Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth

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1 Algebr 7: Zusmmenfssen gleichrtiger Terne: ) 5x 7x 3 3x + 5x +8 b) 3u 9v [(3u 8w) (u + 9v)] c) Distributivgesetz: ) -0,4c (,5 3 c 0, c 3 ) b) 7u 5 3u (u 3) 5 (u 4u + ) Ausmultiplizieren von Klmmern: ) (4 + 3) ( + 4) b) ( + b)(3 b) c) (5x )(3x 9) (x + )(x + 4) Ausklmmern: ) z + 3z b) 3p 3 q 6p q 5 Lösung von Gleichungen: ) (3 x) = x ( + x) b) (x 3)(0x + 9) (5x 6)(4x + 7) = 0 Algebr 8: Linere Funktionen: ) Bestimme die Gleichung der Gerden durch die Punkte A(- /- 4) und B(- 4/) b) Zeichne die Gerde y =, berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordintenchsen und ermittle den Flächeninhlt des Dreiecks, ds sie mit den Koordintenchsen einschließt. c) Ermittle die Schnittwinkel der Gerden g(x) = 9 mit den Koordintenchsen. d) Berechne die Koordinten des Schnittpunkts der beiden Gerden g(x) = 0,5x + 4 und h(x) = - x + Ungleichungen: Bestimme die Lösungsmenge folgender Ungleichungen und gib sie in Intervllschreibweise n. ) 7 x < 5 b) (x 4) + (- 3)( 4x) Gleichungssysteme: ) Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme möglichst geschickt: () y = 0,5x 7 (),3x +,5y = 7, () 3y 0,75x =,4 () 0,4x 3y = 5,6 Rechnen mit Bruchtermen: ) Kürze folgende Bruchterme und vereinfche sie so weit wie möglich: b) Addiere bzw. subtrhiere und fsse zusmmen! + - Grundwissen Mthemtik für Q - Seite

2 c) Multipliziere bzw. dividiere folgende Bruchterme: 3x 9 x x 4 4 x : x 4 33 x 4 + x x + x d) Umgng mit Doppelbrüchen: (schwierig) x x + y y + b + b Einfche gebrochen-rtionle Funktionen: ) Bestimme zu folgender Funktion die Definitionsmenge, ermittle die Achsenschnittpunkte und gib ihre Asymptoten n. Zeichne den Grphen: f(x) = + x + 3 ± b) Eine gebrochen-rtionle Funktion wird durch den Term f(x) = + b beschrieben. x Bestimme die Werte von und b, wenn der Grph die Asymptoten y = - und x = ht und sich der wgrechten Asymptoten für x + von oben nnähert. c) In welchen Punkten schneiden sich die Grphen der Funktionen f(x) = g(x) =? x + 3 Bruchgleichungen: ) Bestimme die Definitionsmenge und löse folgende Bruchgleichungen: x 3 3x 7 ) = 0 x + 3 3x b) Löse die Gleichung ) = + nch der Vriblen b uf! r g b x x 3 = x x 4 + x 3 Potenzrechnen: Fsse folgende Terme zusmmen und schreibe lle Potenzen mit positiven Exponenten: ) 3 b) x 7 : x -3 c) c : c 7 d) 3 4 e) x - : x f) -3 0 g) x xy h) x - x und Algebr 9: Rechnen mit Qudrtwurzeln: ) Für welche Werte von x sind folgende Terme definiert? ) 3 x + 5 ) 4x 9 b) Rdiziere teilweise: ) 50 r s 3 + ) c) Ziehe unter die Wurzel: ) x x + 5 ) 3) x x Grundwissen Mthemtik für Q Teil

3 d) Fsse zusmmen: ) 3 + ) x y x y (mit Fllunterscheidung!) Binomische Formeln: ) Berechne ohne Zwischenschritte: ) (x 4)(x + 4) ) (x + 3x) 3) ( ) b 4 b) Schreibe ls Produkt, wenn dies möglich ist: ) 4u 9v ) x x 3) 9x + 5x + 30 c) Ergänze den Rdiknden so, dss sich die Wurzel ziehen lässt und rdiziere dnn: ) x x +... ) ) 3z + z +... d) Löse folgende qudrtische Gleichungen ohne Verwendung der Mitternchtsformel: ) 5x = 35 b) 3x 7x = 5x c) (x 3) = 5 e) Entscheide die Anzhl der Lösungen ohne sie zu berechnen: x + 5x + 3 = 0 Prbeln: ) Bestimme die Scheitel und die Nullstellen folgender qudrtischer Funktionen und zeichne ihre Grphen: ) y = x x + 8 ) y = - x + 6x b) Wie lutet die Gleichung einer Prbel, deren Grph durch folgende Punkte verläuft? ) Scheitel S(- /- ) und P(- 3/- 4) ) A(0/4), B(/- ) und C(3/- ) c) In welchen Punkten schneiden sich die Prbeln p : y = x + 4x + und p : y = - x x + 4,5? Verschiebung von Prbeln: ) Durch welche Verschiebung geht die Prbel y = x 6x + us der Normlprbel y = x hervor? b) Verschiebe die Prbel y = x 4x + 3 um 3 nch rechts und 4 nch oben. Wie lutet die Gleichung der so entstehenden Prbel? Algebr 0: Exponentilfunktionen: ) Eine Exponentilfunktion soll durch die Punkte A(0/3) und B(4/768) verlufen. Wie lutet ihre Gleichung? b) Skizziere die Grphen folgender Exponentilfunktionen und gib n, wie sie us dem Grphen der Funktion y = x entstehen: ) y = 0,5 x ) y = - x 3) y = 5 + x 4) y = 3 x 4 Trigonometrische Funktionen: ) Beschreibe, wie der Grph der Funktion f(x) = sin ( x π ) us dem Grphen der 3 Sinusfunktion y = sin x entsteht. b) Gib lle Nullstellen der Funktion f(x) = cos x n. Potenzfunktionen: ) Gib die Gleichung einer Potenzfunktion f(x) =x n mit ntürlichem Exponenten n, die durch die Punkte A(- 0/0000) und B(5/- 65) verläuft. b) Skizziere den ungefähren Verluf der Grphen folgender Funktionen: ) y = x - ) y = (x - ) - 3) f(x) = x 6x + 9 Grundwissen Mthemtik für Q Teil

4 Geometrie: Klsse 7: ) Stelle für folgende Figuren lle Eigenschften über Seiten, Winkel, Symmetrie zusmmen und gib uch die Flächenformeln n: Prllelogrmm, Rute, Drchenviereck, Trpez b) Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c = 6 cm und Höhe h c = cm. c) Zeichne ein Dreieck ABC mit = 7 cm, b = 8 cm und c = 9 cm und zeichne drin die Mittelsenkrechte m [AB], die Seitenhlbierende s c, die Höhe h und die Winkelhlbierende w ß ein. Welche besonderen Eigenschften hben lle Punkte uf m [AB] bzw. w ß? Klsse 8: Berechne Umfng und Flächeninhlt der beiden bgebildeten Figuren in Abhängigkeit von der Seitenlänge des Qudrts (exkte Ergebnisse)! Klsse 9: ) Ds Viereck FELD in der Abbildung ist ein Trpez. Ermittle durch Rechung seine Umfngslänge uf cm gerundet und seinen Flächeninhlt exkt. b) Überprüfe durch Rechnung, ob die Punkte A(-/5), B(6/-) und C(/7) ein rechtwinkliges Dreieck bilden. c) Ein Tetreder ist eine regelmäßige vierseitige Pyrmide. Stelle bsierend uf der Seitenlänge einen Term für dessen Oberflächeninhlt und sein Volumen uf. d) Ds Bild zeigt den Schtten s einer Tnne, die n einem Berghng steht. Berechne die Höhe h der Tnne us folgenden Angben: Am 5.8. um Uhr mittgs ist die Sonnehöhe ß = 5, der Schtten ht die Länge s = m und der Berghng eine Steigung von 9 %. e) Berechne die exkten Werte von sin ß und tn ß, wenn cos ß = 7 8 ist und 0 < ß < 90 gilt. f) Aus einem Kreissektor mit Rdius 35 cm und Mittelpunktswinkel 40 wird ein Trichter geformt. Berechne ds Volumen dieses Trichters. g) Ds Bild zeigt einen Kreiszylinder, der kegelförmig usgebohrt ist. Berechne ds Volumen und den Oberflächeninhlt des Restkörpers. Grundwissen Mthemtik für Q Teil 3

5 h) Die nebenstehende Abbildung zeigt ds Schrägbild eines Grtenhäuschens bestehend us einem Quder und einer gerden qudrtischen Pyrmide. α) Berechne die Höhe des Grtenhäuschens und ds Volumen des umbuten Rums. ß) Ermittle uch rechnerisch die Größe der Winkel α und ß. Klsse 0: ) Drei Quecksilbertropfen (kugelförmig mit Durchmesser,0 mm) lufen uf einem Lbortisch zusmmen und bilden einen einzigen kugelförmigen Tropfen. Berechne seinen Rdius. b) Die Rdiuslänge einer Kugel wird um 0 % verkleinert. Berechne, um wie viel Prozent sich dbei der Oberflächeninhlt bzw. ds Volumen der Kugel verkleinert. c) Gib lle Lösungen der Gleichung (cos x) 0,5 cos x = 0 im Intervll [- 360 ; 360 ] bzw. [- π; π] im Grdmß bzw. im Bogenmß n. Stochstik: ) Eine Lplce-Münze wird vierml geworfen. Dbei zeigt sie Wppen (W) oder Zhl (Z) α) Wie viele Elemente ht der Ergebnisrum Ω? ß) Gib die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse n: E = {WZWZ} E = {WWWW, ZZZZ} E 3 ={WZZW, WZWW, WWZW, WWWW} E 4 = Beim Werfen erscheint genu zweiml Wppen. E 5 = Beim Werfen erscheint höchstens zweiml Wppen. E 6 = E 3 E 5 E 7 = E E 4 γ) Gib E 4 und E 5 in Mengenschreibweise n und beschreibe E 6 und E 7 in Worten. δ) Beschreibe ds Gegenereignis zu E in Worten und berechne seine Whrscheinlich. b) In einer Urne sind cht bis uf die Frbe identische Kugeln; fünf dvon sind rot, die nderen drei sind schwrz. Hns zieht dreiml hintereinnder eine Kugel und notiert ihre Frbe. α) Betrchte die beiden Fälle, dss er die Kugeln nicht mehr in die Urne zurücklegt (Fll ) bzw. dss er die Kugel nch jedem Zug wieder zurücklegt (Fll ) und zeichne jeweils ein Bumdigrmm. ß) Berechne für die beiden Fälle die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: (i) Alle Kugeln sind gleichfrbig. (ii) Es werden zwei rote und zwei schwrze Kugeln gezogen. (iii) Es werden bwechselnd Kugeln verschiedener Frben gezogen. c) Die Beliebtheit einer Fernsehsendung wurde untersucht. Eine Umfrge htte folgendes Ergebnis: 40 % der Zuschuer, die die Sendung gesehen htte, wren 30 Jhre lt oder jünger. Von diesen htten 50 % eine positive Meinung, von den nderen, die über 30 Jhre lt wren, htten 70 % eine positive Meinung. α) Stelle den Schverhlt in einer Vierfeldertfel dr. ß) Zeichne ein Bumdigrmm sowie ds dzu umgekehrte Bumdigrmm und beschrifte die Pfde pssen. γ) Wie viel Prozent der Zuschuer, die eine positive Meinung htten, wren älter ls 30? δ) Wie viel Prozent wren mximl 30 Jhre lt und htten keine positive Meinung? Grundwissen Mthemtik für Q Teil 3