Mechanik der Flüssigkeiten und Gase

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1 Mechanik der lüssigkeiten und Gase estkörer - in diesem Zustand behält ein Stoff im llgemeinen sowohl orm als auch Volumen bei. lüssigkeit - das Volumen wird i.. beibehalten, aber die orm ist unbeständig und asst sich dem umgebenden Raum an. Die lüssigkeitsteilchen sind nicht wie beim estkörer ortsfest, sondern können sich gegeneinander erschieben. Ein flüssiger Stoff erteilt sich on alleine, wenn er nicht in einem Gefäß festgehalten wird. Gas - füllt den zur Verfügung stehenden Raum ollständig aus. Bei Stoffen im gasförmigem Zustand sind die Teilchen in schneller Bewegung. Durch die schnelle Bewegung der Teilchen sind sie weit oneinander entfernt. Sie stoßen gelegentlich einander an, bleiben aber im Vergleich zur flüssigen Phase auf großer Distanz. Jede lüssigkeit hat eine Oberfläche die stets normal zu einer wirkenden Kraft steht. Wirkt eine Kraft auf ein Molekül, kann sie in Komonenten senkrecht und arallel zu der Oberfläche zerlegt werden. Unter der Einwirkung on T erschieben sich die Moleküle bis die Oberfläche normal zu der wirkenden Kraft ist. T Die Kraft die ruhende lüssigkeit auf die Gefäßwände ausübt muss stets nur senkrecht zur Wand wirken. Gäbe es eine arallele Komonente so würde die lüssigkeit strömen, was gegen die Voraussetzung wäre. r N m r Druck Kraft läche mg Unter der Einwirkung der Zentrifugal- und Gewichtskraft wird die lüssigkeitsoberfläche erformt bis sie senkrecht auf die resultierende Kraft steht.

2 HYDROSTTIK Lehre der strömungsfreien lüssigkeiten und Gase Druck : N m Pa Pa = Pascal ndere Druckeinheiten: Bar =00000 Pa; mm Hg = Torr Einige Zahlenwerte: Luftdruck E5 Pa; Wasserleitung 400 kpa s s dv dw Hydraulische Presse nn. Inkomressibilität, Schwerkraft (lüssigkeit) ernachlässigbar ds ds dv dw ds ds Gesamter Hydrostatischer Druck 0 Die Betrachtung der Druckerhältnisse in einer ruhenden lüssigkeit muss erollständigt werden indem wir auch den Schweredruck berücksichtigen. Dazu benutzen wir den Begriff der Dichte () = Masse (m) / Volumen (V) ein. mg h g S h g Der Schweredruck ( S ) hängt nur on der Höhe lüssigkeitssäule und on der Dichte ( ) ab. h* 3 In nach oben geöffneten Gefäßen wirkt zusätzlich der äußere atmoshärische Druck ( ) auf die lüssigkeitsoberfläche. ür den gesamten hydrostatischen Druck () gilt dann: h g h =m*.g Das hydrostatische Paradoxon

3 Messung des atmoshärischen Druckes ( ) mit dem Barometer Der Luftdruck wird auch manchmal in Torr angegeben ( Torr= mm Hg. 760Torr = 035 Pa. Der Luftdruck hängt om Wetter und der Höhe ab. Torricelli beobachtete, dass das Hg-Nieau in geschlossenen Glasröhren immer gleich ist. Das Prinzi des rchimedes uf einen in einer lüssigkeit eingetauchten Körer wirkt eine uftriebskraft, deren Betrag gleich der Gewichtskraft der erdrängten lüssigkeitsmenge ist. m L g L uftriebskraft V g m K Körer l Körer sinkt räometer K m K g l Körer l Körer schwebt Körer l Körer schwimmt 3

4 4 HYDRODYNMIK Zur Vereinfachung der Überlegungen nehmen wir an, dass:. Die lüssigkeit ist inkomressibel. Es wirken keine Kräfte zwischen den Molekülen der lüssigkeit DIE KONTINUITÄTSGLEICHUNG s m t V I V s s W 3 Strömung ideale lüssigkeit s s Volumenstrom t s t s I DIE BERNOULLISCHE GLEICHUNG Durch die nnahme, dass eine reibungsfreie Strömung orliegt können Energieumwandlungen nur zwischen der kinetischen und otentiellen Energie erfolgen. ) ( ) ( m E h h mg E kin ot Zwischen Position und gibt es eine Differenz an otentieller und kinetischer Energie. Dieser Energiezuwachs stammt on der Netto-Volumenarbeit:: ) ( ) ( ) ( / ) ( m h h mg V V m und weil V s s W h g h g Das ist die Energieerhaltung!

5 Die lüssigkeit strömt durch eine Verengung. Wie hoch ist der Druck in der lüssigkeit in der Verengung? gh gh ( ), wegen ist Nach dem Prinzi: Erzeugung des Unterdruckes durch hohe Strömungsgeschwindigkeiten funktionieren iele Vorrichtungen. - Konsequenz der Bernoullischen Gleichung und nwendungen Zerstäuber groß klein h läche t läche t wenn g ( h g h 0 h ) 5

6 Strömungsorg mungsorgänge nge in lüssigkeiten und Gasen Laminare und turbulente Strömungen Kräfte auf Körer in Strömungen Widerstrandsbeiwert Tragflügel Strömende lüssigkeiten (Gase) Hydrodynamik beschreibt das Strömen on lüssigkeiten in Röhren bzw. das Umströmen on Körern. Das Strömen on lüssigkeiten wird durch innere und durch äußere Kräfte erursacht. Äußere Kräfte: Schwerkraft, Druckdifferenzen zwischen erschiedenen Strömungsquerschnitten. Sie wirken auf jedes Volumselement des luides. Innere Kräfte wirken nur bei realen lüssigkeiten. Sie sind für die Viskosität erantwortlich und werden Reibungskräfte genannt. 6

7 Innere Reibung in lüssigkeiten und Gasen Reibung - hysikalische Kraft, die einer Relatibewegung zwischen zwei einander berührenden Körern entgegenwirkt. Innere Reibung tritt auf bei Bewegung der tome bzw. Moleküle eines Stoffes gegeneinander. Innere Reibung bewirkt die Zähigkeit (Viskosität) in lüssigkeiten und Gasen. Die innere Reibung kann ähnlich der Reibung zwischen festen Körern mittels einer Reibungskraft beschrieben werden. Diese Reibungskraft behindert die relatie Bewegung zwischen den lüssigkeitsteilchen. z ; z z ; N s m z Pa s Viskosität () Stoffeigenschaft einer lüssigkeit resultiert und ist abhängig on den zwischen den Molekülen wirkenden Kräften. charakterisiert das ließerhalten einer lüssigkeit beim ließen gleiten die Moleküle aneinander orbei Tyische Viskositätswerte (in mpa.s bei 0 C) Was assiert also bei der realen Rohrströmung? Es gibt ein Druckabfall entlang des Rohres (Kaillare) 7

8 Hagen-Poiseuillesches Gesetz Bei einer Strömung durch eine Röhre haftet die äußere Schicht der lüssigkeit an der Rohwand. Damit die nächste lüssigkeitsschicht orbeiströmt erzeugt der Druck eine Kraft die der Schicht eine Geschwindigkeit erteilt. Daraus resultiert, dass Geschwindigkeit im Zentrum am höchsten ist und nimmt zu den Wänden hin ab. Das Strömungsrofil wird arabolisch (für sog. laminare Strömung). Q V Die Volumsstromstärke (Volumen / Zeit) durch eine Röhre mit Radius R und Länge l bei einer gegebenen Druckdifferenz ist gegeben durch: Volumen Zeit R 8 l 4 Beim Durchfließen der Röhre hängt die Durchflußmenge on der 4-Potenz des Radius ab.. Durchflußmenge ist roortional der Druckdifferenz. Durchflußmenge ist umgekehrt roortional zu der Rohrlänge und Zähigkeit 3. Durchflußmenge ist roortional zu der 4. Potenz des Radius des Rohres Q R 4 l Punkt 3 bedeutet, dass bei gegebener Länge und Druck, jedoch bei halbem Radius die Durchflußmenge auf /6, das sind 6.6% sinkt. Bedeutung für den Bluttransort im Körer: das Blut strömt om Herzen über die orta und über erschieden lange und dicke rterien bis in dierse Organe. Die Kaillaren mit etwa 8 m Durchmesser sind die kleinsten Blutgefäße, jedoch findet der größte Druckabfall in den sog. rteriolen statt. Der Durchmesser der rteriolen ist Dank der Muskelhülle eränderlich. Wird ein Gefäß um 0% erweitert, so ändert sich sein Radius on R auf. R. Das bedeutet eine Vergrößerung des Volumenstromes um mehr als das Doelte: (, R) 4 / R 4,07 8

9 Druckerteilung beim Menschen Beim liegen ist die Druckerteilung in den großen rterien ziemlich homogen (etwa 00 Torr = 33 mbar). Im Stehen ist die Druckerteilung aufgrund des Schweredruckes des Blutes inhomogen. Laminare Strömung Die Geschwindigkeit der lüssigkeitsschichten on der Wand bis zur chse des Rohres nimmt kontinuierlich zu. Laminare Strömungen haben ein arabolisches Strömungsrofil. Die lüssigkeitsteilchen unmittelbar an der Gefäßwand sind in Ruhe. Die Stromlinien erlaufen arallel. Die mittlere Geschw. = max / Im Rohr Umströmung einer Kugel (Uni Leizig) 9

10 Turbulente Strömung Steigt die Stömungsgeschwindigkeit an, beginnen sich die lüssigkeitsschichten zu erwirbeln - es entsteht eine turbulente Strömung. Das Geschwindigkeitsrofil flacht ab, da sich die lüssigkeitsteilchen auch quer zur Rohrachse bewegen. Der Strömungswiderstand steigt an. Der Übergang in die turbulente Strömungsform hängt on der Viskosität, on der Dichte, om Gefäßradius und on der mittleren Geschwindigkeit der Strömung ab. Turbulente Umströmung einer Kugel Die Reynoldszahl Re Re - eine nach dem Physiker Reynolds benannte dimensionslose Kennzahl einer Strömung. Sie stellt das Verhältnis on Trägheits- zu Reibungskräften (Zähigkeit) dar. Re d - Dichte des Mediums - Zähigkeit des Mediums Strömungsgeschwindigkeit d charakteristische Länge Überschreitet die Reynoldszahl einen kritischen Wert wird eine bis dahin laminare Strömung anfällig gegen kleinste Störungen. Oberhalb des kritischen Wertes gibt es dann einen Umschlag on laminarer zur turbulenten Strömung. Dieser Wert beträgt tyischerweise Re (kritisch)~ Praktische ormulierung on Re für Luft (NTP) - chtung Einheiten: Re 6,6.. d ( in (cm/s); d in (cm) 0

11 Luftwiderstand (Widerstandskraft) W c W... Luftdichte in kg/m 3 c W... Luftwiderstandsbeiwert (dimensionslos)... Stirnfläche in m... Geschwindigkeit in m/s

12 Kräfte am Tragflügel c d c Zugkraft d Widerstrandskraft Wieso gibt es diese Druckunterschiede? Tragfläche - Druckeränderung durch unterschiedliche nstellwinkel

13 Lilienthal Polardiagramm. Bestimmung des nstellwinkels c S W cw S Oberflächensannung und Kaillarität hoto by Harold Dais 3

14 Oberflächensannung Eine lüssigkeit wird on anziehenden Kräfte, welche zwischen benachbarten Molekülen wirken, den Kohäsionskräften, zusammengehalten. Molekül im Inneren der lüssigkeit - seine Nachbarmoleküle sind allseitig etwa gleichmäßig erteilt. Damit heben sich die auf das betrachtete Teilchen wirkenden Kräfte auf die resultierende Kraft ist im Mittel Null. Molekül nahe bei der Oberfläche hier fehlt ein Teil der Wechselwirkungen mit anderen Molekülen der lüssigkeit. Wechselwirkung mit den Molekülen des darüberliegenden Gases findet statt - diese Kräfte sind i.a. schwächer resultierende Kraft auf das Molekül ist nach innen, senkrecht zur Oberfläche gerichtet. Um ein Molekül aus dem Inneren der lüssigkeit an die Oberfläche zu bringen, muß gegen die Resultierende der molekularkräfte rbeit geleistet werden - es bedarf einer zusätzlichen Energie. Der umgekehrte Vorgang ist mit einem Gewinn on Energie erbunden die Oberflächenmoleküle haben das Bestreben, die lüssigkeitsoberfläche klein zu halten Minimalflächen MINIML - LÄCHEN 4

15 Vergrößert man die Oberfläche einer lüssigkeit, so muss man - eben aufgrund der Oberflächensannung - eine rbeit errichten. Die Oberflächensannung wird nun so definiert: Der Quotient aus der rbeit, die zur Vergrößerung der Oberfläche errichtet werden muss zu dem Oberflächenzuwachs. Die Oberflächensannung kann daher auch als Oberflächenenergie bezeichnet werden. l W x x l l N m x Einige Werte bei 0 C für die Oberflächensannungen : ceton 3.3 mn/m; Quecksilber 476 mn/m; Wasser 7.75 mn/m Kaillarität Durch die Oberflächensannung erursachtes Verhalten on lüssigkeiten in engen Röhren (Hohlräumen). Beim (senkrechten) Eintauchen einer engen Röhre (Kaillare) in eine benetzende lüssigkeit, z. B. Glas in Wasser, steigt die lüssigkeit in dem Kaillarrohr hinauf (Kaillaraszension). ür eine nicht benetzende lüssigkeit, z. B. Quecksilber, sinkt diese im Kaillarrohr ab und steht dort tiefer als die lüssigkeit außerhalb der Kaillare (Kaillarderession). Die Ursache für diese Phänomene ist das Verhältnis on Kohäsionskräften zwischen den lüssigkeitsmolekülen und dhäsionskräften zwischen lüssigkeit und Kaillarwand. 5

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