Grundlagen der Stochastik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundlagen der Stochastik"

Transkript

1 Grundlagen der Stochastik Johannes Recker / Sep. 2015, überarbeitet Nov Fehlermeldungen oder Kommentare an Inhalt 1. Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperiment Ergebnis und Ergebnisraum Ereignis und Ereignisraum Absolute und relative Häufigkeit Mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme und Pfadregeln Laplace-Experiment Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariable Kombinatorik Permutationen Variationen Kombinationen Binomialverteilung Verteilungsfunktion Bernoulli-Experiment Bernoulli-Kette Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße Sigma-Regeln Hypothesentest Definition Vorgehen beim Hypothesentest Beidseitiger Test Einseitiger Test Fehlerarten beim Testen von Hypothesen

2 1. Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1.Zufallsexperiment Bei einem Zufallsexperiment handelt es sich um einen Versuch, der unter bestimmten Bedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang besitzt. Eigenschaften von Zufallsexperimenten: es wird unter genau festgelegten Bedingungen durchgeführt alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorher bekannt das Ergebnis des Experiments lässt sich nicht vorhersagen (es kann unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden) Bsp.: das Werfen einer Münze, Werfen eines Würfels, das Ziehen einer Kugel aus einer Urne, das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel, das Drehen eines Glücksrades, das Roulettespiel Man spricht von einem einstufigen Zufallsexperiment, wenn das Zufallsexperiment nur einmal durchgeführt wird. Man spricht von einem mehrstufigen Zufallsexperiment, wenn das Zufallsexperiment aus mehreren Schritten besteht, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind. 1.2.Ergebnis und Ergebnisraum Jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ein Ergebnis ω dieses Zufallsexperimentes. Die Ergebnisse ω 1, ω 2, ω i spannen einen n dimensionalen Raum Ω, den sog. Ergebnisraum, auf. Aufgabe: Wie lauten die Ergebnisse und der Ergebnisraum beim einfachen Münzwurf? Die Mächtigkeit Ω des Ergebnisraumes gibt die Anzahl der Ergebnisse, d.h. die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge an. 1.3.Ereignis und Ereignisraum Jede Teilmenge E des Ergebnisraums Ω heißt Ereignis. Wir nennen ein Ereignis sicher, wenn E = Ω. Ein Ereignis ist unmöglich, wenn E = Φ { }. Bsp.: Würfel. E = {1,2,3,4,5,6} = Ω. Die Ereignisse selbst sind Mengen, sodass die Menge aller Ereignisse einen n dimensionalen Raum aufspannen, den Ereignisraum P(Ω). 2

3 Aufgabe: (Ausflug Mengengymnastik ): Gegeben seien die Mengen A = {1,2,3,4,5,6}, B = {7,8,9}. Bilde die Vereinigung A B und den Schnitt A B der Mengen. 1.4.Absolute und relative Häufigkeit Die absolute Häufigkeit H n (E) gibt an, wie oft das Ereignis E innerhalb eines Zufallsexperiments, welches n-mal ausgeführt wird, aufgetreten ist. Tritt ein Ereignis E bei n Versuchen k mal ein, so heißt die Zahl h n (E)= k relative Häufigkeit des n Ereignisses E. Zusammenhang absolute und relative Häufigkeit: h n (E) = H n(e) n Bsp.: Notenverteilung: Note absolut relativ Mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme und Pfadregeln Man spricht von einem mehrstufigen Zufallsexperiment, wenn das Zufallsexperiment aus mehreren Schritten besteht, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind. Bsp.: zweimaliges Werfen einer Münze Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt. Die Pfadregeln dienen der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment. 1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades. 2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen Laplace-Experiment Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A lautet: P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisses Anzahl der möglichen Ergebnisse 3

4 1.7. Bedingte Wahrscheinlichkeiten P B (A) = P(A B) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist: P(A B) P(B A) P(A) P B (A) = =. P(B) P(B) Mithilfe des Satzes von Bayes und P(B) = P(B A) P(A) + P(A ) P(B A ) kann man dies schreiben zu P(B A) P(A) P B (A) = P(B A) P(A) + P(A ) P(B A ) Zufallsvariable Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl x i zu. Eine diskrete Zufallsvariable kann in einem Intervall nur endlich viele Werte annehmen. Eine stetige Zufallsvariable kann in einem Intervall beliebig viele Werte annehmen. 2. Kombinatorik 2.1. Permutationen Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine Anordnung von n (n N) Objekten, die alle unterscheidbar sind: n! (sprich: n Fakultät). Es gilt per Definition: 0! 1, 1! = 1 Aufgabe: In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Eine Permutation mit Wiederholung ist eine Anordnung von n Objekten, von denen manche nicht unterscheidbar sind. Gibt es k Gruppen (verschiedene Elemente) mit jeweils n 1, n 2,, n k identischen Elementen, so lautet die Formel mit n = n 1 + n n k. n! n 1! n 2! n k! Aufgabe: In einer Urne befinden drei blaue und zwei rote Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Aufgabe: (Mississippi-Problem): Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI anordnen? Hinweis: (1x M / 4x I / 4x S / 2x P) 4

5 2.2.Variationen Als Variationen bezeichnet man die möglichen Anordnungen von k aus n verschiedenen Elementen mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl der Variationen beträgt Mit Zurücklegen der Elemente: (n k)! Ohne Zurücklegen der Elemente: n k n! Aufgabe: In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln mit Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? 2.3.Kombinationen Als Kombinationen bezeichnet man die möglichen Anordnungen von k aus n verschiedenen Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl der Kombinationen beträgt: Ohne Zurücklegen der Elemente: ( n k ) = n! k! (n k)! Mit Zurücklegen der Elemente: ( n+k 1 ) k Aufgabe: Berechne die Ausdrücke: Aufgabe: Zeige, dass gilt: a) ( 3 2 ) b) ( 4 0 ) Aufgabe: ( n k ) = ( n n k ) Aufgabe: Zeige, dass gilt: n ( 1) k ( n k ) k=0 k ( n k ) = 2n n=0 1, n = 0 = { 0, n 0 Hinweis: Binomischer Lehrsatz Aufgabe: Zeige, dass gilt: Ein Test besteht aus 6 Fragen. Zu jeder Frage sind 4 Antworten vorgegeben, von denen genau eine richtig ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit rät man zufällig 6 richtige Antworten? Aufgabe: Vor einem Entscheidungsrennen lassen sich die 8 teilnehmenden Skiläufer fotografieren. Auf einer Aufnahme sind immer 3 Läufer. Wie viele Bilder müssen mindestens gemacht werden, um garantiert die späteren drei Sieger auf einem Bild zu haben? Hinweis: Binomischer Lehrsatz 5

6 3. Binomialverteilung 3.1. Verteilungsfunktion Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) = ( n k ) pk q n k mit q = 1 p, n N, 0 < p < 1 heißt Binomialverteilung. Voraussetzung: Es muss ein Bernoulli-Experiment vorliegen. 3.2.Bernoulli-Experiment Ein Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis entweder eintritt (k = 1 mit der Wahrscheinlichkeit p, Erfolg ) oder nicht (k = 0 mit q = 1 p, Misserfolg ) wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet. Hierbei sind die möglichen Ergebnisse voneinander unabhängig und die Wahrscheinlichkeiten p und q sind konstant. 3.3.Bernoulli-Kette Die n-fache unabhängige Durchführung eines Bernoulli-Experimentes bezeichnet man als Bernoulli-Kette der Länge n. Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer: P(X = k) = ( n k ) pk q n k höchstens k Treffer: mindestens k Treffer: P(X k) = ( n i ) pi q n i k i=0 k 1 P(X k) = 1 P(X k 1) = 1 ( n i ) pi q n i i= Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße Der Erwartungswert μ einer binomialverteilten Zufallsgröße X berechnet sich durch μ = μ(x) = n p. Der Erwartungswert gibt die Zahl an, die die Zufallsvariable im Mittel nach n Durchläufen des Bernoulli-Versuchs annimmt. 6

7 Die Varianz V ist ein Maß für die mittlere Streuung einer Zufallsvariable um den Erwartungswert. Sie gibt allgemein die mittlere quadratische Abweichung der Ergebnisse um ihren Mittelwert an und berechnet sich für die Binomialverteilung folgendermaßen: V(X) = n p (1 p) Die Standardabweichung σ ist die Quadratwurzel der Varianz und ergibt sich durch: σ = V = n p (1 p) 3.5. Sigma-Regeln Ein zum Erwartungswert μ symmetrisches Intervall [μ kσ; μ + kσ] 1 bezeichnet man als Sigma-Umgebung. Man erhält für ausreichend große Streuung, d.h. σ 3 (Laplace-Bedingung) folgende Näherungslösungen für die k Werte von P(μ kσ X μ + kσ): k = 1 ( Ein-Sigma-Umgebung ): P 68,3%, d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% liegt die Anzahl der Erfolge im Intervall [μ 1 σ; μ + a σ] k = 2 ( Zwei-Sigma-Umgebung ): P 95,4% k = 3 ( Drei-Sigma-Umgebung ): P 99,7% Aufgabe Beim 400maligen Würfeln eines fairen Würfels wird die Häufigkeit gezählt, mit der die Fünf fällt. Gesucht ist ein Bereich um den Mittelwert, in den das Ergebnis mit 90%iger Wahrscheinlichkeit fällt. 4. Hypothesentest 4.1.Definition Der Hypothesentest gibt uns eine Richtlinie für die Wahl einer Alternativentscheidung. Wir treffen unsere Entscheidung auf der Grundlage dessen, was wir für richtig erachten. Das nennen wir die Nullhypothese. Eine Alternativentscheidung nennen wir Alternativhypothese. Das Ziel des Hypothesentests besteht also darin, aufgrund einer Stichprobe zu prüfen, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit, die Hypothese, als wahr angenommen werden kann oder ob sie verworfen werden muss. 1 Das Intervall ist abgeschlossen, d.h. die Randwerte sind Elemente des Intervalls. 7

8 4.2.Vorgehen beim Hypothesentest (1) Formulierung der Nullhypothese H 0 und der logisch entgegengesetzten Alternativhypothese (Gegenhypothese) H 1 (2) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit (des Signifikanzniveaus) α (3) Bestimmung des Ablehnungsbereiches A (Verwerfungsbereich, kritischer Bereich) (4) H 0 wird abgelehnt, wenn der aus der Stichprobe ermittelte Wert in den Ablehnungsbereich fällt. Ansonsten wird H 0 angenommen. Für das Aufstellen der Hypothesen gelten folgende Regeln: Was ich zeigen oder beweisen will, gehört in die Alternativhypothese. Das Gleichheitszeichen gehört immer in die Nullhypothese. Beim Aufstellen der Nullhypothese geht man davon aus, dass alles beim Alten bleibt bzw. sich nichts ändert Beidseitiger Test Ziel des Hypothesentests ist es, eine Entscheidungsregel aufzustellen, die dann auf ein Stichprobenergebnis angewandt werden kann. In der Entscheidungsregel werden durch Vorgabe eines Signifikanzniveaus zwei Intervalle bestimmt: Das abgeschlossene Intervall, in dem alle Werte liegen, bei der die Nullhypothese verworfen wird, heißt Ablehnungs- oder Verwerfungsbereich. Das abgeschlossene Intervall, in dem alle Werte liegen, bei der die Nullhypothese angenommen wird, heißt Annahmebereich. Das Signifikanzniveau ist die Komplementärwahrscheinlichkeit (Gegenwahrscheinlichkeit) zur Sicherheitswahrscheinlichkeit. Es bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen werden kann, obwohl sie eigentlich richtig ist (Fehler 1. Art oder α Fehler). Man nennt es daher auch Irrtumswahrscheinlichkeit. Will man mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % aller Ausgänge abdecken, beträgt das Signifikanzniveau 5 %. Der Annahme- und der Verwerfungsbereich können also mit der σ- Umgebung festgelegt werden (im Falle einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % wäre die Umgebung zwischen µ - 1,96σ und µ + 1,96σ zu wählen). Liegt ein Versuchsergebnis nun im Annahmebereich, wird dadurch nicht die Hypothese bestätigt, sondern man entscheidet sich durch die vorher festgelegte Entscheidungsregel, sie weiter als richtig anzusehen. Beispiel: Eine Münze werde 36mal geworfen. Überprüft werden soll, ob bei einem Signifikanzniveau von 5% die möglichen Ereignisse gleichwahrscheinlich sind. Lösung: Formulierung der Nullhypothese und der Alternativhypothese: H 0 : p 0 = 0,5 Die Wahrscheinlichkeit Wappen (oder Zahl) zu werfen, beträgt genau 50% 8

9 H 1 : p 1 0,5 Die beiden Ergebnisse Zahl und Wappen sind nicht gleichwahrscheinlich. Berechnung von μ und σ: μ = n p = 36 1 = 18, σ = n p (1 p) = 9 = 3. Laplce-Bedingung erfüllt! 2 Berechnung der Sigma-Umgebung: Für eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% findet man in Tabellen: z = 1,96. Entsprechend folgt: μ 1,96 σ = 12,12, μ + 1,96 σ = 23,88 Bestimmung des Annahme- und des Verwerfungsbereiches: A = {12; ; 24}, V = {0; ; 11} {25; ; 36} Hinweis: Runde bei der Bestimmung des Annahmebereiches den Wert μ z σ ab, den Wert μ + z σ auf, um auf der sicheren Seite zu sein. Es sollten schließlich triftige Gründe vorliegen, um H 0 durch H 1 zu ersetzen. Entscheidungsregel: Verwirf die Nullhypothese, d.h. die Annahme, dass Wappen und Zahl gleichwahrscheinlich sind, falls das Ergebnis der Stichprobe, also X < 13 oder > 23. Hinweis: Beachte, dass der Annahme- und Verwerfungsbereich Mengen sind und es einen Unterschied macht, ob die Randelemente in den Mengen enthalten sind oder nicht. Beachte also, dass >. Annahmebereich A Aufgabe Bei einem Glückspielautomaten beträgt angeblich die Gewinnwahrscheinlichkeit 30%. Diese Angabe soll nun überprüft werden. Geben Sie auf Basis des 10%-Signifikanzniveaus eine Entscheidungsregel an. 9

10 4.4. Einseitiger Test Bisher haben wir zweiseitige Hypothesentests betrachtet. Hierbei wird überprüft, ob die Wahrscheinlichkeit signifikant nach oben oder unten abweicht, d.h. der Annahmebereich von H 0 ergibt sich durch Ermitteln der Werte μ ± z σ. Man erhält dadurch ein Intervall, das symmetrisch um μ verteilt ist. (Hinweis: Bei beidseitigen Tests enthielt die Alternativhypothese immer den logischen Operator.) Gelegentlich interessiert man sich aber auch z.b. aufgrund einer Vermutung nur für Abweichungen in eine Richtung. Dann spricht man von einem einseitigen Test. Je nachdem ob eher kleinere Werte (als μ) der Zufallsvariable X oder größere gegen H 0 sprechen, spricht man von einem linksseitigen bzw. rechtsseitigen Hypothesentest. Beispiel: linksseitiger Hypothesentest Bei der Produktion einer bestimmten Ware durchlaufen laut Hersteller 96% problemlos das Qualitätsprüfverfahren. Dies wird jedoch bezweifelt. Bei einer Stichprobe mit 2000 getesteten Warenstücken stellte man fest, dass nur 1800 problemlos den Qualitätstest durchliefen. Überprüfen Sie auf Basis des Signifikanzniveaus von 5%, ob die Zweifel berechtigt sind. Lösung: Bestimmung von H 0 und H 1 : H 0 : p 0 = 0,96 Der Anteil der Ware, die das Prüfverfahren problemlos durchläuft, beträgt tatsächlich genau 96%. H 1 : p 1 < 0.96 Der Anteil der Ware, die das Prüfverfahren problemlos durchläuft, beträgt weniger als die vom Hersteller angegeben 96%. Hinweis: Da man von einem geringeren Anteil ausgeht, handelt es sich um einen linksseitigen Hypothesentest. Der logische Operator ist entsprechend < (kleiner, nicht kleiner gleich!) Berechnung von μ und σ: n = 2000, α = 0,05. μ = n p = 1920, σ = ,96 0,04 = 8,76 > 3 (Laplce- Bedingung erfüllt!). Wegen α = 0,05 folgt z = 1.64 (Tabelle) Berechnung des Annahmebereiches: μ 1,64 σ = 1905,6336. Entsprechend folgt für den Annahmebereich: A = {1906; ; n} und für den Verwerfungsbereich V = {0; ; 1905}. Interpretation: Auf Grundlage des 5%igen Signifikanzniveaus wird H 0 verworfen, da 1800 A. Die Zweifel sind berechtigt. Hinweis: Beim linksseitigen Hypothesentest geht der Annahmebereich der Nullhypothese stets bis n, also bis zum Stichprobenumfang. Ein rechtsseitiger Hypothesentest wird analog durchgeführt. Hier beginnt der Annahmebereich stets bei 0 und reicht bis μ + zσ. Bei einseitigen Hypothesentests ist der Annahmebereich nicht symmetrisch um μ verteilt. 10

11 4.5. Fehlerarten beim Testen von Hypothesen Jede Entscheidung, die wir auf Basis eines Hypothesentests treffen, kann falsch sein. Man unterscheidet beim Testen von Hypothesen zwei Fehlerarten, den Fehler 1. Art (auch α Fehler) und den Fehler 2. Art (auch β-fehler). Fehler 1. Art: H 0 wird abgelehnt, auch wenn sie in Wirklichkeit wahr ist. Diese Art von Fehler ist uns schon als Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit bekannt. Fehler 2. Art: H 0 wird angenommen, auch wenn sie in Wirklichkeit falsch ist. Der Fehler 2. Art kann im Allgemeinen nicht direkt berechnet werden. H 0 ist in Wirklichkeit wahr falsch H 0 annehmen richtige Entscheidung Fehler 2. Art H 0 ablehnen Fehler 1. Art richtige Entscheidung 11

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist.

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. .3. Stochastik Grundlagen Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. Die RELATIVE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an mit welchem Anteil

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.3.21 Grundlagen zum Hypothesentest Einführung: Wer Entscheidungen zu treffen hat, weiß oft erst im nachhinein ob seine Entscheidung richtig war. Die Unsicherheit

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 24.2.214 Grundlagen zum Hypothesentest Einführung: Wer Entscheidungen zu treffen hat, weiß oft erst im nachhinein ob seine Entscheidung richtig war. Die Unsicherheit

Mehr

Lernkarten. Stochastik. 4 Seiten

Lernkarten. Stochastik. 4 Seiten Lernkarten Stochastik 4 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf festem Papier

Mehr

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Um zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert.

Um zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert. XV. Testen von Hypothesen ================================================================== 15.1 Alternativtest ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Vorgängen, die in ihrem Ausgang unbestimmt sind. Sie versucht mögliche Ergebnisse der Vorgänge zu quantifizieren.

Mehr

Grundwissen zur Stochastik

Grundwissen zur Stochastik Grundwissen zur Stochastik Inhalt: ABHÄNGIGE EREIGNISSE...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN...2 ABSOLUTE HÄUFIGKEIT...2

Mehr

Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008

Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE 7 91257 PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008 1.

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik Stochastik. Copyright 2013 Ralph Werner

Abiturvorbereitung Mathematik Stochastik. Copyright 2013 Ralph Werner biturvorbereitung Mathematik Stochastik Copyright 2013 Ralph Werner Zufallsexperiment in Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen usgang ungewiss ist das beliebig oft wiederholt werden kann dessen Wiederholungen

Mehr

Hypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln

Hypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4..4 ypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln Von einem Laplace- Würfel ist bekannt, dass bei einmaligem Wurf jede einzelne der Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit

Mehr

73 Hypothesentests Motivation Parametertest am Beispiel eines Münzexperiments

73 Hypothesentests Motivation Parametertest am Beispiel eines Münzexperiments 73 Hypothesentests 73.1 Motivation Bei Hypothesentests will man eine gewisse Annahme über eine Zufallsvariable darauf hin überprüfen, ob sie korrekt ist. Beispiele: ( Ist eine Münze fair p = 1 )? 2 Sind

Mehr

Testen von Hypothesen, Beurteilende Statistik

Testen von Hypothesen, Beurteilende Statistik Testen von Hypothesen, Beurteilende Statistik Was ist ein Test? Ein Test ist ein Verfahren, mit dem man anhand von Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

Abiturvorbereitung Alkoholsünder, bedingte Wahrscheinlichkeit, Hypothesentest Aufgabenblatt

Abiturvorbereitung Alkoholsünder, bedingte Wahrscheinlichkeit, Hypothesentest Aufgabenblatt R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 2.05.2009 Abiturvorbereitung Alkoholsünder, bedingte Wahrscheinlichkeit, Hypothesentest Aufgabenblatt Aufgabe 0 0. In einer bestimmten Stadt an einer bestimmten

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 " k " h(a) n = bezeichnet man als die relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n Versuchen. n (Anmerkung: für das kleine h wird in der Literatur häufig auch ein r verwendet) k nennt man die absolute Häufigkeit

Mehr

Stochastik. Inhaltsverzeichnis

Stochastik. Inhaltsverzeichnis Stochastik Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeine Definition... 2 2. Laplace-Wahrscheinlichkeit... 2 3. Gegenereignis (häufig bei mindestens -Aufgaben)... 3 4. Vereinigung von 2 Ereignissen ( oder -Formulierungen)...

Mehr

SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 1

SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 1 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das

Mehr

Überblick Hypothesentests bei Binomialverteilungen (Ac)

Überblick Hypothesentests bei Binomialverteilungen (Ac) Überblick Hypothesentests bei Binomialverteilungen (Ac) Beim Testen will man mit einer Stichprobe vom Umfang n eine Hypothese H o (z.b.p o =70%) widerlegen! Man geht dabei aus von einer Binomialverteilung

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung

4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 4. Testtheorie 4.. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung ypothesen Annahmen über die Verteilung oder über einzelne arameter der Verteilung eines Merkmals

Mehr

5 Binomial- und Poissonverteilung

5 Binomial- und Poissonverteilung 45 5 Binomial- und Poissonverteilung In diesem Kapitel untersuchen wir zwei wichtige diskrete Verteilungen d.h. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen): die Binomial- und die Poissonverteilung. 5.1

Mehr

5. Seminar Statistik

5. Seminar Statistik Sandra Schlick Seite 1 5. Seminar 5. Seminar Statistik 30 Kurztest 4 45 Testen von Hypothesen inkl. Übungen 45 Test- und Prüfverfahren inkl. Übungen 45 Repetitorium und Prüfungsvorbereitung 15 Kursevaluation

Mehr

Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008

Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE 7 91257 PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008

Mehr

Abitur 2015 Mathematik Stochastik III

Abitur 2015 Mathematik Stochastik III Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 2015 Mathematik Stochastik III Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem

Mehr

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 06.1008 Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen. Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt,

Mehr

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Sigma-Umgebung. Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5. n = 20 p = 0,75

Sigma-Umgebung. Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5. n = 20 p = 0,75 Sigma-Umgebung Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5 0,2 (z.b. 30-maliges Werfen einer Münze, X Anzahl von Zahl ) 5 10 15 20 n = 20 p = 0,75 0,2 5 10 15 20 Der Erwartungswert

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Mathematischer Teil In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun, d.h. Ausgang nicht vorhersagbar. Grundbegriffe Zufallsexperiment und Ergebnisse

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern G Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik: Musterlösung. Stochastik II

Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern G Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik: Musterlösung. Stochastik II Abitur Mathematik: Bayern 2012 Aufgabe 1 a) VIERFELDERTAFEL P(R ) = 88 % und P(V) = 18 % stehen in der Aufgabenstellung. 60 % in der Angabe stehen für die bedingte Wahrscheinlichkeit P R (V). P(R V) =

Mehr

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem,

Mehr

Aufgabe 8: Stochastik (WTR)

Aufgabe 8: Stochastik (WTR) Abitur Mathematik: Nordrhein-Westfalen 2013 Aufgabe 8 a) (1) WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR KEINE ANGABE ERMITTELN Nach der Laplace Formel ist Anzahl der Personen, die keine Angabe machten keine Angabe Gesamtzahl

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

Modelle diskreter Zufallsvariablen

Modelle diskreter Zufallsvariablen Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

2 Wiederholung statistischer Grundlagen Schließende Statistik empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X

2 Wiederholung statistischer Grundlagen Schließende Statistik empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X Hypothesentests Bisher betrachtet: Punkt- bzw. Intervallschätzung des unbekannten Mittelwerts Hierzu: Verwendung der 1 theoretischen Information über Verteilung von X empirischen Information aus Stichprobenrealisation

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

Woche 2: Zufallsvariablen

Woche 2: Zufallsvariablen Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 17/19, 24.04.2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit

Mehr

Stochastik: Hypothesentest Stochastik Testen von Hypothesen (einseitiger Test) allgemein bildende Gymnasien J1/J2

Stochastik: Hypothesentest Stochastik Testen von Hypothesen (einseitiger Test) allgemein bildende Gymnasien J1/J2 Stochastik Testen von Hypothesen (einseitiger Test) allgemein bildende Gymnasien J/J2 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 25 Hinweis: Für die Aufgaben darf der GTR benutzt werden. Aufgabe

Mehr

Formelsammlung Stochastik

Formelsammlung Stochastik Formelsammlung Stochastik http://www.fersch.de Klemens Fersch 14. Mai 201 Inhaltsverzeichnis 5 Stochastik 3 5.1 Statistik....................................................... 3 5.1.1 Mittelwert - Median

Mehr

Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz 1 betragen (2) Weniger als 3 mal Wappen ( ) 32 (3) Mindestens 1 mal Wappen ( )

Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz 1 betragen (2) Weniger als 3 mal Wappen ( ) 32 (3) Mindestens 1 mal Wappen ( ) R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 7.09.0 Lösungen Stochastik vermischt II Ergebnisse: E E E E4 E E6 Ergebnis Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz betragen. Ergebnisse

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

Sachrechnen/Größen WS 14/15-

Sachrechnen/Größen WS 14/15- Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen 3.1 Kombinatorische Grundlagen Verschiedene Bereiche der

Mehr

SozialwissenschaftlerInnen II

SozialwissenschaftlerInnen II Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

SS 2017 Torsten Schreiber

SS 2017 Torsten Schreiber 173 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Wird die Anordnung von unterschiedlichen Objekten eines Experiments untersucht, so handelt es sich um eine. Möchte man die Anzahl der möglichen

Mehr

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:

Mehr

Allgemeines zu Tests. Statistische Hypothesentests

Allgemeines zu Tests. Statistische Hypothesentests Statistische Hypothesentests Allgemeines zu Tests Allgemeines Tests in normalverteilten Grundgesamtheiten Asymptotische Tests Statistischer Test: Verfahren Entscheidungsregel), mit dem auf Basis einer

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

: p= 1 6 ; allgemein schreibt man hierfür H : p = p. wird Gegenhypothese genannt und mit H 1 bezeichnet.

: p= 1 6 ; allgemein schreibt man hierfür H : p = p. wird Gegenhypothese genannt und mit H 1 bezeichnet. Einseitiger Signifikanztest Allgemein heißt die Hypothese, dass eine vorgelegte unbekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer angenommenen Verteilung übereinstimmt, Nullhypothese und wird mit H 0

Mehr

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5.05.0 Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen Wird ein Bernoulli- Versuch, bei

Mehr

Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt.

Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt. 3 Wahrscheinlichkeiten 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten A: Beispiele Beispiel 1: Ein Experiment besteht aus dem gleichzeitigen Werfen einer Münze und eines Würfels. Nach 100 Wiederholungen dieses Experiments

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Statistik BSc D-INFK

Wahrscheinlichkeit und Statistik BSc D-INFK Prof. Dr. P. Bühlmann ETH Zürich Winter 2010 Wahrscheinlichkeit und Statistik BSc D-INFK 1. (10 Punkte) Bei den folgenden 10 Fragen ist jeweils genau eine Antwort richtig. Es gibt pro richtig beantwortete

Mehr

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments,

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments, . Binomialverteilung ==================================================================.1 Bernoulli-Experimente und Bernoullikette -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08..2009 Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Es werden 20 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 20 Schülern

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben

Mehr

Um zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert.

Um zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert. 7. Testen von Hypothesen ================================================================== 15.1 Alternativtest -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

1. Einführung in die induktive Statistik

1. Einführung in die induktive Statistik Wichtige Begriffe 1. Einführung in die induktive Statistik Grundgesamtheit: Statistische Masse, die zu untersuchen ist, bzw. über die Aussagen getroffen werden soll Stichprobe: Teil einer statistischen

Mehr

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Thema: Wahrscheinlichkeit. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Thema: Wahrscheinlichkeit. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression 1. Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Zufallsexperiment zu? a) Ein Zufallsexperiment ist ein empirisches Phänomen, das in stochastischen Modellen

Mehr

Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2015 Mathematik 12 Nichttechnik - S I - Lösung

Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2015 Mathematik 12 Nichttechnik - S I - Lösung Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 20 Mathematik 12 Nichttechnik - S I - Lösung Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. Teilaufgabe 1.0 Ein neues Medikament

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2

1 Stochastische Konvergenz 2 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Hypothesen: Fehler 1. und 2. Art, Power eines statistischen Tests

Hypothesen: Fehler 1. und 2. Art, Power eines statistischen Tests ue biostatistik: hypothesen, fehler 1. und. art, power 1/8 h. lettner / physik Hypothesen: Fehler 1. und. Art, Power eines statistischen Tests Die äußerst wichtige Tabelle über die Zusammenhänge zwischen

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)

Mehr

A Grundlegende Begriffe 6. 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10

A Grundlegende Begriffe 6. 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10 Inhalt A Grundlegende Begriffe 6 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10 2 Relative Häufigkeit und abstrakter Wahrscheinlichkeitsbegriff 13 Aufgaben 16 3 Laplace scher Wahrscheinlichkeitsbegriff

Mehr

Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung

Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F. 2. 32 Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Die folgende Stationenarbeit dient dazu, die Begriffe der Oberstufenstochastik (Wahrscheinlichkeit;

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Statistische Tests (Signifikanztests)

Statistische Tests (Signifikanztests) Statistische Tests (Signifikanztests) [testing statistical hypothesis] Prüfen und Bewerten von Hypothesen (Annahmen, Vermutungen) über die Verteilungen von Merkmalen in einer Grundgesamtheit (Population)

Mehr

Ein möglicher Unterrichtsgang

Ein möglicher Unterrichtsgang Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige

Mehr

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK Stochastik Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall Wahrscheinlichkeit und Zufall Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 16. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1 Inhalt Ereignisse i und deren Wahrscheinlichkeit h hk i Laplace-Regel Baumdiagramm

Mehr

2) Ihr Chef schlägt vor, dass die Firma nicht Lieferant werden soll, wenn

2) Ihr Chef schlägt vor, dass die Firma nicht Lieferant werden soll, wenn Aufgabe Stochastik Mathe Grundkurs Signifikanztests Ein Hersteller von Schrauben behauptet, dass mindestens 90% seiner Schrauben rostfrei sind, wenn sie fünf Jahre lang im Außenbereich eingesetzt werden.

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite

Mehr

Alternativtest Einführung und Aufgabenbeispiele

Alternativtest Einführung und Aufgabenbeispiele Alternativtest Einführung und Aufgabenbeispiele Ac Einführendes Beispiel: Ein Medikament half bisher 10% aller Patienten. Von einem neuen Medikament behauptet der Hersteller, dass es 20% aller Patienten

Mehr

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 5.1 Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit. 1 Herleitung anhand

Mehr

Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006

Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006 Empirische Softwaretechnik Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006 Hypothesentesten, Fehlerarten und Güte 2 Literatur Kreyszig: Statistische Methoden und ihre Anwendungen, 7.

Mehr

7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.7.1 Die Laplace-Verteilung Sei X eine gleich verteilte Zufallsvariable mit den Werten in der Menge Ω X = {x i R : i = 1,...,n}, d.h. f (x i = 1

Mehr

untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben

untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben Qualifikationsphase Leistungskurs 1 QII 2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben auf der Basis des Lehrwerks Buch: Elemente der Mathematik, Qualifikationsphase NRW Leistungskurs, Braunschweig 2015, Westermann

Mehr

TU DORTMUND Sommersemester 2018

TU DORTMUND Sommersemester 2018 Fakultät Statistik. April 08 Blatt Aufgabe.: Wir betrachten das Zufallsexperiment gleichzeitiges Werfen zweier nicht unterscheidbarer Würfel. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme beider Würfel ungerade

Mehr

4.4 Punktschätzung. E(X 1 )+ +E(X n ) Var(ˆµ) = 1 n 2 ( Var(X1 )+ +Var(X n ) ) = 1 n 2nσ2 = σ2

4.4 Punktschätzung. E(X 1 )+ +E(X n ) Var(ˆµ) = 1 n 2 ( Var(X1 )+ +Var(X n ) ) = 1 n 2nσ2 = σ2 4 4.4 Punktschätzung Wir betrachten eine endliche oder unendliche Grundgesamtheit, zum Beispiel alle Studierenden der Vorlesung Mathe II für Naturwissenschaften. Im endlichen Fall soll die Anzahl N ihrer

Mehr

Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 22. September 2015 Evelina Erlacher 1 Mengen Es sei Ω eine Menge (die Universalmenge ) und A, B seien Teilmengen von Ω. Dann schreiben

Mehr

Statistisches Testen

Statistisches Testen Statistisches Testen Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Differenzen Anteilswert Chi-Quadrat Tests Gleichheit von Varianzen Prinzip des Statistischen Tests Konfidenzintervall

Mehr