Elliptische Funktionen, elliptische Kurven und Modulformen Die Weierstraß sche -Funktion. Carina Sobotta

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1 Elliptische Funktionen, elliptische Kurven und Modulformen Die Weierstraß sche -Funktion Carina Sobotta 7. Oktober 004

2 Einleitung Elliptische Funktionen erhielten ihren Namen, da sie anfangs bei Untersuchungen zu Bogenlängen von Ellipsen auftraten. Bei der Rechnung mit elliptischen Integralen, tauchten die elliptischen Funktionen als deren Umkehrfunktion auf, wobei man vorsichtig mit der Benutzung des Begriffs Umkehrfunktion umgehen sollte. Denn aufgrung ihrer Doppelperiodizität sind elliptische Funktionen nicht injektiv. Der berühmteste Vertreter dieser Funktionen ist die Weierstraß sche -Funktion. Aus ihr kann man jede elliptische Funktion konstruktiv aufbauen. Abbildung : Die Weierstraß sche -Funktion und ihre Ableitung Der Vollständigkeit halber wird an dieser Stelle noch einmal die Definition eines Gitters wiederholt. Definition.. Eine Teilmenge L C heißt Gitter, wenn es zwei R-linear unabhängige Vektoren ω und ω in C gibt, so daß gilt. L = Zω + Zω = {mω + nω ; m, n Z} Bei der Konstruktion einer elliptischen Funktion ist es nun sinnvoll nach einem möglichst einfachen Beispiel zu suchen. Aus dem zweiten Liouvilleschen Satz ist bereits bekannt, daß keine elliptische Funktion der Ordnung existiert. Wir wollen nun nach einer elliptischen Funktion der Ordnung suchen, welche einen doppelten Pol in 0 besitzt. Durch die Doppelperiodizität wäre dann jeder weitere Pol ein Gitterpunkt. Der einfachste Ansatz reicht leider nicht aus, da () nicht absolut konvergiert. (z ω), ()

3 Herleitung der -Funktion Satz.. Die Reihe (m + n ) α konvergiert dann und nur dann, wenn α > ist. Beweis. Mit dem aus der Analysis II bekannten Integralkriterium ergibt sich, daß die Reihe konvergiert, wenn dx dy I = (x + y ) α 0 x +y konvergiert. Dieses kann man leicht in Polarkoordinaten berechnen, wobei die Funktionaldeterminante r zu beachten ist: π r dr dφ dr I = r α = π r α Dieses Integral konvergiert aber genau für α > Bemerkung.. Die Reihe konvergiert. {0} ω s, für s > Satz.. Sei M L {0}. Die Reihe [ (z ω) ] ω konvergiert lokal gleichmäßig. ω M Beweis. Es sei dazu R > 0 vorgegeben. Nur endlich viele ω L erfüllen w R. Für andere ω L gilt folgende Abschätzung für z K mit K = ŪR die abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius R um 0: (z ω) ω z ω z da ω = R R 3 ω z ω ω = R ω 4 ω ω 3 Mit Bemerkung. hat man nun eine konvergente Majorante gefunden. Definition. (K. WEIERSTRASS, 86/63). Die durch (z; L) = (z) = z + [ (z ω) ] ω für z / L, {0} (z) = für z L definierte Funktion heißt Weierstraßsche -Funktion zum Gitter L.

4 3 Eigenschaften der -Funktion und ihrer Ableitung Unserer Konstruktion nach besitzt die Weierstraßsche -Funktion in jedem Gitterpunkt einen Pol zweiter Ordnung und sie ist auf ganz C L holomorph. Satz 3.. Die -Funktion ist gerade. Beweis. Da die -Funktion Summe von Quadraten ist, ist sie im Gesamten gerade, d.h. (z) = ( z) Satz 3.. Die Weierstraßsche -Funktion und auch ihre Ableitung sind elliptische Funktionen. Die Ableitung der Weierstraßschen -Funktion besitzt in jedem Gitterpunkt einen Pol dritter Ordnung und ist sonst auf ganz C L holomorph. Sie ist von der Form: (z) = z 3 + {0} (z ω) 3 = (z ω) 3 Beweis. Da die Ableitung der F unktion keine konvergenzerzeugenden Summanden benötigt, ist ihre Elliptizität einfach nachzuweisen. Denn für ω 0 L gilt: (z + ω 0 ) = (z + ω 0 ω) 3 = (z) da mit ω, ω 0 L auch ω ω 0 alle Gitterpunkte durchläuft. Für die F unktion selbst ist dies nicht so leicht. Wir wissen nun, daß die Funktion f(z) = (z + ω 0 ) (z) = c mit c = const.(ω 0 ) für ω 0 L ist, da ihre Ableitung stets Null ist. Es genügt zu zeigen, daß diese Konstante für eine Basis verschwindet. Damit die Doppelperidizität gegeben ist muss also (z + ω 0 ) = (z) und (z + ω ) = (z) gelten, wenn ω 0 und ω die Basiselemente sind. Wir suchen uns also ein beliebiges Element und berechnen den dazugehörigen Funktionswert, denn da die Funktion konstant ist, ist der Funktionswert an jeder Stelle identisch. Wir betrachten also mit ω 0 eines der beiden Basiselemente, so ist gegeben, daß wir mit ω0 ω0 nicht auf einen Gitterpunkt treffen. Wir setzen speziell z = und erhalten so für den Wert der Konstanten ( ω ) ( 0 + ω 0 ω ) 0 = ( ω0 ) ( ω 0 ) da gerade = 0 Somit ist nun auch bewiesen, dass die Weierstraßsche -Funktion elliptisch ist. 3

5 Satz 3.3. Sei L C ein Gitter, so wird für jede natürliche Zahl n 3 durch (z w) n eine elliptische Funktion der Ordnung n definiert und es gilt: (z ω) n = (n ) ( )n (n )! Beweis. Betrachte dazu allgemein die Ableitungen der F unktion = Damit ergibt sich: also = 6 (z ω) 3 (z ω) 4. (k) = ( ) k (k + )! (z ω) k+ (k ) = ( ) k (k )! (z ω) k = (k ) ( )k (k )! (z ω) k Satz 3.4. Die Ableitung stellt eine ungerade Funktion dar, d.h. ( z) = (z) Satz 3.5 (Nullstellen von ). Ein Punkt a C ist genau dann Nullstelle von, wenn a / L, a L gilt. Es gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/L. Beweis. Angenommen, die Voraussetzung a / L, a L ist gegeben. Dann gilt (a) a L ungerade = (a a) = ( a) = (a) Die Nullstellen liegen also bei (a) = 0 ω 0, ω, ω 0 + ω Der dritte Liouvillesche Satz besagt, daß die Anzahl der Polstellen modulo L mit Vielfachheiten gerechnet, der Anzahl der Nullstellen (ebenfalls mit Vielfachheiten gerechnet) entspricht. Dies bedeutet, wir haben bereits alle vorhandenen Nullstellen gefunden und sie sind alle einfach. 4

6 Satz 3.6. Es seien z, w C beliebig. Dann gilt genau dann wenn Beweis. Die Funktion (z) = (w) z w mod L oder z w mod L. f(z) = (z) (w) z (z) (w) ist bei festem w eine elliptische Funktion der Ordnung und besitzt somit mod L entweder zwei einfache Nullstellen oder eine doppelte Nullstelle. Es ergibt sich offensichtlich eine Nullstelle bei z = w und eine weitere bei z = w, da die Funktion gerade ist. Gilt nun w w mod L so hat f eine doppelte Nullstelle. Somit ist das Abbildungsverhalten der Weierstraßschen -Funktion : C/L C = C { } nahezu geklärt. In C liegen vier Verzweigungspunkte vor und zwar ( ω0 ) ( ω ) ( ) ω0 + ω,, und. Diese vier Punkte haben nur genau einen Urbildpunkt auf dem Torus, alle anderen haben genau zwei. 5

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