5.4 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion diskreten Zufallsvariablen stetigen Zufallsvariablen Verteilungsfunktion

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1 5. Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion git an welche Wahrscheinlichkeit sich is zu einem estimmten Wert der Zufallsvarialen kumuliert ( angehäuft, angesammelt ) hat. Die Verteilungsfunktion F() git an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariale einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich ist: F() = ( ). Bei diskreten Zufallsvarialen erhält man sie durch Aufsummieren von Wahrscheinlichkeiten, ei stetigen Zufallsvarialen durch Integration. Aildung: Form der Verteilungsfunktion ei diskreten und stetigen Zufallsvarialen Verteilungsfunktion diskrete Zufallsvariale stetige Zufallsvariale "Treppenfunktion" monoton steigende Funktion

2 Verteilungsfunktion ei diskreten Zufallsvarialen s sei eine diskrete Zufallsvariale. Dann ist ihre Verteilungsfunktion F() durch (5.9) F() ( ) f ( ) p gegeen. Die Summation erstreckt sich üer alle Ausprägungen, die kleiner oder gleich sind. Anmerkung: Die Definition (5.9) setzt nicht voraus, dass die aufsteigend sortiert sind. Im Folgenden unterstellen wir aer der Üersichtlichkeit haler immer die Sortierung < < < m. 5

3 Bei einer endlichen Zufallsvariale mit m denkaren Ausprägungen,,, m lässt p sich die Verteilungsfunktion formal p folgendermaßen darstellen: F p Graphische Darstellung: Treppenfunktion p p p 3 für für für für für 3 m 3 (zw. m ) rläuterung Treppenfunktion (Beispiel: m = 3) An den Sprungstellen, also ei den Werten, kennzeichnet man durch einen leeren Kreis und einen gefüllten Kreis, dass die Funktion F dort immer den oeren Wert annimmt ( für ). Der leere Kreis gehört nicht mehr zum Graphen der Funktion ( für < ). An eder Sprungstelle nimmt die Verteilungsfunktion F() um die Wahrscheinlichkeit p zu. p p p3 p F p p 3

4 Kumulierte Wahrscheinlichkeiten ei einer diskreten Zufallsvariale Wir etrachten kumulierte Wahrscheinlichkeiten im Hinlick auf eine konkrete Zahl a: Wahrscheinlichkeit für Formaler Ausdruck höchstens a weniger als a mindestens a mehr als a a Fa a Fa ( a) a Fa ( a) a a Fa Beispiel 5.8: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion im Beispiel 5.5 des roduktionsprozesses, ei dem zwei Teile entnommen werden (: Anzahl der defekten Teile), ist gegeen durch f p p p p für für für sonst 7

5 Für die Verteilungsfunktion ergit sich daraus wegen (5.9) für ausgewählte -Werte z.b. F(-) ( -) F() ( ) ( ) (- p) F(,) (,) ( ) (- p) F() ( ) ( ) ( ) (- p) F() ( ) p(- p) - p p ( ) ( ) ( ) - p p p - p - p Die Verteilungsfunktion lässt sich damit kompakt schreien als F p p für für für für Sie hat Sprungstellen ei den Werten =, = und =. Die Höhe der Sprünge addiert sich insgesamt zu. 8

6 Verteilungsfunktion ei stetigen Zufallsvarialen Die Verteilungsfunktion F() entspricht ei einer stetigen Zufallsvariale der Fläche unterhal der Dichtefunktion f(u), die sich is zum Wert kumuliert hat. Man erhält sie durch Integration: (5.) F f u du. Die Variale u vertritt hierei das als Integrationsvariale, da wir als oere Integralgrenze enötigen. Mit der Verteilungsfunktion F() lassen sich eenso wie mit der Dichtefunktion f() Wahrscheinlichkeiten estimmen. Bei stetigen Zufallsvarialen ist daei anders als ei den diskreten unerhelich, o die Intervallgrenze zum Intervall gezählt wird oder nicht, weil unktwahrscheinlichkeiten gleich null sind. Kumulierte Wahrscheinlichkeiten ei einer stetigen Zufallsvariale Wahrscheinlichkeit für höchstens a weniger als a mindestens a mehr als a a Fa Formaler Ausdruck a Fa F(a) ( a) F(a) a a Fa a a Fa 9

7 Aildung: Intervallwahrscheinlichkeiten f f F F f a a F() F(a) Wahrscheinlichkeiten für geschlossene und offene Intervalle ei einer stetigen Zufallsvariale F a F a a a a (5.) 3 zusammen: F()

8 Beispiel 5.9: Wir etrachten die in Beispiel 5.7 verwendete Dichtefunktion. a) Welche Verteilungsfunktion hat die Zufallsvariale? für. f für für. Schritt: Bildung der Integrale in den relevanten Bereichen: < : : < : f f f u u du du du du u du u u du du u du du u. Schritt: Ausweisen der Verteilungsfunkton F für für für 3

9 Graphische Darstelllung der Dichte- und Verteilungsfunktion: Dichtefunktion Verteilungsfunktion f() F() / / - - 3

10 ) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariale Werte annimmt, die kleiner oder gleich, sind? Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(),, f d, d f(),,, /, - Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(), F,,,5, F(,) =, / F() - Der unkt =, heißt %-Quantil /,-Quantil der Wahrscheinlichkeitsverteilung. 33

11 c) Welchen Wert nimmt die Wahrscheinlichkeit für,< <, an? Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(),,, f, d,, d f(),,,,7, /,7 - Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(),, F, F,,,,3,9,7 F(,) =,3 F(,) =,9 F() -,3-,9=,7 3

12 d) Schließlich fragen wir noch nach der Wahrscheinlichkeit, dass größer als,3 ist. Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(),3 f,3,3,577 d,3 d,3 / f(),577 - Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(),3 F,3,3,577,3 F(,3) =,3 F() -,3 =,577-35

13 5.5 rwartungswert und Varianz rwartungswert und Varianz einer Zufallsvariale sind Maßzahlen (Kenngrößen, arameter), mit denen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariale genauer eschrieen werden kann. Üersicht: Wichtige Maßzahlen einer Zufallsvariale Maßzahlen einer Zufallsvarialen rwartungswert rwartungswert μ: im Mittel Durchschnittswert erwarteter Wert einer aus einer Vielzahl von Zufallseperimenten Zufallsvariale (Lagemaß) Varianz σ : im Mittel Varianz erwarteter Wert der quadratischen Durchschnittliche Aweichung quadratische einer Zufallsvariale Aweichung von vom μ (Streuungsmaß) rwartungswert 3

14 rwartungswert einer Zufallsvariale Der rwartungswert () einer Zufallsvariale gewichtet alle denkaren Ausprägungen von mit ihren eweiligen Wahrscheinlichkeiten und liefert so den im Mittel erwarteten Wert von. raktisch lässt er sich als Durchschnittswert ei einer sehr großen Anzahl von Wiederholungen des Zufallsvorgangs interpretieren. Der rwartungswert von wird auch mit dem griechischen Buchstaen µ (my, gesprochen: mü, englisch: mu oder mu) ezeichnet. rwartungswert ei diskreten Zufallsvarialen: (5.) m m p f (ei m möglichen Ausprägungen) Der rwartungswert muss daei nicht immer eine der denkaren Ausprägungen sein, er kann auch zwischen zwei Ausprägungen liegen. rwartungswert ei stetigen Zufallsvarialen: (5.3) f d 37

15 Beispiel 5.: Bei einem Würfelwurf gewinnt man das Fünffache der gewürfelten ungeraden Augenzahl und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Verlusteträge werden in uro gemessen. Von welchem rwartungswert des Gewinns können Sie ausgehen, wenn Sie an diesem Glücksspiel teilnehmen? für für Mit Hilfe der Angaen in der Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariale, f für 5 für 8 für 5 für 5 sonst, lässt sich der rwartungswert unter Verwendung von (5.) estimmen: p Sie müssen also im Mittel mit einem Verlust pro Spiel von ½ uro rechnen. 38

16 Beispiel 5.: Wir etrachten die ereits ekannte Dichtefunktion für f für für Wie groß ist sein rwartungswert der Zufallsvariale? Da die Zufallsvariale stetig ist, ziehen wir zur Berechnung des rwartungswerts die Formel (5.3) heran. Wir integrieren hier üer das Intervall zwischen und, da die Dichte nur in diesem Bereich ungleich ist: f 3 8 d d 3. d d d 39

17 rwartungswert einer Lineartransformation In verschiedenen Anwendungen wird von einer Lineartransformation Gerauch gemacht, indem um einen konstanten Betrag a und einen multiplikativen Faktor verändert wird: (5.) Y a (Formeln 5. is 5. und 5.S vor 5. eingeschoen) Man erhält den neuen rwartungswert (Y), indem man die Lineartransformation (5.) in gleicher Form auf den ursprünglichen rwartungswert () anwendet: (5.) Beweis von (5.): Wir eschränken uns hier darauf, (5.) für den Fall einer stetigen Zufallsvariale zu eweisen. s gilt Wegen folgt Y a a (Y) f a a f d a f d f f d f d. d und f d Y a. d

18 Wie sich gezeigt hat, lässt sich der neue rwartungswert durch eine lineare Transformation, (Y) = (a+ ) = a + (), aus dem ursprünglichen rwartungswert () erhalten. Aufgrund der in dieser Gleichung wiedergegeenen Transformationseigenschaften ezeichnet man den rwartungswert auch als linearen Operator. Folgerung: Speziell folgt aus (5.), dass der rwartungswert einer Konstanten gleich der Konstanten ist: (5.) (a) = a Weitere wichtige Rechenregel (ohne Beweis): Für die Summe zweier Zufallsvarialen und Y gilt (5.S) ( + Y) = () + (Y) und damit auch ( + Y + Z) = () + (Y + Z) = () + (Y) + (Z)

19 Beispiel 5.: In Bespiel 5. hatten wir die Zufallsvariale Gewinn (in ) ei einem Würfelwurf etrachtet. Der Spieler gewinnt man das Fünffache der gewürfelten ungeraden Augenzahl und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Verlusteträge werden in uro gemessen. Angenommen, der Glücksspieler möchte seinen Gewinn, der in uro ausgezahlt wird, in Dollar [$] umtauschen. Für einen uro erhält er,3 Dollar. Zusätzlich fallen Umtauschgeühren unahängig von der Höhe des Gewinns von Dollar an. Alle Gewinne werden also um Dollar vermindert. Wie hoch ist der erwartete Gewinn in Dollar? Die Formel für die Lineartransformation lautet: $ Yin $ $,3 in. Wir erechnen den erwarteten Dollar-Gewinn durch a) Anwendung der Lineartransformation (5.) auf die in uro ausgezahlten inzelgewinne, ) Anwendung der Lineartransformation (5.) auf den rwartungswert des Gewinns in uro.

20 Ad a) Berechnung des rwartungswerts (in $) aus den inzelgewinnen Gewinne in Dollar: y = - +,3 (- =) = -33,; y = - +,3 ( =-) = -,8; y 3 = - +,3 ( 3 =-8) = -,; y = - +,3 ( =5) =,5; y 5 = - +,3 ( 5 =5) = 7,5; y = - +,3 ( =5) = 3,5; Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gewinne (in $): rwarteter Dollar-Gewinn: f y für y 33, für y,8 für y, für y,5 für y 7,5 für y 3,5 sonst Y y p,,5 7,5 3,5,5 $. 33,,8 3

21 Ad ) Berechnung des rwartungswerts (in $) aus dem erwartetem uro-gewinn rwartungswert in uro (aus Beispiel 5.): rwartungswert in Dollar (mit Lineartransformation 5.): Y a,3,5 $,5

22 Varianz und Standardaweichung einer Zufallsvariale Die Varianz und die Standardaweichung einer Zufallsvariale sind Streuungsmaße, die angeen, wie stark die Ausprägungen von um ihren rwartungswert streuen. Die Varianz V() git den rwartungswert der quadrierten Aweichung der - Ausprägungen von () an, also die im Mittel erwartete quadrierte Aweichung der -Ausprägungen von () (praktisch: durchschnittliche quadrierte Aweichung ei vielen Wiederholungen). Sie wird auch durch das Symol ² (sigma-quadrat) gekennzeichnet. Varianz ei diskreten Zufallsvarialen (ei m möglichen Ausprägungen): (5.) V() Varianz ei stetigen Zufallsvarialen: m m [ () ] [ ] [ ] p [ ] f (5.5) V() [ () ] [ ] [ ] f Die Standardaweichung (sigma) git als Wurzel aus der Varianz an, wie stark die Werte der Zufallsvariale im erwarteten Mittel von ihrem rwartungswert () aweichen. (Vorteil gegenüer ²: wird in der gleichen inheit gemessen wie.) Standardaweichung: (5.) V() d 5

23 Beispiel 5.3: Wie groß sind Varianz und Standardaweichung eim einmaligen Werfen mit einem fairen Würfel? Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion sonst,,..., für f () ergit sich der rwartungswert. 3, p Für die Varianz erhält man mit (5.).,97 7,5,5,5,5,5,5,5 3,5 3,5 5 3,5 3,5 3 3,5 3,5 p Die Würfelwürfe weichen damit im erwarteten Mittel um,78 7,5 vom rwartungswert 3,5 a.

24 Beispiel 5.: Für die Dichtefunktion, für für für f hatten wir ereits den rwartungswert von /3 in Beispiel 5. estimmt. Damit lassen sich Varianz und Standardaweichung,7 9 erechnen. Die Werte, die die Zufallsvariale annehmen kann, weichen also im erwarteten Mittel um,7 vom rwartungswert a., d d d d 3 d d f 3 3 7

25 Varianzverschieungssatz Zur Varianzermittlung git es eine vereinfachte Berechnungsformel, den Varianzverschieungssatz. Hier werden nur der rwartungswert der quadrierten Zufallsvariale sowie der einfache rwartungswert enötigt: (5.7) diskreter Fall stetiger Fall m m p f f d (5.8) (5.9) Beweis von (5.7): Nach (5.) und (5.5) ist die Varianz von durch = ( [ ()] ) gegeen. Für die Herleitung enötigen wir die Regeln (5.) und (5.S): mit (5.S) ( ) (Folie 8) Konstante Konstante mit (5.) (Folie 7) ( ) ( ) 8

26 Beispiel 5.5: Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion eim einmaligen Würfelwurf ermitteln wir zu- nächst den rwartungswert von : p ,7. Mit dem Varianzverschieungssatz (5.7) erhält man das mit der originären Varianzformel (5.) erechnete rgenis: 5,7 3,5 5,7,5,97. 9

27 Beispiel 5.: Bei der Dichtefunktion für für für f nimmt der rwartungswert von den Wert an. Unter Verwendung des ereits ermittelten rwartungswerts von, /3, erhält man denselen Wert für die Varianz der Zufallsvariale :., d d d f 3 5

28 5 Varianz einer Lineartransformation Im Falle einer linearen Transformation der Zufallsvariale werden ei der Varianzildung multiplikative Konstanten quadriert. Die Varianz ändert sich dagegen nicht, wenn zu der Zufallsvariale eine Konstante addiert wird. Daraus folgt, dass die Varianz einer Konstanten stets gleich ist. Man erhält damit die neue Varianz V(Y) aus der ursprünglichen Varianz V() aus (5.3) ). V( a V V(Y) Beweis von (5.3): Die Varianz ist definiert als quadrierte Aweichung der Zufallsvariale von ihrem rwartungswert: Mit (5.) (Folie 7),. a a a a Y Y V(Y) erhält man a a (Y) V und daraus schließlich (die geschweiften Klammern sind hier keine Mengenklammern) ). V( V(Y), a ) (a Y

29 Beispiel 5.7: Wie hoch ist die Varianz des Spielergewinns aus Beispiel 5. in Dollar? Wir erechnen die Lösung wiederum auf zwei Wegen: Durch a) Anwendung der Lineartransformation (5.) auf die in uro ausgezahlten inzelgewinne, ) Anwendung der Transformation (5.3) auf die Varianz des Gewinns in uro. Ad a) Berechnung der Varianz (in $) aus den inzelgewinnen Unter Verwendung der in Beispiel 5. ermittelten Wahrscheinlichkeitsfunktion f(y) der Gewinne in Dollar, f y für y 33, für y,8 für y, für y,5, für y 7,5 für y 3,5 sonst 5

30 und dem dort erechneten rwartungswert der Gewinne in Dollar, Y,5 $, erhält man die Varianz der Gewinne in Dollar V(Y) y (Y) p y (,5) 33,,5,8,5,,5,5,5 7,5,5 3,5,5 p 55,55 7,7 5,8 8,5 7,7 83,5 98,8 $. 53

31 Ad ) Berechnung der Varianz in Dollar aus der Varianz in uro In Anwendungen ist die alte Varianz in der Regel ekannt. In unserem Fall ist sie unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsfunktion f() der Gewinne in uro, f für für für 8 für 5 für 5 für 5 sonst, und dem rwartungswert der Gewinne in uro,,5, zu erst noch erechnen: 5

32 V() () p (,5),5,5 8,5 5,5 5,5 5,5 9,, 9,375 5,, 8,375 9,97. Mit Hilfe der Transformationsformel (5.3) erhalten wir für die Varianz der Gewinne in Dollar den Wert V V Y,3 9,97 98, $, der is auf eine Rundungsungenauigkeit mit dem in Teil a) errechneten Wert üereinstimmt. p 55