Allgemeine Mechanik Musterlo sung 5.

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1 Allgemeine Mechanik Musterlo sung 5 U bung HS 203 Prof R Renner Gekoppelte Pendel Wir betrachten ein System aus zwei gleichen mathematischen Pendeln der La nge l = l2 = l mit Massen m = m2 = m im Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g Die Pendel bewegen sich beide in einer Ebene, und der Auslenkungswinkel der Pendel relativ zur Vertikalen wird mit q und (kleine Auslenkungen!) bezeichnet Weiterhin sind die Pendel durch eine masselose Feder gekoppelt, deren La nge gleich dem Abstand der Aufha ngepunkte ist Definiere ωg2 = g/l und = f /m (i) Bestimme die beiden Eigenschwingungen des Systems (ii) Zur Zeit t = 0 seien die Pendel in Ruhe Dann wird eines der beiden Pendel mit der Geschwindigkeit q = v angestossen Zeige, dass sich das erste Pendel nach einer gewissen Zeit T, die bestimmt werden soll, beinahe in Ruhe befindet, und dass alle Energie zum zweiten u bergegangen ist Hinweis: (i) Zeige, dass die Federkraft auf Masse m fu r kleine Auslenkungen f (q ) ist (ii) Hier soll man annehmen, dass die Federkonstante f klein ist, und die trigonometrische Identita t a+b sin(a) + sin(b) = 2 cos( a b 2 ) sin( 2 ) benutzen Lo sung Fu r den Fall kleiner Auslenkungen wird das gekoppelte Pendel durch das Differentialgleichungssystem q f (q ) l mq 2 = mg + f (q ) l mq = mg (L) beschrieben, wobei ml2 das Tra gheitsmoment eines mathematischen Pendels, sowie fu r kleine Auslenkungen mglqi das Drehmoment aufgrund der Schwerkraft und ±f l2 (q ) das Drehmoment aufgrund der Federkraft Durch Definition von ωg2 = g/l und = f /m la sst sich dieses System schreiben als q q (ωg2 + ) (L2) = (ωg2 + ) q 2 (i) Mithilfe des Ansatzes q A iλt e = A2 (L3) finden wir die zwei Eigenfrequenzen des System als Lo sung von 2 λ (ωg2 + ) det =0 (L4) λ2 (ωg2 + ) q als λ+ = ωg (symmetrische Schwingung) und λ = ωg2 + 2 (antisymmetrische Schwingung) Die Eigenvektoren der Schwingung sind (A+, A2+ ) = (, ) und (A, A2 ) = (, ) (ii) Die allgemeine Lo sung fu r eine gekoppelte Schwingung ist q = (a+ sin(λ+ t) + b+ cos(λ+ t)) + (a sin(λ t) + b cos(λ t)) (L5) Mithilfe der Anfangsbedingungen q (t = 0) = (t = 0) = 0 findet man leicht b+ = b = 0, ausserdem folgt aus q (t = 0) = v und q 2 (t = 0) = 0 v = λ+ a+ + λ a, (L6) 0 = λ+ a+ λ a, (L7)

2 woraus folgt, dass a ± = v/(2λ ±) und somit ( ) q = v ( ) sin(λ+t)/λ + + sin(λ t)/λ (L8) q 2 2 sin(λ +t)/λ + sin(λ t)/λ Für kleine Federkonstante f gilt ω f ω g und somit und wir erhalten ( q q 2 ) v 2ω g Wir betrachten nun q (t) und q (t) für kleine f, = λ ω g + 2(ωf /ω = ( + O ( (ω f /ω g) 2)) (L9) g) 2 ω g ( ) sin(λ+t) + sin(λ t) = v ( ) cos((λ+ λ )t/2) sin((λ + + λ )t/2) (L0) sin(λ +t) sin(λ t) ω g cos((λ + + λ )t/2) sin((λ + λ )t/2) q (t) = v ( ) cos((λ+ λ )t/2) sin((λ + + λ )t/2) + O((ω f /ω g) 2 ) ω g q (t) = v ( ) cos((λ+ λ )t/2) cos((λ + + λ )t/2) + O((ω f /ω g) 2 ) ω g (L) (L2) und erkennen, dass für T = π/(λ λ +) πω g/ω 2 f die Masse m (beinahe) zum Stillstand kommt, also q (T ) 0 und q (T ) 0 Übung 2 Gekoppelte Federn Wir betrachten ein System von identischen Teilchen der Massen m mit Koordinaten x = (x, x 2,, x ) T, die auf einem Ring angeordnet sind (siehe Abbildung ) Die Teilchen sind über Federn der Federkonstante f miteinander gekoppelt, wobei wir annehmen, dass die Federkräfte auf jedes Teilchen genau entlang der Tangentialen wirken (i) Finde die Bewegungsgleichungen für x in der Form ẍ = cax, wobei c R eine Konstante ist (ii) Das System hat eine zyklische Symmetrie: S : (x, x,, x ) (x 2, x 3,, x, x ) () Finde die Matrixdarstellung für S und diagonalisiere diese, dh finde Eigenvektoren e k R und Eigenwerte λ k C, so dass Se k = λ k e k (2) erfüllt ist (iii) Warum lassen sich die Bewegungsgleichungen nun deutlich vereinfachen? (iv) Verwende die Entwicklung = k u k(t)e k und zeige, dass Finde die ω k Was bedeuten diese? (v) Beschreibe die Lösungen, die λ k = ± entsprechen ü k = ω 2 k u k (3) Lösung (i) Die Bewegungsgleichungen sind mẍ i = f ((x i x i+) + (x i x i )) (L3) 2

3 x x 2 x 7 x 6 x 3 x 5 x 4 Abbildung : Anordnung von 7 identischen Teilchen auf einem Ring Damit ist c = f m und (ii) Es ist A = (L4) S ij = δ i,j+ (L5) S = (L6) Da S = I gilt, muss für alle Eigenwerte λ = gelten Das gleiche Ergebnis lässt sich durch Aufstellen von det(s λi) = 0 und Verwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes finden Die Eigenwerte sind also λ k = e 2πi k (L7) Für die Eigenvektoren ergibt sich in Komponenten: S ij(e k ) j = e 2πi k (ek ) i j (e k ) j = e 2πi k (ek ) j (L8) Hier wurde wiederum die zyklische Eigenschaft der Komponenten benutzt Als Lösung ergibt sich (e k ) j = e 2πi k j (L9) (iii) Da die beiden Matrizen S und A kommutieren gibt es eine gemeinsame Eigenbasis Da es in diesem Fall keine entarteten Eigenwerte gibt, die Eigenräume also eindimensional sind, können wir A einfach in der soeben gefundenen Eigenbasis von S diagonalisieren indem wir die Eigenwerte ausrechnen Es ergibt sich (Ae k ) j = 2(e k ) j (e k ) j+ (e k ) j = (2 e 2πi k e 2πi k )(ek ) j ( ( = 2 cos 2π k )) (e k ) j (L20) Die Eigenwerte von A sind also ( ( a k = 2 cos 2π k )) ( = 4 sin 2 π k ) (L2) (iv) Durch Einsetzen findet man ü k (t)e k = f a k u k (t)e k, m k k (L22) 3

4 so dass die Behauptung folgt, wobei die ω k sich mit Gl L2 zu ( f ω k = 2 m sin2 π k ) (L23) ergeben Dies sind die Winkelgeschwindigkeiten der Eigenschwingungen des Systems (v) i) λ = ergibt sich für k =, es ist also ω = ω = 0 Durch Integration der Differentialgleichung ergibt sich u (t) = at + b mit a, b R Die Lösung ist also eine gleichmäßige Rotation ii) λ = ergibt sich für k = 2 Es ist dann u /2(t) = u ±e ±2i f/mt und (e /2 ) i = ( ) i, also x i(t) = u ±e ±2i f/mt ( ) i (L24) Die Teilchen mit geradem bzw ungeradem Index oszillieren also mit einer relativen Phasenverschiebung Übung 3 Phasenportrait gedämpfter Schwingungen Wir betrachten einen gedämpften Oszillator, mẍ = fx rẋ (4) (i) Zeichne das Phasenportrait in der (x, ẋ)-ebene für die Anfangsbedingung x(0) =, ẋ(0) {0,,, 2} in den 4 Fällen, wie im Skript, wenn die Dämpfung eine der folgenden ist: β = 0, α < β < α 3 β = α 4 β > α Hier β = r 2m, α = f m Die Abbildung sollte mit dem Computer angefertigt werden, beispielsweise mit Matlab, Mathematica oder Python/Matplotlib (ii) Beschreibe das Verhalten des Systems anhand der Phasenportraits Lösung (i) Die Lösung für kann dem Skript entnommen werden (mit ω 0 = α 2 β 2 ): α β : = x(0)e (cos βt ω ot + β ) sin ω 0t + ẋ(0)e βt sin ω 0t ω 0 ω 0 Die Ableitung nach der Zeit ergibt: (L25) α = β : = x(0)e βt ( + βt) + ẋ(0)e βt t (L26) α β : = x(0)e βt β 2 + ω 2 0 ω 0 ( sin ω 0t + ẋ(0)e βt cos ω 0t β ) sin ω 0t ω 0 (L27) α = β : = x(0)e βt β 2 t + ẋ(0)e βt ( βt) (L28) Die zu betrachtenden Fälle sind () β = 0, (2) 0 < β < α, (3) β = α, (4) β > α Ein Python-Programm findet sich auf der nächsten Seite, die Ausgabe in Abb 2 (ii) Die Fälle sind: 4

5 () In diesem Fall oszilliert das System ungedämpft Das Phasenportrait ist also eine geschlossene Kurve (2) In diesem Fall ist die Oszillation schwach gedämpft Es gibt also einen Ausschlag über den Gleichgewichtspunkt hinaus (3) In diesem Grenzfall gibt es für ẋ(0) = 0 gerade keinen Ausschlag über den Gleichgewichtspunkt hinaus Bei entsprechender Anfangsgeschwindigkeit schlägt das System über den Gleichgewichtspunkt hinaus aus, kehrt dann aber vom Umkehrpunkt ohne weitere Oszillationen zur Gleichgewichtslage zurück (4) In diesem Fall ist der Abfall der Geschwindigkeit schneller, jedoch ist die Rückkehr zum Gleichgewichtspunkt langsam (nicht im Phasenportrait zu erkennen) α =,β =0 α =,β =0 α =,β =0 α =,β = α =,β =02 0 α =,β =02 α =,β =02 5 α =,β =02 α =,β =06 α =,β =06 20 α =,β =06 α =,β = α =,β = 5 α =,β = α =,β = α =,β = α =,β =2 0 α =,β =2 α =,β =2 α =,β =2 α =,β =8 5 α =,β =8 α =,β =8 α =,β = Abbildung 2: Phasenportraits 5

6 import math as m, numpy as np, m a t p l o t l i b pyplot as p l t def p l o t ( alpha, beta, x0, dx0, tmax ) : i f alpha!= beta : w0 = np s q r t ( complex ( alpha alpha beta beta ) ) x = lambda t, x0, dx0 : x0 np exp( beta t ) ( np cos (w0 t )+beta /w0 np s i n (w0 t ) ) + dx0 np exp( beta t ) /w0 np s i n (w0 t ) dx = lambda t, x0, dx0 : x0 np exp( beta t ) ( beta beta+w0 w0) /w0 np s i n (w0 t ) + dx0 np exp( beta t ) ( np cos (w0 t ) beta /w0 np s i n ( w0 t ) ) e l s e : x = lambda t, x0, dx0 : x0 np exp( beta t ) (+ beta t ) + dx0 np exp( beta t ) t dx = lambda t, x0, dx0 : x0 np exp( beta t ) beta beta t + dx0 np exp ( beta t ) ( beta t ) t = np l i n s p a c e ( 0, tmax, ) l i n e s = p l t p l o t ( np r e a l ( x ( t, x0, dx0 ) ), np r e a l ( dx ( t, x0, dx0 ) ) ) p l t x l a b e l ( $x ( t ) $ ) p l t y l a b e l ( $\ dot {x }( t ) $ ) l i n e s [ 0 ] s e t l a b e l ( $\\ alpha = %s, \\ beta = %s$ % ( alpha, beta ) ) tmax = 0 m p i p l t f i g u r e ( f i g s i z e =(6,6) ) dx0 = [0,,, 2] p l t subplot (22) [ p l o t (, 0,, dx0, tmax ) f o r dx0 in dx0 ] p l t legend ( l o c =3) p l t subplot (222) [ p l o t (, 0 2,, dx0, tmax ) f o r dx0 in dx0 ] [ p l o t (, 0 6,, dx0, tmax ) f o r dx0 in dx0 ] p l t legend ( l o c =3) p l t subplot (223) [ p l o t (,,, dx0, tmax ) f o r dx0 in dx0 ] p l t legend ( l o c =3) p l t subplot (224) [ p l o t (, 2,, dx0, tmax ) f o r dx0 in dx0 ] [ p l o t (, 8,, dx0, tmax ) f o r dx0 in dx0 ] p l t legend ( l o c =3) p l t s a v e f i g ( p h a s e n p o r t r a i t pdf ) p l t show ( ) 6