2. Funktionen, lineare Funktionen

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Irma Bach
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1 FOS Mathematik Analysis Funktionen, lineare Funktionen 2.1. Didaktische Vorbemerkungen: Der Funktions- oder Abbildungsbegriff durchzieht als Leitidee die Kurse. Mit dem Funktionsbegriff steht ein ideales Hilfsmittel zur Verfügung, berufsbezogene oder allgemein relevante Probemstellungen zu mathematisieren, d.h. aus einer gegebenen Problemstellung ein Realmodell zu erstellen (Analyse, Zielformulierung, Vereinfachungen, Formalisierungen und Skizzierungen) und dieses in ein mathematisches Modell zu übersetzen: Im ersten Mathematisierungsschritt findet man die passende Funktionenklasse unter genauer Dokumentation der dafür vorgenommenen Vereinfachungen der Fragestellung, im zweiten arbeitet man die problem- und modellbedingten Einschränkungen heraus und damit bereits Grenzen der mathematischen Lösbarkeit oder des Allgemeinheitsgrades; die Definitionsmenge erhält dabei eine besondere Bedeutung im dritten erarbeitet man die mathematische Lösung incl. dokumentarischer Darstellung im vierten findet die Rückübersetzung in das Realmodell statt. In weiteren Modellbildungsschritten versucht man Erweiterungen der Fragestellung, Rücknahmen von Vereinfachungen, unterrichtlich verbunden mit Erweiterungen der dazu notwendigen mathematischen Theorie.

FOS Mathematik Analysis 2-2 - 2.2. Einführung des Funktionsbegriffs. aus DIE ZEIT Nr. 42 14.

2 FOS Mathematik Analysis Einführung des Funktionsbegriffs. aus DIE ZEIT Nr Oktober 1994 Das World Watch Institut in Washington sammelte globale Lebensdaten, die für unsere Zukunft wichtig sind AM PULS DES PLANETEN Ernährung: Weniger Getreide für die Armen, mehr Fleisch für die Reichen Umwelt: Dämpfer im Treibhaus, FCKW gebremst, Schadgase auf hohem Niveau

3 FOS Mathematik Analysis Fragestellungen: Wer benötigt solche Kurven? Nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Darstellungen! In allen aufgeführten Beispielen kann man zu jedem Wert - künftig "Argument" - auf der horizontalen Achse (Abszisse, kurz "x-achse") einen Wert auf der vertikalen Achse (Ordinate, kurz "y-achse") ablesen. Um sich von der grafischen Darstellung lösen zu können, wählt man die Mengensprache zur Beschreibung: Jedem Element einer Definitionsmenge wird ein genau ein Element einer Wertemenge zugeordnet. Nennt man die Definitonsmenge etwa D, die Wertemenge W, so entstehen bei der Zuordnung geordnete Paare der Form (x,y) mit x D und y W. Die Menge dieser Paare ist der Graph, der in den obigen Beispielen dargestellt wurde. In 1.1 haben wir solche Mengen als "Produktmenge" oder "Relation" bezeichnet. Was aber unterscheidet alle diese Zuordnungen von den eventuell bereits in 1.1. (Autofarben X Stoffbezüge) betrachteten Relationen oder von einem Kreis im R 2? Ergebnis: diese waren nicht eindeutig. Die jetzt betrachteten Zuordnungen sind hingegen eindeutig: Jedem Element der Definitionsmenge wird genau ein Element der Wertemenge zugeordnet. Solche Zuordnungen "funktionieren", etwa so, wie eine Maschine, die bei einem gewählten Input einen eindeutigen Output liefert. Dabei kann es durchaus der Fall sein, dass zu zwei verschiedenen Argumenten der gleiche Wert gehört, was ja auch in der Fertigung möglich ist: ein Produkt kann auf verschiedene Weise erzeugt werden. In den Beispielen aus 1.1. hingegen kann man nicht eindeutig bestimmen, welches Element der Wertemenge zu einem gewählten Argument gehört: die Zuordnung funktioniert dort nicht. Auf eine Maschine übertragen, würde dies bedeuten, daß sie bei dem gleichen Input verschiedene Produkte erzeugt: sie funktioniert nicht richtig!

4 FOS Mathematik Analysis Für die "funktionierenden" Zuordnungen verwendet man einen gemeinsamen Begriff: Definition : Eine Zuordnung f, die jedem Element x einer Menge D genau ein Element f(x) einer Menge W zuordnet, heißt Abbildung. Man schreibt dann f : D W, x f(x). D heißt dann "Definitionsmenge von f", W "Wertemenge von f". f(x) heißt "Funktionswert von f an der Stelle x". B f = {y / x D : y =f(x) } heißt "Bildmenge" von f (kleinste Wertemenge). G f = {(x,y) / y = f(x), x D, y B f } heißt Graph der Abbildung f. Eine Abbildung, deren Bildmenge eine Teilmenge von R ist, heißt Funktion. Die verwendeten Begriffe werden deutlich gemacht, indem man sorgfältig unterscheidet zwischen - Funktion f, - Funktionsvorschrift x f(x), - Funktionsgleichung y =f(x), - Funktionsterm, - Funktionswert f(x) und - Graph der Funktion, und indem man die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen an Beispielen diskutiert: - VENN-Diagramm, - Kurve, - Tabelle, - Produktmenge, - Funktionsgleichung mit Definitionsmenge, - andere Aussageformen als Funktionsvorschriften. Man mache sich klar: Eine "Kurve" ist auch der Einheitskreis {(x,y) R 2 / x 2 + y 2 = 1}, mitnichten aber ein Funktionsgraph. Auch in Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen ist die Schreibweise f(x) für Funktionswerte üblich: SQRT(5), SIN(WINKEL) usw. Zur Sicherung behandelt man weitere Beispiele unterschiedlicher Relationen, die Funktionen sind oder eben nicht (s.aufgaben 2).

FOS Mathematik Analysis 2-5 - 2.3. Lineare Funktionen Alkohol und Autofahren passen nicht zusammen. Das leuchtet ein. Aber die wenigsten wissen, wie langsam Alkohol im Körper abgebaut wird.

5 FOS Mathematik Analysis Lineare Funktionen Alkohol und Autofahren passen nicht zusammen. Das leuchtet ein. Aber die wenigsten wissen, wie langsam Alkohol im Körper abgebaut wird. Der durchschnittliche Abbauwert beträgt lediglich 0,15 Promille stündlich. Weder Schlaf noch starker Mocca können dies beschleunigen. Wer z.b. nach einer Feier um Mitternacht einen Alkoholspiegel von 1,5 0 / 00 hat, kann sich leicht ausrechnen, wann er wieder restlos nüchtern ist. Denn bereits bei 0,3 0 / 00 muß ein Fahrer mit einer Geldstrafe und Führerscheinentzug rechnen, selbst dann, wenn er lediglich Anzeichen von Fahrunsicherheit zeigt. Bei 0,5 0 / 00 liegt auf jeden Fall eine Ordnungswidrigkeit vor, die mit Fahrverbot, Geldstrafe bis zu 3000,- DM und Punkten in Flensburg geahndet wird. In anderen Ländern gibt es teilweise eher noch schärfere Strafen. Darum: Nach Alkoholgenuß lieber Taxi, Bahn & Bus! Quizfrage: Nach wieviel Stunden sind Sie bei einer Ausgangslage von 1,5 0 / 00 wieder restlos nüchtern, wann wieder fahrtüchtig? Zur genaueren Information : Geben Sie eine Gleichung an, mit der man den Restalkohol zu beliebigen Zeitpunkten berechnen kann.

6 FOS Mathematik Analysis Lösung: Sei x die Zeit in Stunden, y der Alkoholgehalt im Blut in o / oo. Man erhält eine Gerade mit Gleichung y = 1,5 0,15x, oder besser y = - 0,15x + 1,5. Diese sollte man auch zeichnen. Steigung als Quotient Höhe/Breite, also m = y-achsenabschnitt b = f(0) = 1,5. y x y x 2 y1 f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x 1 x 2 x 1 = - 0,15 Gesucht ist die Nullstelle (dann ist man wieder "trocken"). Diese wird berechnet mit der Definition x 0 ist Nullstelle der Funktion f f(x 0 ) = 0 x 0 D Da es sinnlos ist, die Gleichung für negative Blutalkoholwerte zuzulassen, ist die Definitionsmenge von unmittelbar praktischer Relevanz. Was würde es bedeuten, wenn man in diesem Beispiel negative Zahlen für x zuließe oder Zahlen größer 10? Definition : Eine Funktion f : D R mit f(x) = a 1 x + a o, D R, a 1, a o R, heißt lineare Funktion. a 1 heißt bei lineren Funktionen Steigung, a 0 y-achsenabschnitt. Beziehung zwischen alten (y = mx + b) und neuen Bezeichnungen: Der Graph einer lineare Funktion ist eine Gerade, a 1 gibt die Steigung m der Geraden an, a 0 den Abschnitt b auf der y-achse. Zur Übung werden andere lineare Funktionen aufgestellt: - aus zwei gegebenen Punkten über Steigung und Einsetzen - aus zwei gegebenen Punkten über 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten - mit Maßeinheiten aus der Vorlage am Puls des Planeten, aus dem Lehrbuch, Benzinverbrauch, technische Gleichungen, physikalische, wirtschaftliche usw. s.a Aufgaben 2.

7 FOS Mathematik Analysis Auch Strompreistarife oder Handytarife sind als Beispiele gut verwendbar. Viele Fahrschulen bieten unterschiedliche Stundensätze bei unterschiedlicher Grundgebühr an. Leztere Beispiele führen unmittelbar zur Frage nach Schnittpunkten. Bei der Schnittpunktbestimmung achte man auf eine korrekte Definition: (x s /y s ) ist Schnittpunkt der Funktionen f : D f R und g : D g R f(x s ) = g(x s ) y s = f(x s ) x s D f x s D g anschaulich: Ein Punkt liegt genau dann auf einer Geraden, wenn er die Funktionsgleichung erfüllt und innerhalb der Definitionsmenge liegt. Lineare Gleichungssysteme werden hierbei vertiefend wiederholt. Beispiel: Ein Münsteraner Stromanbieter bietet seinen Kunden die folgende Preisstaffelung an: Preismodell Allgem. Tarif Spartarife S M L XL Ökostrom Preis je kwh 18,55 Cent 14,02 Cent 11,56 Cent 9,45 Cent 9,45 Cent * Grundpreis je Monat 5,30 10,50 17,80 54,35 Aufschlag von 8 Cent auf den jeweiligen kwh-preis Münster * Bei XL ist bis 500 kwh alles im Grundpreis enthalten. Für jede weitere kwh berechnen wir 9,45 Cent Aufgabe: Sie Sind Mitarbeiter der Verbraucherzentrale in Münster. Welchen Tarif empfehlen Sie? Stellen Sie dazu alle Tarife als Geraden dar und berechnen Sie die Schnittpunkte, um eine kompetente Kundenberatung durchführen zu können!

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