916-ml-Dosen Überlege dir nun, welche Eigenschaften diese Dose haben muss, um aus der Sicht der Firma optimal zu sein.

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1 Die optimale Dose 1 Stell dir vor, du bist Chef einer Firma, die Lack produziert, welcher anschließend in zylinderförmige 916-ml-Dosen abgefüllt wird. Du möchtest dafür die optimale Dose erzeugen. Überlege dir nun, welche Eigenschaften diese Dose haben muss, um aus der Sicht der Firma optimal zu sein. Unter der Annahme, dass deine Firma zylinderförmige Dosen befüllt: Versuche die Bedingung, die die optimale Dose erfüllen muss, mathematisch zu formulieren: 2 Punkt 2 ist nun also die Hauptbedingung, welche es zu erfüllen gilt. Was war nochmal die Nebenbedingung für die gesuchte optimale Dose? (Hinweis: Du findest die Antwort weiter oben) Versuche diese Nebenbedingung auch gleich mathematisch zu formulieren. 3

2 1) Löse auf diesem Blatt die Extremwertaufgabe und bestimme so den Durchmesser und die Höhe der optimalen Dose. 2) Was fällt dir auf, wenn du Durchmesser und Höhe vergleichst?

3 Gilt nun also für die Dosen eines jeden Dosenherstellers h=öh? Dieser Frage wird nun mit einem Maßband auf die Spur gegangen. Die Messergebnisse: 4 Dose Durchmesser [] MESSEN Höhe [] MESSEN Volumen [³] Oberfläche [²] Übertrage die gemessenen Volumina aus den Zeilen 1, 2 & 3 und berechne nun aus diesem Volumen Durchmesser, Höhe und Oberfläche der optimalen Dose. Dose Durchmesser [] Höhe [] Volumen [ ] VON OBEN ÜBERTRAGEN Oberfläche [ ] Kannst du Abweichungen zwischen gemessenen Durchmesser und Höhe und optimalem Durchmesser und Höhe feststellen? Wenn ja, woher glaubst du, könnten sie stammen? 5 Notiere, wie der Herstellungsprozess einer Dose in etwa aussieht: 6

4 Abbildung 1: Entstehung von Falzen Abbildung 1 zeigt die Falze schematisch. Sie können nur gebildet werden, wenn Mantel, Boden und Deckel Überstände besitzen: Für die Standard-916-ml-Dose (siehe Messungen Punkt 4), ist nach Aussagen der Hersteller zur Höhe h ein Zuschlag von ca. 1 cm (je 5mm für Boden und Deckel) und zum Durchmesser (insgesamt) ein Zuschlag von ca. 1,5 cm erforderlich. Die Oberfläche eines Zylinders gibt den Materialbedarf für eine Dose also nicht genau an! 7 Gib die Formel für die Oberfläche eines Zylinders, bei dem die oben genannten Zuschläge mit einberechnet werden. Bestimme nun den Durchmesser und die Höhe der Dose mit der Gleichung aus Punkt 7 als Hauptbedingung und der Nebenbedingung, dass das Volumen der Dose 916 ml beträgt. 8

5 8 weiter 9 10 Das heißt also: Der Materialverbrauch für eine Dose mit einem Volumen von 916 ml ist unter Berücksichtigung der Falzzuschläge minimal, wenn der Durchmesser d = cm und die Höhe h = _ cm betragen. Addiere zum soeben berechneten Durchmesser d die beiden vorhin gemachten Zuschläge und vergleiche das Ergebnis mit der Höhe. (Hinweis: runde nicht!) d + Zuschläge = _ cm Höhe h = cm Was fällt dir auf? Abbildung 2 zeigt schematisch eine Tafel mit den auszustanzenden Ronden (= Dosenboden & Dosendeckel), hier in 6 Spalten zu je 4 Ronden angeordnet. Zwischen den Ronden und am Rand bleibt aus technischen gründen ein Steg (=Abstand) von ca. 1,5mm Breite stehen. Deine nächste Aufgabe ist, den Verschnitt pro ausgestanzter Ronde zu berechnen. Auf der nächsten Seite findest du einen Ausschnitt dieser Rondentafel, der dir dabei helfen soll. Abbildung 2: Tafel mit Ronden

6 Abbildung 3: Berechnung des Verschnitts Nun wurde also der Verschnitt pro Ronde berechnet. Es bleibt aber nicht nur zwischen den Ronden Verschnitt übrig, sondern auch am Rand der Rodentafel (siehe Abbildung 2 auf der letzten Seite). Die Länge einer Rondentafel mit y Spalten und x Ronden vom Durchmesser d in jeder Spalte ist gegeben durch: 11 = Und die Breite dieser Rondentafel ist gegeben durch: Begründe dies: =

7 Der Verschnitt in % ist folglich gegeben durch: "= #$ %&'() * $ & #$ %& 100 Berechne den Verschnitt in % für: d = 10 cm, s = 0,15 cm, 10 Spalten und 10 Ronden pro Spalte auf der Rondentafel. 12 Berechne unter Berücksichtigung der neuen Erkenntnisse den Durchmesser und die Höhe der optimalen Dose. Löse dazu folgende Extremwertaufgabe: Die Materialkosten für eine Dose ergeben sich durch:,=-.ö/01/ -h :; ) <#7:= >. Stelle zuerst eine Gleichung für den Gesamtmaterialverbrauch pro Blechdose auf, welche nur von ihrem Durchmesser abhängt! (Hinweis: Substituiere dazu die Höhe mithilfe anderer Formeln). Beachte dabei: Eine Dose besteht aus 2 Ronden und einem Mantel. Die nötigen Falzzuschläge sind unten angegeben. Nimm an, dass der Verschnitt pro Dose 20% beträgt. 13 Wenn du so eine Formel für die benötigten cm² Blech in Abhängigkeit vom Dosendurchmesser bestimmen konntest, setze dies in die obige Formel für die Kosten einer Dose ein und bestimme ihr Minimum um den optimalen Dosendurchmesser und anschließend ihre Höhe berechnen zu können. Angaben: Blech wird zu einem Preis von? / gekauft und Schrott zu einem Preis von 0,1? / wieder verkauft. Zum Durchmesser d ist ein Falzzuschlag von 1,5 cm erforderlich. Zur Höhe h ist ein Falzzuschlag von 1 cm erforderlich. Die Stegbreite s beträgt 1,5mm Formelsammlung (die Falzzuschläge müssen überall erst noch eingerechnet werden!): Materialverbrauch pro Dose (ohne Falzzuschläge): C=DE./Fäh+2 HI..Fäh Benötigtes Blech pro Ronde (ohne Falzzuschläge): H=+ Verschnitt für 2 Ronden (Annahme 20%, ohne Falzzuschläge): 2 0,2 H

8 Berechnung von Punkt 13:

9 Eine präzise mathematische Lösung des Problems ist schwer möglich. Aber wir sind der optimalen Dose sehr nahe auf die Spur gekommen! Hier einige Herstellerangaben über reale Dosen: Abbildung 4: Herstellerangaben zu Normmaßen von Dosen Überlege dir praxisnahe Gründe, warum die realen Dosen von den optimalen Dosen abweichen. Hinweis: Was wäre, wenn eine Cola-Dose einen viel größeren Durchmesser hätte, oder die RedBull-Dose einen viel kleineren? 14