[ 2 ] Die Zufallsvariablen X und Y haben die in der Tabelle gegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion

Transkript

1 Paare von Zufallsvariablen Kapitel : Paare von Zufallsvariablen A: Übungsaufgaben: [ ] Die Zufallsvariable X kann die Werte, 2 und die Zufallsvariable Y die Werte 0,, 2 annehmen. Die gemeinsame Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen sei an diesen Stellen gegeben: s \t 0 2 /4 7/6 /2 2 /2 3/4 Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle an. Tragen Sie zusätzlich die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen ein. x \ y 0 2 P (x) 2 P 2 (y) [ 2 ] Die Zufallsvariablen X und Y haben die in der Tabelle gegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x,y). x \ y 2 3 /6 /6 2/ /6 0 Geben Sie eine Tabelle für die gemeinsame Verteilungsfunktion an: s \t Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y, also P 2 (y), an. y 2 3 P 2 (y) Geben Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gegeben X =, also P 2 (y ), an. y 2 3 P 2 (y )

2 Paare von Zufallsvariablen 2 [ 3 ] Eine Urne enthalte 2 rote, 2 weiße und 6 schwarze Kugeln. Man zieht zwei Kugeln mit Zurücklegen. X bezeichne die Zahl der roten, Y die Zahl der weißen Kugeln. Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle der Zufallsvariablen X und Y an: x \ y [ 4 ] Gegeben sei folgende unvollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle der diskreten Zufallsvariablen X und Y. Außerdem gilt: EX = 3/4. x \ y 2 P (x) 0 /4 /4 2 3/6 P 2 (y) /2 a) Vervollständigen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle. b) Berechnen Sie: P(X < 2, Y = 2) = P(X > 0, Y = 2) = P 2 (X = 2 Y = 2) =

3 Paare von Zufallsvariablen 3 [ 5 ] Gegeben sei die folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle: x \ y Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? a) P 2 (y) = P 2 (y x) x für alle x, y b) P 2 (y x) P(x,y) für alle x, y c) P 2 (y) = P(x,y) x für alle x, y d) P(0,) = P 2 () e) P 2 (y x) = für alle x y [ 6 ] Gegeben sei die folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle: x \ y 2 P (x) P 2 (y) Hinweis: Es ist nützlich die obige Tabelle für die folgenden Berechnungen zunächst zu vervollständigen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X = 2, also P (2). P (2) = b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit Y = 2 gegeben X = 3, also P 2 (2 3). P 2 (2 3) =

4 Paare von Zufallsvariablen 4 [ 7 ] Für zwei auf derselben Ergebnismenge definierte Zufallsvariablen X und Y sei folgende unvollständige Wahrscheinlichkeitstabelle gegeben: y \ x - 0 P 2 (y) P (x) 0.2 Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X: F(x) = [ 8 ] Die Zufallsvariablen X und X 2 seien unabhängig und identisch verteilt und haben die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: x i P i (x i ) a) Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle von X und X 2 an. x \ x b) Geben Sie außerdem die gemeinsame Verteilungsfunktion in Form einer Tabelle an. s \t

5 Paare von Zufallsvariablen 5 [ 9 ] Die Zufallsvariablen X und Y haben die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle: x \ y 0 2 P (x) 0 /6 /2 /2 /3 /3 /6 /6 2/3 P 2 (y) /2 /4 /4 a) Geben Sie den Korrelationskoeffizienten ρ mit möglichst geringem Berechnungsaufwand an. ρ = b) Geben Sie P 2 (X = 0 Y = 2) an. P 2 (X = 0 Y = 2) = [ 0 ] Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y besitzen die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion: für x,y = 0,,2,3,4 P(x,y) = 25 Berechnen Sie E X, E Y und E XY. E X = E Y = E XY = Geben Sie die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von X an. x P (x) Sind X und Y unabhängig? (Ja / Nein) (Ja / Nein):

6 Paare von Zufallsvariablen 6 [ ] Vervollständigen Sie folgende unvollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle P(x,y): x \ y P (x) P 2 (y) 0.40 Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert von X, gegeben Y = 0. E(X 0) = Berechnen Sie die bedingte Varianz von Y, gegeben X = 6. Var(Y 6) = [ 2 ] Alle Teilnehmer an einem Ausbildungskurs legten vor Beginn des Kurses einen Eignungstest ab. Im Modell bedeutet die Zufallsvariable Y die Punktzahl im Eignungstest (y =, 2, 3, 4, 5, 6) und die Zufallsvariable X Erfolg (x = ) und Misserfolg (x = 0) bei der Ausbildung. Aufgrund der Beobachtungen wurde eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x, y) postuliert. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) P(0, ) ist die Wahrscheinlichkeit im Eignungstest Punkt zu erzielen und bei der Ausbildung nicht erfolgreich zu sein. b) P 2 (0 y) gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei der Ausbildung zu versagen, wenn man beim Eignungstest genau y Punkte erhielt (y =, 2,, 6). c) Es gilt: P 2 (0 ) + P 2 (0 2) + + P 2 (0 6) =. d) Es gilt: P 2 (0 ) P 2 () = P(0,). e) Würde man genau die Bewerber zur Ausbildung zulassen, die 6 Punkte im Eignungstest erzielen, so würde man ungefähr 00 P 2 (6) Prozent der Bewerber zur Ausbildung zulassen.

7 Paare von Zufallsvariablen 7 [ 3 ] Die Zufallsvariable U nehme die Werte und 3 an; die Zufallsvariable V die Werte 2 und 4. Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt: P (U = ) = 0.4; P 2 (V = 2) = 0.3; P 2 (V = 2 U = ) = 0.5. Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle der Zufallsvariablen U und V einschließlich der Randwahrscheinlichkeitsfunktion an: u \ v 2 4 P (u) 3 P 2 (v) b) Geben Sie den Erwartungswert des Produktes U V an. E UV = [ 4 ] Für zwei Zufallsvariablen X und Y sind die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen P 2 (x y) und die Randwahrscheinlichkeitsfunktion P 2 (y) wie folgt gegeben: x P 2 (x Y = ) P 2 (x Y = 2) Ermitteln Sie daraus die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle. y 2 P 2 (y) x \ y 2 2 3

8 Paare von Zufallsvariablen 8 [ 5 ] Ein Zufallsexperiment bestehe aus dem Werfen einer idealen Münze und eines idealen Würfels. Die Zufallsvariable X sei definiert als { falls die Münze Kopf zeigt X := Y sei die gewürfelte Augenzahl. Geben Sie die Kovarianz Kov(X,Y ) der beiden Zufallsvariablen an. Kov(X,Y ) = [ 6 ] Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y haben eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x,y) und die einzelnen Wahrscheinlichkeitsfunktionen P (x) und P 2 (y). Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) yp 2 (y) = xp (x) y x b) P (x) = P(x, y) y c) P(x,y) = x y d) P(x,y) = P (x) + P 2 (y) e) P(x,y) > 0 für alle (x,y) IR 2 [ 7 ] Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig verteilt. Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion sowie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y sind unvollständig gegeben: x \ y 2 3 P (x) /4 2 P 2 (y) /2 /4

9 Paare von Zufallsvariablen 9 [ 8 ] Aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X und Y sei die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y, gegeben X = 2, wie folgt berechnet: y 2 P 2 (y X = 2) Außerdem sei bekannt: P (2) = /2 und P(,2) = /2. Beide Variablen nehmen ausschließlich die Werte und 2 an. Berechnen Sie P 2 (). P 2 () = [ 9 ] Ein zusammengesetztes Zufallsexperiment bestehe aus dem Werfen eines idealen Würfels und dem Werfen einer idealen Münze. Es seien folgende Zufallsvariablen definiert: 0 wenn die geworfene Augenzahl oder 2 ist X := wenn die geworfene Augenzahl 3 oder 4 ist 2 wenn die geworfene Augenzahl 5 oder 6 ist Y := { 0 wenn die Münze Kopf zeigt wenn die Münze Zahl zeigt Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P der Zufallsvariablen X und Y an. P(x,y) =

10 Paare von Zufallsvariablen 0 [ 20 ] Von einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x, y) der Variablen X Y (y =,2,3) sind folgende Werte bekannt: (x = 0,, 2) und P(0,2) = P(,) = P(2,2) = 0.05 P(0,3) = P(2,) = Von den Randwahrscheinlichkeitsfunktionen P (x) und P 2 (y) kennt man die Werte: P () = 0.88; P 2 (2) = 0.78; und P 2 (3) = Erstellen Sie eine zwei-dimensionale Wahrscheinlichkeitstabelle für X und Y und berechnen Sie die fehlenden Werte! x \ y 2 3 P (x) 0 2 P 2 (y) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gegeben X = 2. P 2 (y 2) = [ 2 ] Gegeben sei die folgende Wahrscheinlichkeitstabelle der Zufallsvariablen X und Y : x \ y 0 4 P (x) - /0 2/0 0 3/ /0 2/0 4/0 /0 0 2/0 3/0 P 2 (y) /5 2/5 2/5 Berechnen Sie: Var X = ρ =

11 Paare von Zufallsvariablen [ 22 ] Die Verteilungsfunktion F(t) = P(X t) einer diskreten Zufallsvariablen ist wie folgt gegeben: F(t) t Für eine zweite Zufallsvariable Y gilt Y = + 2 X. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y an. P(y) = b) Ermitteln Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion F(s,t). s \t c) Berechnen Sie die Varianzen von X und Y, sowie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten. Var X = VarY = Kov(X,Y ) = ρ =

12 Paare von Zufallsvariablen 2 [ 23 ] Die Zufallsvariablen X und Y haben folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle: x \ y Berechnen Sie Kov(X,Y ) Kov(X,Y ) = [ 24 ] Gegeben sei die folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle der Zufallsvariablen X und Y : y \ x 0 4 P 2 (y) - /0 2/0 0 3/ /0 2/0 4/0 /0 0 2/0 3/0 P (x) /5 2/5 2/5 Berechnen Sie: VarY = Kov(X,Y ) =

13 Paare von Zufallsvariablen 3 [ 25 ] Beim einmaligen Ausspielen eines echten Würfels sei i die Augenzahl. Die Zufallsvariablen X und Y sind wie folgt definiert: { für i =,3,5 X(i) := { für i = 5,6 Y (i) := Erstellen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle für X und Y und geben Sie dann die Kovarianz an: x \ y 0 P 2 (x) 0 P (x) Kov(X,Y ) = [ 26 ] Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei: { 2y xy für 0 x 2, 0 y f (x,y) = a) Bestimmen Sie die Randdichte von Y. f 2 (y) = für b) Berechnen Sie die Kov(X,Y ). ( { Hinweis: f (x) = 2 x für 0 x 2 ) Kov(X,Y ) =

14 Paare von Zufallsvariablen 4 [ 27 ] Zwei Zufallsvariablen X und Y seien gemeinsam stetig verteilt mit der gemeinsamen Dichtefunktion f : IR 2 IR. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) P(x < X < x 2 ) = x 2 y 2 y f (x,y)dxdy b) P(X = x o, Y y ) = 0 c) 0 0 f (x,y)dxdy = d) f (x,y) > 0 für alle x,y IR y 2 x 2 e) P(x X x 2, y Y y 2 ) = f (x,y)dxdy x y [ 28 ] Zwei stetige Zufallsvariable X und X 2 haben folgende Dichtefunktion: für 0 x 2 und 0 x 2 2 f (x,x 2 ) = 4 Berechnen Sie: a) P(X,X 2 ) = b) P(X 2 > X ) =

15 Paare von Zufallsvariablen 5 [ 29 ] Welche der folgenden Funktionen ist eine gemeinsame Dichtefunktion? Kreuzen Sie sie an. x + 3y für 0 x, 2 y 0 a) f (x,y) = 2 { (6 x 0y) b) f (x,y) = 8 für 0 x 4, 2 y 4 { (6 x y) c) f (x,y) = 8 für 0 x 2, 2 y 4 { d) f (x,y) = 2 (x x2 ) für 0 x, 0 y für 0 x, 0 y 2 e) f (x,y) = 2 [ 30 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) f (x) = + f (x,y)dy b) P 2 (y) = P(x, y) x c) P(X s, Y t) = x s, y t P(x,y) d) f 2 (x y) = f (x,y)/ f 2 (y), wenn f 2 (y) 0 e) P(X a,y b) = f (x,y)dxdy a b [ 3 ] X und Y sind gemeinsam verteilte stetige Zufallsvariablen. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) E(Y x) = xy f (x,y)dxdy b) Sind X und Y unabhängig, dann gilt: EX Y = EX EY c) y f (x,y)dy = E(Y x) d) e) y f 2 (y x)dy = E(Y x) y f (x,y) f 2 (y) dy = E(Y x)

16 Paare von Zufallsvariablen 6 [ 32 ] Gegeben seien zwei stetig verteilte Zufallsvariable X und Y mit der gemeinsamen Dichtefunktion: { 3 f (x) = 2 x2 y 0 x ; 0 y 2 Wie lautet die (Rand-)Dichtefunktion f (x) der Zufallsvariablen X? f (x) = für Bestimmen Sie die bedingte Dichte von Y gegeben x. f 2 (y x) = für Bestimmen Sie P 2 (Y < X = ). P 2 (Y < X = ) = [ 33 ] Gegeben sei die gemeinsame Dichte der beiden Zufallsvariablen X und Y : f (x, y) = 2π e 2 (x2 +y 2 ) < x, y < Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Zufallsvariablen X und Y sind gemeinsam normalverteilt. b) Die bedingte Dichte für Y, gegeben x lautet: f 2 (y x) = e y2 2 2π c) Die Zufallsvariablen X und Y jeweils N(0,) verteilt. d) Die Zufallsvariablen X und Y haben unterschiedliche Varianzen. e) Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig.

17 Paare von Zufallsvariablen 7 [ 34 ] Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei { xy für 0 x ; 0 y 2 f (x,y) = Bestimmen Sie P(X 0.2) und f 2 (y x). P(X 0.2) = f 2 (y x) = für [ 35 ] Gegeben sind die stetigen Zufallsvariablen X und Y. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) P(a X b, c Y d) wird durch den entsprechenden Rauminhalt unter der gemeinsamen Dichte von X und Y dargestellt. b) Der Rauminhalt unter der bedingten Dichte f (x Y = y) ist Eins. c) Der Rauminhalt unter jeder Randdichte der gemeinsamen Verteilung von X und Y ist Null. d) Der Flächeninhalt unter bedingten Dichtefunktionen stetiger Zufallsvariablen ist Eins. e) Der Rauminhalt unter der gemeinsamen Verteilungsfunktion von X und Y ist Eins. [ 36 ] Zwei Zufallsvariablen X und Y sind gemeinsam normalverteilt und besitzen die folgende Dichtefunktion f (x, y): f (x, y) = 2πσ X e 2 x2 σ 2 X +(y µ Y ) 2 Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Randverteilung von X ist die Standardnormalverteilung. b) X und Y sind unkorreliert. c) f 2 (y x) = 2π e 2 (y µ Y ) 2 d) Die bedingte Dichte von x gegeben y ist von dem gegebenen y-wert abhängig. e) Z = Y µ Y. Z ist standardnormalverteilt.

18 Paare von Zufallsvariablen 8 [ 37 ] Gegeben sei die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X und Y. { x + 3y für 0 x ; 0 y f (x,y) = 2 Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P 2 (X < 0.2 Y = 0.5). P 2 (X < 0.2 Y = 0.5) = [ 38 ] Die Zufallsvariablen X und Y seien gemeinsam zweidimensional normalverteilt mit der Dichtefunktion f (x, y) = 2π ρ e 2( ρ 2 ) (x2 2ρ xy+y 2 ) 2 Geben Sie die Werte der Parameter der Randdichte f (x) an. für < x, y < Die Werte der Parameter: [ 39 ] Die Zufallsvariablen X und Y sind beide normalverteilt und haben die gemeinsame Dichte f (x,y) = c e x2 /2 e y2 /2 (c ist Konstante) Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) X und Y sind unabhängig. b) X und Y haben die Korrelation Null. c) X hat eine N(0,)-Verteilung. d) Man kann nicht feststellen, ob X und Y unabhängig sind. e) Die bedingte Dichte von Y, gegeben X, ist gleich der Randdichte von Y.

19 Paare von Zufallsvariablen 9 [ 40 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte f (x, y) sind unabhängig verteilt, wenn f (x,y) = f (x) f 2 (y) für alle x,y gilt. b) Zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte f (x, y) sind unabhängig verteilt, wenn f 2 (x y) = f (x) für alle möglichen Werte von x und y gilt. c) Wenn zwei Zufallsvariablen unabhängig verteilt sind, ist der Korrelationskoeffizient ihrer gemeinsamen Verteilung entweder + oder. d) Sind Beobachtungen (x i,y i ), i =,2...,n, gegeben, so daß im Modell X und Y als Zufallsvariablen angesehen werden können, so kann man den Korrelationskoeffizienten der gemeinsamen Verteilung von X und Y durch ρ = (x i y i nxy)/ ( xi 2 nx2 ) ( y 2 i ny2 ) schätzen. e) Das in d) gegebene ρ ist ein Parameter der gemeinsamen Verteilung von X und Y. [ 4 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Aus der gemeinsamen Verteilung zweier Zufallsvariablen lassen sich immer die Randverteilungen bestimmen. b) Die gemeinsame Verteilung zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist stets das Produkt der Randverteilungen. c) Sind die Randverteilungen zweier Zufallsvariablen bekannt, so läßt sich immer die gemeinsame Verteilung bestimmen. d) Die gemeinsame Verteilung zweier Zufallsvariablen ist die Summe der beiden Randverteilungen. e) Die gemeinsame Verteilung heißt auch bedingte Verteilung. [ 42 ] Zwei stetige Zufallsvariablen X und Y haben die gemeinsame Dichte f (x, y). Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Fläche über der x-achse und unter dem Graphen von f 2 (3 x), aufgefasst als Funktion von X, ist Eins. b) Die Wahrscheinlichkeit, daß X = 0 und gleichzeitig Y = 0 ist, ist Null. c) Man kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {a < X b, c < Y d} aus f (x,y) berechnen. d) f 2 (y x) ist die gemeinsame Dichte zweier Zufallsvariablen. e) Aus f (x, y) kann man durch Integration über Y die Dichte der Zufallsvariablen X erhalten.

20 Paare von Zufallsvariablen 20 [ 43 ] X und Y seien zwei stetige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f (x, y). Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) P(a X b, c Y d) = f (x,y)dxdy b) Die Kovarianz ist, abgesehen von den Momenten der Randverteilungen, das wichtigste Moment der gemeinsamen Verteilung von X und Y. c) Kennt man die Randdichten von X und Y, so kann man immer die gemeinsame Dichte f (x, y) berechnen. d) Kennt man die gemeinsame Dichte von X und Y, so kann man immer die Randdichten von X und Y berechnen. e) Für die bedingte Dichte von X, gegeben y, gilt: f 2 (x y)dx =. [ 44 ] Zwei gemeinsam stetig verteilten Zufallsvariable X und Y besitzen folgende gemeinsame Dichtefunktion f (x,y) : { (6 x y) f (x,y) = 8 für 0 x 2; 2 y 4 Wie lautet die Randdichtefunktion der Zufallsvariablen Y? f 2 (y) = für Bestimmen Sie die bedingte Dichte von X, gegeben Y = 3. f 2 (x Y = 3) = für Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(X Y = 3). P(X Y = 3) =

21 Paare von Zufallsvariablen 2 [ 45 ] Nehmen Sie an, die Zufallsvariablen (X,Y ) seien zweidimensional normalverteilt, also (X,Y ) N(0;20;2 2 ;5 2 ;0.5). Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Y N(20,5 2 ). b) Die bedingte Varianz von Y, gegeben X = 8, ist gleich. c) Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig verteilt. d) Der Erwartungswert von X ist 0. e) Der bedingte Erwartungswert von X, gegeben Y = 0, ist kleiner 0. HINWEIS: Der bedingte Erwartungswert und die bedingte Varianz von X, gegeben Y = y, sind durch folgende Formeln gegeben: E (X Y = y) = µ x + ρσ x (y µ y )/σ y und Var (X Y = y) = σx 2 ( ρ 2 ). [ 46 ] Die Zufallsvariablen (X,Y ) seien zweidimensional normalverteilt, also (X,Y ) N(µ x ; µ y ;σ 2 x ;σ 2 y ;ρ). Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Sind X und Y unkorreliert (d.h. ρ = 0), so sind X und Y auch unabhängig verteilt. b) Ist ρ 0, gilt Var(Y X = x) > Var(Y ). c) Die bedingte Erwartungswert von Y, gegeben X = x, ist einen Gerade, deren Steigung negativ ist, falls ρ > 0. d) Falls ρ fast - ist, kann man den Wert von Y fast genau aus dem Wert von X vorhersagen. e) Falls ρ = 0 ist, ist Y, gegeben X = x, N(µ y ;σ 2 y )-verteilt. [ 47 ] Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei { (3x + 4y 2xy) f (x,y) = 3 für 0 x ; 0 y Die Randdichtefunktionen lauten: { 2 (x + ) f (x) = 3 für 0 x f 2 (y) = Berechnen Sie P(X /2) und P(X /2 Y = 3/4). { y + für 0 y 2 P(X /2) = P(X /2 Y = 3/4) =

22 Paare von Zufallsvariablen 22 [ 48 ] Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei { xy für 0 x ; 0 y c f (x,y) = Bestimmen Sie den Wert für c und P(Y ). c = P(Y ) = [ 49 ] Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei { /c für 0 x 3; 0 y 3 f (x,y) = Ermitteln Sie den Wert für c, und geben Sie E X, den Erwartungswert der Zufallsvariablen X an. c = E X = [ 50 ] Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei { 0.05 für 0 x 4; 0 y 5 f (x,y) = Bestimmen Sie die zugehörige gemeinsame Verteilungsfunktion F(x,y). F(x,y) =

23 Paare von Zufallsvariablen 23 [ 5 ] Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei { /6 für 2 x 5; y 3 f (x,y) = Berechnen Sie P(X 3, Y 2) und P(X = 4, Y >.5). P(X 3, Y 2) = P(X = 4, Y >.5) = [ 52 ] Gegeben seien zwei stetige Zufallsvariablen X und Y mit der gemeinsamen Dichtefunktion { 2y xy für 0 x 2; 0 y f (x,y) = Berechnen Sie E(XY ), den Erwartungswert des Produktes von X und Y. E(XY ) = [ 53 ] Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei wie folgt gegeben: f (x,y) = { xy + 3y für 0 x ; 0 y 2 Berechnen Sie die bedingte Dichtefunktion von Y, gegeben X = 0.5. f (2 ) (y 0.5) = für

24 Paare von Zufallsvariablen 24 [ 54 ] Zwei auf demselben Ereignisraum definierte Zufallsvariablen X und Y haben die Wertebereiche {;3} bzw {2;4}. Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt: P (3) = 0.6; P 2 (4) = 0.7; P 2 (4 3) = 5/6. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariablen X bzw. Y und die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Zufallsvariablen an: x \ y 2 4 P (x) 3 P 2 (y) b) Sind X und Y sind unabhängig? (Ja / Nein)= c) Berechnen Sie E X, E Y und E XY : E X = E Y = E XY = d) Berechnen Sie die Kovarianz von X und Y. Kov(X,Y ) = [ 55 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Zwei stetige Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn ihre gemeinsame Dichte f (x,y) gleich dem Produkt der Randdichten f (x) und f 2 (y) ist. b) Sind zwei Zufallsvariablen X und Y unabhängig, so kann man die Voraussage von Y durch den zugehörigen Wert von x verbessern. c) Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zweier gemeinsam normalverteilter Zufallsvariablen. d) Sind zwei stetige Zufallsvariablen X und Y unabhängig, so ist die bedingte Dichte von X, gegeben y, gleich der Randdichte von Y. e) Ist der Korrelationskoeffizient von zwei gemeinsam normalverteilten Zufallsvariablen X und Y negativ, so treten im allgemeinen große Werte von X mit kleinen Werten von Y auf.

25 Paare von Zufallsvariablen 25 [ 56 ] Zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y besitzen folgende Randwahrscheinlichkeitsfunktionen: für x = für y = für x = 2 für y = P (x) = 8 P 2 (y) = 2 5 für x = 3 für y = Geben Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P 2 (2 ) an. P 2 (2 ) = Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion an. x \ y [ 57 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. X und Y seien stetige Zufallsvariablen. a) f (x) = f (x,y)dy b) f 2 (y x) = f (x,y) f (x), wenn f (x) 0 c) Sind X und Y gemeinsam normalverteilt, so ist auch die bedingte Verteilung von X, gegeben y, eine Normalverteilung. d) Sind X und Y unabhängig, so gilt f 2 (y x) = f 2 (y) e) Es gilt stets f (x,y) = f (x) f 2 (y)

26 Paare von Zufallsvariablen 26 [ 58 ] X und Y seien diskrete Zufallsvariablen, die die Werte,2,... annehmen können. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Aus P 2 (x y) P 2 (y) = P(x,y) kann auf die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X und Y geschlossen werden. b) Sind X und Y unabhängig, so gilt: P 2 (x y) = P (x). c) P 2 (x y) =. y= d) P 2 (3 4) ist die Wahrscheinlichkeit, dass X = 3, wenn Y = 4 ist. e) Gilt P(x,y) = P (x) P 2 (y) für alle x und y, so sind X und Y unabhängig. [ 59 ] Die diskreten Zufallsvariablen X und Y nehmen nur die Werte 0,, 2 an und sind unabhängig verteilt. Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion sei P(x,y) und es ist bekannt, dass x \ y 0 2 P (x) P 2 (y) Berechnen Sie die P(,0): P(,0) = [ 60 ] Im Zusammenhang mit der gemeinsamen Verteilung zweier stetiger Zufallsvariablen sind welche der folgenden Aussagen WAHR? Kreuzen Sie sie an. d b a) P(a X b,c Y d) = f (x,y)dxdy b) f (x) = f (x,y)dy c a c) f 2 (y x) f (x) = f 2 (x y) f 2 (y) d) Sind X und Y unabhängig verteilt, so gilt f 2 (y x) = f (x) für alle y e) Wenn f (x,y) = f (x) f 2 (y) für alle x,y, so sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig verteilt.

27 Paare von Zufallsvariablen 27 [ 6 ] Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig. { 2x 0 x X besitze die Dichte f (x) = { /2y 0 y 2 Y besitze die Dichte f 2 (y) = f (x,y) = für [ 62 ] Die Zufallsvariablen X,Y haben eine gemeinsame Verteilung. Welche der folgenden Aussagen über den Korrelationskoeffizienten ρ = Korr(X,Y ) sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Ist ρ =, dann sind die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig. b) Ist ρ = 0, dann sind die Zufallsvariablen unkorreliert. c) Ist ρ = 0, dann sind die Zufallsvariablen unabhängig. d) Ist ρ =, dann stehen die Zufallsvariablen in einer Beziehung Y = ax + b, wobei a eine negative Zahl ist. e) Ist ρ = 0, dann sind gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen stochastisch unabhängig.

28 Paare von Zufallsvariablen 28 [ 63 ] X und Y seien zwei diskrete, unabhängige Zufallsvariablen. Bekannt ist die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y. P 2 (y) = Berechnen Sie den Erwartungswert von Y, gegeben x. /2 für y = 0 /4 für y = /4 für y = 2 E (Y x) = Geben Sie die Varianz von Y, gegeben x, an. Var (Y x) = [ 64 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) Bei unabhängigen Zufallsvariablen X (x =, 2) und Y (y = 0,, 2, 3) ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gegeben X = gleich der bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y, gegeben X = 2. b) Sind die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen von X und Y bekannt, so lassen sich auch die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen bestimmen. c) Sind die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen von X und Y bekannt und die beiden Zufallsvariablen unabhängig, so lassen sich auch die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen bestimmen. d) Beeinflussen die Ausprägungen der Zufallsvariablen X nicht die Wahrscheinlichkeiten für die Ausprägungen der Zufallsvariablen Y, so ergibt sich die gemeinsame Verteilung aus dem Produkt der jeweiligen Randwahrscheinlichkeiten. e) Ist die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X und Y bekannt, so lassen sich immer die bedingten Dichtefunktionen der beiden Zufallsvariablen bestimmen.

29 Paare von Zufallsvariablen 29 [ 65 ] Für zwei Zufallsvariablen X und Y sind die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen P 2 (x y) und die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y (P 2 (y)) wie folgt gegeben: x P 2 (x Y = ) P 2 (x Y = 2) 2 2/0 2/0 0 3/0 3/0 2 5/0 5/0 y P 2 (y) 4/0 2 6/0 a) Sind die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig? (Ja / Nein)= b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X. E X = [ 66 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Zwei stetige unabhängige Zufallsvariablen sind immer unkorreliert. b) Sind zwei stetige Zufallsvariablen unkorreliert, so sind sie unabhängig. c) Bei Unabhängigkeit zweier stetiger Zufallsvariablen gilt folgende Aussage über die Dichte: f (x,y) = f (x) f 2 (y) d) Sind X und Y gemeinsam normalverteilt mit ρ = 0, dann sind X und Y unabhängig. e) Für zwei stetige Zufallsvariablen gilt immer: f 2 (y x) f 2 (x y) = f 2(y) f (x) [ 67 ] Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und beide wie N(0,) verteilt. Bestimmen Sie P(X 0,Y 0.). P(X 0,Y 0.) =

30 Paare von Zufallsvariablen 30 [ 68 ] Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(X > 2 2 Y 4), wenn gilt: X N(2,) Y N(4,4) X und Y unabhängig. P(X > 2 2 Y 4) = [ 69 ] Gegeben ist die gemeinsame Dichte der unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen X und Y : Berechnen Sie die Randdichten. { xy für 0 x 4; 0 y 4 f (x,y) = 64 f (x) = f 2 (y) = Berechnen Sie die bedingte Dichte von X, gegeben Y = 2. f 2 (x Y = 2) = [ 70 ] Zwei Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig. Es gelte P(X 4) = 2/3 und P(X > 4,Y 0) = /2. Bestimmen Sie P(Y > 0). P(Y > 0) =

31 Paare von Zufallsvariablen 3 [ 7 ] Sei ρ der Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen X und Y. Welche der folgenden Aussagen sind in diesem Zusammenhang WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Sind X und Y unabhängig verteilt, gilt ρ = 0. b) Ist ρ = 0, können X und Y unabhängig verteilt sein, müssen aber nicht. c) Ist ρ 0, können X und Y nicht unabhängig verteilt sein. d) Sind X und Y unabhängig verteilt, ist die Randdichtefunktion von Y gleich der bedingten Dichtefunktion von Y, gegeben X. e) ρ ist ein Maß für den quadratischen Zusammenhang zwischen X und Y. [ 72 ] Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und gemeinsam zweidimensional normalverteilt. X sei normalverteilt mit µ X = 8 und σx 2 = 9, Y sei standardnormalverteilt. Geben Sie die gemeinsame Dichtefunktion f (x,y) von X und Y an und bestimmen Sie P(X > 8,Y < 0), sowie den bedingten Erwartungswert E(X Y ). f (x,y) = für P(X > 8,Y < 0) = E(X Y ) = [ 73 ] Die Zufallsvariable X sei poissonverteilt mit λ=3 und Y sei poissonverteilt mit λ = 5. X und Y seien unabhängig. Bitte geben Sie E(XY ) an. E(XY ) =

32 Paare von Zufallsvariablen 32 [ 74 ] Zwei Zufallsvariablen X und Y sind normalverteilt mit EX = 2, VarX =, EY = 3, VarY = 4, ρ = 0. a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten. P(X < 2, Y < 3) = P(X < Y > 3) = b) Geben Sie den R Befehl an, um P(X < 2, Y < 3) zu berechnen. R Befehl = [ 75 ] Gegeben sei folgende Kontingenztabelle: x\y 2 3 Summe Summe Führen Sie einen χ 2 Test für Unabhängigkeit bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch. Geben Sie die Prüfgröße und den Ablehnungsbereich an. PG = A = Welche Entscheidung treffen Sie hinsichtlich der Nullhypothese? (verwerfen / nicht verwerfen)= Geben Sie den R Befehl an, um den P Wert zu bestimmen. R Befehl =

33 Paare von Zufallsvariablen 33 [ 76 ] Von den Examenskandidaten einer deutschen Universität wurden 400 zufällig ausgewählt und nach Abschluss der Prüfung befragt, ob die Vorbereitungen zur Prüfung allein oder in Arbeitsgruppen durchgeführt wurden. Von den 280 Prüflingen, die das Examen bestanden hatten, haben sich 50 in Arbeitsgruppen vorbereitet. Bei den Erfolglosen waren es dagegen nur 50. Prüfen Sie mit Hilfe eines χ 2 -Tests die Nullhypothese: Der Prüfungserfolg (bestanden oder nicht bestanden) ist unabhängig von der Vorbereitungsmethode (in Arbeitsgruppen oder allein) zum Examen. Geben Sie die Prüfgröße und den Ablehnungsbereich bei α = 0.05 an. PG = A = [ 77 ] Bei einer 2 3 Kontingenztafel ergab sich beim Test der Unabhängigkeit χ 2 = 6.. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Hypothese der Unabhängigkeit kann nicht verworfen werden. b) Die geprüfte Hypothese ist P(x,y) = P (x) P 2 (y), wenn X und Y die beiden Zufallsvariablen im Modell sind. c) Der erwähnte Test kann auch als Anpassungstest aufgefaßt werden. d) Zur Beurteilung des berechneten χ 2 ist der Tabellenwert für 2 Freiheitsgrade zu verwenden. e) Die Vermutung, dass ein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht, wird bestätigt, wenn alle Differenzen n i j n i n j sehr klein sind. n [ 78 ] Bei einem Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale X und Y wird eine Stichprobe vom Umfang n = 400 gezogen und die daraus erforderlichen Angaben zur Ermittlung der Prüfgröße I J i= j= ( n i j n i n j n ) 2 n i n j n (i =,...,7) ( j =,...,5) entnommen. Der Test soll bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durchgeführt werden. Welchen Wert nimmt dann die untere Grenze des entsprechenden Ablehnungsbereichs an? (Es gilt n i n j n 5 für alle i, j)

34 Paare von Zufallsvariablen 34 [ 79 ] Gegeben ist die folgende Kontingenztabelle: y y 2 y 3 y 4 Summe x x x Summe Die Zufallsvariablen X und Y sollen auf Unabhängigkeit geprüft werden. Geben Sie den Wert der Prüfgröße χ 2 und den Ablehnungsbereich bei einem Signifikanzniveau von α = 0.0 an. PG = A = Welche Entscheidung treffen Sie hinsichtlich der Nullhypothese? (verwerfen / nicht verwerfen)= Ist der P Wert größer als 0.5? (Ja / Nein)=

35 Paare von Zufallsvariablen 35 [ 80 ] Die 00 Beobachtungen der gemeinsam verteilten Zufallsvariablen X und Y ergaben folgende Kontingenztafel: x\y Mit Hilfe des χ 2 -Unabhängigkeitstests soll geprüft werden, ob die Daten bei einem Signifikanzniveau von 0.05 die Vermutung bestätigen, daß X und Y voneinander unabhängig sind. Geben Sie die Prüfgröße und den Ablehnungsbereich an. PG = A = Welche Entscheidung treffen Sie hinsichtlich der Nullhypothese? (verwerfen / nicht verwerfen)= Zwischen welchen beiden Werten liegt der P Wert? Benutzen Sie die R Ausgabe. > p<-seq(0.02,0.0,by=-0.00) > p [] > qchisq(p,,lower.tail=f) [] [9] [ 8 ] In einem Großbetrieb wird in drei Schichten je Tag gearbeitet. In der Unfallstatistik dieses Großbetriebes wurde u.a. die Unfallschwere (leichter Unfall, schwerer Unfall) und der Zeitpunkt des Unfalls (Morgenschicht, Mittagsschicht, Nachtschicht) festgehalten. Wie lautet der Ablehnungsbereich der Unabhängigkeitsprüfung mit Hilfe des χ 2 -Tests, falls α = 0.0 und für jede Merkmalsklasse gilt: n i. n. j /n.. 5. A =

36 Paare von Zufallsvariablen 36 [ 82 ] Der Vorstand eines Fußballvereins interessiert sich dafür, ob ein Zusammenhang zwischen den Spielergebnissen seiner Mannschaft und dem Spielort (Heim- oder Auswärtsspiel) besteht. Für die Spiele der letzten Saison ergab sich folgende Kontingenztafel: Spielort \ Ergebnis gewonnen verloren unentschieden Heimspiel Auswärtsspiel Führen Sie einen χ 2 Test für Unabhängigkeit bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch. Geben Sie die Prüfgröße und den Ablehnungsbereich an. PG = A = Welche Entscheidung treffen Sie hinsichtlich der Nullhypothese? (verwerfen / nicht verwerfen)= Benutzen Sie folgende R Ausgabe, um zu bestimmen in welchem Intervall der P Wert liegt. > p<-:9/0 > p [] > qchisq(p,2) [] [8] > -pchisq(24/35,2) [] Intervall = Geben Sie den R Befehl an, um den P Wert zu bestimmen. R Befehl =

37 Paare von Zufallsvariablen 37 [ 83 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Beim χ 2 -Test für Unabhängigkeit sollte keine der geschätzten erwarteten Häufigkeiten kleiner als 5 sein. b) Bei der Auswertung sehr vieler Kontingenztafeln, die sich bei einer Umfrage mit Fragebögen ergeben haben, muss man damit rechnen, dass einige der ausgeführten Tests für Unabhängigkeit zu signifikanten Ergebnissen führen, auch wenn tatsächlich alle vorkommenden Zufallsvariablen unabhängig verteilt sind. c) Es empfiehlt sich, die Zusammensetzung der Klassen solange zu verändern, bis der χ 2 -Test für Unabhängigkeit ein signifikantes Resultat ergibt. d) Der zum Niveau 0.0 gehörende kritische Wert beim χ 2 -Test für Unabhängigkeit ist 0.64, wenn die Variable X genau zwei Werte annehmen kann und die Variable Y genau drei Werte. e) Der χ 2 -Test für Unabhängigkeit ist ein χ 2 -Anpassungstest. [ 84 ] Um der Frage nachzugehen, ob das bekannte deutsche Tennistalent B gleichermaßen bei Frauen und Männern beliebt und damit als Werbeträger sinnvoll einsetzbar sei, führte ein Unternehmen eine (kleine) Zufallsstichprobe durch, die folgendes Ergebnis lieferte: Geschlecht \ Beliebtheit groß mittel gering weiblich männlich Ermitteln Sie die Prüfgröße und den kritischen Wert (α = 0.0) zu der beschriebenen Fragestellung. PG = kritischer Wert =

38 Paare von Zufallsvariablen 38 [ 85 ] Ein Lehrlingsausbilder möchte wissen, ob zwischen dem Schulabschluss und dem Erfolg in der Lehre eines Auszubildenden ein Zusammenhang besteht. Er wählt 50 der ehemaligen Auszubildenden zufällig aus und stellt fest, ob sie die Lehre erfolgreich beendet haben und welchen Schulabschluss sie besitzen. Erfolg in der Lehre Schulabschluss Erfolg Misserfolg Realschule 8 2 Hauptschule 20 5 kein Abschluß 2 3 Berechnen Sie die Prüfgröße χ 2 zum Prüfen der Hypothese, dass kein Zusammenhang zwischen Schulababschluß und Erfolg in der Lehre besteht und geben sie den kritischen Wert beim Signifikanzniveau α = 0.05 an. PG = A = [ 86 ] Viele Menschen trinken gelegentlich alkoholfreies Bier ( nicht immer,... ). Eine Firma, die alkoholfreies Bier produziert, möchte in Erfahrung bringen, ob ein Zusammenhang zwischen der Altersgruppe der Konsumenten und dem Genuss von alkoholfreiem Bier besteht. In einer Untersuchung wurden 00 Personen befragt, ob sie schon einmal alkoholfreies Bier getrunken haben. Es ergab sich die nachstehende Tabelle. Geben Sie für den χ 2 -Test auf Unabhängigkeit die Prüfgröße und den kritischen Wert zum Signifikanzniveau 0.05 an. Alkoholfreies Bier Alter schon probiert ja nein PG = A = [ 87 ] Eine Kontingenztafel, die alle Voraussetzungen für die Anwendung eines χ 2 -Tests auf Unabhängigkeit erfüllt, hat 3 Zeilen und 4 Spalten. Geben Sie für den χ 2 -Test den kritischen Wert zum Signifikanzniveau von 0.05 an. Kritischer Wert=

39 Paare von Zufallsvariablen 39 [ 88 ] m Rahmen einer Studie wurden in Birmingham 50 Personen nach ihren Einkaufsgewohnheiten befragt. Für die Merkmale Art der Fortbewegung und Häufigkeit der Einkaufstouren ergab sich dabei folgende Häufigkeitstabelle. Art der Fortbewegung zu Fuß mit dem Bus mit dem Auto Häufigkeit der Einkaufstouren häufig selten Berechnen Sie die Prüfgröße χ 2 zum Prüfen der Hypothese, dass zwischen Fortbewegungsart und Einkaufshäufigkeit kein Zusammenhang besteht, und geben Sie den kritischen Wert zum Signifikanzniveau α = % an. PG = A = [ 89 ] Welche der folgenden Aussagen im Zusammenhang mit dem χ 2 - Test auf Unabhängigkeit sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Prüfgröße nimmt negative Werte an, wenn das gewählte Modell nur sehr schlecht passt. b) Ist der zu der Prüfgröße gehörende P-Wert kleiner als 0.05, so wird das Modell bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 verworfen. c) Betrachtet man zwei Merkmale mit jeweils vier möglichen Ausprägungen, so ist die entsprechende Prüfgröße χ 2 -verteilt mit 8 Freiheitsgraden. d) Der χ 2 -Test auf Unabhängigkeit sollte nur verwendet werden, wenn die unter der Hypothese erwarteten Häufigkeiten hinreichend groß sind (als Faustregel kann z. B. > 5 angenommen werden). e) Wenn die Hypothese der Unabhängigkeit nicht verworfen werden kann, nimmt die Prüfgröße einen relativ kleinen Wert an.

40 Paare von Zufallsvariablen 40 B: Lösungen ) x \ y 0 2 P (x) /4 3/6 /6 /2 2 /4 /6 3/6 /2 P 2 (y) /2 /4 /4 2) s \t 2 3 /6 2/6 4/6 2 /6 4/6 ; y 2 3 P 2 (y) /6 3/6 2/6 ; y 2 3 P 2 (y ) /4 /4 /2 3) x \ y /00 24/00 4/00 24/00 8/ / ) x \ y 2 P (x) 0 /4 /4 /2 3/6 /6 /4 2 /6 3/6 /4 P 2 (y) /2 /2 ; 5 6 ; 4 ; 3 8 5) b, c, d, e 6) 0.3 ; für x < 0.3 für x < 0 7) F(x) = 0.5 für 0 x < für x x \ x s \t ) ; ) 0 ; 3 0) 2 ; 2 ; 4 ; x P (x) /5 /5 /5 /5 /5 ; Ja

41 Paare von Zufallsvariablen 4 ) x \ y P (x) P 2 (y) ; ; 9.5 2) a, b, d, e 3) u \ v 2 4 P (u) P 2 (v) ; 7.8 4) x \ y ) 0 6) b, c 7) x \ y 2 3 P (x) /4 /8 /8 /2 2 /4 /8 /8 /2 P 2 (y) /2 /4 /4 8) 4 9) P(x,y) = 6 für x = 0,,2; y = 0, 20) x \ y 2 3 P (x) P 2 (y) für y = 2 ; P 2 (y 2) = 0.85 für y = 3 2) 0.6 ; 0.463

42 Paare von Zufallsvariablen für y = für y = 5 22) P 2 (y) = 0.25 für y = 7 ; s \t /4 /4 /4 2 /4 3/4 3/4 3 /4 3/4 ; 0.5 ; 2 ; ; 23) 0 24) 0.6 ; ) 0 { 2y für 0 y 26) f 2 (y) = ; 0 27) c, e 28) 4 ; 2 29) c, e 30) a, b, c, d 3) b, d { 3x 2 für 0 x 32) f (x) = ; f 2 (y x) = 2 y für 0 y 2 ; 4 33) a, b, c, e 34) 0.04 ; f 2 (y x) = 35) a, c, d 36) b, c, e 37) ) 0 ; 39) a, b, c, e 40) a, b, d 4) a, b 42) b, c, e 2 y für 0 y 2 43) b, d, e { 5 44) f 2 (y) = 4 4 y für 2 y 4 ; f 2 (x Y = 3) = (3 x) 4 für 0 x 2 ; 5 8

43 Paare von Zufallsvariablen 43 45) a, d, e 46) a, d, e 47) 5 2 ; ) 2 ; 4 49) 9 ;.5 50) F(x,y) = 5) 3 ; 0 0 für x 0 oder y xy für 0 x 4; 0 y x für 0 x 4; y > 5 0.2y für 0 y 5; x > 4 für x > 4; y > 5 52) 4 9 { 2y für 0 y 53) f 2 (y 0.5) = 54) x \ y 2 4 P (x) P 2 (y) ; 2.2 ; 3.4 ; 7.8 ; ) a, c, e 56) 8 ; x \ y 0 2 /2 /8 /24 2 /24 /6 /48 3 5/24 5/6 5/48 57) a, b, c, d 58) b, d, e 59) ) a, b, c, e { xy für 0 x ; 0 y 2 6) f (x,y) = 62) b, e

44 Paare von Zufallsvariablen 44 63) 3 4 ; 6 64) a, c, d, e 65) Ja ; ) a, c, d, e 67) ) ) f (x) = f 2 (x Y = 2) = 8 x für 0 x 4 ; f 2 (y) = 8 x für 0 x 4 8 y für 0 y 4 ; 70) 3 4 7) a, b, c, d 72) f (x,y) = 6π e 2 (x 8)2 9 +y 2 für < x,y < ; 4 ; 8 73) 5 74) 0.25 ; 0.59 ; pnorm(2,2,)*pnorm(3,3,2) 75) 0 9 ; [5.99, ) ; nicht verwerfen ; -pchisq(0/9,2) 76) ; [3.84, ) 77) b, c, d 78) ) ; [6.8, ) ; nicht verwerfen ; Nein 80) 6.25 ; [3.84, ) ; verwerfen ; zwischen 0.02 und ) [9.2, ) 82) 24 ; [5.99, ) ; nicht verwerfen ; zwischen 0.7 und 0.8; -pchisq(24/35,2) 35 83) a, b, e 84) 5 8 ; ) 6.25 ; 5.99

45 Paare von Zufallsvariablen 45 86) 7 6 ; ) ) 2.6 ; [9.2, ) 89) b, d, e