Logik für Informatiker

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1 Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau 1

2 Bis jetzt Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive und Disjunktive Normalform Ablesen von DNF und KNF aus Wahrheitstafeln Umformen in KNF/DNF Mengenschreibweise Subsumption SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) SAT Erfüllbarkeitsproblem für DNF Formeln k-sat; 3-SAT vs. SAT 2-SAT: heute Horn-Formeln Erfüllbarkeitstest für Hornformeln 2

3 Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln Theorem Die Erfüllbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar. Lemma. Sei F Hornformel die keine Fakten enthält. Dann ist F erfüllbar. Beweis: Sei A : Π {0,1} mit A(P) = 0 für alle P Π. Dann A(F) = 1. 3

4 Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln Theorem Die Erfüllbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar. Beweis: (Idee) Ziel: A : Π {0,1} mit A(F) = 1. Falls keine Fakten in F: F erfüllbar. Sonst: Für alle Fakten P in F: A(P) := 1; Wiederhole das Verfahren für F, entstanden aus F durch Ersetzung von P mit. Idee: Markiere die Atome, die den Wert 1 bekommen 4

5 Erfüllbarkeitstest für Horn-Formeln Eingabe: F = D 1 D n eine Hornformel (die Klausel D i enthält höchstens ein positives Literal) Ein Atom in F zu markieren, bedeutet, es an allen Stellen seines Auftretens in F zu markieren 5

6 Erfüllbarkeitstest für Horn-Formeln 0: IF keine Fakten (Klausel A ) vorhanden THEN Ausgabe: erfüllbar ELSE markiere alle Fakten in F (Atome A mit A in F) 1: IF keine Klausel A 1 A n B in F, so dass alle Atome in A 1,...,A n markiert aber B nicht THEN Ausgabe: erfüllbar ELSE wähle die erste solche Klausel IF B leer THEN Ausgabe: unerfüllbar ELSE markiere überall B in F GOTO 1 6

7 Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln Theorem Die Erfüllbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar. Beweis: (Idee) Ziel: A : Π {0,1} mit A(F) = 1. Falls keine Fakten in F: F erfüllbar. Sonst: Für alle Fakten P in F: A(P) := 1; Wiederhole das Verfahren für F, entstanden aus F durch Ersetzung von P mit. Komplexität: F F 7

8 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 8

9 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln) Resolution 9

10 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln) Resolution 2. Formelmengen Semantische Tableaux 10

11 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln) Resolution 2. Formelmengen Semantische Tableaux 11

12 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Klauseln P {Q} initialer Fakt wegen Q Q Q Q P R P R Q S Q S W T W T S U S U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W Q S U W 12

13 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Klauseln P {Q} initialer Fakt wegen Q Q Q Q P R P R Q S S W T W T S U S U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W S U W 13

14 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q Klauseln P Q {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S Q S P R P R Q S S W T W T S U S U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W S U W 14

15 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q Klauseln P Q {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S Q S P R P R Q S S W T W T S U U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W U W 15

16 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q P R Klauseln P Q P R {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S {Q,S,U} wegen S U Q S U Q S S W T W T S U U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W U W 16

17 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q P R Klauseln P Q P R {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S {Q,S,U} wegen S U Q S U Q S S W T W T S U U U,T,Z P T Z P Q,S,U W W 17

18 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q P R Q S Klauseln P Q P R S {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S {Q,S,U} wegen S U {Q,S,U,W} wegen Q,S,U W Q S U W W T T S U U U,T,Z P T Z P Q,S,U W W 18

19 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q P R Q S W T Klauseln P Q P R S T {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S {Q,S,U} wegen S U {Q,S,U,W} wegen Q,S,U W {Q,S,U,W,T} wegen W T Q S U W T S U U U,T,Z P Z P Q,S,U W W 19

20 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Implikationen Klauseln Markierte Atome und Erklärung: {Q} initialer Fakt wegen Q Q P P {Q,S} wegen Q S S Q Q {Q,S,U} wegen S U U P R P R {Q,S,U,W} wegen Q,S,U W W Q S S {Q,S,U,W,T} wegen W T T W T T S U U Modell: U,T,Z P Z P A(Q) = A(S) = A(U) = A(W) = A(T) = 1 Q,S,U W W A(P) = A(R) = A(Z) = 0 Markierte Atome: wahr; nicht markierte Atome: falsch. 20

21 Bemerkung Horn Klauseln: P P,P 1...P n Q P 1...P n Q Klauselschreibweise: P P P 1... P n Q P 1 P n Q Mengenschreibweise: {P} { P, P 1, P n,q} { P 1,..., P n,q} 21

22 Verallgemeinerung? Syllogismus (in der ersten Vorlesung erwähnt): P P C C Mengenschreibweise: 1-Resolution (unit resolution) {P} { P} C C { P} {P} C C 22

23 Verallgemeinerung? Nicht geeignet für Erfüllbarkeitsüberprüfung beliebiger Klauselmengen: Die Klauselmenge M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} ist nicht erfüllbar, aber mit 1-Resolution ist aus M nichts ableitbar, also auch nicht. 23

24 Verallgemeinerung? Nicht geeignet für Erfüllbarkeitsüberprüfung beliebiger Klauselmengen: Die Klauselmenge M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} ist nicht erfüllbar, aber mit 1-Resolution ist aus M nichts ableitbar, also auch nicht. Ziel: Kalkül mit der Eigenschaft dass: (1) falls M unerfüllbar ist aus M ableitbar (2) falls aus M ableitbar, M unerfüllbar. Das Resolutionkalkül 24

25 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit 25

26 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Voraussetzung: Alle Formeln in konjunktiver Normalform 26

27 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Voraussetzung: Alle Formeln in konjunktiver Normalform Eine einzige Regel 27

28 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Voraussetzung: Alle Formeln in konjunktiver Normalform Eine einzige Regel Operiert auf Klauseln (in Mengenschreibweise) 28

29 Resolutionskalkül Definition: Resolutionsregel (einzige Regel des Kalküls) wobei C 1 {P} { P} C 2 C 1 C 2 P eine aussagenlogische Variable C 1,C 2 Klauseln (können leer sein) Definition: C 1 C 2 heißt Resolvente von C 1 {P},C 2 { P} 29

30 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} 30

31 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } 31

32 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } 32

33 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } 33

34 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } 34

35 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } {P 1 } { P 1 } 35

36 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } {P 1 } { P 1 } Insgesamt: M Res also: M unerfüllbar 36

37 Resolution: Weiteres Beispiel Zu zeigen: (P Q) ((Q R) (P R)) ist allgemeingültig 37

38 Resolution: Weiteres Beispiel Zu zeigen: (P Q) ((Q R) (P R)) ist allgemeingültig Dazu zeigen wir, dass unerfüllbar ist. [(P Q) ((Q R) (P R))] 38

39 Resolution: Weiteres Beispiel Zu zeigen: ist allgemeingültig (P Q) ((Q R) (P R)) Dazu zeigen wir, dass unerfüllbar ist. [(P Q) ((Q R) (P R))] Klauselnormalform: {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} 39

40 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} Ableitung der leeren Klausel aus M: (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben 40

41 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} Ableitung der leeren Klausel aus M: (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) 41

42 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} Ableitung der leeren Klausel aus M: (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) (6) {R} aus (2) und (5) 42

43 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} Ableitung der leeren Klausel aus M: (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) (6) {R} aus (2) und (5) (7) aus (4) und (6) 43

44 Resolution: Bemerkungen Vorsicht bei Klauseln mit mehreren Resolutionsmöglichkeiten Zwei Klauseln können mehr als eine Resolvente haben z.b.: {A,B} und { A, B} {A,B,C} und { A, B,D} haben NICHT {C,D} als Resolvente 44

45 Resolution: Bemerkungen Vorsicht bei Klauseln mit mehreren Resolutionsmöglichkeiten Zwei Klauseln können mehr als eine Resolvente haben z.b.: {A,B} und { A, B} {A,B,C} und { A, B,D} haben NICHT {C,D} als Resolvente Heuristik: Immer möglichst kleine Klauseln ableiten 45

46 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge ist unerfüllbar. E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } 46

47 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } ist unerfüllbar. Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (ohne Mengenschreibweise) P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 47

48 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } ist unerfüllbar. Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (ohne Mengenschreibweise) P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 Auf diese Weise ist nicht herleitbar 48

49 Ohne Mengenschreibweise Resolutionsregel: C 1 P P C 2 C 1 C 2 Faktorisieren: C L L C L 49

50 Resolution mit Faktorisierung Die Menge ist unerfüllbar. E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (mit Faktorisieren) P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 1 P 1 P 1 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 50

51 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } {P 1 } { P 1 } Insgesamt: M Res also: M unerfüllbar 51

52 Resolution Ziele: Formalisieren, was M Res bedeutet Zeigen, dass M Res gdw. M unerfüllbar. 52

53 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F} 53

54 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F} Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) 54

55 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F} Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) Notation: Falls C Res (F), so schreiben wir F Res C. 55

56 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F} Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) Notation: Falls C Res (F), so schreiben wir F Res C. Definition: Beweis für C (aus F): C 1,...C n, wobei: C n = C und für alle 1 i n: (C i F oder C i Resolvente für C j 1 C j2 C i j 1,j 2 <i). mit 56

57 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) (6) {R} aus (2) und (5) Beweis für {R} aus M 57

58 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) (6) {R} aus (2) und (5) (7) aus (4) und (6) Beweis für aus M (Widerspruch) 58

59 Resolution: Korrektheit und Vollständigkeit Theorem (Korrektheit) Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M Res, so M unerfüllbar. Theorem (Vollständigkeit) Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M unerfüllbar, so M Res. 59

60 Resolution: Korrektheit Theorem (Korrektheit) Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M Res, so M unerfüllbar. Beweis: Wir werden zeigen, dass falls C Res (M), so M M {C}. (Theorem auf Seite 61). (NB: M {C} Notation für M C.) Dann, falls M Res, so Res (M), d.h. M M { }. Aber M { } ist unerfüllbar, deshalb ist auch M unerfüllbar. Erklärung 1: Falls M = {C 1,...,C n } so M { } ist eine Notation für C 1 C n. Aber C 1 C n, so ist C 1 C n unerfüllbar (also auch M { }). Da M M { }, ist auch M unerfüllbar. Erklärung 2: Es gibt keine Wertebelegung A die alle Klauseln in M { } wahr macht (d.h. so dass: A(D) = 1 für alle Klauseln D in M und A( ) = 1). 60

61 Resolution: Korrektheit Lemma: C 1 P,C 2 P = C 1 C 2 Beweis: Sei A Interpretation mit A(C 1 P) = 1 und A(C 2 P) = 1. Zu zeigen: A(C 1 C 2 ) = 1. Fall 1: A(C 1 ) = 1. Dann A(C 1 C 2 ) = 1. Fall 2: A(C 1 ) = 0. Dann A(P) = 1. Da A(C 2 P) = 1, so A(C 2 ) = 1, d.h. A(C 1 C 2 ) = 1. 61

62 Resolution: Korrektheit Theorem: Falls C Res (F), so F F {C}. Beweis: Annahme: C Res n (F). Zu zeigen: F F C, i.e.: Für alle A : Π {0,1} gilt: A(F) = 1 gdw. (A(F) = 1 und A(C) = 1). 62

63 Resolution: Korrektheit Theorem: Falls C Res (F), so F F {C}. Beweis: Annahme: C Res n (F). Zu zeigen: F F C, i.e.: Für alle A : Π {0,1} gilt: A(F) = 1 gdw. (A(F) = 1 und A(C) = 1). Sei A : Π {0,1} mit A(F) = 1. Induktion: Für alle m N gilt: Falls D Res m (F), so A(D) = 1. (folgt aus: C 1 P,C 2 P = C 1 C 2 ) Dann A(C) = 1, so (A(F) = 1 und A(C) = 1), d.h. A(F C) = 1. Sei A : Π {0,1} mit A(F C) = 1. Dann A(F) = 1 und A(C) = 1, so A(F) = 1. 63

64 Resolution: Vollständigkeit Theorem. Für jede endliche Menge M von Klauseln gilt: falls M unerfüllbar, so M Res. Beweis: Induktion: p(n): Sei M Menge von Klauseln mit n Aussagenvariablen. Falls M unerfüllbar, so M Res 64

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