KOMBINATORIK. Doina Logofătu Hochschule München, FK und 15 April 2008

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1 KOMINORIK Doa Logofătu Hochschule Müche, FK 7 4 ud prl 8 Was st Kombator? espele für Frage ud ufgabe aus der Kombator. Was mache wr heute? (Dsusso). Przp der Iluso ud Eluso. Schubfachprzp. Permutatoe 4. Varatoe. Kombatoe 6. omaloeffzete lgorthme ud Problemlösuge mt ud problemloesuge.de

2 Przp der Iluso ud Eluso (Sebformel, Przp der Eschleßug ud usschleßug) Für edlche Mege, : (Dsusso) Für edlche Mege,, : (Dsusso) Frage: We seht es mt 4 Mege,,, D aus? espel : We vele Zahle zwsche ud sd durch, oder telbar? Lösug: { } m m N m,,,, ( Mege der Velfache vo ).? 6, 6,,, emerug: Ählchet mt dem Seb des Eratosthees, we vele Zahle werde ach Schrtte des Verfahres ausgesebt? (eschrebug der Verfahre ud Programm: Sete 9). Verallgemeerug: Es se X ee edlche Mege ud,,, elmege vo X. Da gelte: I U ) ( () (De ewes a ma zum espel durch vollstädge Iduto erbrge). We ma de Operatoe ud vertauscht, ommt ma zu deser Formel: U I ) ( ()

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4 espel. Eulersche Ph Futo. : N N, () de zahl der atürlche Zahle vo bs, de telerfremd zu sd. ()? Lösug: Es se rthmet). p e e er p pr de Prmfatorzerlegug vo (Fudametalsatz der Wr defere: { m N m st Velfaches vo p, m > ud m }, es folgt Es folgt auch: { m N m st Velfaches vo p p, m > ud m } mt Wr brauche de Zahl ( ). p p.. p X (De Morga) (aus ()) folgt: r ϕ( ) p p p ( ) r p p p p p r r. pr

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6 Schubfachprzp (aubeschlagprzp, egl. pgeohole prcple, Drchlet s bo prcple) Frage (Dsusso): 7 aube Ställe, was öe wr darüber sage? (e St. mt md..) Persoe, was st lar her? (md. habe das selbe Geschlecht) Soldate ette? (md. ett mt mehr als Soldat) We vele Studete brauche ch, um scher zu se, dass davo dasselbe Geburtstagdatum habe? (66 eem Jahr mt 6 age ) Satz. We ma Obete auf Fächer vertelt, so gbt es mdestes e Fach, welches cht weger als Obete ethält, wobe de ufrudugsfuto st. Oder aders formulert: We ma Obete auf Fächer vertelt, da gbt es mdestes e Fach, das mdestes Obete behaltet. espel. Uter belebge at. Zahle gbt es, dere Dfferez durch telbar st. Lösug: Es gbt mdestes Zahle, de be Dvso durch deselbe Rest ergebe (,,. oder 9, sgs. Reste). D. h., dass dere Dfferez durch telbar st. espel. Pute der Ebee, s. d. eder Put mt mdestes eem weter Put durch ee Strece verbude st. Da gbt es Pute, de Edput ewels glech veler Strece sd. Lösug: Jeder Put st e usgagsput für mdestes ee ud mamal Strece. Wel wr Pute habe, folgt, dass es zwe gbt, vo dee deselbe zahl vo Strece ausgeht. emerug: Sete 7, mt Programm Sete 86 (das leste Velfache).

7 Permutatoe (orduge mt erücschtgug der Rehefolge) ee edlche Mege mt Elemete; Permutato ordug der Elemete zahl aller Permutatoe P(). Satz. Für ede Zahl N {} glt P()!. espel. Für {a, b, c}: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b) ud (c, b, a), also P() 6. espel. We vele verschedee Zahle a ma mt de Zffer,,.., 9 blde, so dass ede Zffer geau emal eer Zahl vorommt? Lösug:! 9! 9 9!.6. 9 Dsusso. espel. We vele Möglchete gbt es, de Elemete der Mege {,,, } so azuorde, dass sch ede gerade Zahl weder auf eer gerade Stelle der ordug befdet? Lösug:!! (!), Dusso.. espel. E Zug mt Waggos. lle Möglchete, s. d. de Waggos ud mmer acheader omme. Lösug: 9 8! 9!.. Dsusso.. Permutatoe vo Elemete mehrere Gruppe (mt Wederholug). lle Elemete vo habe ee bestmmte Egeschaft, ud ma a se Gruppe etele, dere Elemete detsche Egeschafte bestze. Gesucht st de zahl der orduge, für de ur dese Egeschaft relevat st. De Elemete eer Gruppe sd also austauschbar für ee derartge ordug. We wr zum espel rote ud schwarze älle habe, da sd de möglche orduge bezüglch der Egeschaft Farbe : RRSSS, RSSSR, RSSRS, RSRSS, SRRSS, SRSRS,! SRSSR, SSRRS, SSRSR, SSSRR. De zahl lautet also.!! llgeme: We für de Mege mt Elemete de Gruppe für de Elemete mt deselbe Egeschafte,,, Mtgleder habe, da st de zahl der ordugsmöglchete glech dem Multomaloeffzete:!!!! espel 4. We vele orduge der uchstabe des Wortes NN gbt es?! 6! 6 4 Lösug: 6.!!!!!! Übuge (MISSISSIPPI, RDR, SUESS). emerug: Sete 8, Programm für Geererug der Permutatoe, mt Nachfolger lgorthmus (Sete 7), mt actracg (Sete 6, Problem der ürme).

8 Varatoe (uswähle mt erücschtgug der Rehefolge) ee edlche Mege mt Elemete; Es gbt mehrere Möglchete, Plätze () mt e eem Elemet aus zu belege (geordete Mege), ud de zahl st:! V ( ) ( ) ( ). ( )! espel. Mt de Elemete der Mege {a, b, c, d} öte ma geordete Mege herstelle, de e zwe Elemete vo behalte: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, a}, {b, c}, {b, d}, {c, a}, {c, b}, {c, d}, {d, a}, {d, b}, {d, c}. Varatoe mt Wederholug (mt Zurüclege). Es gbt Möglchete, Plätze uter eachtug der Rehefolge mt e eem Elemet aus zu belege, we e ausgewähltes Elemet weder zurücgelegt werde a. Das etsprcht der zahl der geordete Multmege mt Elemete aus eer Mege mt Elemete. De zahl st so groß we de zahl der bblduge eer Mege mt Elemete ee Mege mt Elemete (oder der zahl der möglche Futoe f:{,,, } {,,, }). espel. Mt de Elemete der Mege {a, b, c, d} a ma Multmege mt e zwe Elemete vo erzeuge: {a, a}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, a}, {b, b}, {b, c}, {b, d}, {c, a}, {c, b}, {c, c}, {c, d}, {d, a}, {d, b}, {d, c} ud {d, d}. 6 4 geordete espel. We vele bäre Wörter der Läge gbt es? Lösug: zahl der Multmege mt Elemete aus der Mege {, }, also: de Läge zähle wr 8 Wörter:,,,,,,,.. Für emerug: Sete 6, Programm Geererug aller Varatoe mt actracg (Sete 67, ürme auf de erste m Rehe), Geererug aller ärwörter mt Nachfolger (Sete 66, elmege eer Mege) ud Gra ode (Sete 7).

9 Kombatoe (uswähle ohe erücschtgug der Rehefolge) ee edlche Mege mt Elemete; I Gegesatz zu Varatoe blebt her de Rehefolge der Elemete eer uswahl ubeachtet, d.h. {,, } st glechwertg mt {,, }. Es gbt also weger Kombatoe als Varatoe. Satz. Se ee edlche Mege mt Elemete, ud de elmege vo mt Elemete () sd gesucht. De zahl der Kombatoe ohe Wederholug st über (oder der omaloeffzet):!!( )! espel. We vele füföpfge Prüfugsommssoe lasse sch mt acht 8 8! Professore herstelle? Lösug: 6. Dsusso..!! espel. We vele Dagoale hat e ovees Ec? ( ) Lösug:. Dsusso.. Kombatoe mt Wederholug (mt Zurüclege). us eer Mege mt Elemete baut ma upel () auf, wobe e Elemet vo auch mehrmals gezoge werde a. De zahl der Multmege mt Elemete aus der Mege st: ( )!!( )! espel. Gerät, das mt zeh verschedee Obstsorte befüllt werde a (grüe ud rote Äpfel, aae, Orage, re, Kws, Grapefruts, Madare, Pfrsche, Mrabelle). Kopf Nmm We vele Möglchete der usgabe bestzt der utomat für de Nmm Kopf? Lösug: De twort st de zahl der Kombatoe mt Wederholug vo Elemete aus eer Mege mt Elemete:!.! 9! emerug: Sete 6, Geererug aller Kombatoe (Sete 68, ufstegede ürme auf de erste m Rehe).

10 omaloeffzete We ud reelle Zahle sd, da gelte: ) ( ) ( ) ( Satz. llgeme lautet der sog. omsche Lehrsatz für N: ) (. Der allgemee erm der Summebldug st:. espel. Fde Se de füfte erm für. Lösug: ( ) Folgeruge aus dem omalsatz. Für alle atürlche Zahle gelte de folgede Glechuge:. für alle.. ) ( v. 4 emerug: Sete 6, Programm mt erechug der omaloeffzete (Sete 8). DNKE für Ihre ufmersamet!