Das theoretische Konzept eines Volatilitätsderivates und seine Anwendung auf die DAX-Optionen

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1 Randolf Roth Das theoretische Konzept eines Volatilitätsderivates und seine Anwendung auf die DAX-Optionen Technische Universität Darmstadt Fachbereich 1 Betriebswirtschaftliche Bibliothek Inventar-Nr. Abstell-Nr.: PETER LANG Europäischer Verlag der Wissenschaften

2 VII Inhaltsverzeichnis Abkürzungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis XIII XV XV I Einleitung 1 1 Motivation 1 2 Aufbau der Arbeit 3 II Theoretische Grundlagen 5 1 Einführung 5 2 Allgemeine Grundlagen Volatilität Definition Ursachen der Volatilität Informationen Handelsprozesse Terminhandel Handelsvolumen Optionskontrakt Future- und Forwardkontrakt Der Unterschied zwischen dem Future-/Forwardpreis und dem Preis eines Future-/Forwardkontrakts Die unterschiedliche Bewertung von Future- und Forwardkontrakten Der Unterschied zwischen dem Preis eines Futurekontrakts und dem Preis eines Forwardkontrakts Der Unterschied zwischen Future- und Forwardpreis Die Quotierung von Future- und Forwardkontrakten Arbitrage 25 3 Die Bedeutung der Volatilität für die Optionsbewertung Vorbemerkungen 26

3 VIII 3.2 Klassifikation der Optionspreismodelle hinsichtlich der Annahmen über die Volatilität des Basisinstruments Optionspreismodelle mit konstanter Volatilität Allgemeines Das Black/Scholes-Modell Optionspreismodell mit deterministischer, nicht konstanter Volatilität Optionspreismodelle mit funktionaler Abhängigkeit der Volatilität Optionspreismodelle mit eigenständiger Stochastik der Volatilität Volatilitätsarten und ihre Charakteristika Historische Volatilität Zukünftige Volatilität Erwartete Volatilität Implizite Volatilität Realisierte Volatilität Zusammenfassung Die Abgrenzung der Volatilitätsrisiken Volatilitäts-Gamma-Risiko Vega-Risiko 52 4 Das Konzept der Volatilitätsindizes 53 5 Allgemeine Beschreibung eines Volatilitätsderivates 56 III Die Spezifikation des Volatilitätsfutures 61 1 Einführung 61 2 Das Basisinstrument des Volatilitätsfutures Die Auswahl des Basisinstruments der Optionen Die Auswahl der Basispreise der Optionen Die Bestimmung der Laufzeit der Optionen Zusammenfassung 67 3 Der Schlußabrechnungspreis und die Auszahlungsfunktion des Volatilitätsfutures Die Bestimmung der Basisvolatilität während der Laufzeit des Derivates Einfuhrung Die Veranschaulichung des Konzepts der impliziten Forwardvolatilität Die Bestimmung der impliziten Forwardvolatilität 72

4 IX 5 Resümee 74 IV Die Replikation des Volatilitätsfutures 77 1 Einführung 77 2 Die Ableitung des Replikationsportfolios für einen beliebigen festen Zeitpunkt Synthetische Nachbildung der Basisvolatilität des Volatilitätsfutures Synthetische Nachbildung der Vegasensitivität des Volatilitätsfutures Vollständige synthetische Nachbildung des Volatilitätsfutures Das Delta des Vega-Replikationsportfolios Die Ableitung des Deltas Die Bestimmung des delta-neutral gehedgten Vega- Replikationsportfolios Delta-Hedge mit dem Basisinstrument der Optionen Delta-Hedge mit dem Future auf das Basisinstrument der Optionen Das Gamma des Vega-Replikationsportfolios Das Theta des Vega-Replikationsportfolios Zusammenfassung Intertemporale Replikation des Volatilitätsfutures Resümee 105 V Die Bewertung des Volatilitätsfutures mit dem Cost-of-Carry-Modell Einführung Das Cost-of-Carry-Modell Die Anwendung des Cost-of-Carry-Modells auf den Volatilitätsfuture Spezialfall: Die Fehlbewertung des Volatilitätsfutures wird sofort beseitigt Allgemeiner Fall Resümee 129 VI Die Berücksichtigung von Marktunvollkommenheiten bei der Bewertung des Volatilitätsfutures Einführung Die Beschreibung alternativer intertemporaler Replikationsstrategien Vorbemerkungen 131

5 X 2.2 Die Ableitung des Replikationsportfolios für die Keep-strike-Strategie Das Vega-Replikationsportfolio Die Bestimmung des vollständigen Replikationsportfolios Das Delta des Vega-Replikationsportfolio Das Gammades Vega-Replikationsportfolios Das Theta des Vega-Replikationsportfolios Zusammenfassung zur Keep-strike-Strategie Die Ableitung des Replikationsportfolios für die Adjust-strike-Strategie Das Vega-Replikationsportfolio Die Bestimmung des vollständigen Replikationsportfolios Das Delta des Vega-Replikationsportfolios Das Gamma des Vega-Replikationsportfolios Das Theta des Vega-Replikationsportfolios Zusammenfassung zur Adjust-strike-Strategie Zusammenfassung Die Bewertung des Volatilitätsfutures Die Berücksichtigung eines gespaltenen Zinssatzes Die Berücksichtigung von Transaktionskosten Roll-over-Strategie Adjust-strike-Strategie Vergleich von Adjust-strike- und Roll-over-Strategie Vergleich der Arbitragegewinnfunktionen Vergleich der Arbitragebänder Zusammenfassung Resümee 194 VII Die Anwendung des Volatilitätsfuturekonzepts auf die DAX-Optionen Einführung Die DAX-Optionen Das Basisinstrument DAX Allgemeines Die Berechnung des DAX Die Eurex als Markt der DAX-Optionen und des VOLAX-Futures 206

6 XI 2.3 Die Ausstattungsmerkmale der DAX-Optionen 208 Der VOLAX-Future Allgemeines Die Volatilitätsindizes der Deutschen Börse Das Grundkonzept des VDAX und seiner Subindizes Die VDAX-Subindizes Datengewinnung, Datenfiltrierung und Datenaufbereitung Die Bestimmung des ATM-Punktes Die Bestimmung der impliziten Volatilität der ATM-Optionen Die Berechnung der VDAX-Subindizes Die Konstruktion des VDAX Bedingungen für die Veröffentlichung von VDAX sowie der VDAX- Subindizes Die Beschreibung des VOLAX-Futures Kontraktspezifikation Die Basisvolatilität des VOLAX-Futures Der theoretische Preis des VOLAX-Futures Die synthetische Nachbildung des VOLAX-Futures Die ATM-Basispreise existieren Die ATM-Basispreise existieren nicht Der theoretische Ansatz Ein vereinfachter Ansatz Schlußfolgerungen Die Einsatzmöglichkeiten des VOLAX-Futures Vega-Hedge Naive Hedgeratio Varianzminimale Hedgeratio Die Ableitung der varianzminimalen Hedgeratio Die Schätzung des Betas in der varianzminimalen Hedgeratio Das Modell Datenherkunft und Datenaufbereitung Die Ergebnisse 240

7 XII Zusammenfassung Volatilitätshandel Arbitrage Die VOLAX-Future-Marktevidenz Resümee 255 VIII Zusammenfassung und Ausblick 257 Anhang 259 A Optionsbewertung nach Black/Scholes 259 B Der Preis eines ATM-Straddle ist um so größer, je länger die Restlaufzeit der Optionen ist 263 C Die Analyse der Risikoparameter des Vega-Replikationsportfolios 265 D E F G H I Die Berücksichtigung eines möglichen Zinsänderungsrisikos bei der Bestimmung des vollständigen Replikationsportfolios 270 Die Analyse der Risikoparameter des nach der Keep-strike-Strategie abgeleiteten Vega-Replikationsportfolios 276 Die Analyse der Risikoparameter des nach der Adjust-strike-Strategie abgeleiteten Vega-Replikationsportfolios 280 Die Ableitung der Vega-Replikationsratios für die Adjust-strike-Strategie bei mehr als einer Anpassung 287 Bemerkungen zu einer möglichen Replikation des Volatilitätsfutures mit Forward-Start-Optionen 297 Die Ableitung der Arbitragegewinnfunktion für die Reverse-Cash-and- Carry-Arbitrage unter Berücksichtigung von Transaktionskosten für Rollover- und Adjust-strike-Strategie 299 K Beispiele zur Replikation des VOLAX-Futures 303 Literaturverzeichnis 311