Semantik und Analyse von Funktionalen Programmen (SAFP):

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1 Semantik und Analyse von Funktionalen Programmen (SAFP): KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauß SAFP; WS 2014/15 Stand der Folien: 5. Februar 2015

2 LR: Syntax E ::= V (c E 1... E ar(c) ) (seq E 1 E 2 ) (case T E Alt 1... Alt T ) (E 1 E 2 ) (λ V.E) (letrec V 1 = E 1,..., V n = E n in E) Alt ::= (P at E) P at ::= (c V 1... V ar(c) ) Definition: Ein Wert (bzw Value) ist Eine Abstraktion Ein Konstruktor-Anwendung (zb (Cons s t)) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 2/35

3 LR: Reduktions-Regeln (lbeta) C[((λx.s) S r) C[(letrec x = r in s)] (cp-in) (letrec x 1 = v S, {x i = x i 1 } m i=2, Env in C[xV m]) (letrec x 1 = v, {x i = x i 1 } m i=2, Env in C[v]) wobei v eine Abstraktion (cp-e) (letrec x 1 = v S, {x i = x i 1 } m i=2, Env, y = C[xV m] in r) (letrec x 1 = v, {x i = x i 1 } m i=2, Env, y = C[v] in r) wobei v eine Abstraktion (llet-in) (letrec Env 1 in (letrec Env 2 in r) S ) (letrec Env 1, Env 2 in r) (llet-e) (letrec Env 1, x = (letrec Env 2 in s x ) S in r) (letrec Env 1, Env 2, x = s x in r) (lapp) C[((letrec Env in t) S s)] C[(letrec Env in (t s))] (lcase) C[(case T (letrec Env in t) S alts)] C[(letrec Env in (case T t alts))] EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 3/35

4 LR: Reduktions-Regeln (seq-c) C[(seq v S t)] C[t] wenn v ein Value (seq-in) (letrec x 1 = v S, {x i = x i 1 } m i=2, Env in C[(seq xv m t)]) (letrec x 1 = v, {x i = x i 1 } m i=2, Env in C[t]) wennvein Value (seq-e) (letrec x 1 = v S, {x i = x i 1 } m i=2, Env, y = C[(seq xv m t)] in r) (letrec x 1 = v, {x i = x i 1 } m i=2, Env, y = C[t] in r) wenn v ein Value (lseq) C[(seq (letrec Env in s) S t)] C[(letrec Env in (seq s t))] EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 4/35

5 LR: Reduktions-Regeln (case-c) C[(case T (c i t ) S... ((c i y ) t)...)] C[(letrec {y i = t i } n i=1 in t)] wobei n = ar(c i ) 1 (case-c) C[(case T c S i... (c i t)...)] C[t] wenn ar(c i ) = 0 (case-in) letrec x 1 = (c i t ) S, {x i = x i 1 } m i=2, Env in C[case T x V m... ((c i z )... t)...] letrec x 1 = (c i y ), {yi = t i } n i=1, {x i = x i 1 } m i=2, Env in C[(letrec {z i = y i } n i=1 in t)] wobei n = ar(c i ) 1 und y i frische Variablen (case-in) letrec x 1 = c S i, {x i = x i 1 } m i=2, Env in C[case T x V m... (c i t)...] letrec x 1 = c i, {x i = x i 1 } m i=2, Env in C[t] wenn ar(c i ) = 0 EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 5/35

6 LR: Reduktions-Regeln (case-e) letrec x 1 = (c i t ) S, {x i = x i 1 } m i=2, u = C[case T x V m... ((c i z ) r1 )... ], Env in r 2 letrec x 1 = (c i y ), {yi = t i } n i=1, {x i = x i 1 } m i=2, u = C[(letrec z 1 = y 1,..., z n = y n in r 1 )], Env in r 2 wobei n = ar(c i ) 1 und y i frische Variablen (case-e) letrec x 1 = c S i, {x i = x i 1 } m i=2, u = C[case T x V m... (c i r 1 )...], Env in r 2 letrec x 1 = c i, {x i = x i 1 } m i=2..., u = C[r 1], Env in r 2 wenn ar(c i ) = 0 EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 6/35

7 Reduktionskontext: Normalordnungsredex-Suche Markierungs-Algorithmus; T = Top, S = Sub, V = Visited (letrec Env in t) T (letrec Env in t S ) V (s t) S T (s S t) V (seq s t) S T (seq s S t) V (case T s alts) S T (case T s S alts) V (letrec x = s, Env in C[x S ]) (letrec x = s S, Env in C[x V ]) (letrec x = s, y = C[x S ], Env in t) (letrec x = s S, y = C[x V ], Env in t) wenn C[x] x (letrec x = s, y = x S, Env in t) (letrec x = s S, y = x W, Env in t) C ist ein Reduktions-Kontext, wenn das Loch des Kontexts markiert wird mit obigen Algorithmus. C ist Surface-Kontext, wenn das Loch des Kontexts nicht innerhalb einer Abstraktion ist. EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 7/35

8 Reduktionen: Gruppen Gruppen von Reduktionen: beta cp-reduktionen case-reduktionen Let-Verschiebungen Vergleich mit KFPT: Ohne Sharing LR (mit) Sharing beta lbeta cp-reduktionen case case-reduktionen Let-Verschiebungen EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 8/35

9 WHNFs Definition Eine weak head normal form (WHNF) ist Ein Value v. Ein Ausdruck (letrec Env in v), wobei v ein Value Ein Ausdruck der Form (letrec x 1 = v, {x i = x i 1 } m i=2, Env in x m), wobei v = (c t ). EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 9/35

10 NO-Beispiel Normalordnungsreduktion von Ω = (λz.(z z)) (λx.(x x)): (λz.(z z)) (λx.(x x)) n,lbeta (letrec z = λx.(x x) in (z z)) n,cp (letrec z = λx.(x x) in ((λx 1.(x 1 x 1 )) z)) n,lbeta (letrec z = λx.(x x) in (letrec x 1 = z in (x 1 x 1 ))) n,llet (letrec z = λx.(x x), x 1 = z in (x 1 x 1 )) LR-Reduktion: n,lcp (letrec z = λx.(x x), x 1 = z in ((λx 2.(x 2 x 2 )) x 1 )) n,lbeta letrec z = λx.(x x), x 1 = z in (letrec x 2 = x 1 in (x 2 x 2 ) n,llet letrec z = λx.(x x), x 1 = z, x 2 = x 1 in (x 2 x 2 ) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 10/35

11 Das Maß für let-reduktionen Das Maß µ lll (t) ist ein Paar (µ 1 (t), µ 2 (t)), lexikographisch geordnet. µ 1 (t) ist die Anzahl der letrec-unterausdrücke in t µ 2 (t) ist die Summe der lrdepth(c) aller letrec-unterausdrücke s von t wobei C definiert ist durch t = C[s], und wobei lrdepth so definiert ist: lrdepth([ ]) = { lrdepth(c lrdepth(c (1) [C []]) = []) wenn C (1) kein letrec lrdepth(c []) wenn C (1) ein letrec C (1) ist ein Kontext dessen Loch in Tiefe 1 ist. Lemma: Die let-reduktionen machen das Maß µ lll (.) echt kleiner. D.h. die (lll)-reduktion terminiert (mit einer lll-nf) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 11/35

12 Kontextuelle Ordnung und Gleichheit Definition s c t gdw C[ ] : C[s] = C[t] s c t gdw s c t t c s Kontext Lemma Seien s, t Ausdrücke. Wenn für alle Reduktions-Kontexte R: (R[s] = R[t] ), dann auch C : (C[s] = C[t] ); d.h. s c t. Beweis: mit Induktion (konzeptuell einfach wg. Sharing) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 12/35

13 Weitere Transformationen (gc1) (letrec {x i = s i } n i=1, Env in t) (letrec Env in t) if for all i : x i does not occur in Env nor in t (gc2) (letrec {x i = s i } n i=1 in t) t if for all i : x i does not occur in t (cpx-in) (letrec x = y, Env in C[x]) (letrec x = y, Env in C[y]) wobeiy Variable undx y (cpx-e) (letrec x = y, z = C[x], Env in t) (letrec x = y, z = C[y], Env in t) (cpax) (letrec x = y, Env in s) (letrec x = y, Env[y/x] in s[y/x]) where y is a variable, x y and y FV (s, Env) (cpcx-in) (letrec x = c t, Env in C[x]) wobei y Variable und x y (letrec x = c y, {y i = t i } ar(c) i=1, Env in C[c y ]) (cpcx-e) (letrec x = c t, z = C[x], Env in t) (letrec x = c y, {y i = t i } ar(c) i=1, z = C[c y ], Env in t) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 13/35

14 Weitere Transformationen (abs) (letrec x = c t, Env in s) (letrec x = c x, {x i = t i } ar(c) i=1, Env in s) wobei ar(c) 1 (abse) (c t ) (letrec {x i = t i } ar(c) i=1 in c x ) wobei ar(c) 1 (xch) (letrec x = t, y = x, Env in r) (letrec y = t, x = y, Env in r) (ucp1) (letrec Env, x = t in S[x]) (letrec Env in S[t]) (ucp2) (letrec Env, x = t, y = S[x] in r) (letrec Env, y = S[t] in r) (ucp3) (letrec x = t in S[x]) S[t] wobei in (ucp):, x hat höchstens eine Vorkommen in S[x] und kein Vorkommen in Env, t, r; und S ist Surface Kontext (lwas) W (1) [(letrec Env in s)] (letrec Env in W (1) [s]) wobei W (1) schwacher Applikations-Surface Kontext mit Lochtiefe 1 EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 14/35

15 Weitere Transformationen (cpcxnoa) (letrec x = c x 1... x m, Env in C[x]) (letrec x = c x 1... x m, Env in C[c x 1... x m ]) (case-cx) letrec x = (c T,j x 1... x n ), Env in C[case T x ((c T,j y 1... y n ) s) alts] letrec x = (c T,j x 1... x n ), Env in C[(letrec y 1 = x 1,..., y n = x n in s)] (case-cx) letrec x = (c T,j x 1... x n ), Env, y = C[case T x ((c T,j y 1... y n ) s) alts] in r letrec x = (c x 1... x n ), Env, y = C[(letrec y 1 = x 1,..., y n = x n in s)] in r (case-cx) like (case) in all other cases EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 15/35

16 Korrekheiten Satz Alle Reduktionen und Transformationen in LR sind korrekt: d.h. s trans t = s c t trans wobei eine Reduktion oder Transformation aus den Tabellen ist. Das hat die Konsequenz, dass die Konversionsgleichheit die LR kontextuelle Gleichheit impliziert: c. EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 16/35

17 Längenmaße von Normalordnungsreduktionen Definition Sei t ein geschlossener Ausdruck. nor(t) ist definiert als die (maximale) Normalordnungsreduktion von t. Dann 1 Wenn M {case,lbeta,seq,cp,lll}, dann ist rl M (t) die Anzahl der Normalordnungs-Reduktionen a in nor(t) mit a M. 2 rl (t) := rl {case,lbeta,seq} (t). 3 rl (t) := rl {case,lbeta,seq,cp} (t). 4 rl (t) := rl {lll} (t). 5 rl(t) := rl {case,lbeta,seq,cp,lll} (t). Das wichtigste Maß ist rl ( ). EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 17/35

18 Längenerhaltung (seq), (case), (cp) angewendet in Surface Kontexten werden notiert als (seqs), (cases), (cps). Zur Erinnerung: Surface Kontexte: Loch nicht in einer Abstraktion. EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 18/35

19 Längenerhaltung Satz Seien t 1, s 1 geschlossene Ausdrücke mit t 1 und t 1 s 1 mit einer Basisreduktion oder einer Extra Transformation. Dann gilt s 1 und das folgende: 1 Wenn t 1 a s1 mit a {case, seq, lbeta, cp}, then rl(t 1 ) rl(s 1 ), rl (t 1 ) rl (s 1 ) and rl (t 1 ) rl (s 1 ). S,a 2 If t 1 s 1 with a {cases, seqs, lbeta, cps}, dann rl (t 1 ) rl (s 1 ) rl (t 1 ) 1 und rl (t 1 ) rl (s 1 ) rl (t 1 ) 1. Für a = cps, gilt die Gleichung rl (t 1 ) = rl (s 1 ). 3 Wenn t 1 a s1 mit a {lll, gc}, dann rl(t 1 ) rl(s 1 ), rl (t 1 ) = rl (s 1 ) and rl (t 1 ) = rl (s 1 ). Für a = gc1 gilt zusätzlich rl(t 1 ) = rl(s 1 ). 4 Wenn t 1 a s1 mit a {cpx, cpax, xch, cpcx, abs}, dann rl(t 1 ) = rl(s 1 ), rl (t 1 ) = rl (s 1 ) und rl (t 1 ) = rl (s 1 ). 5 Wenn t 1 ucp s 1, dann rl(t 1 ) rl(s 1 ), rl (t 1 ) rl (s 1 ) and rl (t 1 ) = rl (s 1 ). EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: lwas LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 19/35

20 Längenerhaltung: Vergleich nicht-normalordnungs-reduktionen in Surface Kontexten, zb im Argument: Reduktion call-by-need (LR) call-by-name beta/lbeta -1 -n: unbeschränkt case -1 -n: unbeschränkt EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 20/35

21 Tiefe Unterterme Definition. Sei t = (letrec Env, x = t x, x 1 = t 1 in x 1 ). t x ist ein tiefer Unterterm in t wenn t 1 eine Anwendung, eine seq-ausdruck, oder ein case-ausdruck ist. Aussage Sei t 1 = (letrec Env, x = t x, x 1 = t 1 in x 1) geschlossen; und t 1, und t x sei strikter und tiefer Unterterm von t 1. Dann rl (t 1 ) > rl (letrec Env, x = t x in x). (letrec Env, x = t x in x) wirkt wie ein Unterterm von t 1. EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 21/35

22 Abstrakte Reduktion Basis-Reduktionen: Kalkül-Reduktionen Extra-Reduktionen Bot-Reduktionen Tableau geschlossen, wenn alle Blätter entweder sind, oder ein Vorgänger existiert, wobei (nach verschiedenen Kriterien) der Vorgänger das Blatt subsumiert oder einen Unterterm des Blatts; und eine Normalordnungsreduktion dazwischen, die das rl (.)-Maß kleiner macht. EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 22/35

23 Bot-Reduktionen Folgende Ausdrücke können in Tableau zu reduziert werden: ( t), (seq t), ((c t ) r), Ausdrücke die direkt ungetypt sind (unter Beachtung der Umgebung) (f t 1... t i 1 t i+1... t n ), wenn f strikt im i-ten Argument. und folgende Transformationen: (letrec x =, Env in C[x]) (letrec x =, Env in C[ ]) (letrec x =, Env, y = C[x] in t) (letrec x =, Env, y = C[ ] in t) (letrec x = x, Env in r) (letrec x =, Env in r) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 23/35

24 Änderungen der Reduktionsstrategie durch Striktheit Statt Normalordnung: eine strikte Auswertung: In Surface Kontexten können strikte Unterterme ausgewertet werden. Die Reduktionslänge rl (.) ( bzgl (case), (lbeta), (seq)) bzgl. Normalordnung und strikter Strategie ist unverändert Bzgl der anderen Reduktionsarten: unklares Bild. D.h. ein Optimierungseffekt wird nur in der abstrakten Maschine sichtbar. denn die Reduktionslängen rl (.) sind durch Sharing schon optimal. EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 24/35

25 Striktheits-Analyse: ein Beispiel letrec len = λlst.lenr lst 0 lenr = λlst.λs. case lst lst (Nil s) (x : xs (letrec z = 1 + s in lenr xs z)) in... := { } Fun (c 1... )... (c N... ) wobei c 1,..., c N alle Konstruktoren sind. wobei Fun Menge aller geschlossenen Abstraktionen. Inf := { } ( : Inf ) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 25/35

26 Striktheits-Analyse: Beispiel lenr lenr lbeta case lst (Nil ) (x : xs lenr xs ( + 1)) case lst (Nil ) (x : xs lenr xs ) case lst ( : ) (Nil ) (x : xs lenr xs ) case lenr case lst Nil... EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 26/35

27 Striktheits-Analyse Beispiel lenr Inf lbeta case lst Inf (Nil ) (x : xs lenr xs ( + 1)) case lst ( : Inf ) (Nil ) (x : xs lenr xs ( + 1)) case lenr Inf ( + 1) generalize lenr Inf EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 27/35

28 Striktheits-Analyse: Beispiel zu Sharing f = λx.λz.g x x z g = λx.λy.λz. if x then (if y then z else False) else (if y then False else z) Ist f strikt im zweiten Argument? : (letrec top =, f =, g = in f top ) Abstrakte Reduktion: (letrec top =, f =, g =,... in g top top ) Variable top kommt zweimal vor EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 28/35

29 Striktheits-Analyse: Beispiel zu Sharing letrec top = in if top then (if top then else False) else (if top then False else ) True -Fall: letrec top = in if True then (if True then else False) else (if True then False else ) ergibt. Der False Fall und ungetypte Fälle gehen genauso. Andere Analyse-Verfahren können das nicht, da die Gleichheit der s verlorengeht. EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 29/35

30 Striktheits-Analyse: Anmerkungen Todo: Auswirkungen auf Parallelisierung der Auswertung Todo: Nachweis, dass Auswertungsumstellung eine Optimierung in abstrakten Maschinen ist. Todo: Verbesserungen im Kalkül mit Sharing. Todo: Polymorphe Typen im Kalkül mit Sharing. Wie sieht Striktheitsanalyse aus in Concurrent Haskell? EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 30/35

31 Striktheits-Analyse: Anmerkungen Todo: Auswirkungen auf Parallelisierung der Auswertung Todo: Nachweis, dass Auswertungsumstellung eine Optimierung in abstrakten Maschinen ist. kommt: Verbesserungen/ Optimierungen in LR kommt: Polymorphes LR Wie sieht Striktheitsanalyse aus in Concurrent Haskell? EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 30/35

32 Polymorphes LR Type variables: a A set of type variables Term variables: x, x i X set of term variables Types: τ Typ := a (τ 1 τ 2 ) (K τ 1... τ ar(k) ) Polymorphic ρ PTyp := τ λa.ρ types: Expressions: e Expr F := x : ρ u (e τ) (e 1 e 2 ) (c : τ e 1... e ar(c) ) (seq e 1 e 2 ) letrec x 1 : ρ 1 = e 1,..., x n : ρ n = e n in e case K e of (p 1 -> e 1 )... (p n -> e n ) there is a pattern p for every constructor in D K Polymorphic u PExpr F := x : λa.ρ λx : τ.e (u τ) Λa.u expressions Case-patterns: p := (c : τ x 1 : τ 1... x ar(c) : τ ar(c) ) where x i are different term variables EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 31/35

33 Polymorphes LR, Beispiele Der polymorphe K-Kombinator λx.λy.x sieht jetzt so aus: K := Λa.Λb.λx : a.λy : b.x Typisierung ergibt: λa.λb.a (b a). das ist genau analog zu: a, b : a (b a). Λa.Λb.... Das ist ein λ für Typen. Die Typinstanziierung wird mittels Reduktion modelliert. Nach der Kompilierung kann man das weglassen, da es nicht zum Ergebnis beiträgt und nicht abgefragt werden kann. EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 32/35

34 Polymorphes LR Anwenden von K := Λa.Λb.λx : a.λy : b.x auf drei Argumente: Bool, eine Typvariable a, True vom Typ Bool Reduktion ergibt: (Λa.Λb.λx : a, λy : b.x) Bool a True (letrec x : Bool = True in λy : a.x) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 33/35

35 Beispiel map map (letrec map = λf.λxs.case xs of Nil Nil; (y : ys) f y : map f ys in map) polymorphic map in L F (letrec map:: λa.λb.(a b) (List a) (List b) = Λa.Λb.λf:: (a b).λxs:: (List a).case xs of Nil:: (List a) Nil :: (List b); (Cons:: a (List a) (List a) (y:: a) (ys:: List a)) Cons:: (List b) (f y) (map a b f ys) in map) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 34/35

36 Beispiel map Verwendung von map z.b. als Funktion von Int Int: (cp) des voll polymorphen map, dann Typinstanziierung durch Reduktion: (innerhalb des in-expressions): map Int Int λf:: (Int Int).λxs:: (List Int).case xs of Nil:: (List Int) Nil :: (List Int); (Cons:: Int (List Int) (List Int) (y:: Int) (ys:: List a)) Cons:: (List Int) (f y) (map Int Int f ys) EFP KFPT mit Sharing und Striktheisanalyse: LR SAFP; WS 2014/15 M. Schmidt-Schauß 35/35