Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14

Transkript

1 Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Walter Sanddorf-Köhle Statistik und Ökonometrie Foliensatz Nr. 11 Version vom 24. Januar / 45

2 6.5.1 Bisherige Vorgehensweise zur Berechnung des VaR Wert des Portfolios zum Zeitpunkt T [heute] P P,T = n 1,T P 1,T + n 2,T P 2,T + + n N,T P N,t Aktuelle Portfolioallokation w T = (w 1,T, w 2,T,..., w N,T ), mit: w j,t = n j,t P j,t P P,T, j = 1, 2,..., N Diskrete Portfoliorendite R P,t = N w j,t R j,t, t = T, T 1,..., T 249,... j=1 2 / 45

3 Verschiedene Verfahren zur Berechnung des VaR. Berechnung des VaR mit Hilfe der historischen Simulation. VaR[h = 1, α = 0.99] = R (3) P P,T Modellierung der bedingten Verteilung der stetigen Portfoliorendite r P,t = ln(1 + R P,t ) mit Hilfe eines univariaten GARCH-Modells r P,t = µ + v t σ t, v t iid mit E (v t ) = 0 und Var (v t ) = 1 Berechnung des VaR: VaR[h = 1, α = 0.99] = ( 1 exp{µ + ˆv 0.01ˆσ T +1 T } ) P P,T 3 / 45

4 6.5.2 Motivation der Varianz-Kovarianz-Methode Bei der Varianz-Kovarianz-Methode wird über die bedingte multivariate Verteilung des Renditevektors der Value at Risk bestimmt: r t = (r 1,t, r 2,t,..., r N,t ) r t I t 1 N(µ t, Σ t ). 4 / 45

5 Einschub. Lineartransformation eines Zufallsvektors. Es sei X ein n 1 Zufallsvektor mit dem n 1-Erwartungswertvektor µ X und der n n-varianz-kovarianzmatrix Σ X. Sei A eine deterministische m n-matrix und b ein deterministischer m 1-Vektor. 5 / 45

6 Betrachtet wird die folgende Lineartransformation Y = AX + b m 1-Erwartungswertvektor von Y µ Y = E (Y) = E (AX + b) = AE (X) + b = Aµ X + b m m-varianz-kovarianzmatrix Σ Y = Var (Y) = E ( (Y E (Y))(Y E (Y)) ) = E ( (AX + b Aµ X b)(ax + b Aµ X b) ) = AE ( (X E (X))(X E (X)) ) A = AΣ X A 6 / 45

7 Einschub. Quadratische Formen Es sei x ein n 1 Vektor und A eine symmetrische n n Matrix, dann heißt das Matrixprodukt x Ax = = n i=1 j=1 n a ij x i x j a 11 x a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x a 1n x 1 x n + a 22 x a 23 x 2 x a 2n x 2 x n + a 33 x a 3n x 3 x n a nn xn 2 quadratische Form in x. 7 / 45

8 Für A = I ergibt sich insbesondere: x Ix = x x = n xi 2. i=1 Man bezeichent x x als Norm des Vektors x. Die Norm eines Vektors ist nur dann gleich null, wenn x gleich dem Nullvektor ist. Eine n n Matrix A heißt positiv definit, wenn x Ax > 0 für alle x 0 gilt. positiv semidefinit, wenn x Ax 0 für alle x und x Ax = 0 für ein x 0 gilt. negativ definit, wenn x Ax < 0 für alle x 0 gilt. negativ semidefinit, wenn x Ax 0 für alle x und x Ax = 0 für ein x 0 gilt. 8 / 45

9 Es sei A eine n m Matrix, die nicht die Nullmatrix ist. Das Matrixprodukt A A ist dann eine positiv definite n n Matrix, denn x A Ax = (Ax) Ax = z z = n zi 2 > 0, mit z = Ax. i=1 9 / 45

10 Zu einem Zeitpunkt t gilt (approximativ) für die stetige Portfoliorendite: r P,t = N w i,t 1 r i,t i=1 = w t 1r t mit: w t 1 = (w 1,t 1, w 2,t 1,..., w N,t 1 ) und r t = (r 1,t, r 2,t,..., r N,t ) 10 / 45

11 Annahme. Der N 1-Renditevektor r t ist gegeben die Prozessvergangenheit bedingt normalverteilt mit dem N 1-Erwartungswertvektor µ t und der N N positiv definiten Varianz- Kovarianz-Matrix Σ t : r t r t 1, r t 2, N(µ t, Σ t ) mit dem N 1-Erwartungswertvektor: µ t = (µ 1,t, µ 2,t..., µ N,t ) 11 / 45

12 und der N N-Varianz-Kovarianzmatrix σ 1,1,t σ 1,2,t... σ 1,N,t σ 2,1,t σ 2,2,t... σ 2,N,t Σ t =.. σ N,1,t σ N,2,t... σ N,N,t σ i,j,t = Cov t 1 (r i,t, r j,t ) = E t 1 ([r i,t µ i,t ] [r j,t µ j,t ]) Damit ist die (stetige) Portefeuillerendite gegeben die Prozessvergangenheit bis T bedingt normalverteilt mit: r P,T +1 r T, r T 1,... N(µ P,T +1 T, σ 2 P,T +1 T ) 12 / 45

13 mit: µ P,T +1 T = E T (r P,T +1 ) = w T E T (r T +1 ) = w T µ T +1 T σ 2 P,T +1 T = Var T (r P,T +1 ) = w T Σ T +1 T w T Der Value at Risk wird bei der Varianz-Kovarianz-Methode über den Erwartungswertvektor µ T +1 T und die Varianz-Kovarianzmatrix Σ T +1 T ermittelt. VaR[w T, h = 1, α = 0.99] = [ { }] 1 exp µ P,T +1 T σp,t 2 +1 T P P,T 13 / 45

14 Beispiel. In der FX-Abteilung einer Bank wird der Value at Risk für die wichtigsten Währungen gegenüber dem Euro, das sind USD [US-Dollar], JPY [Japanische Yen], GBP [Britisches Pfund] und CHF [Schweizer Franken] mit Hilfe der Varianz-Kovarianz-Methode bestimmt. Die Prognose für den die bedingte Varianz-Kovarianzmatrix für den lautet: ˆΣ T +1 T = USD JPY GBP CHF USD JPY GBP CHF 14 / 45

15 Für den bedingten Erwartungswertvektor prognostiziert man: ˆµ T +1 T = ( USD JPY GBP CHF Das Devisen-Portfolio setzt sich am wie folgt zusammen: Währung Menge FX-Rate Wert am USD 1,000, , EUR JPY 50,000, , EUR GBP EUR CHF 500, , EUR Portfolio 1,431, EUR ) 15 / 45

16 Berechnung des VaR[h = 1, α = 0.99] mit Hilfe der Varianz-Kovarianz-Methode Der Portfolio-Gewichtsvektor am : w T = (0.546, 0.233, 0.000, 0.221) Die erwartete Portfoliorendite für den : ˆµ T +1 T = w T ˆµ T +1 T = (0.546, 0.233, 0.000, 0.221) (0.004, 0.007, 0.003, 0.001) = = [%] 16 / 45

17 Die für den prognostizierte Portfoliovarianz: ˆσ P,T 2 +1 T = w ˆΣ T T +1 T w T = B C A C A C A = = [% 2 ] 17 / 45

18 Da die Summe normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist, gilt: r P,T +1 T N(ˆµ P,T +1 T, ˆσ 2 P,T +1 T ). 1%-Quantil der stetigen Portfoliorendite ˆr 0.01,T +1 T = ˆµ P,T +1 T ˆσ P,T +1 T = ( )/100 = %-Quantil der diskreten Portfoliorendite ˆR 0.01,T +1 T = exp{ˆr 0.01,T +1 T } 1 = / 45

19 VaR [Haltedauer 1 Tag] VaR[h = 1, α = 0.99] = ˆR 0.01,T +1 T P P,T = , 431, = 114, EUR VaR [Haltedauer 10 Tage, 10-Approximation] VaR[h = 10, α = 0.99] = 10 VaR[h = 1, α = 0.99] = 363, EUR 19 / 45

20 Einschub. Eigenschaften der Eigenwerte und Eigenvektoren von symmetrischen reelwertigen n n-matrizen 1 Die Eigenwerte sind reelle Zahlen. 2 Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind ihre Diagonalelemente: A = diag(a 1,, a n ) λ i = a i 3 Eine n n-matrix hat höchstens n Eigenwerte. 4 Eigenvektoren zu verschieden Eigenwerten sind orthogonal: 5 Sei X = (x 1, x n ), dann gilt: λ i λ j x ix j = 0 X X = I n, X = X 1, XX = I n. 20 / 45

21 RATS: EIGEN(Optionen) MATRIX EIGENWERTE EIGENVEKTOREN Einschub. Dekomposition symmetrischer Matrizen. Wenn A eine symmetrische n n Matrix ist, dann existiert eine Matrix X so dass gilt: X AX = Λ = diag(λ 1,, λ n ) oder Λ = XAX, wobei λ i, i = 1,, n, die Eigenwerte der Matrix A und die Spalten von X die entsprechenden Eigenvektoren sind. Wenn mit x i der i-te Spaltenvektor bezeichnet wird, dann gilt wegen x i x j = 0 für i j: n A = XΛX = λ i x i x i. i=1 21 / 45

22 Desweiteren gilt: A 2 = AA = XΛ }{{} X X ΛX = XΛ 2 X, =I bzw. es gilt allgemein für k IN: A k = XΛ k X Sofern alle Eigenwerte betragsmäßig kleiner als Eins sind, folgt daraus, dass i=0 Ai = (I A) 1 existiert. Wenn A eine postiv definite und symmetrische n n Matrix ist, dann sind alle Eigenwerte von A positive reelle Zahlen, so dass Λ 1 2 wie folgt definiert werden kann: ( Λ 1 2 := diag λ1,, ) λ n. 22 / 45

23 Zur Matrix A existiert dann eine Matrix A 1 2 mit der Eigenschaft A 1 2 A 1 2 = A, mit A 1 2 = XΛ 1 2 X Desweiteren gilt: A 1 2 = XΛ 1 2 X ( ) mit Λ := diag,,. λ1 λn Beispiel. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren zu der Matrix Σ = ( ). 23 / 45

24 Berechnung der Eigenwerte. det (Σ λi)! = 0 (1 λ) = 0 1 2λ + λ = 0 λ 2 2λ = 0 λ 1,2 = 1 ± λ 1 = 0.5, λ 2 = 1.5 Für die Diagonalmatrix der Eigenwerte erhält man damit: ( ) Λ = / 45

25 Berechnung des (normierten) Eigenvektors für λ 1 = 0.5. Lösung des Gleichungssystems Man erhält Σ λi = ( ) ( x11 x 11 = x 21 x 21 ) = Normierung des Eigenvektors auf die Länge 1: x x 2 21 = 1 ( 0 0 2x 2 11 = 1 x 11 = 1 2 x 21 = 1 2 ) 25 / 45

26 Berechnung des (normierten) Eigenvektors für λ 2 = 1.5. Vorgehensweise entsprechend. x 1,2 = 1 2, x 2,2 = 1 2 Für die Matrix der Eigenvektoren ergibt sich damit. X = Überprüfen Sie, dass gilt: X X = I. 26 / 45

27 Berechnung der Quadratwurzel von Σ Σ 1/2 = XΛ 1/2 X = = Überzeugen Sie sich davon, dass Σ 1/2 Σ 1/2 = Σ gilt. 27 / 45

28 6.5.2 Das multivariate CMM Für den N 1 Renditevektor r t wird das folgende Modell angenommen: r t = µ + ε t, t = 1, 2, 3,... = µ + Σ 1/2 t v t mit: v t iid mit E (v t ) = 0 und Var (v t ) = I. Dabei bedeuten: µ : N 1 Parametervektor ε t : N 1 Störgrößenvektor Σ t : N N positiv definite bedingte Varianz-Kovarianzmatrix v t : N 1 Zufallsvektor 0 : N 1 Nullvektor I : N N Einheitsmatrix 28 / 45

29 Annahmen und Folgerungen. 1 Der Zufallsvektor v t ist iid multivariat standardnormalverteilt. v t iid N(0, I). 2 Der Zufallsvektor v t und der verzögerte Störgrößenvektor ε t k sind für k = 1, 2,... stochastisch unabhängig. Die bedingte Varianz-Kovarianzmatrix Σ t ist nur abhängig von der Prozessvergangenheit bis zum Zeitpunkt t 1. Folgerung 1. Der Renditevektor r t ist - gegeben die Prozessvergangenheit bis zum Zeitpunkt t 1 - bedingt multivariat normalverteilt. r t I t 1 N(µ, Σ t ) 29 / 45

30 Folgerung 2. Der unbedingte Erwartungswertvektor des Renditevektors r t ist gleich µ. E (r t ) = µ + E (ε t ) ( )) = µ + E (E t 1 Σ 1/2 t v t ( ) = µ + E Σ 1/2 t E t 1 (v t ) = µ Bzw. es gilt: E t 1 (ε t ) = E (ε t ) = / 45

31 3 Die unbedingte Varianz-Kovarianzmatrix, bezeichnet mit Σ, existiert. Folgerung. Var (r t ) = E ( (r t µ)(r t µ) ) = E ( ε t ε ) t ( )) = E (E t 1 Σ 1/2 t v t v tσ 1/2 t ( = E Σ 1/2 t E t 1 ( vt v t ( ) = E Σ 1/2 t IΣ 1/2 t = E (Σ t ) = Σ ) ) 1/2 Σ t 31 / 45

32 4 Zu verschiedenen Zeitpunkten, t und t k, k = ±1, ±2,..., sind die Renditevektoren r t und r t k bzw. die Störgrößenvektoren ε t und ε t k unkorreliert. Γ(k) := Cov (r t, r t k ) = E ( (r t µ)(r t k µ) ) = E ( ε t ε t k) = 0, k = ±1, ±2,... Empirisches Beispiel. Kreuz-Korrelationen BASF / Allianz ϱ i,j (k) = Corr(r i,t, r j,t k ) = Cov (r i,t, r j,t k ), k = 0, ±1, ±2,... Var (ri,t ) Var (r j,t k ) 32 / 45

33 0.6 Cross-Correlation BASF / Allianz Lag 33 / 45

34 5 Schätzung des unbedingten Erwartungswerts und der unbedingten Varianz-Kovarianzmatrix ˆµ i = 1 T ˆσ i,j = 1 T T r i,t, i = 1,..., N t=1 T (r i,t ˆµ i )(r j,t ˆµ j ), i, j = 1,..., N t=1 bzw. matriziell: ˆµ = 1 T ˆΣ = 1 T T t=1 r t T (r t ˆµ)(r t ˆµ) = 1 T t=1 T ˆε tˆε t t=1 34 / 45

35 Damit die Bedingung ˆσ 2 p = w ˆΣw > 0 erfüllt ist, muss ˆΣ positiv definit sein. Für den Varianz-Kovarianz-Schätzer ˆΣ gilt: x ˆΣx = 1 T = 1 T T x ˆε tˆε tx t=1 T zt 2 > 0 mit z t = ˆε tx. t=1 d.h. ˆΣ ist positiv definit. 35 / 45

36 6 Die unbedingte Korrelationsmatrix 1 ϱ 1,2... ϱ 1,N ϱ 1, ϱ 2,N R =.. mit ϱ i,j = σ i,j σi,i σ j,j ϱ 1,N ϱ 2,N... 1 Mit der N N-Diagonalmatrix D: ( ) 1 1 D = diag,..., σ1,1 σn,n lässt sich die Korrelationsmatrix auch wie folgt notieren: R = DΣD 36 / 45

37 7 Schätzung der unbedingten Korrelationsmatrix 1 ˆϱ 1,2... ˆϱ 1,N ˆϱ 1, ˆϱ 2,N ˆR =.. mit ˆϱ i,j = ˆϱ 1,N ˆϱ 2,N... 1 mit: ˆσ i,j ˆσi,i ˆσ j,j ˆσ i,j = 1 T ˆµ i = 1 T T (r i,t ˆµ i )(r j,t ˆµ j,t ), i, j = 1, 2,..., N t=1 T r i,t, t=1 i = 1, 2,..., N 37 / 45

38 Oder alternativ mit Hilfe der der geschätzten N N-Diagonalmatrix ˆD: ( ) 1 1 ˆD = diag,..., ˆσ1,1 ˆσN,N lässt sich die geschätzte Korrelationsmatrix auch wie folgt notieren: ˆR = ˆD ˆΣ ˆD Beispiel. FX-Reihen gegenüber EUR: USD, JPY, GBP, CHF. Tagesdaten [14.15 h] Quelle: EZB. Beobachtungszeitraum vom bis Stetige Renditen in % [T = 1961 Beobachtungen] 38 / 45

39 Geschätzte unbedingte Varianz-Kovarianzmatrix: ˆΣ = USD JPY GBP CHF USD JPY GBP CHF Geschätzte Diagonalmatrix ˆD: ˆD = USD JPY GBP CHF USD 1/ JPY / GBP / CHF / / 45

40 Geschätze unbedingte Korrelationsmatrix ˆR = USD JPY GBP CHF USD JPY GBP CHF / 45

41 6.5.3 Gleitende Varianz-Kovarianz-Matrizen ˆσ i,j,t = 1 p (r i,t k ˆµ i,t )(r j,t k ˆµ j,t ) i, j = 1, 2,..., N p k=1 mit: ˆµ l,t = 1 p bzw. matriziell p k=1 r l,t k l = i, j = 1, 2,..., N p mit: ˆΣ t = 1 p k=1 ˆε t kˆε t k ˆε t = r t ˆµ t, ˆµ t = (ˆµ 1,t,..., ˆµ N,t ). 41 / 45

42 Die Kritik an dieser Vorgehensweise ist ganz analog zur Kritik an gleitenden Varianzen: Alle Beobachtungen der letzten p Perioden gehen mit demselben Gewicht in die Berechnungen ein. Alle Beobachtungen älter als t p gehen mit dem Gewicht Null in die Berechnungen ein. Es gibt keine Richtschnurr dafür, wie groß p gewählt werden muss. Nach diesem Ansatz ist die Prognose für die zukünftige Korrelation gleich der zuletzt berechneten. 42 / 45

43 1.12 Historical Correlations [P=30] USD/JPY / 45

44 6.5.4 Exponentielles Glätten/RiskMetrics Ebenso wie in der univariaten Betrachtung lassen sich auch zeitveränderliche Kovarianzen mit Hilfe der Methode des exponentiellen Glättens ermitteln. RiskMetrics bedient sich z.b. dieser Methode. Als Schätzer für die Kovarianz für die Renditen von WP i und WP j erhält man mit Hilfe des exponentiellen Glättens: ˆσ i,j,t = λˆσ i,j,t 1 + (1 λ)(r i,t 1 ˆµ i )(r j,t 1 ˆµ j ) bzw. matriziell mit ˆε t = r t ˆµ: ˆΣ t = λ ˆΣ t 1 + (1 λ)ˆε t 1ˆε t 1 44 / 45

45 Für einen gegebenen positiv-definiten Startwert ˆΣ 0 und 0 < λ < 1 zeigt man leicht, dass ˆΣ t positiv definit für alle t ist. Risk-Metrics: λ = 0.94, ˆµ = 0: ˆΣ t = 0.94 ˆΣ t r t 1 r t 1 Zur Kritik siehe den univariaten Fall. 45 / 45