Übungen zur Linearen Algebra 1 Probeklausur Musterlösung: Aufgabe A
|
|
- Viktor Küchler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Musterlösung: Aufgabe A Wir betrachten die Matrix A = M(3 3, Q) und die dazugehörige Abbildung f : Q 3 Q 3 ; v A v. Für j = 1, 2, 3 bezeichne v j Q 3 die j-te Spalte von A. Teilaufgabe (i)+(iii): Behauptung. Die Vektoren v 1, v 2 bilden eine Basis von Im(f). Damit gilt: dim(im(f)) = 2. Behauptung. Die Spaltenvektoren v 1, v 2, v 3 sind die Bilder der Einheitsvektoren e 1, e, e 3 und erzeugen somit Im(f). Es gilt: v 3 = 1 7 v v 2 und damit Im(f) = v 1, v 2, v 3 = v 1, v 2. Es genügt also zu zeigen, dass die Vektoren v 1, v 2 linear unabhängig sind. Es seien a, b Q mit a v 1 + b v 2 = 0. Dann folgt: 4b = a = 3b und somit a = b = 0. Teilaufgabe (ii): Behauptung. Die Vektoren v 1, v 2, e 3 bilden eine Basis von Q 3. Beweis. Es genügt zu zeigen, dass Q 3 = v 1, v 2, e 3. Dies folgt aus den folgenden Aussagen: (1, 1, 0) = v e 3 v 1, v 2, e 3 und ( 4, 3, 0) = v e 3 v 1, v 2, e 3. e 2 = 1 7 (4 (1, 1, 0) + ( 4, 3, 0)) v 1, v 2, e 3. e 1 = (1, 1, 0) e 2 v 1, v 2, e 3. Alternativ kann man auch zeigen, dass die Vektoren v 1, v 2, e 3 linear unabhängig sind. Da dim(q 3 ) = 3 gilt, folgt dann sofort Q 3 = v 1, v 2, e 3.
2 Musterlösung: Aufgabe B Teilaufgabe (i): Es sei U = {f Abb(R, R) f(1) = f(0) + 1}. Behauptung. U ist kein Untervektorraum von Abb(R, R). Beweis. Es sei f : R R die Abbildung mit konstantem Wert 0. Dann ist f = 0 Abb(R,R) und f / U, weil f(1) = 0 1 = f(0) + 1. Dies zeigt, dass U kein Untervektorraum von Abb(R, R) ist. Behauptung. U ist ein affiner Unterraum von Abb(R, R). Beweis. Es sei χ 1 Abb(R, R) die charakteristische Funktion von 1, d.h. es gilt χ 1 (x) = 1 χ 1 (x) 0 x = 1 für alle x R (siehe Aufgabe 18). Dann gilt χ 1 U und es genügt zu zeigen, dass die Menge V := {f χ 1 f U} ein Untervektorraum von Abb(R, R) ist. Es gilt: 0 Abb(R,R) = χ 1 χ 1 V. Gegeben seien f, g U. Dann gilt: (f + g χ 1 )(1) = f(1) + g(1) 1 = f(0) + g(0) + 1 = (f + g χ 1 )(0) + 1 und somit f + g χ 1 U. Dies zeigt: (f χ 1 ) + (g χ 1 ) = (f + g χ 1 ) χ 1 V. Gegeben sei f U und a R. Dann gilt: (a f (a 1) χ 1 )(1) = a f(1) a + 1 = a f(0) + 1 = (a f (a 1) χ 1 )(0) + 1 und somit a f (a 1) χ 1 U. Dies zeigt: a (f χ 1 ) = (a f (a 1) χ 1 ) χ 1 V.
3 Teilaufgabe (ii): Behauptung. Es gilt: {(a 1, a 2, a 3 ) R 3 a a a 2 3 = 0} = {(0, 0, 0)}. Insbesondere ist diese Menge ein Untervektorraum von R 3. Behauptung. Die Menge {(a 1, a 2, a 3 ) C 3 a a a 2 3 = 0} ist kein affiner Unterraum von C 3. Insbesondere ist diese Menge damit auch kein Unterraum von C 3. Beweis. Angenommen, die Menge U ist ein affiner Unterraum von C 3. Wegen (0, 0, 0) U, ist U dann sogar ein Untervektorraum von C 3. Wegen (1, i, 0), (1, 0, i) U, gilt dann auch (2, i, i) U und somit 0 = = 2. Widerspruch! 2
4 Musterlösung: Aufgabe C Es seien U 1, U 2 Unterräume eines Vektorraums V mit U 1 + U 2 = V und U 1 U 2 = {0}. Dann ist die Abbildung i : U 1 U 2 V ; (u 1, u 2 ) u 1 + u 2 ein Isomorphismus und es exisitert eine zugehörige Umkehrabbildung i 1. Es sei die kanonische Projektion. Definiere p 2 : U 1 U 2 U 2 ; (u 1, u 2 ) u 2 f = p 2 i 1 : V U 2 V. Da i 1 und p 2 linear sind, ist f ein Homomorphismus. Für u U 2 gilt dann u = p 2 (0, u) = p 2 (i 1 (u)) = f(u). Daraus folgt: f U2 = id U1, U 2 = Im(f) und somit f 2 = f. Behauptung. U 1 = Ker(f). Beweis. Es sei u U 1. Dann folgt u = i(u, 0), i 1 (u) = (u, 0) und f(u) = p 2 (u, 0) = 0. Somit gilt: u Ker(f). Es nun v Ker(f) mit i 1 (v) = (u 1, u 2 ). Dann gilt: u 2 = p 2 (u 1, u 2 ) = f(v) = 0 und v = u 1 + u 2 = u 1 U 1. Es sei nun g : V V ein Homomorphismus mit Ker(g) = U 1, Im(g) = U 2 und g 2 = g. Behauptung. Es gilt: f = g. Beweis. Es sei v V mit i 1 (v) = (u 1, u 2 ). Dann existiert ein v V mit u 2 = g( v). Es sei i 1 ( v) = (ū 1, ū 2 ). Dann gilt: g(v) = g(u 1 + u 2 ) = g(u 2 ) = g(g( v)) = g( v) = u 2 = f(v).
5 Musterlösung: Aufgabe D Teilaufgabe (i): Wir betrachten die Matrizen 1 i A = 1 + i M(4 1, C) und B = (4, i, 2 i, 2) M(1 4, C). 3 Dann gilt: und A B = = ( i) 1 (2 i) 1 2 i 4 i ( i) i (2 i) i 2 (1 + i) 4 (1 + i) ( i) (1 + i) (2 i) (1 + i) ( i) 3 (2 i) i 2 i 2 4i i 2i 4 + 4i 1 i 3 + i 2 + 2i 12 3i 6 3i 6 B A = (4 1 + ( i) i + (2 i) (1 + i) + 2 3) = ( i + 6) = (14 + i). Teilaufgabe (ii): Für i = 1,..., 4 bezeichne v i C 4 die i-te Zeile der Matrix A B. Dann gilt: und somit: v 1 0, v 2 = i v 1, v 3 = (1 + i) v 1, v 4 = 3 v 1. rg(a B) = dim( v 1,..., v 4 ) = dim( v 1 ) = 1. Hierbei benutzen wir, dass sowohl Zeilenrang als auch Spaltenrang den Rang einer Matrix berechnen. Alternativ kann man argumentieren, dass rg(a B) = dim(f g) gilt, wobei f : C C 4 und g : C 4 C die durch Rechtsmultiplikation mit A bzw. B gegebenen Abbildungen sind. Wegen dim(im(f g)) dim(im(f)) dim(c) = 1 und Im(f g) {0}, gilt dann dim(im(f g)) = 1.
6 Musterlösung: Aufgabe E Man betrachte die Basen v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (1, 1, 1) und w 1 = (0, 0, 1), w 2 = (0, 1, 1), w 3 = (1, 1, 1) von Q 3. Es sei M (vj ),(w i ) = (a ij ) i,j=1,2,3 M(3 3, Q). Behauptung. Es gilt M (vj ),(w i ) = Beweis. Da M (vj ),(w i ) die Übergangsmatrix für die Basen v 1, v 2, v 3 und w 1, w 2, w 3 ist, gilt v j = a 1j w 1 + a 2j w 2 + a 3j w 3 = (a 3j, a 2j + a 3j, a 1j + a 2j + a 3j ) für j = 1, 2, 3. Durch Einsetzen der v j ergeben sich dann die folgenden Gleichungen. a 31 = a 32 = a 33 = 1. a 21 = 1 und a 22 = a 23 = 0. a 11 = 0, a 12 = 1 und a 13 = 0. Dies zeigt die obige Behauptung. Setze M (wj ),(v i ) = (b ij ) i,j=1,2,3 und M (vj ),(w i ) M (wj ),(v i ) = (c ij ) i,j=1,2,3. Dann gilt für alle i, j = 1, 2, 3. c ij = a ik b kj k=1 Behauptung. M (vj ),(w i ) M (wj ),(v i ) = I 3. Beweis. Da M (vj ),(w i ) und M (wj ),(v i ) Übergangsmatrizen sind, gilt ( ) ( ) w j = b kj v k = b kj a ik w i = a ik b kj w i = c ij w i k=1 k=1 i=1 i=1 k=1 i=1 für alle j = 1, 2, 3. Da w 1, w 2, w 3 eine Basis ist, folgt c ij = 1 c ij 0 i = j für alle i, j = 1, 2, 3. Allgemeiner wurde in der Vorlesung für Basen u 1,..., u n, v 1,..., v n und w 1,..., w n eines Vektorraums V gezeigt, dass M (vj ),(w i ) M (uj ),(v i ) = M (uj ),(w i ) gilt. Alternativ kann man hieraus direkt folgern: M (vj ),(w i ) M (wj ),(v i ) = M (wj ),(w i ) = I 3.
7 Musterlösung: Aufgabe F Wir betrachten das folgende inhomogene Gleichungssystem: x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 13 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 19 x 1 x 2 x 3 = 0 (1) Die dazugehörige Koeffizientenmatrix hat dann die Gestalt: Durch das Addieren des ( 2)-fachen der zweiten Zeile zur dritten Zeile und das Addieren der zweiten Zeile zur vierten Zeile erhalten wir die folgende Matrix: Durch das Addieren des ( 2)-fachen der ersten Zeile zur zweiten Zeile, das Addieren der ersten Zeile zur dritten Zeile und das Addieren des ( 1)-fachen der ersten Zeile zur vierten Zeile erhalten wir die folgende Matrix: Durch das Addieren des ( 3)-fachen der vierten Zeile zur ersten Zeile und das Addieren des 2-fachen der vierten Zeile zur zweiten Zeile erhalten wir die folgende Matrix:
8 Durch das Vertauschen der ersten und der zweiten Zeile und das Vertauschen der dritten und der vierten Zeile erhalten wir die folgende Matrix: Diese Matrix ist in Zeilenstufenform. Sie ist die Koeffizientenmatrix des folgenden inhomogenen Gleichungssystems: x 1 x 3 = 11 x 2 + 2x 3 = 11 x 4 = 6 (2) Über einem Körper K hat dieses Gleichungssystem die folgende Lösungsmenge: {(a + 11, 2a 11, a, 6) K 4 a K}. Da elementare Zeilenumformungen die Lösungsmenge eines Gleichungssystems nicht ändern, besitzt das inhomogene Gleichungssystem (1) über K die gleiche Lösungsmenge. 2
9 Musterlösung: Aufgabe G Es sei und A = f : K 3 K 2 ; v A v. Betrachte die Basis v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 1) von K 2 und die Basis w 1 = (1, 1, 1), w 2 = (1, 1, 0), w 3 = (1, 0, 0) von K 3. Setze M f,(vj ),(w i ) = (a ij ) i=1,2,3;j=1,2. Behauptung. Es gilt M f,(vj ),(w i ) = Beweis. Es gilt f(v 1 ) = (4, 4, 4), f(v 2 ) = ( 2, 0, 2) und f(v j ) = a 1j w 1 + a 2j w 2 + a 3j w 3 = (a 1j + a 2j + a 3j, a 1j + a 2j, a 1j ). für j = 1, 2. Durch Einsetzen der f(v j ) ergeben sich die folgenden Gleichungen. a 11 = 4 und a 12 = 2. a 21 = 0 und a 22 = 2. a 31 = 0 und a 32 = 2. Dies zeigt die Behauptung.
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Definition. Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n und b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2......
Mehrβ 1 x :=., und b :=. K n β m
44 Lineare Gleichungssysteme, Notations Betrachte das lineare Gleichungssystem ( ) Sei A = (α ij ) i=,,m j=,n α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m die Koeffizientenmatrix
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden
Mehr4 Lineare Abbildungen und Matrizen
4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v),
Mehr2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen
24 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition 24 Seien V, W zwei K-Vektorräume Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung (lineare Transformation, linearer Homomorphismus, Vektorraumhomomorphismus
MehrZu zwei Matrizen A R m n und B R p q existiert das Matrizenprodukt A B n = p und es gilt dann. A B = (a ij ) (b jk ) = (c ik ) = C R m q mit c ik =
H 6. Die Matrizen A, B, C und D seien gegeben durch 5 A =, B =, C = 4 5 4, D =. 5 7 5 4 4 Berechnen Sie (sofern möglich) alle Matrizenprodukte X Y mit X, Y {A, B, C, D}. Zu zwei Matrizen A R m n und B
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn
MehrLineare Algebra I Zusammenfassung
Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 27/28 Definition (a ij ) 1 j n 1 i n heiÿt eine m n-matrix mit Komponenten a ij K Dabei bezeichnet i den Zeilenindex und j den Spaltenindex
Mehr2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 2.2.. Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x +
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
MehrLineare Algebra I Lösung der Probeklausur
David Blottière Patrick Schützdeller WS 6/7 Universität Paderborn Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur Aufgabe : M i) M ist linear unabhängig. Seien a,b,c R mit Daraus folgt : Also gilt a = b = c
Mehr(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.
() In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 5. April 2018 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eine Familie von Gleichungen der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2............ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m
MehrBild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis
MehrLINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER
LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders
Mehr3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Geometrie I
Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Geometrie I Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr. Peter Eichelsbacher 3. April 2007, 9.00-13.00 Uhr, 240 Minuten Name und Geburtsdatum: Matrikelnummer: Hinweise: Überprüfen
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr05. Lineare Gleichungssysteme
05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a
Mehr1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen
Technische Universität München Thomas Reifenberger Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 2008/09 1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Definition 11 Transponierte Matrix
Mehr3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit
3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
Mehr1 Zum Aufwärmen. 1.1 Notationen. 1.2 Lineare Abbildungen und Matrizen. 1.3 Darstellungsmatrizen
1 Zum Aufwärmen 1.1 Notationen In diesem Teil der Vorlesung bezeichnen wir Körper mit K, Matrizen mit Buchstaben A,B,..., Vektoren mit u,v,w,... und Skalare mit λ,µ,... Die Menge der m n Matrizen bezeichnen
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 03.12.2013 Alexander Lytchak 1 / 16 Wiederholung und Beispiele Der Spaltenrang einer Matrix ist gleich ihrem Zeilenrang.
MehrLineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November 9, 27 Erinnerung 2 Vektoräume Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum,
MehrA = α α 0 2α α
Aufgabe 8. Berechnen Sie abhängig von α R die Dimension dim(f(r 4 )) und die Dimension dim(kern(f)) sowie je eine Basis von f(r 4 ) und Kern(f) der linearen Abbildung f : R 4 R 4, x Ax mit der Matrix A
Mehr5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von
MehrBasis eines Vektorraumes
Basis eines Vektorraumes Basisergänzungssatz: Ist U V ein Unterraum von V und dim V = n, so kann jede Menge linear unabhängiger Vektoren aus U zu einer Basis von U erweitert werden Und es gilt: Beweis:
MehrLineare Algebra Weihnachtszettel
Lineare Algebra Weihnachtszettel 4..008 Die Aufgaben auf diesem Zettel sind zum Üben während der Weihnachtspause gedacht, sie dienen der freiwilligen Selbstkontrolle. Die Aufgaben müssen nicht bearbeitet
MehrLösung Test 1 (Nachprüfung)
MLAE Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure Frühlingssemester 6 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lösung Test (Nachprüfung Aufgabe : a Gemäss den Algorithmen im Kap.. der Vorlesung bringen wir die
Mehr6 Lineare Gleichungssysteme
6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 6 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem verstehen wir ein System von Gleichungen α ξ + + α n ξ n = β α m ξ + + α mn ξ n = β m mit Koeffizienten α
Mehrauf C[; ] sind linear III Formale Dierentiation und Integration: Die Abbildungen und a + a t + + a n t n a + a t + + na n t n a + a t + + a n t n an a
x LINEARE ABBILDUNGEN Denition: Seien V; V Vektorraume Eine Abbildung f heit linear, falls (i) (ii) f(x + y) f(x) + f(y) (x; y V ) f(x) f(x) ( R; x V ) Bemerkungen: I (i) und (ii) oben sind aquivalent
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 12 Wege entstehen dadurch, dass man sie geht Franz Kafka Invertierbare Matrizen Definition 121 Es sei K ein
Mehr2.2 Lineare Gleichungssysteme
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 55 22 Lineare Gleichungssysteme Das Lösen von Gleichungen (ganz unterschiedlichen Typs und unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades) gehört zu den Grundproblemen
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 2013/14 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 203/4 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7 Aufgabe 27 Sei eine lineare Abbildung f : R 4 R 3 gegeben durch f(x, x 2, x 3 ) = (2 x 3 x 2
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
Mehr2.2 Kern und Bild; Basiswechsel
22 Kern und Bild; Basiswechsel 22 Kern und Bild; Basiswechsel 35 Jede lineare Abbildung definiert charakteristische Unterräume, sowohl im Ausgangsraum als auch im Bildraum 22 Satz Sei L: V W eine lineare
Mehr3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 17.10.2012 Bernhard Hanke 1 / 9 Wir beschreiben den folgenden Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das sogenannte Gaußsche
MehrDefinitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.
Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren
MehrDer Kern einer Matrix
Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis
Mehr5 Diagonalisierbarkeit
5 Diagonalisierbarkeit Sei V ein K Vektorraum mit einer Basis B = (v 1,..., v n ) Wiederholung aus 2: Sei f : V V K linear. Stelle f(v j ) für j = 1,..., n dar in der Form a 1j Das n Tupel a j =. a nj
MehrZeigen Sie, dass der einzige Gruppenhomomorphismus von (G, ) nach (Z 5, +) die Abbildung Φ : G Z 5
Aufgabe I (4 Punkte) Es sei G : {e, g, g, g } eine 4-elementige Gruppe mit neutralem Element e Die Verknüpfung auf G werde mit bezeichnet Außerdem seien in G folgende Gleichungen erfüllt: g g g und g g
MehrGrundlegende Definitionen aus HM I
Grundlegende Definitionen aus HM I Lucas Kunz. März 206 Inhaltsverzeichnis Vektorraum 2 2 Untervektorraum 2 Lineare Abhängigkeit 2 4 Lineare Hülle und Basis 5 Skalarprodukt 6 Norm 7 Lineare Abbildungen
MehrLösung zu Serie 9. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink
Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 9 1. [Aufgabe] Sei f : V W eine lineare Abbildung. Zeige: a) Die Abbildung f ist injektiv genau dann, wenn eine lineare Abbildung g :
Mehr9 Lineare Gleichungssysteme
9 Lineare Gleichungssysteme Eine der häufigsten mathematischen Aufgaben ist die Lösung linearer Gleichungssysteme In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns zunächst mit Lösbarkeitsbedingungen und mit der
MehrAufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I
Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I Es werden folgende Themen behandelt:. Formale und logische Grundlagen 2. Algebraische Grundlagen 3. Vektorräume und LGS 4. Homomorphismen und
MehrMathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 12 Lineare Abbildungen Definition 12.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt lineare Abbildung,
MehrKapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen
Kapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen Matrixform des Rangsatzes Satz. Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. A habe den Rang r. Dann ist die Lösungsmenge L := x 1 x 2. x n x
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
MehrGrundlagen der Mathematik 1
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben
MehrLineare Abbildungen und Orthonormalsysteme
KAPITEL Lineare Abbildungen und Orthonormalsysteme. Lineare Abbildungen und Koordinatendarstellungen.. Lineare Abbildungen und ihre Basisdarstellung. Seien V, W Vektorraume uber R. Mit einer Abbildung
MehrIV.3. RANG VON MATRIZEN 81
IV3 RANG VON MATRIZEN 8 Ist b,,b n eine Basis des reellen Vektorraums V, dann bildet b,,b n auch eine Basis des komplexen Vektorraums V C Mit V ist daher auch V C endlichdimensional und es gilt dim C V
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
MehrLineare Algebra I. Probeklausur - Lösungshinweise
Institut für Mathematik Wintersemester 2012/13 Universität Würzburg 19. Dezember 2012 Prof. Dr. Jörn Steuding Dr. Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I Probeklausur - Lösungshinweise Aufgabe
Mehr$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $
Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
MehrMusterlösung zur Klausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I Aufgabe Version A 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein
MehrKapitel 16. Invertierbare Matrizen
Kapitel 16. Invertierbare Matrizen Die drei Schritte des Gauß-Algorithmus Bringe erweiterte Matrix [A b] des Gleichungssystems A x auf Zeilenstufenform [A b ]. Das System A x = b ist genau dann lösbar,
Mehr2.4 Matrizen und Lineare Abbildungen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 73 2.4 Matrizen und Lineare Abbildungen Zum Schluss von Abschnitt 2.2 hatten wir Matrizen eingeführt, und zwar im Zusammenhang mit der abgekürzten Schreibweise
MehrMatrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).
Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen
Mehr13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung
3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG 74 3 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 3 Definition und Notiz Sei B R n offen, f : B R m, v R n, so heißt für γ x,v (t) = x + tv d dt f(x + tv) f(x)
MehrMusterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I Aufgabe 1 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 18.10.2012 Alexander Lytchak 1 / 12 Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen nun allgemeiner Gleichungssysteme der
Mehr3.9 Elementarmatrizen
90 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen 3.9 Elementarmatrizen Definition 9.1 Unter einer Elementarmatrix verstehen wir eine Matrix die aus einer n n-einheitsmatrix E n durch eine einzige elementare
MehrBeweis. Bei (a) handelt es sich um eine Umformulierung des ersten Teils von Satz 6.2, während (b) aus dem zweiten Teil des genannten Satzes folgt.
82 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen Beweis. Bei (a) handelt es sich um eine Umformulierung des ersten Teils von Satz 6.2, während (b) aus dem zweiten Teil des genannten Satzes folgt. Wir
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
MehrDer Rangsatz für lineare Abbildungen
Der Rangsatz für lineare Abbildungen Satz Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f), also gleichbedeutend dim Kern(f) = dim V rg(f) Da uns in der Regel bei gegebenem
MehrKapitel V. Affine Geometrie
Kapitel V Affine Geometrie 1 Affine Räume Betrachte ein lineares Gleichungssystem Γ : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b
MehrLösung zu Serie [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren.
Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 8 1. [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren. a 1 A 1 a 2 A 2 a 3
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
MehrHenning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich
Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es
MehrMathematik IT 2 (Lineare Algebra)
Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof Dr L Cromme Mathematik IT (Lineare Algebra für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Sommersemester 3 Lineare Gleichungssysteme
Mehra i j (B + C ) j k = n (a i j b j k + a i j b j k ) =
Lösungen Lineare Algebra für Physiker, Serie 2 Abgabe am 25.10.2007 1. Es seien A K m n, B,C K n p und D K p q gegeben. 9 P (a) Beweisen Sie das Distributivgesetz A(B + C ) = A B + AC. (b) Beweisen Sie
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)
MehrLineare Abbildungen und Matrizen
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 31. Mai 2016 Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai 2016 1 / 16 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume
MehrLineare Algebra I. Lösung 9.2:
Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 9 Prof. Dr. Markus Schweighofer 20.01.2010 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 9.1: Voraussetzung:
MehrLineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana.
Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven attilana stevenb@student.ethz.ch November, 6 Lineare Abbildungen Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls x, x X : x x fx fx. In Worten: erschiedene Elemente
Mehr5 Lineare Abbildungen
5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 59 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,
Mehr3.4 Der Gaußsche Algorithmus
94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,
MehrLineare Algebra Klausur 1
Lineare Algebra Klausur 1 (29.7.2015 Dozent: Ingo Runkel) Name Vorname Matrikelnr. Anweisungen: Hilfsmittel: Für die Bearbeitung sind nur Stift und Papier erlaubt. Benutzen Sie einen permanenten Stift
MehrLineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November, 7 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen + : E E E, x, y x + y Addition : E E E,
MehrMusterlösung zur Nachklausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Nachklausur Lineare Algebra I Aufgabe 1 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 15 Unterräume und Dualraum Untervektorräume eines K-Vektorraumes stehen in direkter Beziehung zu Untervektorräumen
Mehr10. Übung zur Linearen Algebra I -
. Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@FU-Berlin.de FU Berlin. WS 29-. Aufgabe 37 i Für welche α R besitzt das lineare Gleichungssystem 4 αx + αx 2 = 4x + α + 2x 2 = α genau eine,
MehrLineare Abbildungen und Gleichungssysteme
Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Klaus-R Loeffler Lineare Abbildungen Definition: Lineare Abbildung Es wird vorausgesetzt, dass V und W Vektorräume sind Eine Abbildung f von V in W heißt dann
MehrLösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I
Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I Aufgabe Seien V und W zwei K-Vektorräume für einen Körper K. a) Wann heißt eine Abbildung f : V W linear? b) Wann heißt eine Abbildung f : V W injektiv?
MehrDas inhomogene System. A x = b
Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbestimmten hat immer mindestens die Lösung 0. Ist r der Rang von A, so hat das System n r Freiheitsgrade. Insbesondere gilt: Ist
Mehr5 Lineare Abbildungen
5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 56 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,
MehrMathematik für Anwender I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 11 Rang von Matrizen Definition 111 Es sei K ein Körper und sei M eine m n-matrix über K Dann nennt man die Dimension des von
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 2 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Mittsemesterprüfung HS, Typ A Name a a Note Vorname Leginummer Datum 29..2 2 4 6 Total
Mehr2.2 Lineare Gleichungssysteme
Lineare Algebra 2016/17 c Rudolf Scharlau 67 22 Lineare Gleichungssysteme Das Lösen von Gleichungen (ganz unterschiedlichen Typs und unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades) gehört zu den Grundproblemen
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
Mehr3 Systeme linearer Gleichungen
3 Systeme linearer Gleichungen Wir wenden uns nun dem Problem der Lösung linearer Gleichungssysteme zu. Beispiel 3.1: Wir betrachten etwa das folgende System linearer Gleichungen: y + 2z = 1 (1) x 2y +
MehrSerie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:
Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 c) 1 3 3 2 2 1 5 3 1 2 6 1 [Lösung]
Mehr