräsentanten ist Man kann für die Menge Z p mit den eben definierten Verknüpfungen + und leicht die obigen Körperaxiome (i) - (vii) und (ix) nachweisen Dabei übernehmen und die Rollen von und Das einzige Axiom, das nicht so leicht nachzuweisen ist, ist das Axiom (viii) es ist auch das einzige Axiom, für dessen Nachweis wir benutzen, dass p eine Primzahl ist: Ist = a Z p gegeben, so gilt ggt(a, p) =, weil p eine Primzahl ist Mit dem Euklidischen Algorithmus (siehe das Kapitel zur elementaren Zahlentheorie auf der Website) findet man also ganze Zahlen r und s mit ar+ ps = Also gilt ar p, d h aber gerade a r =, also gilt auch Axiom (viii) Damit ist begründet, dass für jede Primzahl p die Menge Z p mit den oben definierten Verknüpfungen einen Körper mit p Elementen bildet? Wählt man keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl n = ab(a, b N \{}), so hat die Konstruktion auch ihren Sinn Ist die entstehende Struktur, also Z n ein Körper? Beispiel Wir geben explizit die Verknüpfungstafeln für die Additionen und Multiplikationen in Z 3 an (für Z 2 siehe das obige Beispiel): Es ist Z 3 ={,, 2} mit den beiden Operationen und Wir haben gezeigt, dass es zu jeder Primzahl p einen Körper mit p Elementen gibt Es wurde bereits erwähnt, dass es zu jeder Primzahlpotenz p n mit n N einen Körper mit p n Elementen gibt Einen solchen kann man mithilfe eines sogenannten irreduziblen Polynoms vom Grad n über Z p konstruieren Wir verweisen hierzu auf gängige Algebralehrbücher, etwa S Bosch: Algebra Springer, 993 Relativ einfach aber ist die Konstruktion eines Körpers mit 4 = 2 2 Elementen: Beispiel Gegeben ist eine Menge K := {,,a,b} mit vier (verschiedenen) Elementen Wir füllen die Additionsund Multiplikationstafeln + a b a b a a b b unter der Annahme aus, dass die Menge K mit den Verknüpfungen + und ein Körper (mit dem neutralen Element bezüglich + und dem neutralen Element bezüglich ) ist Wir werden sehen, dass es nur eine Möglichkeit gibt Und zwar gilt: + a b a b a b b a a b a a b a a b b b a b b a Wir begründen dies und beginnen mit der Tafel für die Multiplikation Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

3 52 Vektorräume und Untervektorräume 3 Es gilt a b K \{} Aus a b = a folgte b = (das kann also nicht sein) Aus a b = b folgte a = (das kann also auch nicht sein): Es muss also a b = gelten Damit kann aber nicht a a = gelten (das Inverse zu a ist ja eindeutig bestimmt), und weil aus a a = a die Gleichung a = folgte, muss a a = b gelten Weiter muss auch b a = gelten Es bleibt noch b b zu bestimmen Das ist nun aber klar: b b = und b b = b sind ausgeschlossen, es muss also b b = a gelten Damit ist die Multiplikationstafel bereits festgelegt Wir wenden uns nun der Additionstafel zu Es gilt + a {, b} und + b {, a} (man kann ja subtrahieren) Annahme: + a = Dann muss + b = a gelten (Eindeutigkeit von Inversen) Es folgt dann: b = a a = a ( + b) = a + a b = a + Und das ist ein Widerspruch Damit ist gezeigt: + a = b Ebenso gilt (vertausche die Rollen von a und b) + b = a Es folgt weiter: + = (ein Inverses zu muss es ja geben), und damit gilt auch a + a = a ( + ) = = b ( + ) = b + b Damit liegt die Tafel für die Addition fest 52 Vektorräume und Untervektorräume Völlig analog zum Fall K = R oder K = C können wir Vektorräume über einem beliebigen Körper K erklären: Definition eines Vektorraumes Eine nichtleere Menge V mit zwei Verknüpfungen + und (Addition von Elementen aus V und Multiplikation von Elementen aus V mit Elementen aus K) heißt ein Vektorraum über K oder kurz K-Vektorraum, wenn für alle u, v, w V und λ, μ K die folgenden Vektorraumaxiome gelten: (V) v + w V und λ v V (Abgeschlossenheit) (V2) (u + v) + w = u + (v + w) (Assoziativität) (V3) Es gibt ein Element V mit v+ = v (Existenz eines neutralen Elementes) (V4) Es gibt ein v V mit v + v = (Existenz eines entgegengesetzten Elementes) (V5) v + w = w + v (Kommutativität) (V6) λ(v + w) = λ v + λ w (V7) (λ + μ) v = λ v + μ w (V8) (λ μ) v = λ(μv) (V9) v = v Die Begriffe Untervektorräume, lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis, Dimension, gelten analog für beliebiges K Beispiel Es seien K ein Körper und K K der K Vektorraum der Abbildungen von K nach K Für i N sei p i K K definiert durch { K K p i : x x i Wir bestimmen jeweils die Dimension des von {p, p, p 2, p 3 } aufgespannten Untervektorraums von K K für die Fälle K = Z 2, K = Z 3 bzw K = Q Es sei U := p, p, p 2, p 3 K = Z 2 : Wegen p ( ) = p 2 ( ) = p 3 ( ) = und p ( ) = p 2 ( ) = p 3 ( ) = gilt p = p 2 = p 3 und somit p, p = p, p, p 2, p 3 =U Wir zeigen nun noch, dass {p, p } linear unabhängig ist Es seien a,a Z 2 mit a p + a p = K K, also a p (x) + a p (x) = für alle x Z 2 Einsetzen von x = liefert a = und dann Einsetzen von x = auch a = Also ist {p, p } linear unabhängig, also eine Basis von U, also dim(u) = 2 K = Z 3 : Analog zu K = Z 2 sieht man, dass {p, p, p 2 } eine Basis von U ist, also dim(u) = 3 K = Q: Offensichtlich ist p, p, p 2, p 3 =U Wir zeigen, dass {p, p, p 2, p 3 } linear unabhängig ist Es seien a,a,a 2,a 3 Q mit a p + a p + a 2 p 2 + a 3 p 3 = K K, also a p (x) + a p (x) + a 2 p 2 (x) + a 3 p 3 (x) = für alle x Q Einsetzen von x =, x =, x =, x = 2 liefert a = und dass (a,a 2,a 3 ) eine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix ist Mit dem Gauß-Algorithmus sieht man, dass dieses System nur die Lösung (,, ) besitzt Also ist {p, p, p 2, p 3 } linear unabhängig, also eine Basis und somit dim(u) = 4 Anwendungsbeispiel Der Bauer-Code Ein vereinfachtes Kommunikationssystem lässt sich vereinfacht darstellen als: Nachrichtenquelle Codierung Kanal Decodierung Empfänger Die Nachrichtenquelle gibt eine Folge von Bits oder in den Kanal ein Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

4 4 5 Vektorräume Schauplätze der linearen Algebra Der Kanal ist gestört, d h, hin und wieder wird ein Bit als das entgegengesetzte Bit vom Kanal an den Empfänger weitergereicht Um diese Störung zu bekämpfen, schalten wir vor bzw hinter den Kanal einen Codierer bzw einen Decodierer Der Codierer fasst je k (zum Beispiel k = 4) von der Nachrichtenquelle ausgegebene Bits zu einem Informationsblock zusammen Sodann berechnet der Codierer in Abhängigkeit vom Informationsblock r (im Beispiel r = 4) Kontrollbits, fasst diese zu einem Kontrollblock zusammen und sendet das Codewort, das ist das Paar (Informationsblock, Kontrollblock), an den Kanal Die Zuordnung Informationsblock Codewort heißt Codierung Der Kanal gibt nach Eingabe des Codewortes ein Kanalwort der Länge k + r aus Als Kanalwort kann prinzipiell jedes der 2 k+r möglichen Bit-Wörter der Länge k + r auftreten (im Beispiel also jedes der 256 Bytes) Die Kanalstörungen können ja jedes Bit verfälschen; wir gehen allerdings davon aus, dass die Bit-Störungen sehr selten und unabhängig voneinander auftreten Der Decodierer versucht, aus der Kenntnis des Kanalwortes das ursprünglich gesendete Codewort zu rekonstruieren; die ersten k Bits des geschätzten Codewortes reicht der Decodierer als seine Mutmaßung des tatsächlich von der Nachrichtenquelle ausgegebenen Informationsblockes an den Empfänger weiter Der Bauer-Code ist ein sogenannter -fehlerkorrigierender und 2-fehlererkennender Code (k = 4 und r = 4), d h ein geeigneter Decodierer kann die von höchstens einem Bit- Fehler betroffenen Codewörter richtig schätzen und bei zwei Bit-Fehler in einem Codewort erkennen, dass eine Störung vorliegt Einen solchen geeigneten Decodierer stellen wir im Bonusmaterial zum Kapitel 8 vor; hier beschreiben wir nur die Codierung Ein (binärer) linearer Code der Länge n ist ein Untervektorraum C von Z n 2 mit C 2, wobei Z 2 ={, } der Körper mit 2 Elementen ist Es sei nun C ein solcher linearer Code der Länge n Für die Elemente x = (x,, x n ) C schreiben wir kürzer x = x x n Der Hamming-Abstand d(x, y) zweier Codewörter x, y C ist die Anzahl der Positionen, in denen sich x und y unterscheiden, d h d(x, y) = {j j n und x j = y j } Das Hamming-Gewicht w(x) von x C ist die Anzahl der Einsen in x, also w(x) = d(x, ), wobei = Z n 2 das Nullwort ist Für jeden Code C Z n 2 mit C 2heißen die Zahlen d(c) = min{d(x, y) x, y C, x = y} bzw w(c) = min{w(x) x C, x = } der Minimalabstand bzw das Minimalgewicht von C Für x, y C ist stets auch x + y C, und x + y = impliziert x = y = y Somit gilt d(x, y) = {i x i = y i } = {i x i + y i = } = w(x + y) und schließlich d(c) = min{d(x, y) x, y C, x = y} = min{w(x + y) x, y C, x = y} = min{w(z) z C, z = } =w(c) Der Bauer-Code B besteht aus allen Elementen x = x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Z 8 2, die der folgenden Bedingung genügen: x 5 x 6 x 7 x 8 = { x x 2 x 3 x 4, falls w(x x 2 x 3 x 4 ) 2 N, = x x 2 x 3 x 4 +, falls w(x x 2 x 3 x 4 ) 2 N + ; z B sind,, Codewörter Wir geben alle Elemente von B explizit an und zeigen, dass B ein linearer Code ist: Da x x 2 x 3 x 4 Z 4 2 beliebig gewählt werden kann, gilt B = 6 Die Elemente von B sind: Zum Beweis der Tatsache, dass B ein Z 2 -Vektorraum ist, nutzen wir aus, dass eine Teilmenge C Z n 2 genau dann ein linearer Code ist, wenn C und aus x, y C stets x + y C folgt Wir schreiben die Elemente aus B in der Form (a, a ) mit a Z 4 2 und { a a, falls w(a) 2 N, = a +, falls w(a) 2 N, wobei wir zur Abkürzung = geschrieben haben Es gilt (a, a ) + (b, b ) = (a + b, a + b ) Das einzige Codewort, das hierfür infrage kommt, ist ( a + b,(a + b) ) Also ist B genau dann ein linearer Code, wenn (a + b) = a + b für alle a, b Z 4 2 Unter Beachtung von + = inz 2 bestätigt man die Formel: w(a + b) 2 N w(a) + w(b) 2 N Hiermit erhalten wir die Tabelle (für ein c Z 4 2 schreiben wir w(c) = im Fall w(c) 2 N und w(c) = imfallw(c) 2 N +): w(a) w(b) w(a + b) a b (a + b) a b a + b a + b a + b + a b+ a + b + a + b + a + b Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

5 52 Vektorräume und Untervektorräume 5 Mit + = erhalten wir in allen Fällen (a+b) = a +b Der Bauer-Code B ist also ein linearer Code Damit können wir obige Formel anwenden, um d(b) zu bestimmen Wir erhalten d(c) = w(c) = 4, denn außer, haben ja alle Codewörter aus B das Hamming-Gewicht 4 Summen von Untervektorräumen sind wieder Untervektorräume Für zwei Untervektorräume U und W eines K-Vektorraumes V definiert man U + W := {u + w u U, w W } und nennt U + W die Summe der Untervektorräume U und W Offenbar ist U + W wieder ein Untervektorraum von V, dies folgt auch aus einer späteren Betrachtung einer Erzeugendenmenge von U + W? Wieso ist U + W ein Untervektorraum? Man nennt U + W die Summe der Untervektorräume U und W Wir betrachten nun Erzeugendensysteme von U und W Dabei soll M U ein solches von U und M W ein solches von W sein, d h U = M U und W = M W Gegeben seien u U und w W Da M U aus allen Linearkombinationen von Elementen aus M U besteht, existieren r N, u,, u r M U und λ,, λ r K mit u = r i= λ i u i Ebenso ist w = s i= μ i w i mit einem s N, w i M W und μ i K für i s Folglich ist u + w = r λ i u i + i= s μ i w i i= eine Linearkombination von u,, u r, w,, w s M U M W Es gilt also U + W M U M W Nun sei umgekehrt v = t i= λ i v i eine Linearkombination von Elementen v i M U M W Wir setzen I := {i,t v i M U } und J :=,t \ I, wobei zur Abkürzung, t := {, 2,, t} geschrieben wird Für i J gilt v i / M U,dhv i M W Folglich ist t u = λ i v i = λ i v i + λ i v i U + W i= i I i J }{{}}{{} M U M W Damit haben wir also U + W = M U + M W = M U M W begründet Aus der Darstellung U + W = M U M W folgt natürlich insbesondere, dass U + W ein Teilraum von V ist Nach der Definition der linearen Hülle ist U W der kleinste Untervektorraum von V, der U und W enthält Da U und W Teilräume von V sind, gilt U = U, W = W Also ist U + W der kleinste Untervektorraum von V, der U und W enthält? Wenn M U und M W sogar Basen von U und W sind, ist dann M U M W eine solche von U + W? Beispiel Wir bestimmen jeweils eine Basis von U, W und U + W für U = R + R + R und W = R 2 + R R Wir bezeichnen die angegeben Vektoren aus U der Reihe nach mit u, u 2, u 3 und jene aus W mit w, w 2, w 3 Die Schreibweise U = R u +R u 2 +R u 3 bedeutet nichts anderes als U = u, u 2, u 3 Wir zeigen, dass u, u 2, u 3 linear unabhängig sind Die Gleichung λ v +λ 2 +λ 3 v 3 = mit λ,λ 2,λ 3 R führt zu einem linearen Gleichungssystem mit der erweiterten Koeffizientenmatrix 2, dessen einzige Lösung offenbar (,, ) ist Demnach ist {u, u 2, u 3 } ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis von U Nun untersuchen wir die Vektoren w, w 2, w 3 auf lineare Unabhängigkeit Offenbar sind w, w 2 linear unabhängig, denn aus λ w + λ 2 w 2 = mit sagen wir λ 2 = folgt w 2 = ( λ /λ 2 ) w,dhw 2 wäre skalares Vielfaches von w, was offensichtlich nicht der Fall ist Wir müssen Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

6 6 5 Vektorräume Schauplätze der linearen Algebra Vertiefung: Die Anzahl der k-dimensionalen Untervektorräume von Z n p Gegeben seien n N sowie eine Primzahl p N Wir wollen die Anzahl der k-dimensionalen (verschiedenen) Untervektorräume von Z n p bestimmen Wir betrachten den Z p -Vektorraum Z n p : a Z n p = a,, a n Z p a n Für jede Komponente hat man p Möglichkeiten, ein Element aus Z p zu wählen, so dass also Z n p insgesamt pn Elemente enthält Es ist {} der einzige Untervektorraum der Dimension Zur Anzahl der -dimensionalen Untervektorräume: Es gibt p n Möglichkeiten, einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor zu wählen, und jeder solche Vektor erzeugt einen -dimensionalen Untervektorraum Nun sind aber diese Untervektorräume nicht alle verschieden, so gilt im 2 Z 3 3 etwa = 2 Wir überlegen uns, wie viele verschiedene Basen ein -dimensionaler Untervektor- raum von Z n p haben kann Ist U ein -dimensionaler Untervektorraum, so liefert jede Wahl eines vom Nullvektor verschiedenen Vektors aus U (das sind p Möglichkeiten) eine Basis für U Also erzeugen je p = Z p \{} Elemente den gleichen Untervektorraum Wir erhalten: Es gibt genau pn p verschiedene -dimensionale Untervektorräume von Z n p Zur Anzahl der 2-dimensionalen Untervektorräume: Es gibt p n Möglichkeiten, einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor a zu wählen und p n p Möglichkeiten einen zum Vektor a linear unabhängigen Vektor a 2 Z n p \ a zu wählen Jedes solche Paar von Vektoren a und a 2 erzeugt einen 2-dimensionalen Untervektorraum Diese Untervektorräumesind aber nicht alle verschieden So gilt im Z 3 3 etwa, 2 = Wir überlegen uns, wie viele verschiedene Basen ein 2-dimensionaler Untervektorraum von Z n p haben kann Jede Wahl eines vom Nullvektor verschiedenen Vektors b (das sind p 2 Möglichkeiten) und eines von b linear unabhängigen Vektors aus U \ b (das sind p 2 p Möglichkeiten) liefert eine Basis von U: Es gibt also (p 2 )(p 2 p) verschiedene Basen in U Wir erhalten: Es gibt genau (pn )(p n p) (p 2 )(p 2 p) verschiedene 2-dimensionale Untervektorräume von Z n p Die Überlegungen wiederholen sich für die 3- dimensionalen Untervektorräume Und allgemein erhalten wir für die Anzahl der k-dimensionalen Untervektorräume von Z n p die Formel: Es gibt genau k p n p j p k p j = (pn )(p n p) (p n p k ) (p k )(p k p) (p k p k ) j= k-dimensionale Untervektorräume von Z n p dann prüfen, ob w 3 w, w 2,dhw 3 = λ w + λ 2 w 2 lösbar ist Ausgeschrieben liefert dies das lineare Gleichungssystem Dieses Gleichungssystem ist lösbar mit Lösung λ = /4, λ 2 = 3/4 Es folgt W = w, w 2, und {w, w 2 } ist als linear unabhängiges Erzeugendensystem eine Basis von W Nun wissen wir, dass U + W = {u, u 2, u 3, w, w 2 } Der Vektor w kann nicht Linearkombination von v,, v 3 sein man beachte die vierten Komponenten Also sind u, u 2, u 3, w linear unabhängig Wegen w 2 = 4 u 3 3 w gilt U + W = {u, u 2, u 3, w },dh{u, u 2, u 3, w } ist eine Basis von U + W Durchschnitte von Untervektorräumen sind wieder Untervektorräume Für zwei Untervektorräume U und W eines K-Vektorraumes V ist U W wieder ein Untervektorraum von V Der Nachweis ist sehr einfach: Weil der Nullvektor sowohl in U als auch in W liegt, ist U W nicht leer Weiterhin ist mit jedem λ K und v U W auch λ v ein Element aus U und zugleich ein Element aus W, also wieder ein Element aus U W Und mit zwei Elementen v und v aus U W liegt auch deren Summe sowohl in U als auch in W, also wieder in deren Durchschnitt Achtung: Ist M U ein Erzeugendensystem von U und M W ein solches von W, so gilt im Allgemeinen U W = M U M W = M U M W Man wähle etwa M U ={} und M W ={2} im eindimensionalen R-Vektorraum R Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

7 52 Vektorräume und Untervektorräume 7 Beispiel Im R Vektorraum V = R 3 seien zwei Untervektorräume U und W gegeben durch U =, und W =, Wir bestimmen U W Achtung: Die Vereinigung von Untervektorräumen ist im Allgemeinen kein Untervektorraum Als Beispiel wähle man etwa zwei verschiedene eindimensionale Untervektorräume des R 2 x 2 U 2 U U 2 x 3 x U Abbildung A52 Die Summe der zwei Vektoren aus U U 2 ist nicht Element von U U 2, also ist U U 2 kein Vektorraum x x2 Man beachte den Unterschied zwischen der Summe und der Vereinigung von Untervektorräumen Abbildung A5 Der Schnitt der beiden Untervektorräume U und W ist eine Gerade Für v = λ +λ 2 mit λ,λ 2 R gilt v U W genau dann, wenn es μ,μ 2 R gibt, so dass λ + λ 2 = μ + μ 2 gilt Wir bestimmen daher die Lösungsmenge L des homogenen linearen Gleichungssystems über R mit der folgenden erweiterten Koeffizientenmatrix: Mittels elementarer Zeilenumformungen wird diese Matrix überführt in Also gilt L ={(λ,λ,λ,λ) λ R} und somit U W = λ + λ λ R = λ λ R Also U W = Es gibt einen Vektorraum mit acht Elementen Bekanntlich bildet die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge M in einen Körper K, also K M mit den Verknüpfungen f + g : x f (x) + g(x) und λ f : x λ f (x) einen K-Vektorraum Dabei darf K natürlich auch ein endlicher Körper sein Wir geben ein Beispiel an Beispiel Wir betrachten eine dreielementige Menge M = {x, y, z} und den Körper K := Z 2 ={, } mit zwei Elementen Es ist dann die Menge K M aller Abbildungen von M nach K eine Menge mit 2 3 = 8 Elementen Wir geben die Elemente von K M explizit an: f : x, y, z f 2 : x, y, z f 3 : x, y, z f 4 : x, y, z f 5 : x, y, z f 6 : x, y, z f 7 : x, y, z f 8 : x, y, z Der eindeutig bestimmte Nullvektor ist f und jedes Element ist zu sich selbst invers, da für jedes i {,, 8} jeweils f i +f i = f gilt Wir bestimmen weiter die Summe f 2 +f 3 : Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

8 8 5 Vektorräume Schauplätze der linearen Algebra Vertiefung: Fastvektorräume Gegenbeispiele, denen dies nicht sofort anzusehen ist Es gibt Beispiele von Mengen mit Verknüpfungen, bei denen nur fast alle Vektorraumaxiome erfüllt sind Wir führen vier Beispiele an, bei denen jeweils eines der sogenannten Verträglichkeitsaxiome (V6), (V7), (V8), (V9) zwischen der skalaren Multiplikation und der Addition nicht erfüllt ist Man beachte, dass wir im Folgenden bei der üblichen Multiplikation in R bzw C keinen Multiplikationspunkt setzen Die Multiplikationspunkte sind für die definierten skalaren Multiplikationen reserviert () In K = C und V = C 2 bezeichne + die komponentenweise Addition; als skalare Multiplikation definieren v wir für λ C und v = V : ( ) λv, falls = v λ λ := λv, falls = Wir wählen λ = i C, v = und rechnen nach, ( λ (v +w) = i, w = V ) + = i sowie λ v+λ w = i +i = 2 = i i + = i i 2i 2i Also ist das Vektorraumaxiom (V6) verletzt Es gelten jedoch alle anderen Vektorraumaxiome Exemplarisch weisen wir (V9) nach: Für alle v = v V gilt: v v v = = = v (2) In K = R und V = R bezeichne + die übliche Addition komplexer Zahlen; als skalare Multiplikation definieren wir für λ R und v V λ v := λ 2 v Das Axiom (V7) (λ + μ) v = λ v + μ v ist verletzt: Z B ist ( + ) v = 2 v = 4 v = 2 v = v + v = v + v, sofern v = Es sind jedoch alle anderen Vektorraumaxiome erfüllt Exemplarisch zeigen wir, dass (V8) erfüllt ist: Für alle λ, μ R und v V gilt (λ μ) v = (λ μ) 2 v = λ 2 (μ 2 v) = λ (μ v) (3) In K = C und V = C bezeichne + die übliche Addition komplexer Zahlen; als skalare Multiplikation definieren wir für λ C und v V λ v := (Re λ) v Das gemischte Assoziativgesetz (V8) gilt hier nicht: Z B ist aber (i 2 ) v = ( ) v = Re ( ) v = v, i (i v) = Re (i) Re (i) v =, d h (i 2 ) v = i (i v), sofern v = Die anderen Vektorraumaxiome sind erfüllt Exemplarisch zeigen wir, dass (V7) erfüllt ist: Für alle λ, μ C und v V gilt (λ + μ) v = Re (λ + μ) v = (Re λ + Re μ) v = Re λ v + Re μ v = λ v + μ v (4) In K = R und V = R 2 bezeichne + die komponentenweise Addition; als skalare Multiplikation definieren v wir für λ R und v = V v λ := Für λ =, = ergibt sich v = λv v = v, also gilt hier das Axiom (V9) nicht Alle anderen Axiome gelten Exemplarisch weisen ( wir ) (V6) nach Für alle v w λ R und v =, w = V gilt: w 2 λ(v + w λ (v + w) = ) = = λ v + λ w λv + λw Kommentar: Wir haben für jedes der vier Axiome der Skalarmultiplikation eine algebraische Struktur angegeben, in der dieses Axiom verletzt und alle anderen Vektorraumaxiome erfüllt sind Demnach folgt keines der vier Axiome der Skalarmultiplikation aus den übrigen Axiomen Man sagt: Die Axiome der Skalarmultiplikation sind voneinander unabhängig Dies ist nicht so bei der Kommutativität (V5): Die Kommutativität der Addition folgt tatsächlich aus den anderen Vektorraumaxiomen Wir stellen diesen Nachweis als Übungsaufgabe Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

9 52 Vektorräume und Untervektorräume 9 Wegen (f 2 + f 3 )(x) = f 2 (x) + f 3 (x) = + =, (f 2 + f 3 )(y) = f 2 (y) + f 3 (y) = + =, (f 2 + f 3 )(z) = f 2 (z) + f 3 (z) = + = Achtung: Man achte wieder auf die grundsätzlich verschiedenen Bedeutungen der Additionen, die wir mit ein und demselben +-Zeichen versehen Man unterscheide genau: Es ist f K M und f (x) K gilt also f 2 + f 3 = f 8 Antworten der Selbstfragen S Es gibt keinen Körper mit 6 Elementen, da 6 = 2 3 keine Primzahlpotenz ist Es gibt hingegen Körper mit 7 = 7 und 8 = 2 3 Elementen, da diese Zahlen Primzahlpotenzen sind S 2 Nein, da a b = gilt, obwohl keiner der Faktoren ist S 5 Es ist U +W nicht leer, weil der Nullvektor in U +W liegt Weiter liegen mit zwei Elementen u + w, u + w U und λ K stets auch u + w + u + w = (u + u ) + (w + w ) und λ(u + w) = λ u + λ w wieder in U S 5 Nein, man wähle etwa zwei verschiedene Basen M U und M W eines Vektorraumes U = W Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28