2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen

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Alwin Kaufman
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1 2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen (2.1) Sei L R N N eine normierte untere Dreiecksmatrix und b R N. Dann ist L invertierbar und das Lineare Gleichungssystem (LGS) Ly = b ist mit O(N 2 ) Operationen lösbar. Entsprechend ist für eine invertierbare obere Dreiecksmatrix R R N N das LGS Rx = y in O(N 2 ) Operationen lösbar. (2.2) Wenn eine Matrix A R N N eine LR-Zerlegung A = LR mit einer normierten untere Dreiecksmatrix L und einer invertierbaren obere Dreiecksmatrix R besitzt, dann ist A invertierbar und das LGS Ax = b ist mit O(N 2 ) Operationen lösbar. (2.3) Eine Matrix A R N N besitzt genau dann eine LR-Zerlegung von A, wenn alle Hauptuntermatrizen A[1 : n, 1 : n] invertierbar sind. Die LR-Zerlegung ist eindeutig und lässt sich mit O(N 3 ) Operationen berechnen. (2.5) Eine Matrix A R N N heißt strikt diagonal-dominant, falls A[n,n] > N A[n, k]. k=1 k n Sie heißt positiv definit, wenn x T Ax > 0 für x R N, x 0. In beiden Fällen existiert eine LR-Zerlegung. (2.6) Sei A R N N symmetrisch und positiv definit. Dann existiert genau eine Cholesky-Zerlegung A = LL T mit einer unteren Dreiecksmatrix L. Software: C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 6

2 2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen (2.7) a) Eine bijektive Abbildung π : {1,...,N} {1,...,N} heißt Permutation. b) Sie ist eindeutig durch einen Permutationsvektor p R N mit p[n] = π(n) bestimmt. c) Die zugehörige Permutationsmatrix ist P = (e π(1) e π(n) ) R N N. (2.8) Sei A R N N invertierbar. Dann existiert eine Permutationsmatrix P, so dass PA eine LR-Zerlegung PA = LR besitzt, so dass L[m,n] 1 gilt. (2.9) a) Zu v R N und k n mit v[k] 2 + v[n] 2 > 0 existiert eine Givens-Rotation G R N N mit ( ) ( ) G[k,k] G[k,n] c s =, c G[n, k] G[n, n] s c 2 + s 2 = 1, und G[j][j] = 1 für j k,n und G[i][j] = 0 sonst, so dass für w = Gv gilt: w[n] = 0. Für v[n] > v[k] setze τ = v[k] v[n], s = 1+τ 1 v[n], c = sτ, sonst setze τ = 2 v[k], c = 1+τ 1, s = cτ. 2 b) Zu v R N, v 0, existiert eine Householder-Spiegelung H = I N 2 w T w ww T R N N mit w R N, w[1] = 1, sodass Hv = σe 1 mit σ R. Falls v[1] > 0, setze σ = v 2, sonst setze σ = v 2. Dann definierte w = 1 v[1] σ (v σe1 ). Rotationen und Spiegelungen Q sind orthogonale Matrizen, d.h. Q T Q = I N, Q 1 = Q T, Q 2 = 1 und κ 2 (Q) = 1. (2.10)Zu A R K N existiert eine QR-Zerlegung A = QR mit einer orthogonalen Matrix Q R K K und eine oberen Dreiecksmatrixmatrix R R M N. C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 7

3 LR-Zerlegung (ohne Vektorisierung) N = size(a,1); for n=1:n-1 % Berechnung der n-ten Spalte von L for m=n+1:n A(m,n) = A(m,n)/A(n,n); % keine Berechnung der n-ten Zeile von R erforderlich % Berechnung der Restmatrix for m=n+1:n for k=n+1:n A(m,k) = A(m,k) - A(m,n) * A(n,k); C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 8

4 LR-Zerlegung N = size(a,1); for n=1:n-1 A(n+1:N,n) = A(n+1:N,n)/A(n,n); A(n+1:N,n+1:N) = A(n+1:N,n+1:N) - A(n+1:N,n) * A(n,n+1:N); x = b; for n=2:n x(n) = x(n) - A(n,1:n-1) * x(1:n-1); for n=n:-1:1 x(n) = (x(n) - A(n,n+1:N)*x(n+1:N))/A(n,n); C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 9

5 Cholesky-Zerlegung N = size(a,1); for n=1:n A(n:N,n) = A(n:N,n) - A(n:N,1:n-1) * A(n,1:n-1) ; A(n:N,n) = A(n:N,n) / sqrt(a(n,n)); x = b; for n=1:n x(n) = (x(n) - A(n,1:n-1) * x(1:n-1))/ A(n,n); for n=n:-1:1 x(n) = (x(n) - A(n+1:N,n) * x(n+1:n))/ A(n,n); C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 10

6 LR-Zerlegung mit Pivotsuche N = size(a,1); p = (1:N) ; for n = 1:N-1 [r,m] = max(abs(a(n:n,n))); m = m+n-1; if abs(a(m,n))<eps error( *** ERROR *** LR-Zerlegung existiert nicht ); if (m ~= n) A([n m],:) = A([m n],:); p([n m]) = p([m n]); A(n+1:N,n) = A(n+1:N,n)/A(n,n); A(n+1:N,n+1:N) = A(n+1:N,n+1:N) - A(n+1:N,n)*A(n,n+1:N); x = b(p); for n=2:n x(n) = x(n) - A(n,1:n-1)*x(1:n-1); for n=n:-1:1 x(n) = (x(n) - A(n,n+1:N)*x(n+1:N))/A(n,n); C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 11

7 Berechnung der Householder-Vektoren function [v,beta] = householder(y) N = length(y); s = y(2:n) * y(2:n); if N == 1 s = 0; v = [1;y(2:N)]; if s == 0 beta = 0; else mu = sqrt(y(1)^2 + s); if y(1) <= 0 v(1) = y(1) - mu; else v(1) = -s/(y(1) + mu); beta = 2*v(1)^2/(s + v(1)^2); v = v / v(1); return; C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 12

8 QR-Zerlegung [M,N] = size(a); for m = 1:min(N,M-1) [v,beta] = householder(a(m:m,m)); if beta ~= 0 w = beta * v * A(m:M,m:N); A(m:M,m:N) = A(m:M,m:N) - v * w; A(m+1:M,m) = v(2:m-m+1); for m = 1:min(N,M-1) v = [1;A(m+1:M,m)]; beta = 2 / (v * v); if beta ~= 2 b(m:m) = b(m:m) - beta*(v *b(m:m)) * v; for n=min(n,m):-1:1 x(n) = (b(n) - A(n,n+1:N) * x(n+1:n)) / A(n,n); C. Wieners: Einführung in die Numerische Mathematik für Studierende der Fachrichtung Informatik und Ingenieurwissenschaften 13

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LR-Zerlegung. N = size(a,1); for n=1:n-1 A(n+1:N,n) = A(n+1:N,n)/A(n,n); A(n+1:N,n+1:N) = A(n+1:N,n+1:N) - A(n+1:N,n) * A(n,n+1:N); end; LR-Zerlegung N = size(a,1); for n=1:n-1 A(n+1:N,n) = A(n+1:N,n)/A(n,n); A(n+1:N,n+1:N) = A(n+1:N,n+1:N) - A(n+1:N,n) * A(n,n+1:N); x = b; for n=2:n x(n) = x(n) - A(n,1:n-1) * x(1:n-1); for n=n:-1:1 x(n)